喀兴林高等量子力学习题EX1.矢量空间
EX1.矢量空间
练习 1.1 试只用条件（1）~（8）证明2ψψψ+=，0ψ=O 和1ψψ-=-（）。 （完成人：梁立欢 审核人：高思泽） 证明：由条件（5）、（7）得
11112ψψψψψψ
+=+=+=（） 只需证明O =0ψ和ψψ-=-)1(这两式互相等价 根据条件（7）
00)00(0ψψψψ+=+= 现在等式两边加上)0(ψ-，得
)0()00()0(0ψψψψψ-++=-+ 根据条件（4）， 上式左O =-+=)0(0ψψ 根据条件（4）、（2）
上式右00)00(0ψψψψψ=O +=-+= O =∴0ψ
由O =0ψ，根据条件（4）、（7）得
ψψψψψψ-=O =-+=-=)1()11(0 ψψ-=-?)1( #
练习 1.2 证明在内积空间中若()()?ψ?ψ,,21=对任意?成立，则必有21ψψ=。 （完成人：谷巍 审核人：肖钰斐）
证明 由题意可知，在内积空间中若()()?ψ?ψ,,21=对任意?成立，则有
(1ψ,)?－(2ψ,)?=0 (1)
于是有
()0,21=-?ψψ (2)
由于在内积空间中()()?ψ?ψ,,21=对任意?成立，则可取21ψψ?-=,则有
()2121,ψψψψ--=0 成立 （3）
根据数乘的条件（12）可知，则必有
021=-ψψ
（4） 即21ψψ=
故命题成立，即必有21ψψ=. #
练习1.3 矢量空间运算的12个条件是不是独立的？有没有一条或两条是其余各条的逻辑推论？如有，试证明之。 （完成人：赵中亮 审核人：张伟） 解：矢量空间运算的12个条件是独立的。 #
练习 1.4 （1）在第二个例子中若将加法的规定改为：和矢量的长度为二矢量长度之和，方向为二矢量所夹角()??180的分角线方向，空间是否仍为内积空间？ （2）在第二个例子中若将二矢量B A 和内积的定义改
为θ
或
θ，空间是否仍为内积空间？ （3）在第三个例子的空间中，若将内积的定义改为 ()4*
43*
32*
21*
1432,m l m l m l m l m l +++=
空间是否仍为内积空间？
（4）在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为
()()??==b
a
b
a dx
x x g x f x g x f xdx x g x f x g x f 2
*
*)()()(),()()()(),(或
空间是否仍为内积空间？
（完成人：张伟 审核人：赵中亮）
解：（1）在第二个例子中若将加法的规定改变之后，空间不是内积空间。
因为将规定改之后对于任意的矢量不一定存在逆元，如一个不为零的矢量设为
，则任意矢量和它相加后，得到的矢量的长度不为零，所以一定不能得到零
矢量，即找不到逆元。所以空间不是内积空间。
（2）在第二个例子中若将内积的定义改之后，空间不是一个内积空间。证明如下：
+≠+,即有
() ,=+
θ
θθ+≠=()(),,+
所以内积的定义改变之后不是内积空间。
（3）在第三个例子中若将内积的定义改之后，空间仍然是一个内积空间。证明如下： i
()()m l m l m l m l m l l m l m l m l m l m ,432)432(,4*43*32*21*1*4*43*32*21*1*=+++=+++=
ii ．
()()()n l m l n l n l n l n l m l m l m l m l n m l n m l n m l n m l n m l ,,)432()432()
(4)(3)(2)(,4*
43*
32*
21*
14*
43*
32*
21*
144*433*322*211*1+=+++++++=+++++++=+ iii ．
()()
m l a m l m l m l m l a a
m l a m l a m l a m l ma l ,)432(432,4*
43*
32*
21*
14*43*32*21*1=+++=+++= iv.()0||4||3||2||,24232221≥+++=l l l l l l ，对任意l 成立 若()0,0,0,4321======l l l l l l l 即则必有
综上所述，新定义的内积规则符合条件（9）—条件（12），所以仍为内积空间
（4）在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为
()?=b
a
xdx x g x f x g x f )()()(),(*后，空间不是内积空间。
因为()??==b
a
b
a
xdx x f xdx x f x f x f x f 2
*
)()()()(),(，积分号内的函数是一个
奇函数，它不能保证对于任意的()x f 积分出来后都大于零，即不符合条件(12)，所以不是内积空间。
在第四个例子的函数空间中，若将内积的定义改为
()?=b
a
dx x x g x f x g x f 2*)()()(),(后，空间是内积空间。
证明如下:
i ()()**
2*2
*
)(),()()()()()(),(x f x g dx x x f x g dx x x g x f x g x f b a b
a
=??? ??==?? ii
()()()()()
x h x f x g x f dx x x h x f dx x x g x f x h x g x f b
a
b
a
),()(),()()()()()(),(2*2*+=+=+?? iii ()())(),()()()()()(),(2*2
*
x g x f a dx x x g x f a dx ax x g x f a x g x f b
a
b
a
===??
