第七章 数学物理定解问题习题 数学物理方法梁昆淼
第七章 数学物理定解问题
1. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为5/1处把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为
???≤<-≤≤==)5/()4/()(5)5/0(/5,0l x l l x l h l x l hx u u t 。
2.数学物理方程定解问题的适定性是指解的_存在性__，__唯一性__，__稳定性_。
3.一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为3/l 处
把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为
.0)0,(u ; )3/( ,2/)(3)0,( )3/0( ,/3)0,(t =≤≤-=≤≤=x l x l l x l h x u l x l hx x u 和
4. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为5/9处
把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为、
95,[0,]59(,)9()5,[,]49t hx l x l u x t h l x l x l l =?∈??=?-?∈??。 5. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为3/2处把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为
???≤<-≤≤==)3/2(/)(3)3/20(2/3,0l x l l x l h l x l hx u u t 。
6.一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为6/l 处
把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为 。
7. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端四分之一
处把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为 0)0,(u ; )4/( ,3/)(4)0,( )4/0( ,/4)0,(t =≤≤-=≤≤=x l x l l x l h x u l x l hx x u 和。
8. 求解波动方程)(0
+∞<<-∞=-x u u xx tt 满足 初始条件 x x u x u t t t cos ,200====的定解问题。 (本小题 10 分) 解： 由达朗贝尔公式可得
)2()sin()sin()cos()()cos()()]sin()()sin()[(2
1)
2(cos |cos )]sin()()sin()[(2
1)2(sin |sin 2
1)4(cos 2
1)]()[(21222222分分分分t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x x d t x t x t x t x x d x d t x t x u t
x t x t x
t x t x t x t x t x t x t x -++----+++---+++=-+---+++=-+=+-++=???+-+-+-+=-=+-ξξξξξξξξξξξξξξ
数学物理方法期末考试规范标准答案
天津工业大学（2009—2010学年第一学期） 《数学物理方法》(A)试卷解答2009.12 理学院) 特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。 一 填空题(每题3分,共10小题) 1. 复数 i e +1 的指数式为：i ee ； 三角形式为：)1sin 1(cos i e + . 2. 以复数 0z 为圆心，以任意小正实数ε 为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为0z 点的 邻域 . 3. 函数在一点可导与解析是 不等价的 (什么关系？). 4. 给出矢量场旋度的散度值，即=????f ? 0 . 5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属 ------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线--------------------------------------- 学院 专业班 学号 姓名 装订线 装订线 装订线
于该区域的点，这样的区域称为 复通区域 . 6. 若函数)(z f 在某点0z 不可导，而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导，则称0z 为)(z f 的 孤立奇点 . 7. δ函数的挑选性为 ? ∞ ∞ -=-)()()(00t f d t f ττδτ. 8. 在数学上，定解条件是指 边界条件 和 初始条件 . 9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、 输运方程 和 稳定场方程 . 10. 写出l 阶勒让德方程: 0)1(2)1(222 =Θ++Θ -Θ-l l dx d x dx d x . 二 计算题(每小题7分，共6小题) 1. )(z 的实部xy y x y x u +-=22),(，求该解析函数
