数学物理方法习题及解答
2. 试解方程:()0,044>=+a a z
444244
00000
,0,1,2,3
,,,,i k i
i
z a a e z ae
k ae
z i i ππππωωωωω+=-=====--若令则
1.计算:
(1)
i
i
i i 524321-+-+ (2)
y =
(3)
求复数2
??
的实部u 和虚部v 、模r 与幅角θ
(1) 原式=
()()()12342531081052916
2525255
i i i i i i +?+-?+-++=+=-+--
(2) 3
32(
)10205
2(0,1,2,3,4)k i e k ππ+==原式
(3)
2
223
221cos sin cos sin ,3333212u v 1,2k ,k 0,1,2,23
i i i e r π
πππππ
θπ??==+=+==-+ ?????=-===+=±±
原式所以:,
3.试证下列函数在z 平面上解析,并分别求其导数.
(1)()()y i y y ie y y y x e x x sin cos sin cos ++-
3.
()()()()()()()()cos sin ,cos sin ,cos sin cos ,sin sin cos ,cos sin sin sin ,cos sin cos ,,,x x x x x x x x u e x y y y v e y y x y u
e x y y y e y x u
e x y y y y y v
e y y x y e y y x v
e y y y x y y
u v u v x y y x u v z f z u iv z u f z =-=+?=-+??=---??=++??=-+?????==-????=+?'=
?证明:所以:。
由于在平面上可微
所以在平面上解析。()()()cos sin cos cos sin sin .x x x x v
i e x y y y e y i e y y x y e y x x
?+=-++++?
由下列条件求解析函数()iv u z f += (),1,22i i f xy y x u +-=+-=
解:
()()()()()()()222222222212,2,21
2,2,,,2112,
2211
1,0,1,1,,
221112.
222u v x y v xy y x x y v u v y x y x x x x x c x y x f z x y xy i xy y x c f i i x y c c f z x y xy i xy x y ??????==+∴=++?????''=+=-=-+∴=-=-+?????=-+++-+ ???
=-+==+==?
?=-++-++ ???而即所以由知带入上式,则则解析函数
2. ()21,3,,.i
i i i i i e ++试求
()(
)
(
(
(()()()2(2)Ln 144
(2)4
ln32Ln32ln32ln1222Ln 21cos ln sin ,0,1,2,
3cos(ln 3)sin(ln 3),0,1,2,i i k k i i
i i k i i k i i k i k i k i i
i i
i e
e
e
e
i k e e e e i k i e
e
e
ππ
πππ
πππππππ??
??+ ?
?-+++???
?-++-+-??
??++-+ ?
????
?+====+=±±====+=±±=== 解:()222,0,1,2,
cos1sin1.
k i i k e e e e i π?? ???
+=±±=?=+
3. 计算 2,:122
c dz
c z z z =++?
(
)2
22
2220110,1,1,11,220,0
22
z z z z i z i z c z z z c z z ++=++=+==-+=≤++≠=++解:时,而在内,故在内解析,故原式 1.计算
221(1),21c z z dz c z z -+=-?: ()
22
21
(2),21c
z z dz c z z -+=-?:
(1)21
2(21)=4 z i z z i ππ==-+解:原式 (2)21
1
2(21)=2(41)
6z z i z z i z i πππ=='
=-+-=解:原式
. 计算2sin()
114,(1):1,(2):1,(3): 2.122
c z dz c z c z c z z π
+=-==-?其中
1
sin (1)sin 442.112c z z z z i i z z πππ=-??-??===??+-??
???解:(1)原式
1
sin (1)sin 442.11c z z z z i i z z πππ=??+??===??-+??
???(2)原式 12(3):2,1,11,.c z z z c c ===-以分别以为中心,为半径,做圆
1
222sin
sin
44.11c c z z
dz dz i i i z z π
π
=+=+=--?
?原式 3、将下列函数按()1-z 的幂级数展开,并指明收敛范围。
2
z z + ()()()1100
1211211121121,122333313
11,313,3
n
n
n n n n z z z z z z z z ∞∞
++==--??=-=-??=-=+- ?-++-??---<-<-<-∑∑解:其中,即此为级数的收敛范围。
1. 把()()
z z z f -=
11
展开成在下列区域收敛的罗朗(或泰勒)级数
(1) ,11<+z (2) ,211<+
()()()()().112
1212112111
2
1
111111110100∑∑∑∞
=+∞=∞
=+???? ??-=??? ??+++-=+-
?
