函数不等式的几种证明方法数学系大学论文

毕业论文

学院统计与应用数学学院

班级数学一班

学号

姓名

论文题目函数不等式的几种证明方法分析指导教师

（姓名及职称）讲师

[总评成绩： ]

函数不等式几种证明方法分析

Analysis of methods in proving function inequalities

统计与应用数学学院数学与应用数学专业2010 （1）班2010720066

指导老师：

内容摘要：不等式在数学中有非常重要的地位，对于不等式的考察可以体现学生的基础知识水平和严密的逻辑思维。在高中我们就学过比较法和构造函数法来解决不等式问题，在高等学府学习过数学分析，微积分等等以后，了解到还有许多方法来证明不等式，比如说设置辅助函数，考察新函数单调性；考察函数的极值或者是最大最小值；有微分中值定理；函数的凹凸性；泰勒公式；积分性质；积分中值定理；变限积分；柯西中值定理；导数的性质；导数的定义，不等式的放缩等等方法。本文将逐一介绍这些解题方法，每种方法都会通过一些例题，来验证一些解题的思想和步骤，给出简洁的证明过程，使得大家在碰到数学不等式证明方面更为得心应手，也显示出数学分析思想在不等式领域中的地位。

关键词：不等式；泰勒级数；函数单调性；中值定理；定积分

Abstract:：Inequality holds the extremely important status in mathematics, it can inspect students’basic knowledge level and strict logical thinking. In high school we learned comparative method and construct assistant function to solve the inequality problem, after learning mathematical analysis or calculus at university, ,we know there are many other methods to prove inequality, for example setting auxiliary function, considering the monotonicity of the new function; using the function’s extreme value and maximum or minimum values; differential mean value theorems; the concavity or convexity of functions; Taylor formula; integral; integral mean value theorem; variable limit integral derivative; definition of inequality and so on. This paper will introduce the above methods, through some examples to verify the ideas and steps of each methed furthermore we give a concise proof to prove thses inequalities, let everybody can prove mathematical inequalities more handy, and shows the important of mathematical analysis in the inequality field.

Keywords: Inequality；Taylor’s series；Monotone function；Mean value theorem ;Definite

目录

一引言 (1)

二解题思想和方法 (1)

1导数法 (1)

2中值定理法 (7)

3其他证明方法 (10)

三总结 (13)

参考文献 (14)

一 引言

不等式是数学非常重要的组成部分，使我们了解量之间的大小关系，在数学中起着很重要的用处。对于一个数学系学生来说，或者是对于一个学生来说，多做不等式方面的题目，能丰富数学知识，又能锻炼逻辑思维，因为证明不等式，方法多变，解题手段灵活，有很强的技巧性。不等式更在一些实际问题中充当工具性的方法，有时对于一个实际问题而言，证明其中的不等式只是很小的一部分，但是却不能忽略它的存在。高等数学中的不等式基本可以分为函数不等式和数值不等式，两者都可以通过构造新函数来证明不等式，两者证明的方法是很相似的。证明不等式没有特定的套路去套用，方法随着题目的不同而也在变化，有时只是变换很小的一部分，方法就能彻底的改变。在具体做题目的过程中，要注意观察，善于联想，根据不等式的结构，内在的一些联系来选择最合适的方法，熟悉证明方法的推理思维，熟悉步骤技巧，能看透问题的本质，这样就能选出正确的方法去证明。

在高中的时候，我们就会一些不等式的证明，但对于有些不等式，需要借助到高等数学或者是微积分才能解决，从构造新函数，研究新函数的性质，比如单调性，极值最值；到套用一些公式，比如Lagrange 中值定理，Cauch y 中值定理等等；还有研究函数的导数的一些性质，以及积分不等式的解法等等，都是一些非常有技巧性且需要很强逻辑思维能力的题目，下面将一一介绍这些方法。

二 解题思想和方法

1导数法

导数的内容我们在高中就学过，大学之后就给了一个更精准的定义。在大学里，我们加强了用导数来求单调性的能力，并且引入了新的概念即函数凹凸性，函数的极值。这些东西在合适的条件下都能表达一定的大小关系，所以用导数来求解不等式，是一个很基础的方法。

1.1导数定义法

这一方法要求我们首先找出0x ，使得)(0x f 为不等式的一边，这时候利用定义和条件去证明。这种方法较为简单，也不是很常用，但不容易想起。

例1[5] 现有一个函数12()sin sin 2sin n f x a x a x a nx =+++…，n a a a ,,21都是实数，n 为R +，对于R x ∈?，都有x x f sin )(≤，求证1221n a a na +++≤… 证：因为12()cos 2cos2cos n f x a x a x na nx '=+++…