数学物理方法第八章作业答案
P 175 8.1在0x =的邻区域内，求解下列方程： (1) 2 (1)0x y''xy'y -+-= 解：依题意将方程化为标准形式2 2 10(1) (1) x y''y'y x x + - =-- 2 ()(1) x p x x = -，2 1()(1) q x x =- - 可见0x =是方程的常点． 设方程的级数解为0 ()n n n y x c x ∞ == ∑，则1 1 ()n n n y'x nc x ∞ -== ∑，2 2 ()(1)n n n y''x n n c x ∞ -== -∑ 代入原方程得2 2 2 1 2 2102 2 2 1 (1)(1)0(1)(1)0 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n c x x n n c x x nc x c x n n c x n n c x nc x c x ∞ ∞ ∞ ∞ ---====∞ ∞ ∞ ∞ -====---+- =? -- -+ - =∑∑∑∑∑∑∑∑ 由0 x 项的系数为0有：202012102 c c c c ?-=?= 由1 x 项的系数为0有：311313200 (0)c c c c c ?+-=?=≠ 由2x 项的系数为0有：42224201143212012 24 c c c c c c c ?-?+-=?= = 由3 x 项的系数为0有：533355432300c c c c c ?-?+-=?= 由4x 项的系数为0有：64446403165434010 80 c c c c c c c ?-?+-=?= = 由5 x 项的系数为0有：755577654500c c c c c ?-?+-=?= 由6 x 项的系数为0有：866686025587656056 896 c c c c c c c ?-?+-=?== …… ∴ 方程的级数解为 2 4 6 8 0100000 1115()2 24 80 896 n n n y x c x c c x c x c x c x c x ∞== =++ + + + +???∑
第七章 数学物理定解问题习题 数学物理方法梁昆淼
第七章 数学物理定解问题 1. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为5/1处把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为 ???≤<-≤≤==)5/()4/()(5)5/0(/5,0l x l l x l h l x l hx u u t 。 2.数学物理方程定解问题的适定性是指解的_存在性__，__唯一性__，__稳定性_。 3.一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为3/l 处 把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为 .0)0,(u ; )3/( ,2/)(3)0,( )3/0( ,/3)0,(t =≤≤-=≤≤=x l x l l x l h x u l x l hx x u 和 4. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为5/9处 把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为、 95,[0,]59(,)9()5,[,]49t hx l x l u x t h l x l x l l =?∈??=?-?∈??。 5. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为3/2处把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为 ???≤<-≤≤==)3/2(/)(3)3/20(2/3,0l x l l x l h l x l hx u u t 。 6.一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端长为6/l 处 把弦朝横向拨开距离h ，然后放手任其振动。横向位移),(t x u 的初始条件为 。 7. 一根两端(左端为坐标原点而右端l x =）固定的弦，用手在离弦左端四分之一
数学物理方法填空题答案