++--=-+=-=
n n
n n n
n n
z z z z z z z z z z f 解:
(2);,211<+ ()()()().2111212111112111 2 11111 1 1 111110 101 00∑∑∑∑∞ =+∞=+∞=∞=+++=??? ??++??? ??++=+-?+ +-? +=-+=-= n n n n n n n n n z z z z z z z z z z z z z f 解: (7).21>+z ()()()() .1211121111111 2111 1 1 1111 1 1111101 0100∑∑∑∑∞ =+∞=+∞=∞=+-+=??? ??+?+-+??? ??++=+-?+-+ +-? +=-+=-= n n n n n n n n n z z z z z z z z z z z z z z z f 解: 2、计算积分 11 sin z dz z z =? 解: ()z z z f sin 1 = 的奇点为),2,1,0( ±±==n n z π 在01==z z 内只有一个奇点 200 2000200010 11sin sin 0()1Re ()lim lim ()sin sin sin cos cos cos sin lim lim sin 2sin cos lim 0 2cos 1 2Re ()0sin lim lim z z z z z z z z z z z z z z z z f z d d z s f z z dz z z dz z z z z z z z z z z z z z dz i s f z z z π→→→→=→→→==? ==∴=??=?=????--+=====? 为的二阶极点 = 3.求解定解问题 2(0,0)(0,)0,(,)0(0) (,0)sin ,(,0)sin (0) tt xx t u a u x l t u t u l t t x x u x u x x l l l ππ-<<>==≥==≤≤=0 解: 1 2222 1222211(,)()sin ()()sin 0()()0()cos sin (,)cos sin sin (,0)sin sin 1,0n n n n n n n n n n n n n n n n x u x t T t l n a n x T t T t l l n a n at n at T t T t T t A B l l l n at n at n x u x t A B l l l n x x u x A A A l l πππππππππππ∞ =∞ =∞ ==??''+= ???''+==+? ?=+??? ?=?=?==∑∑∑ 1 111 (1) (,0)sin sin 1,0(1) (,)(cos sin )sin n t n n n n n a n x x a l u x B B B B n l l l l a at l at x u x t l a l l πππππππππ∞ =∞ =≠=?=?=?==≠∴=+∑∑ 1.试用分离变量法求解定解问题 (0,0)(0,),(,)0(0)(,0)0,(,0)0(0) tt xx t u u x l t u t E u l t t u x u x x l -<<>==≥==≤≤=0 其中E 为已知常数。 解 (,)(,)(,)(,)(1)(0,)(0,)(0,)(0,)0(1,)(1,)(1,)0(1,)0(,0)(,0)(,0)0(,0)(1)(,0)(,0)(,0tt tt tt tt xx xx xx xx t t t v x t u x t w x t w x t x E v u w u v u w u v t u t w t E u t v t u t w t u t v x u x w x u x x E v x u x w x =+=-=+==+==+=?==+=?==+=?=--=+ , (0)()0(1)()0 )0(,0)0(0,)0,(1,)0 (,0)(1)(,0)0 (,)()()(,)()()(,)()() 0102t tt xx t xx tt X T t X T t u x u u u t u t u x x E u x u x t X x T t u x t X x T t u x t X x T t T X T X X T T X X X T T X λ λλ===?=====-=''''==='''' ''''='''' ==-+= ()+= () { 12121212(0)0,(1)0310()(0)00 X(1)000()02)0()X X x C c e X C C C C e C C X x X x Ax B λλ===+=?=?+====+ () )< += = = 0B A B =+= 0)(X 0B A =?x == 222220()sin (0)0(1)0()0,0sin 0 (1,2,3,)()sin 0()cos sin (,)(cos sin )sin 1,2,3,n n n n n n n X x A B X A X B X x B n n n X x B x T a n T T t C n at D n at u x t C n at D n at n x n λπλππππππππ>=+====≠≠====''+==+=+= = () 11 (,)(cos sin )sin (,0)sin 00 n n n t n n n u x t C n at D n at n x u x n aD n x D πππππ∞ =∞ ==+==?=∑∑ 1 (,0)sin (1)n n u x C n x x E π∞ ===-∑ 1 1 011 00102222(1)sin (1)cos 22(1)cos cos 222sin n E C x E n xdx x d n x n E E x n n xdx n n E E E n x n n n πππ ππππππππ =-=- -=--+=- +=-??? 1 1 2(,)()cos sin 2(,)()cos sin (1)n n E u x t n at n x n E v x t n at n x x E n ππππππ∞ =∞ ==- =-+-∑∑ 2.求解定解问题 20(0,0)(0,)0,(,)0(0) (,0)(0) t xx u a u x l t u t u l t t u x u x x l l =<<>==≥=≤≤ 解: 22212(,)()()(,)()()(,)()() 0(1)0(2) (0,)(0)()0 (0)0,()0(3)(,)()()01)0,()(0xx t u x t X x T t u x t X x T t u x t X x T t T X T X a X T a T X X X T a T u t X T t X X l u l t X l T t X x C C e X λλλλ'''===''' '''===-''='+===?==? ==?<=+ + 12121212112121212222 )00()000()02)0()0 ()0 03)0()sin (0)0,()0()0,0,sin 0(1,2,3,)C C X l C C e C C X x X x C x C C C C X x C C X x C C X C X l C X x C n n n λλππλ=?+==?+=≡==+=? ?=≡?+=? >=+====≠≠==== == , 222 2 222 2 2222 2 1 1()sin ()()0()(,)sin (,0)sin n a t l n n n n n a t l n n n n l n x X x C l n a T t T t T t A e l n x u x t A e l u n x u x A x l l ππππππ-∞ - =∞ =='+=====∑∑ 222 2 0020000001100002210122sin cos 22cos cos 222(1)sin (1)2(,)(1)sin l l n l l n l n n a t n l n u u n x l n x A x dx xd l l l l n l u u n x n x x dx n l l n l l u u u n x n n l n u n x u x t e n l ππππππππππππ ππ ++∞ -+== =-?