2020年贵州省铜仁市中考数学一模试卷解析版

中考数学一模试卷

题号一二三总分

得分

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1.（-1）2020等于（ ）

A. -2020

B. 2020

C. -1

D. 1

2.下列计算正确的是（ ）

A. （-2a2）4=8a8

B. a3+a=a4

C. a5÷a2=a3

D. （a+b）2=a2+b2

3.已知反比例函数y=（k≠0）的图象位于二、四象限，则一次函数y=x+k图象大致是

（ ）

A. B.

C. D.

4.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的

比为（ ）

A. B. C. D.

5.如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠OBC=50°，则∠A

的度数是（ ）

A. 40°

B. 50°

C. 80°

D. 100°

6.若分式的值为0，则x的取值为（ ）

A. x≠1

B. x≠-1

C. x=1

D. x=-1

7.某公司10名职工5月份工资统计如下，该公司10名职工5月份工资的众数和中位

数分别是（ ）

工资（元）2000220024002600

人数（人）1342

A. 2400元、2400元

B. 2400元、2300元

C. 2200元、2200元

D. 2200元、2300元

8.已知等边三角形的周长为6，则它的内切圆和外接圆组成的圆环面积为（ ）

A. 6π

B. 3π

C. π

D. 2π

9.货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，已知小车每小时比货车多行驶

20千米，求两车的速度各为多少？设货车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是（ ）

A. B. C. D.

10.如图已知点A（1，4），B（2，2）是反比例函数y=的图象上的

两点，动点P（x，0）在x轴上运动，当线段AP=BP时，点P的

坐标是（ ）

A. （-，0）

B. （-，0）

C. （，0）

D. （，0）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.世界文化遗产长城总长约6 700 00 m，用科学记数法可表示为______m．

12.因式分解：a4-2a3+a2=______．

13.已知菱形的两条对角线分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实数根，则该菱形

的面积是______．

14.四边形ABCD是某个圆的内接四边形，若∠A=100°，则∠C= ______ ．

15.现定义运算“☆”，对于任意实数a、b，都有a☆b=a2-3a+b，若x☆2=6，则实数x

的值是______ ．

16.一个不透明的袋子中装有形状、大小均相同的3个红球，2个白球，1个黑球，从

袋中随机摸出一个球是红球的概率为______．

17.如图，点D在△ABC的边BC上，∠C+∠BAD=∠DAC

，tan∠BAD=，AD=，CD=13，则线段AC的长为

______．

18.观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…通

过观察，用所发现的规律确定22016的个位数字是______．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分）

19.（1）计算：（π-2016）0+6cos45°-|-|+（）-2

（2）先化简，再求值：（-）÷，其中x=．

20.铜仁市教育局为了了解七年级学生寒假参加社会实践活动的天数，随机抽查本市部

分七年级学生寒假参加社会实践活动的天数，并用得到的数据绘制了下面两幅不完整的统计图（如图）．请你根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）a=______%，并写出该扇形所对圆心角的度数为______；补全条形图；

（2）在这次抽样调查中，一共调查了多少名学生？

（3）如果该市有七年级学生20000人，请你估计“活动时间不少于5天”的大约有多少人？

21.已知：如图，AB=CD，BC=DA，求证：∠A=∠C．

22.如图，一艘渔船以60海里每小时的速度向正东方向航行．在A处测得灯塔C在北

偏东60°方向上；继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔C在北偏东30°方向上．已知在灯塔C周围50海里范围内有暗礁，问这艘渔船继续向东航行有无触礁的危险？

23.某超市销售一种进价为40元/千克的产品，若按60元/千克出售时，平均每天可售

出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售量可增加10千克．

（1）若该超市销售这种产品计划平均每天获利2240元，则这种产品应将售价定为多少元？

（2）将售价定为多少元时，可使超市销售这种产品一天获利最大，最大利润是多少？

24.如图，AC是⊙O的直径，P是⊙O外一点，连结PC

交⊙O于B，连结PA、AB，且满足PC=50，PA=30，

PB=18．

（1）求证：△PAB∽△PCA；

（2）求证：AP是⊙O的切线．

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：（-1）2020=1，

故选：D．

根据负数的偶次方是正数可以解答．

本题考查了有理数的乘方运算，知道-1的奇次方是-1，-1的偶次方是1，是常考题型．2.【答案】C

【解析】解：A．（-2a2）4=16a8，故本选项不合题意；

B．a3与a不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；

C．a5÷a2=a3，正确；

D．（a+b）2=a2+2ab+b2，故本选项不合题意．

故选：C．

分别根据积的乘方运算法则，合并同类项法则，同底数幂的除法法则以及完全平方公式逐一判断即可．

本题主要考查了同底数幂的除法，完全平方公式，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．

3.【答案】B

【解析】解：∵正比例函数y=kx（k≠0）的图象在第二、四象限，

∴k＜0，

∴一次函数y=x+k的图象与y轴交于负半轴，且经过第一、三象限．

观察选项，只有B选项正确．

故选：B．

根据正比例函数图象所经过的象限判定k＜0，由此可以推知一次函数y=x+k的图象与y 轴交于负半轴，且经过第一、三象限．

此题考查一次函数，正比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．解题时需要“数形结合”的数学思想．