1. 复数1i e -的模为 ，主辐角为 弧度。 2. 函数 f (z)=e iz 的实部 Re f (z)=______________。 3. ln1=_________. 4. =ix e _________。 5. ln(1)i --=23(21)(2),0,1,2,2 n n n π-++=±±L 。 6.复数 =-)4ln(),2,1,0()12(4ln Λ±±=++k i k π。 7. 复数=i cos 2/)(1-+e e 。 8. 若解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的虚部xy y x y x v +-=22),(， 则实部=),(y x u c xy y x +--22/)(2 2 。 9. 若解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的虚部(,)v x y x y =+且(0)1f =，则解析函数为 z zi +。 10. 积分 dz z z z ?=12sin =______ . 11. 求积分=?=1cos z dz z z _________ 12. 2000 |2009|3(2011)z z dz --=-=?? 0 。 13. 设级数为∑∞ =1n n n z ,求级数的收敛半径_______________。 14.设级数为)211n n n n z z + ∑∞=（， 求级数的收敛区域 。
15. ) 3)(2(1)(--=z z z f 在3||2<
数学物理方法第二次作业答案
第七章 数学物理定解问题 1．研究均匀杆的纵振动。已知0=x 端是自由的，则该端的边界条件为 __。 2．研究细杆的热传导，若细杆的0=x 端保持绝热，则该端的边界条件为 。 3．弹性杆原长为l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在x 轴上，则其边界条件为 00,0x x l u u ==== 。 4．一根长为l 的均匀弦，两端0x =和x l =固定，弦中张力为0T 。在x h =点，以横向力0F 拉弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为___ f (0)=0,f (l )=0; _____。 5、下列方程是波动方程的是 D 。 A 2tt xx u a u f =+； B 2 t xx u a u f =+； C 2t xx u a u =； D 2tt x u a u =。 6、泛定方程20tt xx u a u -=要构成定解问题，则应有的初始条件个数为 B 。 A 1个； B 2个； C 3个； D 4个。 7．“一根长为l 两端固定的弦，用手把它的中 点朝横向拨开距离h ，（如图〈1〉所示）然后放 手任其振动。”该物理问题的初始条件为( D )。 A ．?????∈-∈==] ,2[),(2]2,0[,2l l x x l l h l x x l h u o t B ．???? ?====00 t t t u h u C ．h u t ==0 D ．???????=?????∈-∈===0 ] ,2[),(2]2,0[,200t t t u l l x x l l h l x x l h u 8．“线密度为ρ，长为l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点)0(00l x x <<受谐变力t F ωsin 0的作用而振动。”则该定解问题为( B )。 A ．?????===<<-=-===0 ,0,0)0(,)(sin 0000 2 t l x x xx tt u u u l x x x t F u a u ρ δω u x h 2 /l 0 u 图〈1〉
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】
3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上
数学物理方法 课程教学大纲
数学物理方法课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：数学物理方法 所属专业：物理、应用物理专业 课程性质：数学、物理学 学分：5 （二）课程简介、目标与任务 这门课主要讲授物理中常用的数学方法，主要内容包括线性空间和线性算符、复变函数、积分变换和δ-函数、数学物理方程和特殊函数等，适当介绍近年来的新发展、新应用。本门课程是物理系学生建立物理直观的数学基础，其中很多内容是为后续物理课程如量子力学、电动力学等服务，是其必需的数学基础。 这门课中的一些数学手段将在今后的基础研究和工程应用中发挥重要的作用，往往构成了相应领域的数学基础。一般来讲，因为同样的方程有同样的解，掌握和运用这些数学方法所体现的物理内容将更深入，更本质。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接 本课程以普通物理、高等数学和部分线性代数知识为基础，为后继的基础课程和专业课程研究有关的数学问题作准备，也为今后工作中遇到的数学物理问题求解提供基础。 （四）教材：《数学物理方法》杨孔庆编 参考书：1. 《数学物理方法》柯朗、希尔伯特著 2. 《特殊函数概论》王竹溪、郭敦仁编著 3. 《物理中的数学方法》李政道著 4. 《数学物理方法》梁昆淼编 5. 《数学物理方法》郭敦仁编 6. 《数学物理方法》吴崇试编 二、课程内容与安排 第一部分线性空间及线性算子 第一章R3空间的向量分析 第一节向量的概念 第二节R3空间的向量代数
