数值分析题库
一． 单项选择题（每小题2分，共10分）
1． 在下列四个数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为 5102
1
-?，则该数是（ ） A 0.001523 B 0.15230 C 0.01523 D 1.52300 2． 设方阵A 可逆，且其n 个特征值满足：n λλλ>≥> (21)
，则1-A 的主特征值是（ ）
A
11λ B n
λ1 C
1λ或n λ D 11λ或n
λ1
3． 设有迭代公式
→
→+→+=f
x
B x k k )
()
1(。若||B|| > 1，则该迭代公式（ ）
A 必收敛
B 必发散
C 可能收敛也可能发散
4． 常微分方程的数值方法，求出的结果是（ ）
A 解函数
B 近似解函数
C 解函数值
D 近似解函数值 5． 反幂法中构造向量序列时，要用到解线性方程组的（ ） A 追赶法 B LU 分解法
C 雅可比迭代法
D 高斯—塞德尔迭代法
二． 填空题（每小题4分，共20分）
1． 设有方程组
???
??=+-=+-=+0
21324321
32132x x x x x x x x ，则可构造高斯—塞德尔迭代公式为
??
???
2． 设??
??
??????----=111112101A ，则=∞A
3． 设1)0(,2'2
=+=y y x y ，则相应的显尤拉公式为=+1n y
4． 设
1)(+=ax x f ,2)(x x g =。若要使)(x f 与)(x g 在[0，1]上正交，则a =
5． 设
T x )1,2,2(--=→
，若有平面旋转阵P ，使P →
x 的第3个分量为0，则P =
????
?
????? 三． 计算题（每小题10分，共50分）
1． 求
27的近似值。若要求相对误差小于0.1%，问近似值应取几位有效数字？
2． 设
42)(x x x f -=,若在[-1，0]上构造其二次最佳均方逼近多项式,请写出相应的法方程。
3． 设有方程组
???
??=++=++=-+1
221122321
321321x x x x x x x x x ，考察用雅可比迭代解此方程组的收敛性。 4． 试确定常数A ，B ，C 及α，使求积公式
?++-=-)()0()()(11
ααCf Bf Af dx x f
为高斯求积公式。
5．设有向量
T
x )
2,1,2(=→
，试构造初等反射阵H ，使T x H
)0,0,3(=→
。
四． 证明题（每小题10分，共20分）
1．设有迭代公式
3
2421
-+=
+k k k x x x ，试证明该公式在4*
=x 邻近是2阶收敛的，并求
2
1)4(4lim
--+∞→k k K x x 。
2.设→
→y x ,是n 维列向量，Q 为n 阶正交矩阵，且=→
y Q →
x
= 。
模拟二
一、 单项选择题（每小题2分，共10分）
1． 在下列四个数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为
5102
1
-?，则该数是（ ）。 A 0.00217 B 0.02170 C 0.21700 D 2.17000
2． 已知λ是A 的特征值，p 是给定参数，则B=A-pE 的特征值是（ ）。 A λ+p B λ-p
C
λ+2p D λ-2p
3． 设有迭代公式
→
→+→+=f
x
B x k k )
()
1(，则||B|| < 1 是该迭代公式收敛的（ ）。
A 充分条件
B 必要条件
C 充分必要条件
4． 三次样条插值法中遇到的线性方程组应该用（ ）求解。
A 雅可比迭代
B 高斯-塞德尔迭代
C 平方根法
D 追赶法 5． 若尤拉公式的局部截断误差是)(2
h
O ，则该公式是（ ）方法。
A 1阶
B 2阶
C 3阶
D 无法确定
二、 填空题（每小题4分，共20分）
a)
设??
??
??????-----=301221112A ，则=1A 。
b)
设有方程组???
??-=++=+=-1
12123213132x x x x x x x ，则可构
造高斯—塞德尔迭代公式为
??
???
。
c) 设
2'+=xy y ，则相应的显尤拉公式为=+1n y 。
d) 设
T x )3,2,1(-=→
，若有平面旋转阵P ，使P →
x 的第3个分量为0，则P =
????
?