iv ()成立对任意ψ,0)()(),(22
≥=?b
a dx x x f x f x f
若()0)()(),(22
==?b
a
dx x x f x f x f ，则必有()0=x f
综上所述，新定义的内积规则符合条件（9）—条件（12），所以仍为内积空间。 #
练习 1.5若a 为复数，证明若a ψ?=时，Schwartz 不等式中的等号成立。 （完成人：肖钰斐 审核人：谷巍）
证明：当若a ψ?=时，分别带入Schwartz 不等式的左边和右边。 左边=()2
,ψψψa a =
右边=2
ψψψa a =?
左边=右边，说明当a ψ?=时，Schwartz 不等式中的等号成立。 #
练习1.6 证明当且仅当 ||||a a ?ψ?ψ-=+ 对一切数a 成立时，ψ与?正交。并在三维位形空间讨论这一命题的几何意义。 （完成人：赵中亮 审核人：张伟）
证明：解：当||||a a ?ψ?ψ-=+对一切数a 成立时，有
22||||a a ?ψ?ψ-=+
即 ),(),(a a a a ?ψ?ψ?ψ?ψ--=++
得 ),(),(),(),(),(),(),(),(a a a a a a a a ??ψ??ψψψ??ψ??ψψψ+--=+++ 即 ),(),(ψ??ψa a -= **-=),(),(?ψ?ψa a
因为a 可以取一切数,所以当a 取纯虚数时，即*-=a a 得 *=),(),(?ψ?ψ
由此得),(?ψ只能是实数 当a 取非零实数时，即*=a a *-=),(),(?ψ?ψ
只有0),(=?ψ时，即ψ与?正交时才成立
所以 当 ||||a a ?ψ?ψ-=+ 对一切数a 成立时，ψ与?正交。
当ψ与?正交时，0),(=?ψ
则 0),(),(==*?ψ?ψ 取a 为任意数
则 0),(),(=-=**?ψ?ψa a ),(),(ψ??ψa a -= ),(2),(2ψ??ψa a -=
),(),(2),(),(),(2),(a a a a a a ??ψ?ψψ???ψψψ+-=++
),(),(),(),(),(),(),(),(a a a a a a a a ??ψ??ψψψ??ψ??ψψψ+--=+++ ),(),(a a a a ?ψ?ψ?ψ?ψ--=++ 22||||a a ?ψ?ψ-=+ 得 ||||a a ?ψ?ψ-=+
即 ||||a a ?ψ?ψ-=+ 对一切数a 成立
综上，当且仅当 ||||a a ?ψ?ψ-=+ 对一切数a 成立时，ψ与?正交。
在三维位形空间中，这一命题的几何意义是：对角线相等的平行四边形是
矩形。 #
练习1.7 证明：当且仅当ψ?αψ≥-对一切数α成立时，ψ与?正交。 （完成人：班卫华 审核人：何贤文） 证明：因为ψ?αψ≥-，两边平方得
2
2
ψ?α
ψ≥-
2
22
2
)(ψα?αψ??ψψ≥++-**
0)(22
≥+-**αψ??ψα?
则构成以α为变量的二次函数，要使对一切α成立，判别式恒小于等于零，
即
0)(2≤+**ψ??ψ
只需
0=+**ψ??ψ
即
0),(),(=+ψ??ψ
得
0),(=?ψ
所以当ψ?αψ≥-对一切数α成立时，ψ与?正交。
练习1.8在四维列矩阵空间中，给定四个不正交也不全归一的矢量：
??????
? ??=??????
? ??=??????
? ??=??????
? ??=1111,
0111,
0011,
00014321λλλλ
它们构成一个完全集，试用Schmidt 方法求出一组基矢。 （完成人：肖钰斐 审核人：谷巍） 解：由Schmidt 方法，所求基矢：
()()()()()()???
???
? ??=''=???
?
??
? ??=???????? ??-???????? ??-???????? ??-??????? ??=---='???
??