第三节R3空间的向量分析 第四节R3空间的向量分析的一些重要公式 第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析 第一节R3空间中的曲线坐标系 第二节曲线坐标系中的度量 第三节曲线坐标系中标量场梯度的表达式 第四节曲线坐标系中向量场散度的表达式 第五节曲线坐标系中向量场旋度的表达式 第六节曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符▽2的表达式第三章线性空间 第一节线性空间的定义 第二节线性空间的内积 第三节Hilbert（希尔伯特）空间 第四节线性算符 第五节线性算符的本征值和本征向量 第二部分复变函数 第四章复变函数的概念 第一节映射 第二节复数 第三节复变函数 第五章解析函数 第一节复变函数的导数 第二节复变函数的解析性 第三节复势 第四节解析函数变换 第六章复变函数积分 第一节复变函数的积分 第二节Cauchy（柯西）积分定理 第三节Cauchy（柯西）积分公式 第四节解析函数高阶导数的积分表达式 第七章复变函数的级数展开
(整理)数学物理方法
《数学物理方法》课程考试大纲 一、课程说明： 本课程是物理学专业的一门重要基础课程，它是继高等数学后的一门数学基础课程。 本课程的教学目的是：(1) 掌握复变函数、数学物理方程、特殊函数的基本概念、基本原理、基本解题计算方法；(2) 掌握把物理问题归结成数学问题的方法，以及对数学结果做出物理解释。为今后学习电动力学、量子力学和统计物理等理论物理课程打下必要的数学基础。 本课程的重点是解析函数、留数定理、傅里叶变换、数学物理方程、分离变数法、傅里叶级数法、本征值问题等。 本课程的难点是把物理问题归结成数学问题，以及各种数学物理方程的求解。 二、参考教材： 必读书：《数学物理方法》，梁昆淼编，高等教育出版社，1998年6月第3版。 参考书：《数学物理方法》，汪德新编，科学出版社，2006年8月第3版；《数学物理方法》，赵蕙芬、陆全康编，高等教育出版社，2003年8月第2版。 三、考试要点： 第一章复变函数 （一）考核知识点 1、复数及复数的运算 2、复变函数及其导数 3、解析函数的定义、柯西-黎曼条件 （二）考核要求 1、掌握复数三种形式的转换。 2、掌握复变函数的导数和解析等基本概念，并掌握判断导数是否存在和函数是否解析的 方法。 u 。 3、了解解析函数与调和函数的关系，并能从已知调和函数u或v，求解析函数iv 第二章复变函数的积分 （一）考核知识点 1、复变函数积分的运算 2、柯西定理 （二）考核要求 1、理解单通区域和复通区域的柯西定理，并能用它们来计算复变函数的积分。
2、掌握应用原函数法计算积分。 3、掌握柯西公式计算积分。 第三章幂级数展开 （一）考核知识点 1、幂级数的收敛半径 2、解析函数的泰勒展开 3、解析函数的洛朗展开 （二）考核要求 1、理解幂级数收敛圆的性质。 2、掌握把解析函数展开成泰勒级数的方法。 3、掌握把环域中的解析函数展开成洛朗级数的方法。 4、理解孤立奇点的分类及其类型判断。 第四章留数定理 （一）考核知识点 1、留数的计算 2、留数定理 3、利用留数定理计算实变函数定积分 （二）考核要求 1、掌握留数定理和留数计算方法。 2、掌握利用留数定理计算三类实变函数定积分。 第五章傅里叶变换 （一）考核知识点 1、傅里叶级数 2、傅里叶变换 3、δ函数 （二）考核要求 1、掌握周期函数的傅里叶级数形式和定义在有限区间) ,0(l上的函数的傅里叶展开。 2、掌握非周期函数的傅里叶变换。 3、掌握δ函数的性质及其傅里叶积分的形式。 第七章数学物理方程的定解问题
第八章 分离变数法数学物理方法 梁昆淼
第八章 分离变数法 1. 设)(x X 满足方程0=-''X X λ和边界条件0)(')0('==l X X ，其中λ可为任意实数，试根据λ的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值λ和本征函数。 解：可分为三种情况讨论： 1) 0>λ ，解为x x e C e C x X λλ-+=21)(，由边界条件只能得到平庸解 0)(=x X ， 显然没有意义。 ----------------(3分) 2) 0=λ，解为21)(C x C x X +=，代入边界条件得01=C ，于是 22,)(C C x X =为任意常数。 ----------------(2分) 3) 0<λ，解为.sin cos )(21x C x C x X λλ-+-=,代入边界条件得 ???=-=????=-+---=-.0sin ,0. 0)cos sin (,012212l C C l C l C C λλλλλ a) 当 λ 的取值使得 0sin ≠-l λ 时，必有 01=C ，这和上两种情况一 样没有意义。 b)当 λ 的取值使得 0sin =-l λ 时， 1C 不必为 零，这种是有意义的情况。此时由 0sin =-l λ 得到本征值 λ:).,3,2,1(22 2 =-=?-=n l n n l πλλ π 综合2）和3）两种情况得本征值).,3,2,1,0(22 2 =-=n l n πλ 此时，本征解为.cos )(1x l n C x X π= ----------------(5分) 1. 2.已知复变量函数为解析函数，其实部满足
