七年级数学几何图形初步同步单元检测(Word版 含答案)

一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）

1．

（1）如图①，已知：Rt△ABC中，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE=BD+CE；

（2）如图②，将(1)中的条件改为：△ABC中，AB=AC，并且∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB=AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC=2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和．

【答案】（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，

∴∠BDA=∠CEA=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠CAE=90°，

∵∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠CAE=∠ABD，

在△ADB和△CEA中，

∴△ADB≌△CEA(AAS)，

∴AE=BD，AD=CE，

∴DE=AE+AD=BD+CE；

（2）解：结论DE=BD+CE成立；理由如下：

∵∠BDA=∠BAC=α，

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，

∴∠CAE=∠ABD，

在△ADB和△CEA中，

∴△ADB≌△CEA(AAS)，

∴AE=BD，AD=CE，

∴DE=AE+AD=BD+CE；

（3）解：∵∠BAD>∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，

∴∠CAE=∠ABD，

在△ABD和△CEA中，

∴△ABD≌△CEA(AAS)，

∴S△ABD=S△CEA，

设△ABC的底边BC上的高为h，则△ACF的底边CF上的高为h，

∴S△ABC= BC?h=12，S△ACF= CF?h，

∵BC=2CF，

∴S△ACF=6，

∵S△ACF=S△CEF+S△CEA=S△CEF+S△ABD=6，

∴△ABD与△CEF的面积之和为6．

【解析】【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA，则AE=BD，AD=CE，即可得出结论；（2）由∠BDA=∠BAC=α，则∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α，得出∠CAE=∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA即可得出答案；（3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA=∠AEC=∠BAC，∴∠CAE=∠ABD，得出∠CAE=∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA，得出S△ABD=S△CEA，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S△ACF即可得出结果．

2．如图，已知：点不在同一条直线， .

（1）求证： .

（2）如图②，分别为的平分线所在直线，试探究与的数量关系；

（3）如图③，在（2）的前提下，且有，直线交于点，，

请直接写出 ________.

【答案】（1）证明：过点C作，则，

∵

∴

∴

（2）解：过点Q作，则，

∵，

∴

∵分别为的平分线所在直线∴

∴

∵

∴

（3）:1:2:2

【解析】【解答】解：（3）∵

∴

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∴

∴ .

故答案为： .

【分析】（1）过点C作，则，再利用平行线的性质求解即可；（2）过点Q作，则，再利用平行线的性质以及角平分线的性质得出

，再结合（1）的结论即可得出答案；（3）由（2）的结论可得出，又因为，因此，联立即可求出两角的度数，再结合（1）的结论可得出的度数，再求答案即可.

3．已知：如图1，点M是线段AB上一定点，AB=12cm，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、2cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）

（1）若AM=4cm，当点C、D运动了2s，此时AC=________，DM=________；（直接填空）

（2）当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．

（3）若点C、D运动时，总有MD=2AC，则AM=________（填空）

（4）在（3）的条件下，N是直线AB上一点，且AN﹣BN=MN，求的值．

【答案】（1）2；4

（2）解：当点C、D运动了2 s时，CM=2 cm，BD=4 cm

∵AB=12 cm，CM=2 cm，BD=4 cm

∴AC+MD=AM﹣CM+BM﹣BD=AB﹣CM﹣BD=12﹣2﹣4=6 cm

（3）4

（4）解：①当点N在线段AB上时，如图1，

∵AN﹣BN=MN，

又∵AN﹣AM=MN

∴BN=AM=4

∴MN=AB﹣AM﹣BN=12﹣4﹣4=4

∴ = = ；

②当点N在线段AB的延长线上时，如图2，

∵AN﹣BN=MN，

又∵AN﹣BN=AB

∴MN=AB=12

∴ = =1；

综上所述 = 或1

【解析】【解答】解：（1.）根据题意知，CM=2cm，BD=4cm，

∵AB=12cm，AM=4cm，

∴BM=8cm，

∴AC=AM﹣CM=2cm，DM=BM﹣BD=4cm，

故答案为：2，4；

（3.）根据C、D的运动速度知：BD=2MC，

∵MD=2AC，

∴BD+MD=2（MC+AC），即MB=2AM，

∵AM+BM=AB，

∴AM+2AM=AB，

∴AM= AB=4，

故答案为：4；

【分析】（1）根据运动速度和时间分别求得CM、BD的长，根据线段的和差计算可得；（2）由题意得CM=2 cm、BD=4 cm，根据AC+MD=AM﹣CM+BM﹣BD=AB﹣CM﹣BD可得答案；（3）根据C、D的运动速度知BD=2MC，再由已知条件MD=2AC求得MB=2AM，所以