=-+=-+=-=-???∑ 3.有一两端无界的枢轴,其初始温度为 1(1)(,0)0(1)x u x x ?=? ≥?? 试求在枢轴上的温度分布为 22 2 sin (,)(cos )a t u x t x e d μμ μμπ μ ∞ -= ? 解:定解问题为 21(1)(,0)()0(1)t xx u a u x u x x x ?=?==? ≥?? 设 (,)()i x u x t T t e d μμμ∞ -∞ = ? 22 2 2 222211()()()()0()(,)C()1(1)(,0)()0(1)11()(,0)22112()i x a t a t i x i i i i T t a T t e T t a T t T t Ce u x t e e d x u x x x C u x e d e d e e i μμμμμμμμμμξ μξμμ μμμμ ?μξξπππμ∞ -∞-∞ --∞∞---∞--'??+?? '+==∴=?==?≥??= =?=?-?-???? 利用初始条件 得 22220 1sin 1sin 2sin (,)(cos )a t i x a t u x t e e d x e d μμμμπμ μμ μμμ π μπ μ ∞∞---∞ ?=??∴==?? 4. 复数231i -的三角形式为3,3 sin 3cos ππ πi e i --,其指数形式为 5.复数5co s 5s i n π πi +的三角形式为103,10 3sin 103cos π π πi e i +,其指数形式为 6. 复 数 的实部u =,虚部v =,模 r = ,幅角 θ= . 1,22 u v == , 1,2(0,1,2,)3 r k k π θπ== +=±± 7. 复数22i +-的实部=u ,虚部=v ,模=r ,幅角 =θ . 2,2=-=v u , ),2,1,0(24 3,2 ±±=+= =k k r ππ θ 8. 014=--i z 的解为) 3,2,1,0(,24 28 4 ==+k e z k i k ππ 9、已知解析函数f z u x y iv x y ()(,)(,)=+的虚部为v x y e x y (,)cos =,求此解析函数 c x ie x e z f y y ++=cos sin )( 10.试证下列函数在z 平面上解析,并分别求其导数. y ie y e z f x x cos sin )(-= 证明: y e y x u x s i n ),(=, y e y x v x c o s ),(-= y e y u y e x u x x cos ,sin =??=??, y e y v y e x v x x sin ,cos =??-=?? 平面上解析在平面上可微在平面上连续在z z f z y x v y x u z y v x v y u x u x v y u y v x u )(),(),,(,,,,∴∴??????????-=????=??∴ z x x x ie y y i ie y ie y e x v i x u z f -=+-=-=??+??= ')cos sin (cos sin )( 4.积分dz z z cos ==?1积分6. 积分?== 13cos z zdz z 7. 积分= ?b a dz z z 2 cos )sin (sin 2 122a b - 积分 = ? 1 sin zdz z 9.积分 = ? 2 2sin π dz z z 10.计算2 32 |2:|,1 =-+?i z c dz z e c iz πe 1 4. 幂级数n n n z ∑∞ =12 1 的收敛半径为 .5. 幂级数∑∞ =-1 )1(n n n z 的收敛半径为 幂级数121n z n n =∞ ∑的收敛半径为幂级数 n n n z ∑∞ =1 31的收敛半径为8. 函数z z f -= 11 )(在2|1|<+z 上展成)1(+z 的泰勒级数为 n n n z )1(21 1 ∑∞ =++9.把f z z z ()()()=--1 23展为展为z 的泰勒级数,并给出收敛半径。 1101 1(),||2 2 3n n n n f z z z ∞ ++=??=-< ???∑ 10.把f z z z ()()() = --1 23展为下列级数 1、 将f z ()在23< 2、 将f z ()在3<<∞z 展为罗朗级数。 110 021(),2||33n n n n n n z f z z z ∞ ∞ ++===--<<∑ ∑、 11 0322(),3||n n n n n n f z z z z ∞ ∞ ++===-<<∞∑ ∑、 4. 0=z 为3 cos 1)(z z z f -= 的.(奇点的类型,极点的阶数) 5. 0=z 为3sin )(z z z f =的 .(奇点的类型,极点的阶数) 6.计算2|:|, )1(2 =-?z c dz z z e c iz i π2 7.计算 6|1:|, 122=-+?z c dz z i c 8. 试用分离变数法求解定解问题 . 0,,0,0,00 02=====-====t t t l x x xx tt u x u u u u a u ( )0 ,0≥≤≤t l x l x n l at n n l t x u n n πππsin cos 2)1(),(1 1 ∑∞=--= 9. 试用分离变数法求解定解问题 . , 0,0,00 02x u u u u a u t l x x xx t ====-===()00≤≤≥x l t , l x n e n l t x u l t a n n n ππ πsin 2)1(),(2 2221 1 - ∞ =-∑-= 10. 求解定解问题 . )(0 ) ()0,,00 2???≥<=>+∞<<∞-=-=h x h x h Q u t x u a u t xx t ( μμμ μ π μd e x h h Q t x u t a 22)cos(sin ),(-+∞ ∞ -? = l x n l at n n u x l u t x u n n πππsin cos 2)1(),(1 00∑∞ =-+= l x e t x u l t a ππsin ),(- = l x k l at k k l l t x u k πππ)12(cos )12(cos )12(42),(122----=∑∞= 4. 求解定解问题 . 0,0,,0,00 002=====-====t t t l x x xx tt u u u u u u a u ()00≤≤≥x l t , 5. 求解定解问题 . 0,,0, 00002====-===t l x x xx t u u u u u a u () 0,0≥≤≤t l x 6. 求解定解问题 . sin , 0,0,000 2l x u u u u a u t l x x xx t π====-===( )0 ,0≥≤≤t l x 7. 试用分离变数法求解定解问题 . 0,, 0,0,00 00 2=====-====t t t l x x x x xx tt u x u u u u a u ()0,0≥≤≤t l x 复变函数与积分变换 综合试题(一) 一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设cos z i =,则( ) A . Im 0z = B .Re z π= C .0z = D .argz π= 2.复数3(cos ,sin )55z i ππ =--的三角表示式为( ) A .443(cos ,sin )55i ππ- B .443(cos ,sin )55i ππ- C .44 3(cos ,sin )55i ππ D .44 3(cos ,sin )55 i ππ-- 3.设C 为正向圆周|z|=1,则积分 ?c z dz ||等于( ) A .0 B .2πi C .2π D .-2π 4.设函数()0z f z e d ζ ζζ=?,则()f z 等于( ) A .1++z z e ze B .1-+z z e ze C .1-+-z z e ze D .1+-z z e ze 解答: 5.1z =-是函数 4 1) (z z cot +π的( ) A . 