下面的条件， (1) 试给出所满足的数学物理定解问题； (2) 试用分离变数或其它方法找到泛定方程的一个特解，并利用它将或方向上的边界条件齐次化，然后求解 ； (3) 根据求出虚部。 3.设)(x X 满足方程0=+''X X λ和边界条件'(0)'(2)0X X π==，其中λ可为任意实数，试根据λ的可能取值求解方程，并根据边界条件确定本征值λ和本征函数。(本小题 11 分) 解：(1) 由题意，对于常微分方程： ()()0X x X x λ''+= (1) (0)(2)0 X X π''== (2) 现在先求解X ，对0,0,0λλλ<=>三种情况进行讨论： a) 0λ<，由(1)式的解是 12()x x X x C e C e λλ---=+ 积分常数1C ，2C ，由(2)决定，即 120C C -=，22120E E C e C e ππ----= 由此得出01=C ， 02=C 而0)(≡x X 。无实际意义，即0λ<无可能性。（3分） b) 0λ=，式(1)的解是 21)(C x C x X += 则根据(2)式，有 10C =， 1(2)0X C π'== 即2C 为任意数 此时2()X x C ≡。（3分）
数学物理方法第二章习题及答案整理
第二章答案 一、 简述 1． 简述状态空间描述与输入/输出描述的不同。 解：输入/输出描述是系统的外部描述，是对系统的不完全描述，用微分方程及其对应传递函数表征；状态空间描述是系统的内部描述，是对系统的完全描述，用状态空间表达式表征。 2． 线性定常系统经非奇异线性变换哪些量和性质不变？（至少列举3项） 解：特征值不变，传递矩阵不变，可控性及可观测性不变。 二、 多选题 1.对于n 阶线性定常系统 x Ax Bu =+&，下列论述正确的是（ ABD ） A 当系统矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量12,,,n υυυL 时，则矩阵A 可化为对角线规范形； B 系统矩阵A 的n 个特征值12,,,n λλλL 两两互异，则矩阵A 可化为对角 线规范形； C 系统矩阵A 有重特征值，则矩阵A 不能化为对角线规范形； D 系统矩阵A 有重特征值，但重特征值的几何重数等于其代数重数，则 矩阵A 可以化为对角线规范形。 三、 求状态空间描述 1、 给定系统的传递函数为 1 ()(4)(8)G s s s s = ++ （1）写出系统的可控标准型状态空间描述。 解：由传递函数 32 11 ()(4)(8)1232g s s s s s s s ==++++ 可写出原系统的能控标准形 01000010032121u ???????????? ????--????x =x +& 2．已知系统的传递函数为 2325 ()1510 s s G s s s ++=++ 分别写出系统的能控、能观状态空间表达式。 解：
能控标准型： 01000010101501[521]x x u y x ???? ????=+????????--????=& （2分） 能观标准型： 00105101520101[0 01]x x u y x -???? ????=-+????????????=& 3．已知系统的传递函数为 2323 ()510 s s G s s s ++=++ 分别写出系统的能控、能观状态空间表达式。 解：能控标准型： 0100001010501[321]x x u y x ???? ????=+????????--???? =& （2分） 能观标准型： 010*********[0 01]x x u y x -???? ????=-+???????????? =& 3．已知系统的传递函数为 32 20 ()43G s s s s = ++ （1）写出系统的可控标准型状态空间描述。 解：（1）由传递函数 3220 ()43G s s s s =++可写出原系统的可控标准型 []01 00001003412000u y x ???? ????????????--????=&x =x + 4．已知系统的传递函数为 210 ()1 G s s = +
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?， u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或：()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】
3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??， 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上
【西大2017版】[0135]《数学物理方法》网上作业题答案
（0135）《数学物理方法》网上作业题答案 1：第一次 2：第二次 3：第三次 4：第四次 5：第五次 1：[论述题]10(附件） 参考答案：10题答案 2：[论述题]9(附件） 参考答案：9题答案 3：[填空题]8(附件） 参考答案：8题答案 4：[填空题]7(附件） 参考答案：7题答案 5：[填空题]6(附件） 参考答案：6题答案 6：[填空题]5(附件） 参考答案：5题答案 7：[填空题]4(附件） 参考答案：5题答案 8：[论述题] 1(点击) 参考答案：1题答案 9：[论述题]2(点击) 参考答案：1题答案 10：[论述题]3(点击) 参考答案：3题答案 1：[论述题]10（附件） 参考答案：10题答案 2：[填空题]9（附件） 参考答案：1/2 3：[填空题] 8(附件） 参考答案：0 4：[填空题]7（附件） 参考答案：7题答案 5：[填空题]6(附件）