所以12(0)2n f a a na '=+++…，再由导数定义可以得到0()(0)(0)0lim x f x f f x →-'=

=- 00()()lim lim x x f x f x x x →→==又因为x x f s i n )(≤，所以1s i n )0(lim 0

=≤'→x x f x ，所以1221n a a na +++≤…，原不等式得证。

这一题其实只要能想起导数的定义，再将原式的在0处的导函数值，就能 简单的凑出导数的定义的大框架，问题就迎刃而解了。

1.2可导函数单调性法

这种方法一般将多项式移向不等式的一端，然后将此作为一个新的函数，研究它的单调性，结合函数的定义域等条件来研究函数的一些特征，从而完成证明。这是最能让人联想起来的一种方法，很基础也很实用。

关于导数单调性的定理都反映了导函数和原函数的导数的关系，里面会出现很明显的大小关系，如果能将不等式与单调性结合在一起，证明将会变得很简单。所以我们也经常用函数的导数来判断原函数在区间上的一些性质。

（1）利用题目来构造新函数，并且确定好区间[]b ,a ;

构造函数较为简单技巧：利用两边的差；利用不等式两边的形式；若有指数等等，建议用比值来确定大小关系等等。通过例题来简单的表述做差法和作商法。

例1[2]已知,a b c >>求证：222222a b b c c a ab bc ca ++>++

证：原式变为222222222222a b b c c a ab bc ca ab ca b c bc c a ab ++--->-+-+- 2222(b )bc(b c)(c b )(b c)[a bc a(c b)]a c a =-+-+-=-+-+=()()()0b c a b a c --->

例题解释：本题用了很简单的比较作差法，通过恒等变形，再由此联想到二次三项式的展开，问题就迎刃而解了。

例2

[5]有,,0a b c >，求证：3()a b c a b c a b c abc ++≥

证:由于对称性，可以设0a b c ≥≥>，a b c a b c 和3()

a b c abc ++都是正数。此时作商：222..3333333333b c ()a b c b c a c b a a b c a b c a b c a b c a b c

a b c

a b c a a b c abc ------------++===333()()()a b b c c a a b a b c c

---，因为0a b c ≥≥>，所以1,1,1a b a b c c ≥≥≥，所以得出333()()()1a b b c c a a b a b c c

---≥，所以有3()a b c a b c a b c abc ++≥。

这两个例子主要是教大家怎么构造新函数，无外乎作差或者是作比值，例2中不等式为指数式，很容易联想到指数的比值性质。

（2）在构造出函数的基础上,通过研究其函数的单调导函数的特征来研究新

性，从而去证明不等式。

例3当0>x 时，证明)0(11)1ln(22>++->++x x x x x 。

证：首先构造函数,1)1ln(1)(22x x x x x f +-+++=有题意知)(x f 在0≥x 这个范围内是连续的；),0(,0)1ln()(2+∞∈>++='x x x x f 。所以)(x f 在),0[+∞是单增的，所以知)0(,0)0()(>=>x f x f 所以有01)1ln(122>+-+++x x x x ， 所以)0(1)1ln(122>+>+++x x x x x ，原题得证。

例4[4]证明：b b

a a

b a b

a +++≤+++111。 证：构造新函数)0(,1)(≥+=

x x x x f ，)(x f 在),0[+∞上是连续的。求导可知,0)

1(1)(2>+='x x f 有定理二知，)(x f 在),0[+∞上是单调递增的，又因为b a b a +≤+≤0，可知)()(b a f b a f +≤+。 所以b b

a a

b a b

b a a

b a b

a b a b

a +++≤+++++=+++≤+++111111,原题得证。

很多同学拿到这个题目可能无从下手，但是只要稍稍有点儿整体思想和懂得一点不等式的基本性质，问题就迎刃而解了。

若构造出的辅助函数在研究的区间内并不是单调的，从图像来看就是表示有

波动，而不是一直上扬或者一直下降的，这时，就用函数最值和凹凸性的方法.