?????。 e) 设
2)(-=ax x f ,22)(x x g =.若要使)(x f 与)(x g 在[-1，0]上正交，则a = 。
三．计算题（每小题10分，共50分）
1． 设
x
x x f 2)(3-=,若在[0，1]上构造其二次最佳均方逼近多项式,请写出相应的法方程。
2．求32的近似值。若要求相对误差小于1%，问近似值应取几位有效数字？
3．设有方程组
???
??-=-+=++=+-1
2102321
321321x x x x x x x x x ，考察用雅可比迭代解此方程组的收敛性。 4．试确定常数A ，B ，C 及α，使求积公式
?++-=-)()0()()(11
ααCf Bf Af dx x f
有尽可能高的代数精度，并问该公式是否为高斯求积公式。
5．设有向量T x )3
2,31,32(
-=→
，试构造初等反射阵H ，使T x H
)0,0,1(=→
四．证明题（共20分）
1．设有迭代公式k
k k k x x x x 2)2(2
1--=+ ，试证明该公式。在2*
=X 附近是平方收敛的，并
求2
1)2(2lim
--+∞→k
k k x x 。
2． 设)(1x L 是
)(x f 的一次拉格朗日插值，试证：
2011)(8
1
)()(x x x L x f -≤-10max x x x ≤≤)
(''x f
模拟三
一、 单项选择题（每小题2分，共10分）
1、 若近似值10.00230具有7位有效数字，则其较小的绝对误差限为（ ）。
A. 71021-?
B. 61021
-? C. 51021-? D. 4102
1
-? 2、 若已知迭代过程)(1k k x x ?=+是3阶收敛， C 是不为零的常数，则下列式子中，正确的式子是
（ ）。
A ．3*
*
1=--+∞
→x
x x
x k k k lim
B ．3)
3**
1(=--+∞
→x x x
x k k k lim
C ．c x
x x x k
k k lim
=--+∞
→*
*
1 D ．c x x x x k
k k lim
=--+∞
→3
**
1)
(
3、 4阶牛顿—柯特斯求积公式至少具有（ ）次代数精度。
A. 4
B. 5
C. 8
D. 9
4、 三次样条插值与二阶常微分方程的边值问题中，都会用到求解线性方程组的（ ）。
A. LU 分解法
B.追赶法
C.高斯消去法
D.平方根法 5、 设A 的特征值满足||||||11
n r λλλ≥???≥>+，则相应幂法的速比=A r （ ）
。 A.
1
2
λλ B.
1
1λλ+r C.
n
λλ2 D.
n
λλ2
二、 填空题（每小题4分，共20分）
1、过节点
10-=x ，01=x ，12=x 做近似2)(3-=x x f 的二次拉格朗日插值，其表达式
是 。 2、若
?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2
110)(2
33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则=a ,=b ,=c 。
3、设??
?
???=1201A ，则=∞)(A Cond 。
4、设C=PA,其中P 是三阶平面旋转阵，
??
??
??????---=213130112A ，若使
31C =0，则????
?
?????
=P 。
5、设
122'-=xy y ，则相应的隐尤拉公式为 。
三、 计算题（每小题10分，共50分）。
1、 利用最小二乘法原理，求矛盾线性方程组
???
??=-=-=-1
22121
2121x x x x x x 的近似解。 2、 设??
??
?
?????--=211111112A ，
???
??
?
??--=→
1221b 。若线性方程组
>
->-=b
x A 仅有右端有扰动
4102
1-∞
>
-?=b
δ 。试估计由此引起的解的相对误差
∞
>
-∞
>
-x
x
δ。
3、 确定求积公式
?-++-=1
1
210
)1()0()1()(f A f A f A
dx x f ，并指明其代数精度。
4、 设有方程组???