4.【答案】A

【解析】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为，

∴△ABC与△DEF对应中线的比为，

故选：A．

根据相似三角形的对应中线的比等于相似比解答．

本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．

5.【答案】A

【解析】解：∵OC=OB，

∴∠OCB=∠OBC=50°，

∴∠BOC=180°-50°-50°=80°，

∴∠A=∠BOC=40°．

故选：A．

在等腰三角形OBC中求出∠BOC，继而根据圆周角定理可求出∠A的度数．

此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．

6.【答案】C

【解析】解：由题意得：x2-1=0，且x+1≠0，

解得：x=1，

故选：C．

根据分式值为零的条件可得x2-1=0，且x+1≠0，再解即可．

此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．

注意：“分母不为零”这个条件不能少．

7.【答案】A

【解析】解：∵2400出现了4次，出现的次数最多，

∴众数是2400；

∵共有10个数，

∴中位数是第5、6个数的平均数，

∴中位数是（2400+2400）÷2=2400；

故选：A．

根据中位数和众数的定义求解即可；中位数是将一组数据从小到大重新排列，找出最中间的两个数的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数．

此题考查了众数与中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数．8.【答案】C

【解析】解：如图，

∵等边三角形ABC的周长为6，

∴BC=2，

设点D为BC边与内切圆的切点，

连接AD，则AD⊥BC，

∴BD=DC=BC=1，

在Rt△BOD中，根据勾股定理，得

OB2-OD2=BD2=1，

∴S圆环=S外接圆-S内切圆

=OB2π-OD2π

=BD2π

=π．

故选：C．

根据题意画出图形，由等边三角形的周长为6，可得BC=2，设点D为BC边与内切圆的切点，连接AD，则AD⊥BC，可得BD=DC=BC=1，再根据勾股定理可得

OB2-OD2=BD2=1，再根据S圆环=S外接圆-S内切圆即可得结论．

本题考查了三角形的内切圆与内心、等边三角形的性质、三角形的外接圆与外心、扇形面积的计算，解决本题的关键是掌握三角形的内心与外心定义．

9.【答案】C

【解析】解：根据题意，得

．

故选：C．

题中等量关系：货车行驶25千米与小车行驶35千米所用时间相同，列出关系式．

理解题意是解答应用题的关键，找出题中的等量关系，列出关系式．

10.【答案】A

【解析】解：∵点A（1，4），B（2，2），动点P（x，0）在x轴上运动，

∴AP=（x-1）2+42，PB=（x-2）2+22，

∵AP=BP，

∴（x-1）2+42=（x-2）2+22，

解得x=-，

∴点P的坐标是（-，0），

故选：A．

根据勾股定理得到（x-1）2+42=（x-2）2+22，解得即可．

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用勾股定理得到关于x的方程是解题的关键．

11.【答案】6.7×105

【解析】解：将670000用科学记数法表示为6.7×105m．

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

12.【答案】a2（a-1）2

【解析】解：原式=a2（a2-2a+1）

=a2（a-1）2．

故答案为：a2（a-1）2．

原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．

此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

13.【答案】24

【解析】解：∵x2-14x+48=0，

∴x=6或x=8，

∴该菱形的对角线长分别为6或8，

∴菱形的面积=，

故答案为：24．

根据一元二次方程的解法即可求出对角线的长，然后利菱形的面积即可求出答案．

本题考查菱形的性质和一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．

14.【答案】80°

【解析】解：∵四边ABCD是圆的内接四边形，∠A=100°，

∴∠C=180°-100°=80°．

故答案为：80°．

直接根据圆内接四边形的性质进行解答即可．

本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．15.【答案】4或-1

【解析】解：x☆2=6，

x2-3x+2=6，

x2-3x-4=0，

（x-4）（x+1）=0，

x-4=0，x+1=0，

x1=4，x2=-1，

故答案为：4或-1．

先根据新定义得出一元二次方程，求出方程的解即可．

本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能根据已知得出一元二次方程，题目比较新颖，难度适中．

16.【答案】

【解析】解：从袋中随机摸出一个球是红球的概率为=，

故答案为：．

用红球的个数除以球的总个数即可得．

本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．

17.【答案】4

【解析】解：作∠DAE=∠BAD交BC于E，作DF⊥AE交

AE于F，作AG⊥BC交BC于G．

∵∠C+∠BAD=∠DAC，

∴∠CAE=∠ACB，

∴AE=EC，

∵tan∠BAD=，

∴设DF=4x，则AF=7x，

在Rt△ADF中，AD2=DF2+AF2，即（）2=（4x）2+（7x）2，