3阶极点 B .4阶极点 C .5阶极点 D .6阶极点 6.下列映射中,把角形域0arg 4 z π << 保角映射成单位圆内部|w|<1的为( ) A .4411z w z +=- B .44-11z w z =+ C .44z i w z i -=+ D .44z i w z i +=- 7. 线性变换[]i i z z i z a e z i z i z a θω---= =-++- ( ) A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1 C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0 D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1 8.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析,(,)(cos sin )x v x y e y y x y =+,则(,)uxy = ( ) A.(cos sin )y e y y x y -) B.(cos sin )x e x y x y - C.(cos sin )x e y y y y - D.(cos sin )x e x y y y - 天津工业大学(2009—2010学年第一学期) 《数学物理方法》(A)试卷解答2009.12 理学院) 特别提示:请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。 一 填空题(每题3分,共10小题) 1. 复数 i e +1 的指数式为:i ee ; 三角形式为:)1sin 1(cos i e + . 2. 以复数 0z 为圆心,以任意小正实数ε 为半径作一圆,则圆内所有点的集合称为0z 点的 邻域 . 3. 函数在一点可导与解析是 不等价的 (什么关系?). 4. 给出矢量场旋度的散度值,即=????f ? 0 . 5. 一般说来,在区域内,只要有一个简单的闭合曲线其内有不属 ------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线--------------------------------------- 学院 专业班 学号 姓名 装订线 装订线 装订线 于该区域的点,这样的区域称为 复通区域 . 6. 若函数)(z f 在某点0z 不可导,而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导,则称0z 为)(z f 的 孤立奇点 . 7. δ函数的挑选性为 ? ∞ ∞ -=-)()()(00t f d t f ττδτ. 8. 在数学上,定解条件是指 边界条件 和 初始条件 . 9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、 输运方程 和 稳定场方程 . 10. 写出l 阶勒让德方程: 0)1(2)1(222 =Θ++Θ -Θ-l l dx d x dx d x . 二 计算题(每小题7分,共6小题) 1. )(z 的实部xy y x y x u +-=22),(,求该解析函数 数学物理方法习题答案: 第二章: 1、(1)a 与b 的连线的垂直平分线;以0z 为圆心,2为半径的圆。 (2)左半平面0,x <但是除去圆22(1)2x y ++=及其内部;圆2211()416x y -+= 2、2 ,cos(2)sin(2)i e i π ππ+; 32,2[cos(sin(3)i e i π ππ+; ,(cos1sin1)i e e e i ?+ 3、22k e ππ--; (623)i k e ππ+; 42355cos sin 10cos sin sin ?????-+; 11()sin ()cos 22b b b b e e a i e e a --++- 1 ()cos 2 y y ay b e e x e ---- 4、(1) 2214u υ+= 变为W 平面上半径为1 2的圆。 (2)u υ=- 平分二、四象限的直线。 5、(1) z ie iC -+; 2(1) 2i z -; ln i z - (2) 选取极坐标 ,, ()2 2 u C f z ?? υ==+=6、ln C z D + 第三章: 1、 (1) i π (2)、 i ie π-- (3)、 0 (4)、i π (5)、6i π 2、 设 ()!n z z e f n ξ ξ= z 为参变数,则 () 1 220 1 1 () 1(0)2!2! 1()()!!! ! n z n n n l l n n n n z z n z e d f d f i n i n z d z z e e n n d n n ξξξξξξξξπξξπξ ξ +=== ====? ? 第四章: 1、(1) 23 23 ()()ln 22z i z i z i i i i i ---+-+- (2)23313 (1) 2!3!e z z z ++++ (3) 211111()()[(1)(1)](1)11222k k k k k k z z i i i z z z i z i z i ∞=---=-=--++--<+-+∑ 2、(1) 1 n n z ∞ =--∑ (2) 11()43f z z z =--- ①3z <时 11011()34k k k k z ∞ ++=-∑ , 34z <<时 典型习题 一、填空题: 1 的值为 , , 。 2 、1-+的指数表示为_________ ,三角表示为 。 3、幂级数2 k k=1(k!)k z k ∞ ∑的收敛半径为 。 4、ln(5)-的值为 。 5、均匀介质球,半径为0R ,在其中心置一个点电荷Q 。已知球的介电常数为 ε,球外为真空,则电势所满足的泛定方程为 、 。 6、在单位圆的上半圆周,积分1 1||__________z dz -=?。 7、长为a 的两端固定弦的自由振动的定解问问题 。 8、具有轴对称性的拉普拉斯方程的通解为 。 9、对函数f(x)实施傅里叶变换的定义为 ,f (k )的傅里叶逆变换为 。 10、对函数f(x)实施拉普拉斯变换的定义为 。 二、简答题 1、已知()f z u iv =+是解析函数,其中22 v(x,y)=x y +xy -,求 (,)u x y 。 2、已知函数1w z = ,写出z 平面的直线Im 1z =在w 平面中的,u v 满足的方程。 3、将函数21()56f z z z =-+在环域2||3z <<及0|2|1z <-<内展开成洛朗级数. 4、长为L 的弹性杆,一端x=0固定,另一端沿杆的轴线方向被拉长p 后静止(在弹性限度内),突然放手后任其振动。试写出杆的泛定方程及定解条件。 三、计算积分: 1. ||22(1)(21)z zdz I z z ==-+? 2.||2sin (3)z zdz I z z ==+? 3.22202(1)x I dx x ∞ =+? 4.||1(31)(2) z zdz I z z ==++? 5. ||23cos z zdz I z ==? 6. 240x dx 1x I ∞=+? 7、0sin x dx x ∞ ? 8、20cos 1x dx x ∞+? 四、使用行波法求解下列方程的初值问题 嘉应学院 物理 系 《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题(共70分) 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一?(6分) 2、奇点分为几类?如何判别? (6分) 3、何谓定解问题的适定性?(6分) 4、什么是解析函数?其特征有哪些?(6分) 5、写出)(x δ挑选性的表达式(6分) 6、写出复数2 3 1i +的三角形式和指数形式(8分) 7、求函数 2 ) 2)(1(--z z z 在奇点的留数(8分) 8、求回路积分 dz z z z ?=12cos (8分) 9、计算实变函数定积分dx x x ?∞ ∞-++1 1 4 2(8分) 10、求幂级数k k i z k )(11 -∑∞ = 的收敛半径(8分) 二、计算题(共30分) 1、试用分离变数法求解定解问题(14分) ?? ?????