1.3研究函数的最值来证明不等式

首先很多同学都会下意识的把极值和最值联系起来，有的甚至可能混淆这两个概念。其实这两个概念有着很大的不同：考虑最值时，我们要考虑的是某一个区间，而极值索要考虑的是某个点的某个领域。极值和最值不同，最值反映了一个区间上函数的最大或者是最小值，而极值反映的是从一阶导数和二阶导数的符号在某个点上跟极值的关系。

必须指出的是，一个函数的极值与最值也可能是相同的。那就是此函数在某个区间内部取得最值，此时的极值和最值是相同的。

（1）构造一个函数)(x f ，并考虑好用哪个区间；

其实构造函数最基本的方法也就是那几个，大家用好基本的方法，几乎就能构造出想要的函数了：一般来说，当两边都有未知项时，我们找两边之差；如果两边函数的形式如出一辙，那么这个形式就能充作新函数；还有的不等式一边含有未知数，而另一边没有，如a x g ≥)(，此时就可以讲)(x g 作为构造函数，通过研究)(x g 的性质来证明不等式。

（2）运用定理，求出极值或者是最大最小值。

（i ）求极值的方法：找出在定义域找出不可导的点或者是稳定点；因为一般来说极值点就出现在这两者之间。再用极值的定理来判断这个点是否为极值点。

(ii)最大最小值求法:若函数)(x f 在],[b a 上连续，先找出疑似点，再将疑似

点的函数值与端点的函数值进行比较，这三个值中的为最大的为最大值，最小

最小值；若函数在),(b a 上是可导的，极值点又是唯一的，此时这个极值点就是最值点。

例1[10]求证：当0>x 时，555->x x

解题思路：这个题目是一个基础的题目，我们可以把函数两边移项导不等式

的一边，构造出新的函数，即)0(,55)(5>+-=x x x x f ，但是)(x f 早它的定义域上并非单调函数，所以不能用函数的单调性加以解决。

证：构造函数)0(,55)(5>+-=x x x x f ，求导可得：55)(4-='x x f ，经过变形处理),1)(1)(1(5)1)(1(5222-++=-+x x x x x 此时令0)(='x f ，则1±=x 。但是不属于定义域，故舍去1-=x 。当时，1-x 极限存在，即)1()(lim 1

f x f x =→，所以函数在1=x 上连续。当10<x 时，导函数是大于0的，那么就表示)(x f 在),1(+∞上是单增的，根据上面的定理可知，此时，)(x f 在1=x 处取得极小值，即01)1()(min >==f x f ，所以在),0(+∞上有01)1()(>=≥f x f ，所以),0(0455>>--x x x 也即)0(455>+>x x x , 原不等式得证.

例2[11]假设有证明,0,0>>n m n b n

m n m n )()11m (1≥+++++ 解题思路：,0,0>>n m 则不等式的左边中的0>+n m ，我们发现左此右两边都含有相同形式的项即B B

A )(，此时将n m +暂时放开，因为假如A>B,则必有A+1>

B 。此时不等式只考虑n b n

m n )()11m (1≥+++，此时不等式等量变化 n n n n n n m m 11)1()1(+++≥+,此时可构造新函数)0()1()(1

>+=+x x x x f n

n . 证:等价于证明n n n n n n m m 11)1()1(+++≥+，构造新函数)0()1()(1

>+=+x x

x x f n n ， 此时导函数n

n n x n x x x x f 21)()1()(-+='-，当0)(='x f 时，此时的n x = 表1 函数的单调性表格

n x < n x = n x > )(x f '

小于0 等于0 大于0 )(x f 单调递减 取得极小值 单调递增

此时在这个区间里面，极值与最小值是相等的，那么当),0(+∞∈m ，都有

≥+=+n

n m m m f 1

)1()(n n n n n f 1)1()(++=，所以n n n n n n m m 11)1()1(+++≥+，因为 0,0>>n m 所以有n b n

m n m n )()11m (1≥+++++。所以原不等式得证。 例3[1]设0>m ，在时0>x ，求证不等式1)12(2<+--x e mx x

证：因为原不等式可以写成为x e mx x <+-)12(2，构造一个新函数()g x 令x e mx x x g -+-=12)(2 并有0)0(=g 此时x e m x x g --='22)(，x e x g -=''2)(， x e x g -=''')(。因为x e x g -=''')(0< ，0)2(ln =''g ，所以对于)(x g '在2ln >x 时单减，在2ln 0<

因为我们无法确定1-m 的大小，所以以下分为两种情况：当 10<x 时，有2)1()(--=''m x m m x g 0<，此时)(x g 在定义域内是凹函数，所以由定义得：m m m m b a b a -+<+12)(；

