基本不等式完整版(非常全面)

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基本不等式专题辅导

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2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若 a,b R ,则 a b 2 ab

3、基本不等式的两个重要变形 （1）若 a,b R *，则

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总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数

的和为定植时，它们的积有最小值；

a b

6、柯西不等式

（1）若 a, b,c, d R ，则（a 2 b 2）（c 2 d 2） （ac bd ）2 (2) 若 a 1, a 2, a 3, bi, b 2, b 3 R ，则有：

2

2 2 2 2 2

2

(a 1 a 2

a 3 )(柑

b ?

b 3 ) (aQ a ?b 2 a s b s )

(3) 设a 1,a 2, ,a n 与

db, ,b 是两组实数，则有

2

2

2

p22

2

佝 a 2

a . )(0

b 2 b n )(日山 a 2b 2

a n

b n )

一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 二、题型分析

题型一：利用基本不等式证明不等式

(1)若 a,b R ，则 a 2

b 2

2ab

1、设a,b 均为正数，证明不等式：、.ab 二

(2)右 a, b R ，则 ab

a,b,c 为两两不相等的实数，

(2)若 a, b R ,则 ab

b 2

ab bc ca

4、求最值的条件：“一正， 二定，三相等”

5、常用结论

1

(1)若 x 0，则 x — 2 （当且仅当 x 1时取“=”)

x

1 (2)若 x 0,则 X -

2 （当且仅当 x 1时取

“=”)

X

(3)若 ab 0,则--

2 （当且仅当

a b 时取

“=”)

b a

2 2

(4)若 a, b R ，则 ab

（

旦 b)2 a b

2 2

(5)若 a, b R ，贝U

1

. a ab b

a 2

b 2 v ------

1 1

2

2

(1 已知a

a,b,c

a )(1 1, 求证:

b)(1 c) 8abc

a, b, c R

4 2x 4

6、（ 2013年新课 标H 卷数学（理）选修4— 5 :不等式选 讲 设a,b,c 均为正数,且a b c 1,证明：

(i) ab bc ca 1 3；

（

2 , 2 2

a b c , n)

1.

b c a

7、（ 2013年江苏卷（数学） 选修4— 5 :不等式选u 讲

已知 a b 0,求证：2a 3 b 3 2ab 2 a 2

b 题型二：利用不等式求函数值域

1、求下列函数的值域

(1

)y 3x

2

2x

(2) y x(4 x)

1

(3) y x

(x 0)

x

(4) y

1 x —(x 0)

x

题型三：利用不等式求最值

（一）（凑

项）

1、已知x 2，求函数y

2x 4 2x 4

的最小值;

变式1 :已知x 2，求函数y

2x

4 2x 4

的最小值;

变式2：已知x 2，求函数y 2x

的最大值;

题型四：利用不等式求最值(二)(凑系数)

1、当LI ，…一时，求y x(8

2x)的最大值；

3、求函数y 2x 1

5 2x(- x -)的最大值;

2 2

(提示：平方，利用基本不等式)

变式1：当「I —.二时，求y 4x(8 2x)的最大值;

变式：求函数y . 4x 3 11 4x(3 x W)的最大值;

4

4

3

变式2：设0 x ，求函数y 4x(3

2x)的最大值。

练习：1、已知x

5

,求函数y 4x 2 __________ 的最小值;

4 4x 5

2、若0 x 2，求y . x(6 3x)的最大值;

2、已知X

5

，求函数y 4x 2

- 的最大值; 4

4x 5

变式：若0 x 4，求y . x(8 2x)的最大值;

题型五：巧用“1”的代换求最值问题

1 1

1、已知a,b 0,a 2b 1，求t 丄-的最小值;

a b

法一：

x y

变式5：

（1 ）若x, y 0 且2x y 1 . 1 1

1，求一

x y

的最小值；

（2）若a,b,x, y R 且a

x b〔，求x

y

y的最小值;