参考答案：0 6：[填空题]5(附件） 参考答案：0 7：[填空题]4(附件） 参考答案：0 8：[论述题]1(点击) 参考答案：1题答案9：[论述题]2(点击) 参考答案：2题答案10：[论述题] 3(点击) 参考答案：3题答案1：[论述题]10（附件）参考答案：10题答案2：[论述题]9（附件）参考答案：10题答案3：[填空题]8（附件）参考答案：3 4：[填空题]7（附件）参考答案：3 5：[填空题]6（附件）参考答案：3 6：[填空题]5（附件）参考答案：1 7：[填空题]4（附件）参考答案：2 8：[论述题] 1(点击) 参考答案：1题答案9：[论述题]2(点击) 参考答案：2题答案10：[论述题]3(点击) 参考答案：3题答案1：[论述题]10（附件）参考答案：10题答案2：[论述题]9（附件）参考答案：9题答案3：[论述题]8（附件）参考答案：8题答案4：[论述题]7（附件）参考答案：0
数学物理方法考试模拟试题答案
一 1D 2B 3D 4C 5A 6C 7A 8D 9A 10D 二（10分）已知一个解析函数)(z f 的实部是y x sin e u =,求该解析函数。 .解： y e y u y e x u x x cos sin ==????（2分） 由C -R 条件，有x u y v ????=，y u x v ????-=，（2分） ∴. )(cos sin x y e ydy e dy x u dy y v v x x ?????+-====??? （2分） 再由y e y u x y e x v x x cos )(cos -=-='+-=?????， 得,)(,0)(C x x =='??于是 ∴C y e v x +-=cos （2分） )()cos (sin )(C e i C y e i y e z f z x x +-=+-+=(2分) 三 求解一维无界弦的自由振动，设弦的初始位移为φ（x ），初始速度为-a φ’(x)。 解：定解问题为： 分） （分）分）2)sin()]sin())[sin((21)]sin()[sin(212()(21)]()([21),(6() cos() sin(0002at x at x at x a a at x at x d a at x at x t x u x a u x u u a u at x at x t t t xx tt -=--+-+-++=+-++=?????-===-?+-==ξξψ?? 四 定解问题为 u tt -a 2u xx =0 u │x=0=0, u x │x=l =0 u │t=0=0 u t │t=0=v o （8分）
数学物理方法习题2及答案
1. 计算221z dz z z --? 的值，Г为包含圆周|z|=1在内的任何正向简单曲线。 解：我们知道，函数221z z z --在复平面内除z=0和z=1两个奇点外是处处解析的。由于Г是包含圆周|z|=1在内的任何正向简单闭曲线，因此它也包含这两个奇点。在Г内作两个互不包含也互不相交的正向圆周C1与C2，C1只包含奇点z=0，C2只包含奇点z=1。那么根据复合闭路定理得： 221z dz z z --? =22122121c c z z dz dz z z z z --+--?? 1122 111111c c c c dz dz dz dz z z z z =+++--???? =02204i i i πππ+++= 2. 求积分0 cos i z zdz ?的值。 解：函数cos z z 在圈平面内解析，容易求得它有一个原函数为sin cos z z z +.所以 00111cos [sin cos ]sin cos 1 1122 i i z zdz z z z i i i e e e e i e i ---=+=+--+=+-=-? 3..试沿区域i 1ln(1)Im()0,Re()0||1,1z z z z dz z +≥≥=+? 内的圆弧计算积分的值。 解：函数ln(1)1z z ++在所设区域内解析，它的一个原函数为21ln (1),2 z +所以 i 222112222ln(1)11ln (1)|[ln (1)ln 2]122 11ln 2ln 22243ln 2ln 2.3288 i z dz z i z i i πππ+=+=+-+????=+-?? ??????? =--+? 4．求下列积分（沿圆周正向）的值： 1）||41sin 2i z z dz z π=? ； 2）||4 12z 13z dz z =+-? （+）； 解：由柯西积分公式得： ||4 1sin 2i z z dz z π=? =0sin |0z z ==； ||4||4 ||12221226z 1313z z z dz dz dz i i i z z z πππ==+=?+?=+-+-??? （+）= 5..求下列积分的值。其中C 为正向圆周：|z|=r>1. 1) 5cos (1)c z dz z π-? 2) 22.(1)z c e dz z +?