?
? ??=''=????
??? ??=???????? ??-???????? ??-??????? ??=--='???
??
?
? ??=''=????
??? ??=???????? ??-??????? ??=-='???
???
? ??==100010001010010010100011111,,,0100010010010100010111,,00100010100010011,00014
44
43342241144
3
3332231133
2
2211122
1
11νννλννλννλννλννννλννλννλννννλννλνλλν #
练习1.9 在上题中，改变四个λ的次序，取
??????
? ??=??????
? ??=??????
? ??=??????
? ??=0111,
0011,
1111,
00014321λλλλ
重新用Schmidt 方法求出一组基矢。 （完成人：何贤文 审核人：班卫华）
解：由空间中不满足正交归一条件的完全集{4321,,,λλλλ}，求这个空间的一组基矢{4321,,,νννν}.
（1）首先取1ν为归一化的1λ：
????
??
? ??==00011
11λλν
（2）取12122a νλν-='，选择常数12a 使'
2ν与1ν正交，即 122121),(),(0a -='
=λννν
得
112=a ， ????
??? ??='11102ν
取2ν为归一化的'
2ν：
??
??
??
? ??='
=111031222ννν （3）取23213133a a ννλν--='，选择常数13a 和23a 使'
3ν与21,νν正交，即
????????
? ??--=--='
3131320),(),(32231133λννλννλν
归一化的3ν为
????
??
? ??--=''
=1120613
33ννν （4）取34324214144a a a νννλν---='，选择常数342414,,a a a 使'
4ν与已选
定的321,,ννν正交，即
?????
??
? ??-=---='212100),(),(),(43342241144λννλννλννλν
归一化的4ν为
????
??
? ??-=''
=1100214
44ννν 则找到一组基矢为 {4321,,,νννν}. #
练习 1.10 在三维位形空间中，i ，j
，k 是在互相垂直的x ，y ，z 三个轴上的
单位矢量。取三个归一化的矢量： （高思泽）
)
(2
1)(21321k j j i i +=+≡=λλλ
在内积就是点乘积的定义下它们并不正交。现在改变正交的定义：定义这三个
矢量1λ ，2λ
，3λ 互相正交。
1. 证明：定义一个归一化的完全集里面的矢量彼此互相正交，等于定有一种内积规则。
2. 求出这个新的内积规则，即将任意两个矢量1111z k y j x i r
++=，
2222z k y j x i r
++=的内积表为111,,z y x 和222,,z y x 的函数。
3. 验证所求的内积规则符合条件（9）～（12）。
4. 用 =)， (ij j i δλλ
验证所求出的内积规则。
1证明：
在一个归一化的完全集里面的矢量集合里，任意的两个矢量正交，根据矢量的正交 性定义，两个矢量ψ和φ的内积为零，即()0,=?ψ。
2解：
由i ，j
，k 与1λ ，2λ ，3λ 的关系，可得到如下变换：
1
231
21
222λλλλλλ
+-=-==k j i 由上面的关系得：
2
3222222121232122121
3112111111231121112)22()()22()2(2)22()()22()2(z z y z y x z y x r z z y z y x z y x r λλλλλλλλλλλλλλλλλλ
+-++-=+-+-+=+-++-=+-+-+=
由此，
),}()(2)(2{(2)(2{),)}(()(2)()(2{)
,(4),)(()(2),)(()()
2)22()(,2)22()((),(32*
221*11221*11122111*22222*111332*
12222*1111222*11123222222113112111121λλλλλλλλλλλλλλλλ
z y z z y z y
x z z y x z z y z y x z y z y x z z z y z y z y x z y x z z y z y x z z y z y x r r -+-+-++-+-+-+-+-++--++-+-=+-++-+-++-=
定义1λ→
，2λ→，3λ→
互相正交，有矢量的正交性，得 0
),(),(),(1
),(),(),(323121333311======λλλλλλλλλλλλ
由此可得 2*122*11222*111214)()(2)()(),(z z z y z y z y x z y x r r +--++-+-=
