几何证明--平行四边形

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知识点

一．正确理解定义

（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．定义中的“两组对边平行”是它的特征，抓住了这一特征，记忆理解也就不困难了．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．同学们要在理解的基础上熟记定义．

（2”表示平行四边形，例如：平行四边形ABCD ABCD，读作“平行四边形ABCD”．

2．熟练掌握性质

平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角对称性四个方面的特征进行简述的．

（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；

（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；

（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；

（4）对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心；

（5）面积：①S

=底×高=ah；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．

3．学会判别方法

（1）平行四边形的判别方法

①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形

③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形

⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形

（2）平行四边形的判别方法的选择

二、．几种特殊四边形的有关概念

（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：（1）平行四边形；（2）一个角是直角，两者缺一不可．

（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：（1）平行四边形；（2）一组邻边相等，两者缺一不可．

（3）正方形：一组邻边相等的矩形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．

（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：（1）一组对边平行；（2）一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题．

（5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等的梯形，特殊梯形还有直角梯形．

2．几种特殊四边形的有关性质

（1）矩形：（1）边：对边平行且相等；（2）角：对角相等、邻角互补；（3）对角线：对角线互相平分且相等；（4）对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形．

（2）菱形：（1）边：四条边都相等；（2）角：对角相等、邻角互补；（3）对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；（4）对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形．（3）正方形：（1）边：四条边都相等；（2）角：四角相等；（3）对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450；（4）对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形．

（4）等腰梯形：（1）边：上下底不相等，两腰相等；（2）角：对角互补；（3）对角线：对角线相等；（4）对称性：是轴对称图形不是中心对称图形．

3．几种特殊四边形的判定方法

（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形

（1）有一个角是直角的平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形；（3）四个角都相等

（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形

（1）有一组邻边相等的平行四边形；（2）对角线互相垂直的平行四边形；（3）四条边都相等．

（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．

（1）有一个角是直角的菱形；（2）有一组邻边相等的矩形；（3）对角线相等的菱形；

（4）对角线互相垂直的矩形．

（4）等腰梯形的判定：满足下列条件之一的梯形是等腰梯形

（1）同一底两个底角相等的梯形；（2）对角线相等的梯形．

4．几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析

（1）识别矩形的常用方法

（1）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．

（2）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．

（3）说明四边形ABCD的三个角是直角．

（2）识别菱形的常用方法

（1）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等．

（2）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直．

（3）说明四边形ABCD的四条相等．

（3）识别正方形的常用方法

（1）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的一个角为直角且有一组邻边相等．

（2）先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等．

（3）先说明四边形ABCD为矩形，再说明矩形的一组邻边相等．

（4）先说明四边形ABCD为菱形，再说明菱形ABCD的一个角为直角．

（4）识别等腰梯形的常用方法

（1）先说明四边形ABCD为梯形，再说明两腰相等．

（2）先说明四边形ABCD为梯形，再说明同一底上的两个内角相等．

（3）先说明四边形ABCD为梯形，再说明对角线相等．

5．几种特殊四边形的面积问题

（1）设矩形ABCD的两邻边长分别为a,b，则S矩形=ab．

（2）设菱形ABCD的一边长为a，高为h，则S菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b，则S

菱形=1

2

ab

．

（3）设正方形ABCD的一边长为a，则S正方形=

2

a；若正方形的对角线的长为a，则S正方形=

2

1

2

a

．

（4）设梯形ABCD的上底为a，下底为b，高为h，则S梯形=1

()

2

a b h

．

三、多边形：1．多边形的定义

在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形，叫做多边形．２．正多边形的定义

在平面内，内角都相等、边也都相等的多边形叫做正多边形．

3．探索多边形内角和公式n边形内角和公式：

180

)2

(?

-

n任意多边形的外角和都等于360°．

4．密铺的定义：何谓密铺呢？课本上介绍：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片，叫作平面图形的密铺．

5．密铺的特征：（1）边长都相等；（2）顶点公用；（3）在一个顶点处各正多边形的内角和为3600．8、中心对称图形

1·如果一个图形绕着它的中心点旋转180°后能与原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个中心点叫做对称中心。

2·图形上对称点的连线被对称中心平分；

(一)知识点回顾：平行四边形、特殊平行四边形的特征以及彼此之间的关系

1.矩形是特殊的平行四边形，矩形的四个内角都是_________。矩形的对角线__________________

2.菱形是特殊的平行四边形，菱形是四条边都_____，它的两条对角线___________________每条对角线平分一组_____.