AM= AB；（4）分点N在线段AB上时和点N在线段AB的延长线上时分别求解可得．

4．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC=120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．

（1）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转一周．在旋转的过程中，假如第t秒时，OA、OC、ON三条射线构成相等的角，求此时t的值为多少？

（2）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转图2，使ON在∠AOC的内部，请探究：∠AOM 与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）解：∵三角板绕点O按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转，

∴第t秒时，三角板转过的角度为10°t，

当三角板转到如图①所示时，∠AON=∠CON

∵∠AON=90°+10°t，∠CON=∠BOC+∠BON=120°+90°﹣10°t=210°﹣10°t

∴90°+10°t=210°﹣10°t

即t=6；

当三角板转到如图②所示时，∠AOC=∠CON=180°﹣120°=60°

∵∠CON=∠BOC﹣∠BON=120°﹣（10°t﹣90°）=210°﹣10°t

∴210°﹣10°t=60°

即t=15；

当三角板转到如图③所示时，∠AON=∠CON= ，

∵∠CON=∠BON﹣∠BOC=（10°t﹣90°）﹣120°=10°t﹣210°

∴10°t﹣210°=30°

即t=24；

当三角板转到如图④所示时，∠AON=∠AOC=60°

∵∠AON=10°t﹣180°﹣90°=10°t﹣270°

∴10°t﹣270°=60°

即t=33．

故t的值为6、15、24、33．

（2）解：∵∠MON=90°，∠AOC=60°，

∴∠AOM=90°﹣∠AON，∠NOC=60°﹣∠AON，

∴∠AOM﹣∠NOC=（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）=30°

【解析】【分析】（1）根据已知条件可知，在第t秒时，三角板转过的角度为10°t，然后按照OA、OC、ON三条射线构成相等的角分四种情况讨论，即可求出t的值；

（2）根据三角板∠MON=90°可求出∠AOM、∠NOC和∠AON的关系，然后两角相加即可求出二者之间的数量关系．

5．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠BOC＝120°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．将图1中的三角板绕点O逆时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，另一边ON仍在直线AB 的下方．

（1）若OM恰好平分∠BOC，求∠BON的度数；

（2）若∠BOM等于∠COM余角的3倍，求∠BOM的度数；

（3）若设∠BON＝α（0°<α<90°），试用含α的代数式表示∠COM．

【答案】（1）解：∵∠BOC=120°，OM恰好平分∠BOC

∴∠BOM=∠BOC=60°

又∵∠MON=90°

∴∠BON=∠MON?∠BOM

=90°?60°=30°

（2）解：设的余角为x°，

则

由题意得：，

x=15,

3x=45，

所以的度数为45°

（3）解：（0°< <90°）．

．

【解析】【分析】（1）利用角平分线的定义求出∠BOM的度数，再根据∠BON=∠MON?∠BOM，即可求出结果。

（2）设∠ C O M 的余角为x°，表示出∠COM的度数，再根据∠BOM=∠COM余角的3倍，建立方程求解即可。

（3）根据角的和与差计算即可。

6．如图1，已知，点A、B在直线a上，点C、B在直线b上，且于E.

（1）求证：；

（2）如图2，平分交于点F，平分交于点G，求

的度数；

（3）如图3，P为线段上一点，I为线段上一点，连接，N为的角平分线

上一点，且，则、、之间的数量关系是________. 【答案】（1）证明：过作 ,

∴

∴

∴

∴

∴

（2）解：作，，

设，，

由（1）知：，，

，

∴，

∴，

同理：，

∴

（3）

【解析】【解答】解：（3）结论：或

，

I.∠NCD在∠BCD内部时，

过I点作，过N点作，设∠IPN=∠BPN=x， =y，

∴∠BCD=3y.

∵a∥b，

∴

∴，，，

∴，，

∴，

∴

∴

II. 在外部时,如图3（2）：

过I点作，过N点作，设∠IPN=∠BPN=x， =y，

∴∠BCD=y.

∵a∥b，

∴IG∥a∥

∴，，，

∴，，

∴，

∴

∴.