当1>m 时，当0>x 时，2)1()(--=''m x m m x g 0>，此时)(x g 在定义域内时凸函数，此时m m m m b a b a -+>+12)(。

例２[6]证明 0,0,0>>>p n m 时，有p n m p

n m p n m mnp ≤++3)(。

证：构造辅助函数 0,ln )(>=x x x x f 。此时函数的一阶导数为：

1ln )(+='x x f 二阶导数：x x f 1)(=

''，当0>x 时，x x f 1)(=''0>，所以0,ln )(>=x x x x f 是凸函数。

由jensen 不等式 有 ))()()((3

1)3(p f n f m f p n m f ++≤++,所以就有))()()((3

13ln 3p f n f m f p n m p n m ++≤++++,由对数函数的性质，可知p n m p n m p n m q n m ≤++++)3(,又33mnp p n m ≥+++，所以p n m p n m p n m mnp ≤++3)(。

以上的几种方法，全部都是依靠构造函数，依靠导数来研究新函数的一些特点，从而证明不等式，当用简单的导数法不能解决证明时，还有一些方法是关于中值定理的，中值定理来证明不等式，主要是套用定理的固定形式，方法也比较简单实用。

2 中值定理法

中值定理在大学数学中是极其重要的一部分，甚至是否知道这些定理可以判定一个学生是否学过大学数学。其中最普遍的两个中值定理，一个是Lagrange 中值定理，另一个是Cauchy 不等式。

2.1用拉格朗日中值定理来证明不等式

Lagrange 中值定理很好的反映了函数的增量或者是函数的本身和其一阶导数的符号的关系。证明方法一般有以下几步：

（1）首先构造辅助函数)(x f ，在)(x f 的定义域内找出能合适grage a L 中值定理的一个小区间。

（2）套用公式，对)(x f 在定区域内使用Lagrange 中值定理

（3）用ξ和b a ,的关系，对所得的结果进行加强。

例1[1]证明a b a b -≤-arctan arctan ，其中有a b >。

证:由Lagrange 中值定理可知：可以设辅助函数 x x f arctan )(=，所以 ))(()()(a b f a f b f -'=-ξ，b a <<ξ，所以我们可知 a b a b arctan arctan -≥-，原命题得证。

例2[8]证明：对于任意实数,,b a 都有a b a b -≤-sin sin

证：构造新函数)(x f =x sin ，此时有2种情况：（i ）,对于+∈?R b a ,,且,b a ≠f 在[][]a b b a ,,或上满足Lagrange 中值定理，且1cos )(≤='x x f 。又因为当M x f ≤')(由定理可知),(n m ∈?ξ，使n

m n f m f f --=')()()(ξ。变形一下即可得到：)()()()()(a b M n m f m n f m f -≤-'=-ξ,题中M=1，所以a b a b -≤-sin sin （ii ）如果.0sin sin ,a b a b b a -==-=此时a b a b -=-s i n s i n 综上所述，a b a b -≤-s i n s i n 原命题得证。

当不等式中出现函数的增量和一阶导数这个大框架时，很容易就让人想到此定理，从而很简单的完成证明，但是当函数不止一个时，比如出现两个函数或他们的增量跟他们的一阶导数时，就不能用此定理了，所以有Cauchy 中值定理。

2.2运用Cauchy 中值定理.

Cauchy 中值定理能反映两个函数和他们的导数之间的关系，或者说能反映两个函数的增量和它们导数之间的联系。一般的解题思路是这样的;

（1）在一个不等式拿到手以后，首先能构造两个辅助的函数)(x f 和)(x g ，并在柯西中值定理的这个框架下，确定它们的区间],[b a ；

（2）对)(x f 和)(x g 在],[b a 套用柯西中值定理的公式；

（3）找到一个ξ，并利用ξb a ,的关系，对原公式进行加强。

例1[8]现有三个未知数，它们满足的条件20,π

<<<>y x e a ，试证明

(cos cos )ln x y x x y a a a b -<+

证：有题目可知，不等式可变形成a a x

y a a x x

y ln cos cos -<--，此时我们构造函数t a t f =)(和t t g cos )(=。此时两个新函数均在],[y x 连续，，在),(y x 上是可导的；又0ln )(≠='a a t f t ， 在20π