=-===><<=-====0, 2/100 ,000002t t t l x x x x xx tt u x u u u t l x u a u 2、把下列问题转化为具有齐次边界条件的定解问题(不必求解)(6分) ??? ? ? ???? ===-==?====0,sin 0),(000b y y a x x u a x B u u y b Ay u u π 3、求方程 满足初始条件y(0)=0,y ’(0)=1 的解。(10分) 嘉应学院 物理 系 《数学物理方法》A 课程考试题 一、简答题(共70分) 1、什么是解析函数?其特征有哪些?(6分) 2、奇点分为几类?如何判别? (6分) 3、何谓定解问题的适定性?(6分) 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类?波动方程属于其中的哪种类型?(6分) 5、写出)(x δ挑选性的表达式(6分) 6、求幂级数k k i z k )(11 -∑∞ = 的收敛半径(8分) 7、求函数2 )2)(1(1 --z z 在奇点的留数(8分) 8、求回路积分 dz z z z ?=12cos (8分) t e y y y -=-'+''32 1. 复数1i e -的模为 ,主辐角为 弧度。 2. 函数 f (z)=e iz 的实部 Re f (z)=______________。 3. ln1=_________. 4. =ix e _________。 5. ln(1)i --=23(21)(2),0,1,2,2 n n n π-++=±±L 。 6.复数 =-)4ln(),2,1,0()12(4ln Λ±±=++k i k π。 7. 复数=i cos 2/)(1-+e e 。 8. 若解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的虚部xy y x y x v +-=22),(, 则实部=),(y x u c xy y x +--22/)(2 2 。 9. 若解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的虚部(,)v x y x y =+且(0)1f =,则解析函数为 z zi +。 10. 积分 dz z z z ?=12sin =______ . 11. 求积分=?=1cos z dz z z _________ 12. 2000 |2009|3(2011)z z dz --=-=?? 0 。 13. 设级数为∑∞ =1n n n z ,求级数的收敛半径_______________。 14.设级数为)211n n n n z z + ∑∞=(, 求级数的收敛区域 。 15. ) 3)(2(1)(--=z z z f 在3||2< 数学物理方法习题 第一章: 应用矢量代数方法证明下列恒等式 1、 2、 3、 4、 5、 第二章: 1、下列各式在复平面上的意义是什么? (1) (2) ; 2、把下列复数分别用代数式、三角式和指数式表示出来。 3、计算数值(和为实常数,为实变数) 4、函数 将平面的下列曲线变为平面上的什么曲线? (1) (2) 5、已知解析函数的实部或虚部,求解析函数。 (1) ; (2) 6、已知等势线族的方程为 常数,求复势。 第三章: 1、计算环路积分: 3r ?= 0r ??= ()()()()()A B B A B A A B A B ???=?-?-?+? 21()0 r ?=()0A ???= 0; 2 Z a Z b z z -=--=0arg 4z i z i π -<<+1Re()2 z =1;1i i e ++a b x sin5i i ?sin sin() iaz ib z a i b e -+1 W z = z W 224x y +=y x =()f z (,)u x y (,)x y υ22sin ;,(0)0;,(1)0x u e y u x y xy f u f ?==-+== =(00) f υ==22 x y += 2、证明:其中是含有的闭合曲线。 3、估计积分值 第四章: 1、泰勒展开 (1) 在 (2)在 (3)函数在 2、(1) 在区域展成洛朗级数。 (2) 按要求展开为泰勒级数或洛朗级数:① 以为中心展开; ②在的邻域展开;③在奇点的去心邻域中展开;④以奇点为中心展开。 3、确定下列函数的奇点和奇点性质 第五章: 1、计算留数 (1) 在点。 (2) ,在点; (3) 在孤立奇点和无穷远点(不是非孤立奇点); 2211132124sin 4(1).(2).11sin (3). (4). () 231 (5). (1)(3)z z z i z z z z z e dz dz z z z e dz dz z z z dz z z π π+=+====-+--+-????? 21()!2!n n z n l z z e d n i n ξξ πξξ=? l 0ξ=222i i dz z +≤? ln z 0 z i =1 1z e -0 0z =21 1z z -+1z =1 ()(1)f z z z = -01z <<1 ()(3)(4)f z z z = --0z =0z =521 (1);(2)(1)sin cos z z z z -+2 (1)(1)z z z -+1,z =±∞3 1sin z e z -0z =31 cos 2z z - 数学物理方法试卷 一、选择题(每题4分,共20分) 1.柯西问题指的是( ) A .微分方程和边界条件. B. 微分方程和初始条件. C .微分方程和初始边界条件. D. 以上都不正确. 2.定解问题的适定性指定解问题的解具有( ) A .存在性和唯一性. B. 唯一性和稳定性. C. 存在性和稳定性. D. 存在性、唯一性和稳定性. 3.牛曼内问题 ?????=??=?Γ f n u u ,02 有解的必要条件是( ) A .0=f . B .0=Γu . C .0=?ΓdS f . D .0=?Γ dS u . 4.用分离变量法求解偏微分方程中,特征值问题???==<<=+0 )()0(0 ,0)()(''l X X l x x X x X λ 的解是( ) A .) cos , (2x l n l n ππ??? ??. B .) sin , (2 x l n l n ππ?? ? ??. C .) 2)12(cos ,2)12( (2x l n l n ππ-??? ??-. D .) 2)12(sin ,2)12( (2x l n l n ππ-?? ? ??-. 5.指出下列微分方程哪个是双曲型的( ) A .0254=++++y x yy xy xx u u u u u . B .044=+-yy xy xx u u u . C .02222=++++y x yy xy xx u y xyu u y xyu u x . D .023=+-yy xy xx u u u . 二、填空题(每题4分,共20分) 1.求定解问题???? ?????≤≤==>-==><<=??-??====πππx 0 ,cos 2 ,00 t ,sin 2 ,sin 20 ,0 ,00002222x u u t u t u t x x u t u t t t x x 的解是( ) 2.对于如下的二阶线性偏微分方程 0),(),(2),(=++++-fu eu du u y x c u y x b u y x a y x yy xy xx 其特征方程为( ). 3.二阶常微分方程0)()4341()(1)(2'''=-++ x y x x y x x y 的任一特解=y ( ). 4.二维拉普拉斯方程的基本解为( r 1ln ),三维拉普拉斯方程的基本解为( ). 5.已知x x x J x x x J cos 2)( ,sin 2)(2 121ππ== -,利用Bessel 函数递推公式求 =)(2 3x J ( ). 三、(20分)用分离变量法求解如下定解问题 222220 000, 0, 00, 0, t 0, 0, 0x .x x l t t t u u a x l t t x u u x x u x u l ====???-=<<>???????==>?????==≤≤?? 解: 数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明:令Re z u iv =+。