解得x1=-1（不合题意舍去），x2=1，

∴DF=4，AF=7，

设EF=y，则CE=7+y，则DE=6-y，

在Rt△DEF中，DE2=DF2+EF2，即（6-y）2=42+y2，

解得y=，

∴DE=6-y=，AE=，

∴设DG=z，则EG=-z，则

（）2-z2=（）2-（-z）2，

解得z=1，

∴CG=12，

在Rt△ADG中，AG==8，

在Rt△ACG中，AC==4．

故答案为：4．

作∠DAE=∠BAD交BC于E，作AF⊥BC交BC于F，作AG⊥BC交BC于G．根据三角函数设DF=4x，则AF=7x，在Rt△ADF中，根据勾股定理得到DF=4，AF=7，设EF=y，

则CE=7+y，则DE=6-y，在Rt△DEF中，根据勾股定理得到DE=，AE=，设DG=z，则EG=-z，则（）2-z2=（）2-（-z）2，依此可得CG=12，在Rt△ADG中，据勾

股定理得到AG=8，在Rt△ACG中，据勾股定理得到AC=4．

考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，解直角三角形，解题的关键是根据勾股定理得到AG和CG的长．

18.【答案】6

【解析】解：21=2，22=4，23=8，24=16，

25=32，26=64，27=128，28=256，

…，

所以，每四个一组，个位数字循环，

∵2016÷4=504，

∴22016的个位数字与24的个位数字相同是：6．

故答案为：6．

观察发现，每四个一组，个位数字循环，然后用2016除以4，正好能够整除，所以与第四个数的个位数字相同．

本题考查了尾数特征，利用有理数的乘法考查了数字变化规律的问题，观察得到“每四个数一组，个位数字循环”是解题的关键．

19.

【答案】解：（1）（π-2016）0+6cos45°-|-|+（）-2

=1+6×-3+4

=1+3-3+4

=5；

（2）（-）÷

=

=

=

=，

当x=时，原式==-1．

【解析】（1）根据零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值和负整数指数幂可以解答本题；

（2）根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．

本题考查分式的化简求值、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值和负整数指数幂，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．

20.【答案】25 90°

【解析】解：（1）

a=100%-30%-15%-10%-20%=25%，

360°×25%=90°，

调查人数：20÷10%=200（人），

200×25%=50（人），

如图所示：

故答案为：25；90°；

（2）由（1）可得一共调查了200名学生

；

（3）20000×（30%+20%+25%）=15000（人），

答：“活动时间不少于5天”的大约有15000人．

（1）用100%减去3天、4天、5天、7天所占百分比可得a，利用360°乘以所占百分比可得该扇形所对圆心角的度数，求出总数，再乘以所占百分比可得6天的人数，再补图即可；

（2）由（1）的计算可得答案；

（3）利用样本估计总体的方法计算即可．

本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．21.【答案】证明：∵AB=CD，BC=DA，BD=DB，

∴△ABD≌△CDB（SSS），

∴∠A=∠C．

【解析】根据SSS可证明△ABD≌△CDB，则可得出结论．

此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．

22.【答案】解：作PH⊥AB于H．

∵∠PAB=30°，∠ABP=120°，

∴∠APB=180°-∠PAB-∠ABP=30°，

∵∠BAP=∠BPA=30°，

∴BA=BP=60海里，

在Rt△PBH中，PH=PB?sin60°=60×=30

（海里），

∵30＞50，

∴渔船继续向正东方向航行是安全的．

【解析】作PH⊥AB于H．求出PH的值即可判定；

本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键．

23.【答案】解：（1）设每千克水果应降价x元，

根据题意，得：（60-x-40）（100+10x）=2240，

解得：x1=4，x2=6，

答：这种产品应将售价定为54元或56元；

（2）设每天获得的利润为W，销售价格为x，则

W=（x-40）[100+10（60-x）]

=（x-40）（-10x+700）

=-10x2+1100x-28000

=-10（x-55）2+2250．

∴销售价格定为55时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是2250元．

【解析】（1）设每千克水果应降价x元，利用销售量×每件利润=2240元列出方程求解即可；

（2）设每天获得的利润为W，销售价格为x，列出W与x的函数关系式即可解答．本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程和函数关系式．

24.【答案】证明：（1）∵PC=50，PA=30，PB=18，

∴，==，

∴=，

又∵∠APC=∠BPA，

∴△PAB∽△PCA；

（2）∵AC是⊙O的直径，

∴∠ABC=90°，

∴∠ABP=90°，

又∵△PAB∽△PCA，

∴∠PAC=∠ABP，

∴∠PAC=90°，

∴PA是⊙O的切线．

【解析】（1）根据△PAB与△PCA的对应边成比例，夹角相等证得结论；

（2）欲证明AP是⊙O的切线，只需证得∠PAC=90°．

本题考查了相似三角形的判定与性质、切线的判定．解题时，利用了圆周角定理：直径所对的圆周角是直角．