<<ξ,20π

<<>

ξ，此时有ξξsin ln ln a a a a x

->- ,sin ln ln ξξa a a a x < 所以可以得到a a x ln --，原不等式得证。 解题思路：从题目来看，不等式可以等价变形为a a x

y a a x x

y ln cos cos -<--，此时左边的多项式形式很容易使人想起柯西中值定理。可以看做是函数t a t f =)(和t t g cos )(=在区间],[y x 上的改变量的商，这样就很简单的用柯西定理来证明了。

还有一些不等式，需要用泰勒公式来证明，核心思想是利用泰勒中值定理的公式的应用。

2.3运用泰勒中值定理证明

（1）充分考虑一致的条件，选取合适的点将函数进行泰勒展开；有的题目可

能要进行一些转化；

（2）灵活运用等价变形等方法，向着有利于证明的方向演进，这个就要考察各位的知识面和动手实践能力了。

泰勒公式看起来式子很长，但是各位需要找准诀窍，必须记住泰勒公式。 函数)(x f 在含有0x 的开区间(,)a b 内有直到1n +阶的导数，则当x 在(,)a b 内时，)(x f 可表示为0()x x -的一个n 次多项式和余项()n R x 之和。即：

()20000000(x )(x )()(x )(x )()()()2!!

n n f f f x f f x x x x x x n '''=+-+-++-+………(1)100(x )()(1)!n n f x x n +++-++()n R x ，其中()n R x =(1)10()()(1)!

n n f x x n ξ++-+ 0x ξ在x 和之间[1] 例1[9] 若函数],[)(n m x g 在上二阶可导，又有0)()(='='n g m g ，求证存在一点],[n m ∈ξ,使得：)()()

(4)(2m g n g m n g --≥''ξ。 证：将在)(x g n x m x ==,这两个点用泰勒公式进行展开，因为又有

0)()(='='n g m g ，所以有)(x g =21))((21)(m x g a g -''+

ξ=22))((2

1)(n x g n g -''+ξ，其中n x x m <<<<21,ξξ，即： 2221))((21))((21)()(n x g m x g m g n g -''--''=-ξξ 这时取2b a x +=，计算结果得：)]()([8

)()()(212

ξξg g m n m g n g ''-''-=- 所以)]()([8)()()(212ξξg g m n m g n g ''-''-=-])()([8

)(212

ξξg g m n ''-''-= 此时取{})(,)(max )(21ξξξg g g ''''=''，则有：)()()

(4)(2m g n g m n g --≥''ξ。 一般在证明不等式中，泰勒公式法比较少用到，但是当遇到高阶导数，或者是函数增量和高阶导数混合的，一般常用泰勒公式来证明。

3 其他证明方法

在数学分析的学习中，我们接触过很多的公式，除了以上的三个个公式可以

联系到不等式以外，还有涉及到等价变形的公式，他们可以使一个比较复杂的式子简化为很多个简单式子的和，这样就容易知道多项式之间的大小关系，从而轻松完成证明，其中很有代表性的要属幂级数展开公式。还有一些涉及到积分的不等式，需要用积分的思想来解决，方法灵活多变。

3.1 幂级数展开法

函数f 在0x 的某邻域上有直到无穷阶导数，，则f 在0x 某一邻域可展开为

0()x x -的幂级数[1]：

()20000000(x )(x )(x )(x )()()()+2!!

n n f f f f x x x x x x n '''+-+-++-…… 很多初等函数都可以展开成这种形式，有时候在不等式的证明中起着很大的作用。

例1[4]，当)1,0(∈x ，证明x e x

x 211>-+。 解题思路：这个题目用一般的方法，比如说构造函数，泰勒展开等等都比较麻烦，注意到x e x

2,11-都可以用幂级数来展开，这样就问题就迎刃而解了 证：x e x 2,11-用幂级数展开，得到：21(1)(1)1n x x x x x x

+=++++++=-…… 21222,(0,1)n x x x x +++++∈……2222212,2!!

n x n e x x x n =+++++……显而易见两个式子的一般式为n

x 2，!2n x n n ，所以当!22,3n n n

>≥时，能得到x e x x 211>-+。 可以看出当不等式含有初等函数，且导数法.中值定理法都难奏效时，大家可以试着用一用幂级数展开法。

3.2运用积分学证明不等式

一些不等式中出现了定积分，而且被积函数可能比较复杂，无法找出原函数，从而无法计算积分值，那么不等式的证明也就无从谈起了。在不等式证明中，运用积分学的思想，证明的步骤有：

（1）在一个不等式中找出两个可积函数，可能涉及构造新函数或者是等价