数学物理方法-填空题答案
1. 复数1i e -的模为，主辐角为弧度。 2. 函数 f (z)=e iz 的实部 Re f (z)=______________。 3. ln1=_________. 4. =ix e _________。 5. ln(1)i --=23(21)(2),0,1,2,2 n n n π-++=±± 。 6.复数 =-)4ln(),2,1,0()12(4ln ±±=++k i k π。 7. 复数=i cos 2/)(1-+e e 。 8. 若解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的虚部xy y x y x v +-=22),(， 则实部=),(y x u c xy y x +--22/)(22 。 9. 若解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的虚部(,)v x y x y =+且(0)1f =，则解析函数为 z zi +。 10. 积分 dz z z z ?=12sin =______ . 11. 求积分=?=1cos z dz z z _________ 12. 2000 |2009|3(2011)z z dz --=-=? 0 。 13. 设级数为∑∞=1n n n z ,求级数的收敛半径_______________。 14.设级数为)211n n n n z z + ∑∞=（， 求级数的收敛区域。 15. ) 3)(2(1)(--=z z z f 在3||2< ]32[)()1(0)1(n n n n n z z z f +-∞ =+-+-=∑ 16.在12z <<的环域上，函数1()(1)(2) f z z z =+-的洛朗级数展开为 110 11[(1)]32k k k k k z z ∞++=-+∑ 17.函数sin /()z z f z e =在0=z 的奇点类型为 可去奇点 ，其留数为 0 。 18.设f (z)=9cos z z , 求Resf (0)= _________。 19.函数z ze z f /1)(=在0=z 的奇点类型为 本性奇点 ，其留数为 1/2 。 20.求解本性奇点留数的依据为 洛朗级数展开的负一次项系数 。 21.设n m ,为整数,则=??-dx nx mx )cos (sin π π 0 。 22.在(,)ππ-这个周期上，()f x x =。其傅里叶级数展开为12sin k kx k ∞=∑ 23.设)(x f 是定义在],0[l 上的任意可积函数，若要求函数)(x f '在它的定义区间的边界上为零，则)(x f 的傅里叶展开为。 24.当02x <<时，()1f x =-；当20x -<<时，()1f x =；当||2x >时，()0f x =。则函数的()f x 傅里叶变换为2()(1cos 2)B ωωπω=- 25. 函数 ???><=)1|(|0 )1|(|)(t t t t f 的傅里叶变换为)/()/sin cos (2πωωωω+-。 26.=+??-dx x ] )6([sinx 20092008 π δ -1/2 。 27.t 21+的拉普拉斯变换即=+)21(t L )0(Re ) /2/1(2>+p p p 。 28.2()1sin3t f t e t =-+的拉普拉斯变换为211329 p p p -+-+。 数学物理方法习题答案： 第二章： 1、（1）a 与b 的连线的垂直平分线；以0z 为圆心，2为半径的圆。 （2）左半平面0,x <但是除去圆2 2 (1)2x y ++=及其内部；圆 2211()416x y - += 2、2 ,cos(2)sin(2)i e i π ππ+； 3 2,2[c o s (3)s i n (3)i e i π ππ+； ,(c o s 1s i n 1i e e e i ?+ 3、2k e ππ --； (623) i k e π π +； 42355c o s s i n 10c o s s i n s i n ?????-+； 11()sin ()cos 22b b b b e e a i e e a --++- 1 ()c o s 2 y y ay b e e x e ---- 4、（1） 2214u υ+= 变为W 平面上半径为1 2的圆。 （2）u υ=- 平分二、四象限的直线。 5、(1) z ie iC -+; 2(1)2i z -; ln i z - (2) 选取极坐标 ,, ()22u C f z ?? υ==+=6、ln C z D + 第三章： 1、 （1） i π （2）、 i ie π-- （3）、 0 （4）、i π （5）、6i π 2、 设 ()!n z z e f n ξ ξ= z 为参变数，则 () 1220 11()1(0)2!2!1()()!!! ! n z n n n l l n n n n z z n z e d f d f i n i n z d z z e e n n d n n ξξ ξξξξξξπξξπξξ+=======?? 