3.正方形四条边都_____，四个角都是_____。所以正方形可以看作为：一个角是直角的____；有一组邻边相等的_____；

4.等腰梯形的两腰_______，同一底边上的两个内角_______。等腰梯形的两条对角线________。

5__________________________________________的平行四边形是矩形

6._______________________________________________ 的平行四边形是菱形

7._________________________________________ 的平行四边形是正方形

8.______________________________________________ 的梯形是等腰梯形

即有下面的流程图，在箭头里填上变化根据

（二）主要知识点的相关练习

利用平行四边形、特殊四边形的定义解答填空、选择题

1．平行四边形ABCD中，∠A-∠B=20°,则∠C的度数为。

2．平行四边形两邻角的平分线相交所成的是（）

A.锐角

B.直角

C.钝角

D.无法确定

3．如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，∠B=100°，则∠DAE= .

A A

B C

D E C B P

1

A B O C B

(第3题) (第4题) （第5题）

4．如图，直角∠AOB内任意一点P，到这个角的两边的距离和为6，则图中四边形的周长为。

5.如图，是根据四边形的不稳定性制作的边长均为15cm的可活动菱形衣架，若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15cm，则∠1＝度。

6．在平行四边形ABCD中，下列各式不一定正确的是（）

A．∠1+∠2=180° B．∠2+∠3=180°

C．∠3+∠4=180° D．∠2+∠4=180°

特殊的四边形的有关计算练习

1．已知菱形的两条对角线分别是6cm,8cm,其周长为20cm,则其面积为_______边长为__________边上的高为_________ ；

2.若菱形的一个内角为60°，且边长为2cm，则它的较短对角线长为___________cm；

3.菱形ABCD两条对角线相交于O，AO=1，∠ABD=30°，则BC的长为_________

4. 正方形的对角线为2cm，则正方形的面积为______________；正方形的面积为18cm2，则它的对角线长为_______________________cm；

5.矩形ABCD 两条对角线相交于O ，O 到短边距离比到长边的距离多8cm ，矩形的周长为56cm ，求矩形各边长

E 6.平行四边形的一个内角比它的邻角大42 ，求四个内角的度数。

7.从平行四边形的一个钝角顶点引分两边的垂线，如果这两条垂线间的夹角为75?，求这个平行四边形各内角的度数。

解：连AC 即∠1+∠2+∠3+∠4+180?=360?

利用特殊四边形性质证明有关线段或角相等

1．如图，平行四边形ABCD 中，AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为E 、F 。 求证：∠BAE=∠DCF 。

A D F E

B C

C

B

2．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 、F 在对角线BD 上，且BE=DF ， 求证：AE=CF 。

A D

F E B C

3．如图，四边形ABCD 是菱形，CE ⊥AB ，交AB 的延长线于E ，CF ⊥AD ，交AD 的延长线于F ，

请你猜想CE 与CF 的大小有什么关系？并证明你的猜想。

F

D C

A B E

（三）课堂演练 一、选择题

1、下列说法中，不是．．一般平行四边形的特征的是（ ） A 、对边平行且相等 B 、对角线互相平分

C 、是轴对称图形

D 、对角相等 2、菱形和矩形都具有的性质是（ ）

A 、对角线相等

B 、对角线互相平分

C 、对角线平分一组对角

D 、对角线互相垂直

3、在 中，两条对角线AC 、BD 相交于点O ，如右图与△ABO 面积相等的三角形

有（ ）个。 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 4、下列说法不．

正确的是（ ） A 、对角线互相垂直的四边形是菱形

B 、有三个角是直角的四边形是矩形

C 、有一组邻边相等的矩形是正方形

D 、两组对边分别相等的四边形是平行四边形

B

C B

C B

C

D

5、如右图中，有（ ）个矩形

A 、14

B 、1

C 、22

D 、36

6、在线段、等边三角形、等腰梯形、矩形、平行四边形、菱形、正方形、圆这些图形中，既是中心对称又是轴对称的有（ ）个

A 、3

B 、4

C 、5

D 、6

7、平行四边形的一条边长为5，则它的对角线长可能是（ ） A 、4和6 B 、2和12 C 、4和8 D 、4和3

二、填空题

1、如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB=8，周长等于24，则AD= 。

2、如图，在矩形ABCD 中，对角线交于点O ，已知∠AOB=56°

则∠ADB= 度。

3、在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 的长分别为5厘米，10厘米，则菱形 ABCD 的面积为 厘米2。