Re z x =,,0u x v ∴==。 1u x ?=?,0v y ?=?, u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C -R 条件, 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2 f z z = 仅在原点有导数。 证明:令()f z u iv =+。()2 2222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外,,u v 不满足C -R 条件。而 ,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续,且满足C -R 条件,所以()f z 在原点可微。 ()00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====???????? '=+=-= ? ?????????。 或:()()()2 * 00 0lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 2 2 ***0* 00lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=,*2i z e z θ-?=?与趋向有关,则上式中**1z z z z ??==??】 3、设333322 ()z 0 ()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠? =+??? ,证明()z f 在原点满足C -R 条件,但不可微。 证明:令()()(),,f z u x y iv x y =+,则 ()332222 22 ,=0 0x y x y u x y x y x y ?-+≠? =+?+??, 332222 22 (,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠? =+?+?? 。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===, 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-; 3300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===, 3300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C -R 条件。 但33332200()(0)() lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0,则 333333434322222 0()1(1)1(1) lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ,()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一,证明其在区域D 上 《数学物理方法》复习题 一、单项选择题 【 】1、函数()f z 以b 为中心的罗朗(Laurent )展开的系数公式为 11 () .2()k k f A C d i b γ ζζπζ+= -? ()().! k k f b B C k = 1().2k f C C d i b γζζπζ= -? 1 ! () .2()k k k f D C d i b γ ζζπζ+=-? 【 】2、本征值问题()()0,(0)0,()0X x X x X X l λ''+===的本征函数是 A .cos n x l π B .sin n x l π C .(21)sin 2n x l π- D .(21)cos 2n x l π- 【 】3、点z =∞是函数cot z 的 A. 解析点 B. 孤立奇点 C. 非孤立奇点 D. 以上都不对 【 】4、可以用分离变量法求解定解问题的必要条件是 A. 泛定方程和初始条件为齐次 B. 泛定方程和边界条件为齐次 C. 初始条件和边界条件为齐次 D. 泛定方程、初始条件和边界条件为齐次 【 】5、设函数()f z 在单连通区域D 内解析,C 为D 内的分段光滑曲线,端点为A 和B ,则积分 ()C f z dz ? A. 与积分路径及端点坐标有关 B. 与积分路径有关,但与端点坐标无关 C. 与积分路径及端点坐标无关 D. 与积分路径无关,但与端点坐标有关 【 】6、 条件1z <所确定的是一个 A .单连通开区域 B. 复连通开区域 C. 单连通闭区域 D. 复连通闭区域 【 】7、条件210<- 嘉应学院物理系《数学物理方法》B课程考试题 一、简答题(共70 分) 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一( 6 分) 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数 相等。 无论用何种方法进行解析延拓,所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类如何判别(6分) 在挖去孤立奇点Zo 而形成的环域上的解析函数F( z)的洛朗级数,或则没有负幂项,或则 只有有限个负幂项,或则有无限个负幂项,我们分别将Zo 称为函数 F( z)的可去奇点,极点及本性奇点。 判别方法:洛朗级数展开法 A,先找出函数f(z)的奇点; B,把函数在的环域作洛朗展开 1)如果展开式中没有负幂项,则为可去奇点; 2)如果展开式中有无穷多负幂项,则为本性奇点; 3)如果展开式中只有有限项负幂项,则为极点,如果负幂项的最高项为,则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性( 6 分) 1,定解问题有解; 2,其解是唯一的; 3,解是稳定的。满足以上三个条件,则称为定解问题 的适定性。 4、什么是解析函数其特征有哪些( 6 分) 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1)在区域内处处可导且有任意阶导数 . u x, y C1 2)这两曲线族在区域上正交。 v x, y C2 3)u x, y 和 v x, y 都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数 ) 4)在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型( 6 分) 数学物理泛定方程一般分为三种类型:双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出 (x) 挑选性的表达式( 6 分) f x x x 0 dx f x 0 f x x dx f 0 f (r ) ( r R 0 ) dv f ( R 0 ) 、写出复数 1 i 3 的三角形式和指数形式( 8 分) 6 2 cos isin 1 3 2 i 2 三角形式: 2 sin 2 cos 2 1 i 3 cos i sin 2 3 3 1 指数形式:由三角形式得: 3 i z e 3 、求函数 z 在奇点的留数( 8 分) 7 1)( z 2) 2 (z 解: 奇点:一阶奇点 z=1;二阶奇点: z=2 Re sf (1) lim (z 1) z 1 ( z 1)( z 2) 2 z 1 2. 试解方程:()0,044>=+a a z 444244 00000 ,0,1,2,3 ,,,,i k i i z a a e z ae k ae z i i ππππωωωωω+=-=====--若令则 1.计算: (1) i i i i 524321-+-+ (2) y = (3) 求复数2 ?? 的实部u 和虚部v 、模r 与幅角θ (1) 原式= ()()()12342531081052916 2525255 i i i i i i +?+-?+-++=+=-+-- (2) 3 32( )10205 2(0,1,2,3,4)k i e k ππ+==原式 (3) 2 223 221cos sin cos sin ,3333212u v 1,2k ,k 0,1,2,23 i i i e r π πππππ θπ??