1 9

变式4：已知x, yO ,且4，求x y的最小值;

a b

变式2：已知x, y 0,—一

x y1，求xy的最小值;

变式1：已知a,b 0,a 2b 2，求t - 1的最小值;

、1 1

变式3:已知x, y 0，且9，求x y的最小值。变式6：已知正项等比数列a n满足：a7 a6 2a5，若

----- 1 4

存在两项a m, a n，使得a m3n 4厲，求的最小值；

m n

x y

题型六：分离换元法求最值（了解）

x2 7x 10

1、求函数y （x 1）的值域;

x 1

题型七：基本不等式的综合应用

a b

1、已知log 2 a log 2 b 1，求3 9的最小值

2、（2009天津）已知a, b 0,求」」2、ab的最小值; a b

2 1 1

式a 的最小值;

ab a(a b)

变式2：（2012湖北武汉诊断）已知，当a 0, a 1时，函数y log a（x 1） 1的图像恒过定点A，若点A在直

线mx y n 0上，求4m2n的最小值;

变式：求函数y1）的值域;

2、求函数y（提示：换元法）

变式1：（2010四川）如果a b 0，求关于a,b的表达变式：求函数y航的最大值;

3、已知x, y 0 , x 2y 2xy 8，求x 2y最小值;

4、（ 2

（

)13年山东（理））设正实数x,y,z满足

2 x3xy4y

2 z 0 ,则当xy取得最大值

z

时,

21-的最大值为()

x y z

A. 0 B . 1 C

9

D . 3

4

（提示：代入换元，利用基本不等式以及函数求最值）

变式1:已知a,b 0 ，满足ab a b 3，求ab范围;

变式2: （2010山东）求xy最大值；（提示: 已知x, y

通分或三角换元）

2

变式：设x,y,z是正数，满足x 2y 3z 0,求—的

XZ

最小值；

变式3: （2011浙江）

求xy最大值；

已知x, y 0，x2 y2 xy 1，

题型八：利用基本不等式求参数范围

i 、（ 20i2沈阳检测）已知x, y 0,且（x y ）（! 旦）9 x y 恒成立，求正实数 a 的最小值；

题型九：利用柯西不等式求最值

1、 二维柯西不等式

a b

（a,b, c, d R,当且仅当一 一；即ad be 时等号成立）

c d

若 a, b,c,d R ，则（a 2 b 2）（c 2 d 2） （ac bd ）2

2、 二维形式的柯西不等式的变式

（1） Ja 2 b 2 J c 2 d 2 ac bd

（a,b,c,d R,当且仅当a -;即ad be 时等号成立）

c d

（2） . a 2 b 2、c 2 d 2 ac bd

（a,b,c,d R,当且仅当a -;即ad be 时等号成立）

c d （3） （a b ）（c d ） （.. ac .. bd ）2

（a,b, c, d 0,当且仅当--;即ad bc 时等号成立）

c d

3、二维形式的柯西不等式的向量形式

（当且仅当 0,或存在实数k,使a k 时,等号成立）

4、三维柯西不等式

若 ai ,a 2, a 3,b i ,b 2,b 3 R ，则有:

5、一般n 维柯西不等式

设 4^2,

,a n 与b i ,b 2, ,b n 是两组实数，则有：

z

2

2

(a i a 2

a n 2

)(b 2

b 22

b n 2) (一b i a 2b ,

日“^)2

（a,b i R,当且仅当色邑

也时等号成立）

b i b 2

b n

1 4

变式：已知a,b 0满则丄-

a b

求c 的取值范围；

2，若a b c 恒成立,

/ 2 2

(

a i

a

2

a 32)(i

b i 2 b 22 b 32)心柑 a ?b 2 a s b s )2

（卅R ,当且仅当b b a 时等号成立）

i i n

2、已知x y z 0且 -------------- ------- --------恒成立,

x y y z x z

如果n N ，求n 的最大值；（参考：4） （提示：分离参数，换元法）