4、若等腰梯形有一个角为120°，上底长为4厘米，下底长为12厘米，则它的周长为 厘米。

5、如右图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，若

∠AOD=120°，AB=1，则AC= 。

6、如右图，在正方形ABCD 中，点E 是AD 的中点，点F 是BA 延

长线上一点，AF=2

1

AB ，△ABE 可以通过绕A 点逆时针旋转到△ADF 的位置，则旋转的最小角度为 。

三、已知?ABCD ，试用三种方法将?ABCD 分成面积相等的四部分。 （只要求画出正确图形）

C B

四、1、如图，E 为正方形ABCD 外一点，且△ADE 是等边三角形，求∠EBC 的度数。

2、如图，在等腰梯形ABCD 中，B C ∥AD 。 （1）、画出线段AB 平移后的线段DE ，其平移的方向为 射线AD 的方向，平移的距离为线段AD 的长。

（2）、若AD=3，AB=4，BC=7，求线段EC 的长和 ∠B 的度数。（15分）

3、如图，菱形ABCD 的对角线的长分别是20和17，P 是对角线AC 上任意一点（点P 不与A 、C 重合），且PE ∥BC 交AB 于E ，PF ∥AD 交AD 于F ，求阴影部分的面积。

补充内容：如何识别一个四边形是平行四边形？矩形、菱形？正方形？等腰梯形？

(一)、矩形，菱形，正方形, 等腰梯形的识别方法

从矩形，菱形，正方形的基本特征，我们可以得出矩形，菱形，正方形, 等腰梯形的识别方法，试分析判断:

1.下面是矩形的一些识别方法，请分析判断是否可行？

(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形 ( ) (从定义)

(2)有三个角是直角的四边形是矩形 ( ) (从角的特征)

(3)对角线相等且互相平分的四边形是矩形 ( ) (从对角线的特征)

2. 结合菱形的基本特征，以及上述矩形的识别方法，试一试能否得出菱形的识别方法?

(1)_______________________________ 的平行四边形是菱形 (从定义)

(2)_________________________________的四边形是菱形 (从边的特征)

(3)_______________________________ 的四边形是菱形 (从对角线的特征)

3. 结合正方形的基本特征，以及上述矩形，菱形的识别方法，试一试能否得出正方形的识别方法?

(1)______________________________的矩形是正方形 (从定义)

(2)_______________________________的菱形是正方形(从定义)

(3)_____________________________ 的四边形是正方形(从对角线的特征)

(二)识别

1.根据条件判定它是什么图形，并在括号内填出

四边形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ和ＢＤ相交于点Ｏ：

（１）∠A＝∠B＝∠C＝90°（）

（２）AB=BC=CD=DA （）

（３）∠A＝90°，四边形ABCD是平行四边形（）

（４）AB=BC，四边形ABCD是平行四边形（）

（5）OA=OC，OB=OD （）

（6）OA=OB=OC=OD （）

（7）OA=OC，OB=OD，AC⊥BD （）

（8）OA=OC，OB=OD，AC=BD （）

（9）OA=OC=OB=OD，AC⊥BD （）

2．在?ABCD中，对角线AC和BD相交于点O。

（1）如果∠ABO＋∠ADO＝90 ，那么?ABCD是__________形；

（2）如果∠AOB=∠AOD，那么?ABCD是__________形；

（3）如果AB＝BC，AC＝BD，那么?ABCD是__________形；

(三)识别方法的应用练习

（A层）1、判断：下面的特殊四边形的识别方法对不对？若不对请给指正：

1、两对角线相等且互相垂直的四边形是矩形。

2、两对角线互相垂直平分的四边形是矩形。

3、两条对角线相等的四边形是矩形。

4、两条对角线互相垂直的四边形是菱形。

5、两条对角线相等的四边形是菱形。

6、两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

7、一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形。

2、已知：平行四边形ABCD 的边AD,BC 分别取点E,F, AE ＝CF ，EF ⊥AC 使得试说明AFCE 是菱形

3、在△ABC 中，∠C=90°，∠A,∠B 的平行线交于点D,DE ⊥BC ，DF ⊥AC 于F ，试说明CEDF 的形状，并说明理由

A

F D

C E B

(B 层)