==+=+==-+ ?????=-===+=±± 原式所以:, 3.试证下列函数在z 平面上解析,并分别求其导数. (1)()()y i y y ie y y y x e x x sin cos sin cos ++- 3. ()()()()()()()()cos sin ,cos sin ,cos sin cos ,sin sin cos ,cos sin sin sin ,cos sin cos ,,,x x x x x x x x u e x y y y v e y y x y u e x y y y e y x u e x y y y y y v e y y x y e y y x v e y y y x y y u v u v x y y x u v z f z u iv z u f z =-=+?=-+??=---??=++??=-+?????==-????=+?'= ?证明:所以:。 由于在平面上可微 所以在平面上解析。()()()cos sin cos cos sin sin .x x x x v i e x y y y e y i e y y x y e y x x ?+=-++++? 由下列条件求解析函数()iv u z f += (),1,22i i f xy y x u +-=+-= 解: ()()()()()()()222222222212,2,21 2,2,,,2112, 2211 1,0,1,1,, 221112. 222u v x y v xy y x x y v u v y x y x x x x x c x y x f z x y xy i xy y x c f i i x y c c f z x y xy i xy x y ??????==+∴=++?????''=+=-=-+∴=-=-+?????=-+++-+ ??? =-+==+==? ?=-++-++ ???而即所以由知带入上式,则则解析函数 2. ()21,3,,.i i i i i i e ++试求 《数学物理方法》复习题 一、单项选择题 【 】 1、函数 f (z) 以 b 为中心的罗朗( Laurent )展开的系数公式为 1 A. C k 2 i 1 C. C k 2 i ? ? f ( ) d B. C k f (k ) (b) ( b) k 1 k ! f ( ) k ! f ( ) b d D . C k 2 i ? ( b)k 1 d 【 】 2、本征值问题 X ( x) X (x) 0, X (0) 0, X (l ) 0 的本征函数是 A .cos n x B .sin n x C . sin (2n 1) x D . cos (2n 1) x 】 3、点 z l l 2l 2l 【 是函数 cot z 的 A. 解析点 B. 孤立奇点 C. 非孤立奇点 D. 以上都不对 【 】 4、可以用分离变量法求解定解问题的必要条件是 A. 泛定方程和初始条件为齐次 B. 泛定方程和边界条件为齐次 C. 初始条件和边界条件为齐次 D. 泛定方程、初始条件和边界条件为齐次 【 】5、设函数 f ( z) 在单连通区域 D 内解析, C 为 D 内的分段光滑曲线, 端点为 A 和 B , 则积分 ( ) f z dz C A. 与积分路径及端点坐标有关 B. 与积分路径有关,但与端点坐标无关 C. 与积分路径及端点坐标无关 D. 与积分路径无关,但与端点坐标有关 【 】6、 条件 z 1 所确定的是一个 A .单连通开区域 B. 复连通开区域 C. 单连通闭区域 D. 复连通闭区域 【 】 7、条件 0 z 1 2 所确定的是一个 A .单连通开区域 B. 复连通开区域 C. 单连通闭区域 D. 复连通闭区域 【 】 8、 积分 ? zcosz 2dz |z| 1 A . 1 B . 1 C . 1 2 D . 0 2 【 】 9、函数 f ( z) 1 在 z 1 2 内展成 z 1 的级数为 1 z A . 2 n B 1 n 0 ( z 1) n 1 . n 0 z n 1 【 】 10 、 点 z 0 是函数 1 f ( z) sin z C . ( z 1)n D .z n n 0 2n 1 n 0 1 的 福师大物理系《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题(共70分) 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一?(6分) 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。 无论用何种方法进行解析延拓,所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类?如何判别?(6分) 在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F(z)的洛朗级数,或则没有负幂项,或则只有有限个负幂项,或则有无限个负幂项,我们分别将Zo称为函数F(z)的可去奇点,极点及本性奇点。 判别方法:洛朗级数展开法 A,先找出函数f(z)的奇点; B,把函数在的环域作洛朗展开 1)如果展开式中没有负幂项,则为可去奇点; 2)如果展开式中有无穷多负幂项,则为本性奇点; 3)如果展开式中只有有限项负幂项,则为极点,如果负幂项的最高项为,则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性?(6分) 1,定解问题有解;2,其解是唯一的;3,解是稳定的。满足以上三个条件,则称为定解问题的适定性。 4、什么是解析函数?其特征有哪些?(6分) 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1)在区域内处处可导且有任意阶导数. 2) () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3)()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4)在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类?波动方程属于其中的哪种类型?(6分) 数学物理泛定方程一般分为三种类型:双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式(6分) ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞ -)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数2 31i +的三角形式和指数形式(8分) 三角形式:()3sin 3cos 231cos sin 2 321isin cos 222ππ? ?ρ??ρi i i +=++=+=+ 指数形式:由三角形式得: 313πρπ?i e z === 7、求函数 2)2)(1(--z z z 在奇点的留数(8分) 解: 奇点:一阶奇点z=1;二阶奇点:z=2 1)2)(1()1(lim Re 21)1(=????? ?---=→z z z z sf z 《数学物理方法》试卷答案 一、选择题(每题4分,共20分) 1.柯西问题指的是( B ) A .微分方程和边界条件. B. 微分方程和初始条件. C .微分方程和初始边界条件. D. 以上都不正确. 2.定解问题的适定性指定解问题的解具有( D ) A .存在性和唯一性. B. 唯一性和稳定性. C. 存在性和稳定性. D. 存在性、唯一性和稳定性. 3.牛曼内问题 ??? ??=??=?Γ f n u u ,02 有解的必要条件是( C ) A .0=f . B .0=Γu . C . 0=?Γ dS f . D .0=?Γ dS u . 4.用分离变量法求解偏微分方程中,特征值问题???==<<=+0 )()0(0 ,0)()(''l X X l x x X x X λ 的解是( B ) A .) cos , (2 x l n l n ππ??? ??. B .) sin , (2 x l n l n ππ?? ? ??. C .) 