??-=++=++=-+1
22012321
321321x x x x x x x x x ，试考察求解该方程组的高斯-塞德尔迭代公式的敛散性。
5、 设有方程0322
=--x x 。试确定迭代函数)(x ?，使迭代公式)(1k k x x ?=+在
*x =3附近收敛，并指出其收敛阶。
四、 证明题（每小题10分，共20分）
1、 设U 是n 阶正交矩阵，A 是n 阶方阵。试证明222||||||||||||
A UA AU == 。
（提示：)(||||2A A A T ρ= ）
2、设有差分公式
)3(2
'
1'1
-+-+=n n n n y y h y y 。试证明该公式是二阶公式。
模拟四
一、 单项选择题（每小题2分，共10分）
1、 按四舍五入原则，数-7.00038的具有4位有效数字的近似值是（ ）。 A. –7.0004 B.-7.000 C. –7 D.-7.0003
2、 若行列式||A E -=0，其中E 是n 阶单位阵，A 是n 阶方阵，则A 的范数满足（ ）。
A. 1||||>A
B. 1||||≥A
C. 1|||| D. 1||||≤A 3、 条件数)(A Cond =（ ）。 A.||||1-A A B.||||1-?A A 4、 设A 是n 阶方阵，则A 可作唯一LU 分解的充分必要条件是（ ）。 A.0|| ≠A B .A 为正交阵 C.A 为对称正定阵 D.A 为对角占优阵 5、 判定某数值求积公式具有m 次代数精度，只需该公式满足条件（ ）。 A . 公式对m x 准确成立，而对1 +m x 不准确成立 B. 公式对任意次数不超过m 次的多项式准确成立 C. 公式对任意次数为m+1次的多项式不准确成立 D. 公式对任意次数不超过m 的多项式准确成立，而对1 +m x 不准确成立 二、填空题（每小题4分，共20分） 1、 设* x 是方程 0)(=x f 的单根，)(x ?是对应的牛顿迭代函数。若*)(x x f 在邻近二阶连续， 则=)(*'x ? 。 2、 设13)(2 ++=x x x f ，则二阶均差=-]1,0,1[f 。 3、 设R 是含*x 的邻域。要使迭代公式)(2 11k k k x f x x -=+在R 内局部收敛，)(' x f 应满足 条件 。 4、 设T x )1,1,2(-=。若存在平面旋转阵P ，使P >--=T )0,3 6,2(，则P=???? ? ???? ? 。 5、 设有数值求积公式 ?--+≈1 1 )()()(a f a f dx x f 。 若该公式为高斯公式，则=a 。 三、计算题（每小题10分，共50分）。 1、 设}3 1,,1{2-=x x span ? ，x e x f =)(。试求)(x f 在[-1，1]上的二次最佳均方逼近 多项式。 2、 设曲线 122+=x y 和222)4(R x y =-+相切。试构造求切点横坐标的近似值的收敛 迭代公式。 3、 设???? ??????-=212240130A ，试求其QR 分解。 4、 已知迭代公式 > ->->-+>-++=b x x B x k k k ) () () 1(3 。设λ是B 的任意特征值，试确定使迭代公 式收敛的λ的取值范围。 5、 设 23)(x x f = ，若用复化梯形求积公式求?-0 1 )(dx x f 的近似值，要求准确到小数点后第 4位，问步长h 应如何取值？ 四、证明题（每小题10分，共20分） 1、 设矩阵???? ??????=111a a a a a a A 。 证明雅可比迭代法应用于解方程组b A =只对2121<<-a 是收敛的。 2、证明：当||B||<1时，E+B 是可逆矩阵，且|| ||11||)(||1 B B E -≤+- 。其中||||?是指矩阵的 算子范数。 模拟五 一、 单项选择题（每小题2分，共10分） 1、n 阶方阵A 可作LU 分解的一个充分条件是A 为 （ ）。 A.对角占优阵 B.正交阵 C.非奇异阵 D.对称正定阵 ２、设n 阶方阵 A 及单位阵E 满足0|3|=-A E ，则谱半径)(A ρ（ ）。 A. <3 B.3≤ C. >3 D.3≥ 3、若迭代公式)(1 k k x x ?=+是p 阶收敛，则=--+∞>-p k k k x x x x )(lim ** 1（ ） 。 A. ０ B. p! C. )(*)(x p ? D. !/)(*)(p x p ? 