4、试说明平行四边形四个内角的平分线相交所形成的四边形是矩形 即

已知：平行四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是四边形的四个内角的平分线的交点，试说明四边形EFGH 是矩形

Ｄ

Ｃ

（如图2）

A

C

B

（如图3）

C

B

（如图1)

B 巩固提高

1.点A 、B 、C 在同一直线上，在直线AC 的同侧作ABE ?和BCF ?，连接AF ，CE ．取AF 、CE 的中点M 、N ，连接BM ，BN ， MN ．

(1)若ABE ?和FBC ?是等腰直角三角形，且090=∠=∠FBC ABE (如图1)，则MBN ?是

三角形．

(2)在ABE ?和BCF ?中，若BA =BE ,BC =BF ,且α=∠=∠FBC ABE ，(如图2)，则MBN ?是 三角形，

且=∠MBN .

(3)若将(2)中的ABE ?绕点B 旋转一定角度,(如同3)，其他条件不变，那么(2)中的结论是否成立？ 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明.

2.如图，将一三角板放在边长为1的正方形ABCD 上，并使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B,另一边与射线DC 相交于Q .探究：设A 、P 两点间的距离为x . (1)当点Q 在边CD 上时，线段PQ 与PB 之间有怎样的数量关系？试证明你的猜想；

(2)当点Q 在边CD 上时，设四边形PBCQ 的面积为y ，求y 与x 之间的函数关系，并写出函数自变量x 的取值范围；

(3)当点P 在线段AC 上滑动时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能,指出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点Q 的位置.并求出相应的x 值，如果不可能，试说明理由.

Q P

D

C

B A

3.(1)如图1，四边形ABCD 中，CB AB =，?=∠60ABC ，?=∠120ADC ，请你猜想线段DA 、DC 之和与线段BD 的数量关系，并证明你的结论；

(2)如图2，四边形ABCD 中，BC AB =，?=∠60ABC ，若点P 为四边形ABCD 内一点，且

?=∠120APD ，请你猜想线段PA 、PD 、PC 之和与线段BD 的数量关系，并证明你的结论．

图 2

图１

4. (1)如图1，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＝∠D ＝90°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =12

∠BAD .求证:EF ＝BE ＋FD

;

F

E

D

C

B

A

图1 图2 图3

(2) 如图2在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠D ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，且∠EAF =

1

2

∠BAD , (1)中的结论是否仍然成立？不用证明.

(3) 如图25-3在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠ADC ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且∠EAF =

1

2

∠BAD , (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.

5. 以ABC ?的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ?和等腰Rt ACE ?，90,BAD CAE ∠=∠=?连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置及数量关系． (1)如图① 当ABC ?为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ， 线段AM 与DE 的数量关系是 ；

(2)将图①中的等腰Rt ABD ?绕点A 沿逆时针方向旋转

?θ(0<θ<90)后，如图②所示，(1)问中得到的两个结论是否发

生改变？并说明理由．

6.如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF = 90 ，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．

（1）若m = n时，如图，求证：EF = AE；

（2）若m≠n时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF = AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．

（3）若m = tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF =（t + 1）AE成立？并求出点E 的坐标．

7.如图1，已知∠ABC =90°，△ABE 是等边三角形，点P 为射线BC 上任意一点（点P 与点B 不重合），连结AP ，将线段AP 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AQ ，连结QE 并延长交射线BC 于点F . （1）如图2，当BP =BA 时，∠EBF = ▲ °，猜想∠QFC = ▲ °；

（2）如图1，当点P 为射线BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明；（3）已知线段AB =32，

设BP =x ，点Q 到射线BC 的距离为y ，求y 关于x 的函数关系式．

图1

A

C

B

E

Q

F P 图2

A

B

E Q P

F C