第四章： 1、（1）23 23()()ln 22z i z i z i i i i i ---+-+- （2）23313 (1) 2!3!e z z z ++++ （3 ）2 11111()()[(1)(1)](1)11 222k k k k k k z z i i i z z z i z i z i ∞=---=-=--++--<+-+∑2、(1) 1 n n z ∞ =--∑ (2) 11()43f z z z =- -- ①3z <时 110 11( )34k k k k z ∞ ++=-∑ ， 34z <<时 数理方程定解问题： 1、数理方程的分类 反应热传导的方程类型为： u t=D?u+f 其中?=e2 ex2+e2 ey2 +e2 ez2 ，u t=eu et ，未知数u表示温度特征，D表示热传导系数，f是与 源有关的已知函数，当f=0的时候，相应的方程被称为齐次方程。 2、用数理方程研究物理问题的步骤 用数理方程研究物理问题一般需经历以下三个步骤 （1）导出或写出定解问题，它包括数理方程和定解条件两部分 （2）求解已导出或写出的定解问题 （3）对求得的答案讨论其适定性（即解是否存在、唯一且稳定）并作适当的物理解释 3、求解数理方程的方法 求解数理方程的方法大致可归纳为如下几种 （1）行波法（d’Alembert解法） （2）分离变量法 （3）积分变换法 （4）Green函数法 （5）保角变换法 （6）复变函数法 （7）变分法 定解条件 定解条件是确定数理方程解中所含的任意函数或常数，使解具有唯一性的充分必要条件。它分为初始条件和边界条件两种。若所研究的系统是由几种不同介质组成的，则在两种介质的交面上定解条件还应当有衔接条件。 1、初始条件 （1）定义初始条件是物理过程初始状况的数学表达式 （2）初始条件的个数关于时间t的n阶偏微分方程，要给出n个初始条件才能确定一个特解。热传导方程仅需给出一个初始条件 u x，y，z；t|t=0=φ(x，y，z) 2、边界条件 （1）定义物理过程边界状况的数学表达式称为边界条件。 （2）边界条件的种类和个数边界条件分为三类。设f(M，t)为任一已知函数，M为边界上的点，则三类边界条件分别为： 1 第一类边界条件u| 边 =f(M,t) 2 第二类边界条件eu en | 边 =f(M,t) 3 第三类边界条件[u+heu en ] 边 =f(M,t) 数 学 物 理 方 法 教 材：梁昆淼编写的《数学物理方法》[第四版] 内 容：第一篇 复变函数论 第二篇 数学物理方程 第一章 复变函数 一、复数 1、复数的定义 iy x z +=——代数式 )sin (cos ??ρi z +=——三角式 ?ρi e z =——指数式 重点：复数三种表示式之间的转换！ 实部： z x Re = 虚部：z y Im = 模：2 2y x z +==ρ 主辐角： ) (arg x y arctg z = ,2a r g 0π<≤z 辐角： π k z Argz 2arg += ),2,1,0( ±±=k 共轭复数:iy x z += * z x i y =- 2、复数的运算:加、减、乘、除、乘方、开方 (1)、加法和减法 (2)、乘法和除法 ) )((221121iy x iy x z z ++=)()(12212121y x y x i y y x x ++-= ) ()(212121y y i x x z z ±+±=±1 11iy x z +=2 22iy x z += 2 1z z *2 2*21z z z z ??= 2 2 222211))((y x iy x iy x +-+=2 2 22211222222121y x y x y x i y x y y x x +-+++= (2)、乘法和除法 12 1111122222(cos sin )(cos sin )i i z i e z i e ??ρ??ρρ??ρ=+==+= ?两复数相乘就是把模数相乘, 辐角相加; ?两复数相除就是把模数相除, 辐角相减。 (3) 复数的乘方和开方（重点掌握） )]sin()[cos(21212 1 21????ρρ-+-=i z z ) (2 121??ρρ-=i e 12121212[cos()sin()] z z i ρρ????=+++) (2121??ρρ+=i e n i n e z )(?ρ =?ρ in n e =) sin (cos ??ρn i n n +=或 （n 为正整数的情况)数学物理方法习题答案
数理方程定解问题
数学物理方法复习总结