4、设)(x Ln 和)(x Nn 是相同的插值条件下关于 )(x f 的拉格朗日插值和牛顿插值，则下述式子中 正确的是（ ）。（其中∏=-=n j j x x x w 0 )() (） A. )(],...,,[)! 1()(10)1(x w x x x f n f n n =++ξ B. )()! 1() ()()()1(x w n f x Nn x f n +≠-+ξ C. )(],...,,,[)()(10x w x x x x f x Ln x f n ≠- D. )(],...,,,[)()(10x w x x x x f x Ln x f n =- ５、称函数)(x ε为［a,b ］上的三次样条函数，是指)(x ε满足条件（ ）。 A. 为分段三次多项式且有二阶连续导数 B. 为分段三次多项式且有三阶连续导数 C. 为分段函数且有任意阶导数 D. 为分段三次埃尔米特插值多项式 二、填空题（每小题4分，共20分） １、若已知x 的相对误差为%1，则)(x f ＝10x 的相对误差为 。 ２、设 1)(3-=x x f ，则过节点－１，０，１的二次牛顿插值多项式为 。 ３、设有求积公式 )3 1( )3 1(10f A f A +- 是插值型求积公式，则 =0A ，=1A 。 ４、设 x x f =)(，若其在［０，１］上与b ax x g +=2)(带权x x p =)(正交，则a 与b 的关系为 。 ５、设求解082 =-x 的牛顿迭代公式平方收敛，k x 是相应迭代序列值，则2 1)22(22lim --+∞ >-k k k x x ＝ 。 三、 计算题（每小题10分，共50分） 试求 )0(y 及)1(y 的近似值。 ２、确定参数c b a ,,，使积分 dx x x c bx ax c b a I 2 2 1 1 2211]1[),,(---++=?-取得最小值。 ３、设 ?????<-≥=0 0)(32 32 x x x x x f 试确定用牛顿法求解0)(=x f 时的收敛性及收敛阶数。 ４、已知迭代公式> ->-+>-+=b x B x k k ) () 1(，设μ为B 的任意特征值，设确定使迭代公式收敛的μ的 取值范围。 ５、设???? ??????-=424480460A ，求其QR 分解。 四、证明题（每小题10分，共20分） １、 设 ∑==n k k k x a x f 0 )(有n 个不同的实根n x x x ,...,,21，证明 ???≠-=-≤≤=-=∑)0(1200)(11' n n n k k j k a n j a n j x f x ２、 设A 是对称矩阵，)1||(||,2=x x λ是A 的一个特征值及其相应的特征向量。又设P 是一个正 交阵，使 T e Px )0,...,0,0,1(1== 证明：T PAP B =的第一行和第一列除了λ外，其余元素均为零。 模拟六 一、 单项选择题（每小题2分，共10分） 6． 若某个迭代公式)(1 k k x x ?=+是三阶收敛的，*1x e e k k -=+，c 是非零常数，则当∞ →k 时，有（ ） A c e e k k →+1 B c e e k k →+31 C 31 →+k k e e D c e e k k →+31 7． 已知λ是A 的特征值，p 是给定参数，则B=A-pE 的特征值是（ ） A λ+p B λ-p C λ+2p D λ-2p 8． 龙贝格算法是求（ ）的算法。 A 微分方法 B 插值函数 C 数值积分 D 线性方程组 9． 若0=- E B ，则谱半径（ ） A 1)(< B ρ B 1)(>B ρ C 1)(≤B ρ D 1)(≥B ρ 10．反幂法中构造向量序列时，要用到解线性方程组的（ ） A 高斯—塞德尔迭代法 B LU 分解法 C 雅可比迭代法 D 追赶法 二、 填空题（每小题4分，共20分） 1、 若某近似数具有6位有效数字，已知第一个非零数字在个位上，则其绝对误差限为 。 2、 求 1)(2+=x x f 在[0，1]上的一次最佳均方逼近多项式时所用的法方程为 。 3、 设1)0(,2'2 =+=y y x y ，则相应的显尤拉公式为=+1n y 。 4、 矩阵的条件数是用来判断线性方程组是否为 。 5、 设 T x )2/1,1,1(--=→ ，若有平面旋转阵P ，使P → x 的第3个分量为0，则P= ???? ? ?????。 