故答案为：.

【分析】(1) 过作EF∥a,由BC⊥AD可知,由平行可知，,从而可得 = + = ；

(2)作，，设，，由平行线性质和邻补角定义可得，，进而计算出

即可解答;

（3）分两种情况解答：I.∠NCD在∠BCD内部，II 外部，仿照（2）解答即可.

7．在△ABC中，∠A=60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，且BD，CE交于点F，如图所示，用等式表示BE，BC，CD这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论；

晓东通过观察，实验，提出猜想：BE+CD=BC，他发现先在BC上截取BM，使BM=BE，连接FM，再利用三角形全等的判定和性质证明CM=CD即可．

（1）下面是小东证明该猜想的部分思路，请补充完整；

①在BC上截取BM，使BM=BE，连接FM，则可以证明△BEF与________全等，判定它们全等的依据是________；

②由∠A=60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，可以得出∠EFB=________°；

（2）请直接利用①，②已得到的结论，完成证明猜想BE+CD=BC的过程．

【答案】（1）△BMF；SAS；60

（2）证明：由①知，∠BFE=60°，

∴∠CFD=∠BFE=60°

∵△BEF≌△BMF，

∴∠BFE=∠BFM=60°，

∴∠CFM=∠BFC-∠BFM=120°-60°=60°，

∴∠CFM=∠CFD=60°，

∵CE是∠ACB的平分线，

∴∠FCM=∠FCD，

在△FCM和△FCD中，，

∴△FCM≌△FCD（ASA），

∴CM=CD，

∴BC=CM+BM=CD+BE，

∴BE+CD=BC．

【解析】【解答】解：（1）解：①在BC上取一点M，使BM=BE，连接FM，如图所示：

∵BD、CE是△ABC的两条角平分线，

∴∠FBE=∠FBM= ∠ABC，

在△BEF和△BMF中，，

∴△BEF≌△BMF（SAS），

故答案为：△BMF，SAS；

②∵BD、CE是△ABC的两条角平分线，

∴∠FBC+FCB= （∠ABC+∠ACB），

在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，

∵∠A=60°，

∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-60°=120°，

∴∠BFC=180°-（∠FBC+∠FCB）=180°- （∠ABC+∠ACB）=180°- ×120°=120°，

∴∠EFB=60°，

故答案为：60；

【分析】（1）①由BD，CE是△ABC的两条角平分线知∠FBE=∠FBC= ∠ABC，结合BE=BM，BF=BF，依据“SAS”即可证得△BEF≌△BMF；②利用三角形内角和求出∠ABC+∠ACB=120°，进而得出∠FBC+∠FCB=60°，得出∠BFC=120°，即可得出结论；（2）利用角平分线得出∠EBF=∠MBF，进而得出△BEF≌△BMF，求出∠BFM，即可判断出∠CFM=∠CFD，即可判断出△FCM≌△FCD，即可得出结论．

8．已知，，，试回答下列问题：

（1）如图1所示，求证： .

（2）如图2，若点、在上，且满足，并且平分 .求 ________度.

（3）在（2）的条件下，若平行移动，如图3，那么的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值.

（4）在（2）的条件下，如果平行移动的过程中，若使，求度数.

【答案】（1）证明：∵，

∴

∵，

∴，

∴

（2）40°

（3）解：结论：的值不发生变化．理由为：

∵，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴

（4）解：∵

∴，

由（2）可以设：，，

∴

∵

∴

∵

∴

∴

∵由（1）可知

∴

∴

∴

【解析】【解答】（2），所以∠BOA=180°-∠B=80°

由，且平分，得到∠EOC=∠EOF+∠FOC= （∠BOF+∠FOA）= ∠BOA=40°

【分析】（1）由同旁内角互补，两直线平行证明即可；（2）由，且平

分，得到∠EOC=∠EOF+∠FOC= （∠BOF+∠FOA）= ∠BOA，算出结果；（3），得到，，又，得到

，所以，故（4）结合（2）（3）结果，设出，

，由列出等式，得到，又由（1）得到

，列出等式解出α与β，所以

9．如图1，△ABC中，D、E、F三点分别在AB，AC，BC三边上，过点D的直线与线段EF 的交点为点H，∠1+∠2=180°，∠3=∠C.