2)12(cos ,2)12( (2 x l n l n ππ-??? ??-. D .) 2)12(sin ,2)12( (2 x l n l n ππ-?? ? ??-. 5.指出下列微分方程哪个是双曲型的( D ) A .0254=++++y x yy xy xx u u u u u . B .044=+-yy xy xx u u u . C .02222=++++y x yy xy xx u y xyu u y xyu u x . D .023=+-yy xy xx u u u . 二、填空题(每题4分,共20分) 1.求定解问题??? ? ? ????≤≤==>-==><<=??-??====πππx 0 ,cos 2 ,00 t ,sin 2 ,sin 20 ,0 ,00002222x u u t u t u t x x u t u t t t x x 的解是(x t cos sin 2). 2.对于如下的二阶线性偏微分方程 0),(),(2),(=++++-fu eu du u y x c u y x b u y x a y x yy xy xx 其特征方程为( 0))(,(),(2))(,(22=++dx y x c dxdy y x b dy y x a ). 3.二阶常微分方程0)()43 41()(1)(2'''=-++x y x x y x x y 的任一特解=y ( )21 (2 3 x J 或0). 4.二维拉普拉斯方程的基本解为( r 1ln ),三维拉普拉斯方程的基本解为( r 1 ). 5.已知x x x J x x x J cos 2 )( ,sin 2)(2 12 1ππ== -,利用Bessel 函数递推公式求 =)(2 3x J ( )s i n )(1(2)cos sin 1(223 x x dx d x x x x x x ππ-=- ). 三、(15分)用分离变量法求解如下定解问题 222220 00, 0, 00, 0, t 0, 0, 0x .x x l t t t u u a x l t t x u u x x u x u l ====???-=<<>???? ???==>? ????==≤≤?? 解:第一步:分离变量 (4分) 设)()(),(t T x X t x u =,代入方程可得 嘉应学院物理系《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题(共70分) 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一(6分) 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。 无论用何种方法进行解析延拓,所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类如何判别(6分) 在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F(z)的洛朗级数,或则没有负幂项,或则只有有限个负幂项,或则有无限个负幂项,我们分别将Zo称为函数F(z)的可去奇点,极点及本性奇点。 # 判别方法:洛朗级数展开法 A,先找出函数f(z)的奇点; B,把函数在的环域作洛朗展开 1)如果展开式中没有负幂项,则为可去奇点; 2)如果展开式中有无穷多负幂项,则为本性奇点; 3)如果展开式中只有有限项负幂项,则为极点,如果负幂项的最高项为,则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性(6分) 1,定解问题有解;2,其解是唯一的;3,解是稳定的。满足以上三个条件,则称为定解问题的适定性。 > 4、什么是解析函数其特征有哪些(6分) 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1)在区域内处处可导且有任意阶导数. 2) () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3)()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4)在边界上达最大值。 | 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型(6分) 数学物理泛定方程一般分为三种类型:双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式(6分) ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞ -)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数 231i +的三角形式和指数形式(8分) ¥ 三角形式:()3 sin 3cos 231cos sin 2 321isin cos 222ππ? ?ρ??ρi i i +=++=+=+ 指数形式:由三角形式得: 313πρπ?i e z === 7、求函数 2)2)(1(--z z z 在奇点的留数(8分) 解: 奇点:一阶奇点z=1;二阶奇点:z=2 2. 试解方程:()0,04 4 >=+a a z 44424400000 ,0,1,2,3 ,,,,i k i i z a a e z ae k ae z i i πππ π ωωωωω+=-=====--若令则 1.计算: (1) i i i i 524321-+ -+ (2) y = (3) 求复数2 12?? + ? ??? 的实部u 和虚部v 、模r 与幅角θ (1) 原式= ()()()12342531081052 916 2525255 i i i i i i +?+-?+-++=+=-+-- (2) 3 32( )10205 2(0,1,2,3,4)k i e k ππ+==原式 (3) 2 223 221cos sin cos sin ,3333212u v 1,2k ,k 0,1,2,223 i i i e r π πππππ θπ??==+=+==- ?????=-===+=±±L 原式所以:, 3.试证下列函数在z 平面上解析,并分别求其导数. (1)()()y i y y ie y y y x e x x sin cos sin cos ++- 3. ()()()()()()()()cos sin ,cos sin ,cos sin cos ,sin sin cos ,cos sin sin sin ,cos sin cos ,,,x x x x x x x x u e x y y y v e y y x y u e x y y y e y x u e x y y y y y v e y y x y e y y x v e y y y x y y u v u v x y y x u v z f z u iv z u f z =-=+?=-+??=---??=++??=-+?????==-????=+?'= ?证明:所以:。 由于在平面上可微 所以在平面上解析。()()()cos sin cos cos sin sin .x x x x v i e x y y y e y i e y y x y e y x x ?+=-++++? 由下列条件求解析函数()iv u z f += (),1,22i i f xy y x u +-=+-= 解: ()()()()()()()222222222212,2,21 2,2,,,2112, 2211 1,0,1,1,, 221112. 222u v x y v xy y x x y v u v y x y x x x x x c x y x f z x y xy i xy y x c f i i x y c c f z x y xy i xy x y ??????==+∴=++?????''=+=-=-+∴=-=-+?????=-+++-+ ??? =-+==+==? ?=-++-++ ?? ?而即所以由知带入上式,则则解析函数 2. ()21,3,,.i i i i i i e ++试求数学物理方法综合试题及答案
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