三、 计算题（每小题10分，共50分） 1、 为了使计算圆面积2R V π=时的相对误差小于1%，问R 的允许相对误差界应是多少？ 2、 用顺序消去法解线性方程组??? ??1 -=4+2+4=+2+31-=4++2321 321321x x x x x x x x x 3、 试确定常数A ，B ，C 及α，使求积公式 ?++-=-)()0()()(22 ααCf Bf Af dx x f 有尽可能高的代数精度，并问该公式是否为高斯求积公式。 4、 设有向量 T x ) 2,1,2(=→ ，试构造初等反射阵H ，使T x H )0,0,3(=→ 5、 用尤拉方法求解初值问题?????=<<- =' 1 )0() 10(2y x y x y y 步长取0.2,迭代2次。 四、 证明题（共20分） 1．设迭代函数)(x φ 在区间[a,b]上对任意],[b a x ∈ 总有b x a ≤≤)(φ，且1)('≤x φ，试证明 )(x x φ=在[a,b]内有且仅有一个解。 2．设)(x l k (k= 0, 1, 2, …,n)是n 次拉格朗日插值基函数，试证：∑==n k j k j k x x l x 0 )( 。 （j = 0, 1, 2, …, n ） 模拟七 一、 单项选择题（每小题2分，共10分） 1、 若下列数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为 5102 1 -?，则该数是（ ） A 0.001523 B 0.15230 C 0.01523 D 1.52300 2、 已知A 的某一特征值是λ，p 是给定参数，则B=A-pE 对应λ的特征值是（ ） A λ+p B λ-p C λ+2p D λ-2p 3、 若某个迭代公式)(1k k x x ?=+是三阶收敛的，* 1x e e k k -=+，c 是非零常数，则当∞ →k 时，有（ ） A c e e k k →+1 B c e e k k →+31 C 31 →+k k e e D c e e k k →+31 4、 三次样条插值法中遇到的线性方程组应该用（ ）求解 A 雅可比迭代 B 高斯-塞德尔迭代 C 平方根法 D 追赶法 5、 反幂法中构造向量序列时，要用到解线性方程组的（ ） A 追赶法 B LU 分解法 C 雅可比迭代法 D 高斯—塞德尔迭代法 五、 填空题（每小题4，共20） 1、 设有方程组 ??? ??=+-=+-=+0 216422321 32132x x x x x x x x ，则可构造高斯—塞德尔迭代公式为 ?? ??? 2、 设?? ?? ??????----=111112101A ，则=1A 3、 矩阵的条件数是用来判断线性方程组是否为 4、 设 2)(-=ax x f ,22)(x x g =.若要使f(x)与g(x)在[-1，0]上正交，则a = 5、 设 T x )2/1,1,1(--=→ ，若有平面旋转阵P ，使P → x 的第3个分量为0，则P = ???? ? ????? 六、 计算题（每小题10分，共50分） 1、 近似数937.0* =x 具有三位有效数字，试估计*x 的相对误差。对于x x f -=1)(，试估 计 )(*x f 的相对误差。 2、 取初始向量T x )0,0,0() 0(=,用雅可比迭代法求解线性方程组??? ??5 =+2+23=++1 =2-2+321 321321x x x x x x x x x 3、 已知 )(x f 的三个点)1,2(),5,1(),1,0(--，写出拉格朗日插值基函数，并求)(x f 的二次插值 多项式。 4、 试确定常数A ，B ，C 及D ，使求积公式 )]()([)()]()([)()()(''32b Df Cf a b b Bf Af a b dx x f a x a b +-++-≈-?αα 有尽可能高的代数精度，指出其代数精度。 5．设有向量T x ) 3,2/3,3(=→ ，试构造初等反射阵H ，使T x H )0,0,3(=→ 七、 证明题（共20） 1．设* x 是 0)(=x f 的一个单根，在*x 邻近)(''x f 存在且连续。试证明牛顿法在*x 邻近具有 局部收敛性并且至少是平方收敛的。 2．证明解 ),(y x f y =' 的差分方程)34(4)(211111-+++'+'-'++= n n n n n n y y y h y y y 是二阶方法（假设 )(),(),(111111++----'=''='=n n n n n n x y y x y y x y y ）。 