1.4《角平分线》教案

《角平分线》教案

教学目标：

一、知识与技能

1. 证明线段垂直平分线的性质定里和判定定理．

2. 能够证明三角形三边垂直平分线交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.

3. 经历猜想、探索，能够作出符合条件的三角形和垂线．

二、过程与方法

经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力．体验解决问题的方法，发展实践能力和创新意识．

三、情感、态度与价值观

学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．培养学生积极探索证明思路的意识.

教学重点：

线段垂直平分线的性质定理和判定定理的推证以及应用.

教学难点：

垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用

教学过程：

一、导入新课

提出问题：你还记得角平分线上的点有什么性质吗?

学生回忆回答：角平分线上的点到这个角的两边距离相等.

思考：你能证明这一结论吗?结合我们前面学习的定理的证明方法，你能写出这个性质的证明过程吗？----引出本课课题：角平分线.

二、新课学习

（一）证明角平分线的性质和判定定理

1. 证明角平分线的性质

师生共同分析，写出已知、求证和证明过程：

已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂

足分别为D，E.

求证：PD = PE.

证明：∵∠1=∠2，OP=OP，

∠PDO=∠PEO=90°，

∴△PDO≌△PEO(AAS)．

∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)

归纳：

角平分线的性质定理：

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

几何语言：

∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PD = PE.

2.想一想：你能写出这个定理的逆命题吗？它是真命题吗？

学生分析，说出逆命题并判定：

如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．

这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．

思考：此命题填加什么条件可变为真命题呢？

学生讨论归纳：

在一个角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．

提出问题：你能证明这个命题吗？

学生分析命题，自主写出已知、求证和证明过程：

已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE，求证：点P在∠AOB的平分线上．

证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，

∴∠PDO=∠PEO=90°．

在Rt△ODP和Rt△OEP中

OP=OP，PD=PE

∴Rt△ODP≌Rt△OEP(HL)．

∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．

归纳：角平分线的判定定理：

在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．

几何语言：

∵如上图，PD⊥OA，PE⊥OB，且PD=PE，

∴点P在∠AOB的平分线上．

3.例题讲解：

例1.如图，在△ABC中，∠BAC =60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.

师生共同分析，写出证明过程：

分析：运用角平分线的判定和直角三角形的性质求解.

解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，

∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）.

又∵∠BAC=60°，

∴∠BAD = 30° .

在Rt△ADE中，∠AED=90°，AD=10，

∴DE= 1

2

AD =

1

2

× 10 = 5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对

的直角边等于斜边的一半）

（二）证明三角形角平分线的性质：

例2.求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.

学生分析题意，写出已知求证：

已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P，过点P分别作AB，BC，AC的垂线，垂足分别是D，E，F.

求证：∠A 的平分线经过

点P，且PD=PE=PF.

分析：分析：只需证明PD=PF即可.

学生自主完成证明过程：

证明：∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，

∴PD=PE

（角平分线上的点到这个

角的两边的距离相等） .

同理，PE=PF.

∴PD=PE=PF.

∴点P在∠A的平分线上（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上），

即∠A的平分线经过点P.

归纳：三角形角平分线的性质定理：

三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等．

几何语言：

如图,在△ABC中,

∵BM,CN,AH分别是△ABC的

三条角平分线,且PD⊥AB,

PE⊥BC,PF⊥AC,

∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF

例3.如图，在△ABC中，AC=BC，∠C= 90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E.

（1）已知CD=4cm，求AC的长；

（2）求证：AB=AC+CD.

师生共同分析：（1）运用角平分线的性质和勾股定理.

（2）证明△ADC≌△ADE即可.

学生自主完成证明过程：

（1）解：∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，垂足为E，

∴DE=CD=4cm（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）.

∵AC=BC，

∴∠B=∠BAC（等边对等角）.

∵∠C= 90°，

∴∠B=1/2×90°= 45° .

∴∠BDE =90°- 45°= 45° .

∴BE = DE（等角对等边）.

在等腰直角三角形BDE中，

BD cm（勾股定理）.

∴AC = BC = CD + BD =（）cm.

（2）证明：由（1）的求解过程易知，

Rt△ACD≌Rt△AED（HL）.

∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）.

∵BE=DE=CD，

∴AB=AE+BE=AC+CD.

三、课堂练习

1.下列作法中，不能得到∠ABC的平分线的是（）

A.在∠ABC的边AB，BC上各取一段BE＝BF,连接EF的中点D和顶点B

B.在∠ABC内找一点D,满足点D到BC的距离等于BD

C.在∠ABC内找一点D,使∠ABD＝∠CBD

D.在∠ABC内找一点D,使D到BC,BA的距离相等

2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝10,AD平分∠BAC交BC于点D，且BD:CD＝3:2

则点D到线段AB的距离为.

3.如图，已知：AD⊥OB于D，BC⊥OA于C，AD，BC相交于E，且EA=EB.

求证：EO为∠AOB的平分线.

4.已知:如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分线相交于点F.

求证:点F在∠DAE的平分线上.

拓展：

5.如图：直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三

条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？

2题图3题图4题图5题图

四、结论总结

谈谈你这节课有什么收获？

一、角平分线的性质和判定定理：

性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

判定：在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．二、三角形角平分线的性质定理：

三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到

三条边的距离相等．