量子力学第二章总结

第二章

1.波函数/平面波：

（1）频率和波长都不随时间变化的波叫平面波。 （2）如果，粒子受到随时间或位置变化的力场作用，他的动量和能量不再是常量，这时的粒子就不能用平面波来描写。在一般情况下，我们用一个复函数表示描写粒子的波，并称这个函数为波函数

2.自由粒子/粒子的状态：不被位势束缚的粒子叫做自由粒子.

3.波函数的几率解释/波恩解释： （1）粒子衍射试验中，如果入射电子流的强度很大，则照片上很快就会出现衍射图样；如果入射电子流强度很小，电子一个一个的从晶体表面上反射，开始它们看起来是毫无规则的散布着，随时间变化在照片上同样出现了衍射图样。 由此可见，实验所显示的电子的波动性是许多电子在同一实验的统计结果，或者是一个电子在许多次相同试验中的统计结果。 （2）波恩提出了统计解释，即：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和该点找到粒子的概率成比例，按照这种解释，描写粒子的波乃是概率波。

4.几率密度: 在t 时刻r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ω(r,t) ={dW(r,t)/d τ}= C|Ψ(r,t)|2

5.平方可积： 由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即： C ∫∞|Ψ(r,t)|2

d τ= 1 而得常数C 之值为： C = 1/∫∞|Ψ(r,t)|2

d τ 若 ∫∞|Ψ(r , t)|2d τ→∞,则 C → 0, 这是没有意义的。故要求描写粒子量子状态的波函数Ψ必须是绝对值平方可积的函数。 7.归一化： C ∫∞|Φ(x,y,z,t)|2

d τ= 1 （波函数乘以一个常数以后，并不改变空间各点找到粒子的概率，不改变波函数的状态） C = 1/∫∞|Φ(x,y,z,t)|2

d τ 现把上式所确定的C 开平方后乘以Φ，并以Ψ表示所得函数： Ψ(x,y,z,t)=C ?Φ(x,y,z,t) 在t 时刻 在（x,y,z ）点附近单位体积内找到粒子的概率密度是： ω( x,y,z,t) = C|Φ(x,y,z,t)|2

故把（1）式改写成 ∫∞|Ψ(r , t)|2

d τ=1 把Φ换成Ψ的步骤称为归一化。 8.δ—函数 δ(x-x 0)= 0 x ≠x 0 ∞ x=x0 ∫+∞

-∞δ（x-x 0）dx=1 9.波函数的标准化条件： （1）单值、有限、连续 （2）正交 归一 完备 10.态叠加原理： 态叠加原理一般表述：若Ψ1 ，Ψ2 ……Ψn …… 是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加 Ψ= C 1Ψ1+ C 2Ψ2+……+C n Ψn 也是体系的一个可能状态。 11.能量算符/哈密顿算符 定态波函数满足下面两个方程：

两个方程的特点：都是以一

个算符作用于Ψ(r, t)等于E Ψ(r, t)。 →哈密顿算符 这两个算符都是能量算符 12.薛定谔方程:

13.几率流密度

单位时间内通过τ的封闭

表面S 流入（面积分前面的负号）τ内的几率，因而可以自然的把J 解释为概率密度矢量。 14.质量守恒定律：

15.电荷守恒定律：

16.状态波函数或态函数 所谓态函数,就是指它们的数值由系统的状态唯一地确定,而与系统如何达到这个状态的过程无关。 17.量子力学的基本假定 (1)微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性、单值性三个条件。

(2)力学量用厄米算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量得算符.表示力学量的算符有组成完备系的本征函数。

(3)将体系的状态波函数Ψ用算符F 的本征函数Φ展开（F Φn =λn Φn F Φλ=λΦλ）: Ψ=ΣCn Φn+∫C λΦλd λ, 则在Ψ态中测量力学量F 得到结果为λn 的概率为

|Cn|2,

得到结果在λ→λ+d λ范围内的概率是|C λ|2d λ （4）体系的状态波函数满足薛定谔方程

（5）在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系状态（全同性原理）

18.定态/定态波函数/定态S 方程：

求解薛定谔方程 的特解

(1) 由此可见，体系处于(1)式所描写的状态是，能量具有确定值，所以这种状态成为 定态..(1)式称为定态波函数（在定态中概率密度和概率流密度都与时间无关） (2)

函数Ψ由方程（2）和具体问题中的波函数应满足地条件得出，方程(2)为定态薛定谔方程