模拟八 一、 单项选择题（每小题2分，共10分） 1、 若下列数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为5102 1 -?，则该数是（ ） A 0.001223 B 0.12230 C 0.01223 D 1.22300 2、 设有迭代公式 → →+→+=f x B x k k ) () 1(。若||B|| > 1，则该迭代公式（ ） A 必收敛 B 必发散 C 可能收敛也可能发散 3、 常微分方程的数值方法，求出的结果是（ ） A 解函数 B 近似解函数 C 解函数值 D 近似解函数值 4、 专用来求解三对角形线性方程组的方法是（ ） A 追赶法 B LU 分解法 C 雅可比迭代法 D 平方根法 5、 若 0=-E B ，则谱半径（ ） A 1)(< B ρ B 1)(>B ρ C 1)(≤B ρ D 1)(≥B ρ 八、 填空题（每小题4，共20） 1、 设有方程组??? ??=+-=+-=+0 22328321 32132x x x x x x x x ，则可构造高斯—塞德尔迭代公式为 ?? ??? 2、 设?? ?? ??????----=111112101A ，则=∞A 3、 设常微分方程初值问题2)0(,'2 =+=y y x y ，则相应的显尤拉公式为： =+1n y 4．设 1)(+=ax x f , 2)(x x g =.若要使)(x f 与)(x g 在[0，1]上正交，则a = 5．设 T x )3/1,3/2,3/2(--=→ ，若有平面旋转阵P ，使P → x 的第3个分量为0，则P = ???? ? ????? 九、 计算题（每小题10分，共50分） 1、 近似数937.0* =x 具有三位有效数字，试估计*x 的相对误差。对于x x f -=1)(，试估 计 )(*x f 的绝对误差。 2、 讨论牛顿法对???<--≥=0 )(x x x x x f 的收敛性和收敛速度。 3、 设 x x x f 2)(3-=,若在[0，1]上构造其二次勒让德多项式, 请写出相应的法方程。 4、 已知下面公式为高斯求积公式： ?+=--)()(1)(1 1 212 x Bf x Af dx x x f 试求出A ，B ，及21,x x 。 5．设有向量 T x ) 4,2,4(=→ ，试构造初等反射阵H ，使T x H )0,0,3(=→ 十、 证明题（共20） 1．证明线性方程组??? ??36 =12+3-433=-11+420=2+3-9321 321321x x x x x x x x x 的迭代解收敛。 2．证明n 次拉格朗日插值可表示成 ∑ ='-=n k k k k n x x x y x x L 0) ()()()(ωω，其中 )()(0 ∏=-=n j j x x x ω 模拟九 一、 单项选择题（每小题2分，共10分） 1、 若下列数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为 5102 1 -?，则该数是（ ） A 0.001583 B 0.15830 C 0.01583 D 1.58300 2、 若 0=-E B ，则谱半径（ ） A 1)(< B ρ B 1)(>B ρ C 1)(≤B ρ D 1)(≥B ρ 3、 六阶牛顿-柯特斯公式至少具有（ ）次代数精度。 A 7 B 6 C 12 D 13 4、 常微分方程的数值方法，求出的结果是（ ） A 解函数 B 近似解函数 C 解函数值 D 近似解函数值 5、 若尤拉公式的局部截断误差是)(2 h o ，则该公式是（ ）方法 A 1阶 B 2阶 C 3阶 D 无法确定 十一、 填空题（每小题4，共20） 1、 设有方程组 ??? ??-=++=+=-1 1 212321 3132x x x x x x x ，则可构造高斯—塞德尔迭代公式为 ?? ??? 2、 设?? ?? ??????----=111112101A ，则=2A 3、 设1)0(,2'2=+=y y x y ，则相应的显尤拉公式为=+1n y 4、 设 2)(-=ax x f ,22)(x x g =.