（1）求证：DE∥BC；

（2）在以上条件下，若△ABC及D，E两点的位置不变，点F在边BC上运动使得∠DEF的大小发生变化，保证点H存在且不与点F重合，探究：要使∠1=∠BFH成立，请说明点F 应该满足的位置条件，在图2中画出符合条件的图形并说明理由.

（3）在（2）的条件下，若∠C=α，直接写出∠BFH的大小________.

【答案】（1）证明：如图1.

∵∠1是△DEH的外角，∴∠1=∠3+∠4.

又∵∠1+∠2=180°，∴∠3+∠4+∠2=180°.

∵∠3=∠C，∴∠C+∠4+∠2=180°，即∠DEC+∠C=180°，∴DE∥BC

（2）解：如图2.

∵∠1是△DEH的外角，∴∠1=∠3+∠DEF，①

∵∠BFE是△CEF的外角，∴∠BFH=∠2+∠C.

当∠1=∠BFH时，∠1=∠2+∠C，②

由①②得：∠3+∠DEF=∠2+∠C.

∵∠3=∠C，∴∠DEF=∠2，即EF平分∠DEC，∴点F运动到∠DEC的角平分线与边BC的交点位置时，∠1=∠BFH成立.

（3）90°+

【解析】【解答】（3）∵EF平分∠DEC，∴∠DEF=∠2.

∵DE∥BC，∴∠DEC+∠C=180°，∴2∠2+α=180°，∴∠2= = .

∵∠BFH=∠2+∠C= = .

【分析】（1）欲证明DE∥BC，只需推知∠DEC+∠C=180°即可，因此先根据外角性质，将∠1转化为∠3+∠4，再根据∠1与∠2互补，得到∠3+∠4+∠2=180°，最后将∠3=∠C代入即可得出结论；（2）点F运动到∠DEC的角平分线与边BC的交点位置时，∠1=∠BFH成立.（3）根据平行线的性质和角平分线的定义，得出∠2的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论.

10．如图，在△ ABC中，∠ ABC、∠ ACB的平分线交于点O．

（1）若∠ABC=40°，∠ ACB=50°，则∠BOC=________

（2）若∠ABC+∠ ACB=lO0°，则∠BOC="________"

（3）若∠A=70°，则∠BOC=________

（4）若∠BOC=140°，则∠A=________

（5）你能发现∠ BOC与∠ A之间有什么数量关系吗?写出并说明理由．

【答案】（1）135°

（2）130°

（3）125°

（4）100°

（5）解：BO平分∠ABC, CO平分∠ABC ∴∠OBC=0.5∠ABC ∠OCB=0.5∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=0.5∠ABC+0.5∠ACB= 0.5（180-∠A）=90-0.5∠A ∴∠O=180-（∠OBC+∠OCB）=180-（90-0.5∠A）=90°+0.5∠A

【解析】【解答】解：（1）∵∠ABC=40°，∠ACB=50°，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O．

∴∠OBC= ∠ABC=20°，∠OCB= ∠ACB=25°，

∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=180°-20°-25°=135°，

故答案是：135°；

（ 2 ）在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O．

∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，

∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）=50°，

∴∠BOC=180°- （∠ABC+∠ACB）=180°-50°=130°，

故答案是130°．

（ 3 ）在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O．

∴∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，

∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）=55°，

∴∠BOC=180°- （∠ABC+∠ACB）=180°-55°=125°，

故答案是125°；

（ 4 ）∵∠BOC=140°，

∴∠OBC+OCB=40°，

∵∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，

∴∠ABC+∠ACB=2（∠OBC+OCB）=80°，

∴∠A=100°，

故答案是：100°；

【分析】根据角平分线的性质以及三角形内角和定理得出∠OBC和∠OCB与∠A之间的关系，然后根据△BOC的内角和定理得出∠BOC与∠A的关系.

11．直线MN与直线PQ相交于O，∠POM＝60°，点A在射线OP上运动，点B在射线OM上运动.

（1）如图1，∠BAO=70°,已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线，试求出∠AEB 的度数.

（2）如图2，已知AB不平行CD，AD、BC分别是∠BAP和∠ABM的角平分线，又DE、CE 分别是∠ADC和∠BCD的角平分线，点A、B在运动的过程中，∠CED的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值.

（3）在（2）的条件下，在△CDE中，如果有一个角是另一个角的2倍，请直接写出∠DCE的度数.

【答案】（1）解：∵∠POM＝60°，∠BAO=70°，

∴∠ABO=50°.

∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，

∴∠EAB= ∠OAB=35°，∠EBA= ∠OBA=25°，

∴∠AEB=180°-35°-25°=120°

（2）解：不发生变化，理由如下：

如图，延长BC、AD交于点F，

∵点D、C分别是∠PAB和∠ABM的角平分线上的两点，

∴∠FAB= ∠PAB= （180°-∠OAB），∠FBA= ∠MBA= （180°-∠OBA），

∴∠FAB+∠FBA= （180°-∠OAB）+ （180°-∠OBA）= （180°+∠AOB）=90°+ ∠AOB，∵∠AOB=60°，

∴∠F=180°-（∠FAB+∠FBA）=90°- ∠AOB=60°，

同理可求∠CED =90°- ∠F=60°；

（3）∠DCE的度数40°或80°

【解析】【解答】解：（3）①当∠DCE=2∠E时，显然不符合题意；

②当∠DCE=2∠CDE时，∠DCE= =80°；

③当∠DCE= ∠CDE时，∠DCE= =40°，

综上可知，∠DCE的度数40°或80°.

【分析】（1）由∠POM＝60°，∠BAO=70°，可求出∠ABO的值，根据AE、BE分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，可得∠EAB和∠EBA的值，在△EAB中，根据三角形内角和即可得出∠AEB的大小；（2）不发生变化，延长BC、AD交于点F，根据角平分线的定义

以及三角形内角和可得∠F =90°- ∠AOB，∠CED =90°- ∠F，即可得出∠CED的度数；（3）分三种情况求解即可.

12．如图1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使∠AOC=50°，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方。

（1）如图2，将图1中的三角板绕点O逆时针旋转，使边OM在∠BOC的内部，且OM恰好平分∠BOC．此时∠BON=________度；

（2）如图3，继续将图2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转，使得ON在∠AOC的内部．试探究∠AOM与∠NOC之间满足什么等量关系，并说明理由；

（3）将图1中的三角板绕点O按每秒5°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，若第t秒时，OA，OC，ON三条射线恰好构成相等的角，则t的值为________（直接写出结果）

【答案】（1）25

（2）解：∠AOM与∠NOC之间满足等量关系为：∠AOM-∠NOC=40°，

理由如下：∵∠MON=90°，∠AOC=50°，

∴∠AOM+∠NOA=90°

∠AON+∠NOC=50°

∴∠AOM-∠NOC=40°

（3）13秒，34秒，49秒或64秒。

【解析】【解答】解：（1）∵∠AOC=50°，

∴∠BOC=180°-∠AOC=130°，

∵OM平分∠BOC，

∴∠BOM=∠BOC÷2=130°÷2=65°，

∴∠BON=90°-∠BOM=90°-65°=25°；

故答案为：25.

（3）如图，有四种情况：

1）当∠AON1=∠CON1，

∵∠AOC=50°，

∴∠AON1=∠CON1=（360°-∠AOC）÷2=155°，

∴∠NON1=155°-90°=65°，

∴t=65°÷5=13（秒）；

2）当∠AOC=∠CON2，

∴∠NON2=360°-∠AON-2∠AOC=360°-90°-2×50°=170°，

∴t=170°÷5=34（秒）；

3）当∠AON3=∠CON3，

∵∠NON3=∠NOB+∠AOB-∠AON3=90°+180°-50°÷2=245°，

∴t=245°÷5=49（秒）；

4）当∠COA=∠AON4，

∠NON4=∠NOB+∠AOB+∠AON4=90°+180°+50°=320°，

∴t=320°÷5=64（秒）.

故答案为：13秒，34秒，49秒或64秒.

【分析】（1）已知∠AOC的度数，根据补角的性质可求∠BOC的度数，结合OM平分∠BOC，则∠BOM的角度可求，于是根据余角的性质即可确定∠BON的大小；

（2）∠AOM和∠NOA互余，∠AON与∠NOC之和等于50°，两式联立消去∠AON，可得∠AOM和∠NOC的数量关系；

（3）因为OA，OC，ON三条射线恰好构成相等的角，分四种情况讨论，依次为当∠AON1=

∠CON1，当∠AON3=∠CON3，当∠COA=∠AON4，当∠AOC=∠CON2，根据已知角的

大小，结合角的关系分别求出∠NON1，∠NON2 ，∠NON3，∠NON4的大小，则t可求.