若要使)(x f 与)(x g 在[-1，0]上正交，则a = 5、 设 T x )1,2,2(--=→ ，若有平面旋转阵P ，使P → x 的第3个分量为0，则P = ???? ? ????? 十二、 计算题（每小题10分，共50分） 1、 为了使计算球体积334 R V π=时的相对误差小于1%，问R 的允许相对误差界应是多少？ 2、 讨论牛顿法对?????<-≥=00 )(3 232x x x x x f 的收敛性和收敛速度。 3、 设13)(3 4--=x x x f ,在[0，1]上求其三次最佳均方逼近多项式。 4、 用改进的尤拉方法求解初值问题??? ??=<<-=' 1 )0()10(2y x y x y y 步长取0.2,迭代2次。 5．设有向量T x ) 1,2/1,1(=→ ，试构造初等反射阵H ，使T x H )0,0,3(=→ 十三、 证明题（共20） 1．证明求解线性方程组??? ??=+-=-+=+-36 12363311420 238321 321321x x x x x x x x x 的雅可比迭代对任意初值均收敛。 2．写出辛卜生公式，并验证其具有三次代数精度。 模拟十 一、 单项选择题（每小题2分，共10分） 1、 若下列数中，有一个数具有4位有效数字，且其绝对误差限为 5102 1 -?，则该数是（ ） A 0.001111 B 0.11110 C 0.01111 D 1.11100 2、 设方阵A 可逆，且其n 个特征值满足：n λλλ>≥> (21) ，则1-A 的主特征值是（ ） A 11λ或n λ1 B n λ1 C 1λ或n λ D 1 1 λ 3、 设有迭代公式 → →+→+=f X B X K K ) () 1(。若||B|| > 1，则该迭代公式（ ） A 必收敛 B 必发散 C 可能收敛也可能发散 4、 六阶牛顿-柯特斯公式至少具有（ ）次代数精度。 A 7 B 6 C 12 D 13 5、 三次样条插值法中遇到的线性方程组应该用（ ）求解。 A 雅可比迭代 B 高斯-塞德尔迭代 C 平方根法 D 追赶法 十四、 填空题（每小题4，共20） 1、 设有方程组 ??? ??=+-=+-=+0 233212321 32132x x x x x x x x ，则可构造高斯—塞德尔迭代公式为 ?? ??? 2、 若求积公式)(0 k n k k x f A ∑=具有 ，则k x 称是高斯点。 3、 设 2'+=xy y ，则相应的显尤拉公式为=+1n y 4、 若)(x s 是],[b a 上的分段三次多项式，且 ，则称)(x s 是],[b a 上的三次样条函 数。 5、 设 T x )3,2,1(-=→ ，若有平面旋转阵P ，使P → x 的第3个分量为0，则P = ???? ? ????? 十五、 计算题（每小题10分，共50分） 1、 求 30的近似值。若要求相对误差小于0.1%，问近似值应取几位有效数字？ 2、 应用牛顿法于方程0)(=-=a x x f n ,导出求n a （a>0）的迭代公式，并求当k 趋于无穷时 211)/()(k n k n x a x a --+的极限。 3、 设2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f 。求)(x f 的二次插值多项式。 4、 试确定常数A ，B ，C 及α，使求积公式 ?++-=-)()0()()(11 ααCf Bf Af dx x f 有尽可能高的代数精度，并问该公式是否为高斯求积公式。 5．设有向量T x ) 2,1,2(=→ ，试构造初等反射阵H ，使T x H )0,0,3(=→ 十六、 证明题（共20） 1、设向量0≠ ，试证：2 T E H -=是一个初等反对称阵。 2、设T n x x x x ),...,,(21=，验证∑==n i i x x 1 1 满足向量范数的定义。 模拟十一 一、单项选择题（每小题2分，共10分）。 1、当a 满足（ ）条件时，依据线性方程组??? ??2 9=+4-238=3+7+-2 7=3--10321 321321...ax x x x x x x x x 系数矩阵的结构，则雅可 比迭代解和高斯-塞德尔迭代解一定收敛。 A ． 大于6 B ． 等于6 C ． 小于6 D ．任意实数 2、矩阵范数 ),2,1(∞=A νν与谱半径)(A ρ所满足的关系是：（ ）。 A ．νρA ≤A )( B ．νρA =A )( C ．νρA ≥A )