3 证明： )
,(4)()(2)()()4)()(2)()((),(212
*122*11222*111*
1*211*22111*222*12r r z z z y z y z y x z y x z z z y z y z y x z y x r r =+--++-+-=+--++-+-=
a r r a z z a z y z y a z y x z y x a r r ),(4)()(2)()(),(212*122*11222*11121 =+--++-+-=
0||4|)(|2|)(|),(222≥+-++-=z z y z y x r r 当0),(=r r
时，只有x,y,z 都同时等
于0才能满足，即0
=r 。
综上所述，所求的内积规则符合条件（9）～（12）。
4，见（2） #
练习1.11 在n 维空间中，已知}{i λ，i=1,2,3.....,n 是一组完全集（不一定正交），
现在有n 个矢量}{i ψ，i=1,2,3.....,n （也不一定正交），定义
D=
)
,(),(),(),(),(),(),(),()
,(212221212111n n n n n n ψλψλψλψλψλψλψλψλψλ
证明}{i ψ线性相关的必要和充分条件维D=0。 （完成人：何贤文 审核人：班卫华）
解：对于矢量空间的n 个矢量的集合}{i ψ，有01=∑=i n
i i D ψ，此式是关于n
个矢量的集合}{i ψ的齐次方程组
???????=++=+++=+++0),(),(),(0),(),(),(0
),(),(),(221122221121221111n n n n n n
n n n ψψλψψλψψλψψλψψλψψλψψλψψλψψλ （1）
若}{i ψ线性相关，则满足01=∑=i n
i i D ψ至少有一组非零解，则要求：
0)
,(),(),(),(),(),(),(),(),(212221212111=n n n n n n ψλψλψλψλψλψλψλψλψλ
即
D=0
若D=0，则方程（1）必有非零解，即满足有一组不为零的复数使得
01
=∑=i n
i i
D ψ
故}{i ψ线性相关。
#
练习 1.12 一个矢量空间有两个不同的子空间S1和S2，证明除去以下两种情况外，包括S1的全部元和S2的全部元的那个集合并不是子空间：
（1 S1是S2的子空间或S2是S1的子空间；
（2 S1和S2其中之一只含有零矢量一个元。
（完成人：张伟审核人：赵中亮）
证明：（1）设子空间S1和S2的维数分别为m，n，它们共同的基矢的个数为()n
l l<
<,个，当S1不是S2的子空间且S2不是S1的子空间时，它们之间含有m
l
不同的基矢。
则当S1空间的一个矢量和S2空间的一个矢量做加法的时，它们得到的矢量并不能一定在包括S1的全部元和S2的全部元的那个集合中找到，因为加法后得到的矢量的维数可以大到()l
m>
>
-
,
n
+且
-
+
+维，而n
m-
l
l
n
m
m
n
所以包括S1的全部元和S2的全部元的那个集合并不是矢量空间，从而不是子空间。
（2）当S1和S2其中之一只含有零矢量一个元时，它必然是另一个子空间的子空间，由此可见(2)只不过是（1）的特例，显然得证。
#
练习1.13 阅读狄拉克的《量子力学原理》§6，分析他建立左矢空间的方法与我们的方法有什么共同点和不同点.
（完成人：梁立欢审核人：高思泽）
分析：
本书从空间的方向入手建立左矢量。我们对现有的一个矢量空间定义了其中矢量的加法、数乘和标量积运算，称此空间为单一空间。现在对照这个空间再建以下两个空间。一个叫右矢空间，它的构造同单一空间完会一样，每一个矢量（即右矢）都与单一空间里的矢量相对应，这些右矢有加法和数乘的运算，其定义和规则与单一空间相同。第二空间比照右欠空间来建立，称为左矢空间，其实右矢空间的每一个矢量在左矢空间都有一个左矢与其相对应。，左矢空间中的事情不能随意去规定，需要同右矢空间的事情相互协调，它们通过标量积联系起来。这样建立的左矢空间是一个完全确定的（即有明确加法和数乘运算规则的）欠量空间。
狄拉克是从对偶矢量的方向入手建立左矢量。假定有一个数C。它是右矢量ψ
的函数，就是说，对每一个右矢量ψ有一个函数C与之相应，并且进一步
假定此函数是线性函数， 其意义是，相应于?ψ+的数等于相应于ψ的数与
相应于?的数之和，相应于ψa 的数是相应于ψ的数的a 倍，其中a 是任意的
数字因子。这样，相应于任何ψ的数C ，就可以看成是ψ与某个新矢量的标
量积，对右矢量ψ的每一线性函数就有一个这样的新矢量。我们把这种新矢量称为“左矢量”或简称“左矢”。 在此引入的左矢量，是与右矢量完全不同的另一类矢量，而且直到现在。除了左矢量与右矢量之间存在着标量积以外，两者之间还没有任何联系。现在作一个假定：在左矢量与右矢量之间有一一对应
关系。使得相应于?ψ+的左矢是相应于ψ的左矢与相应于?的左矢之和。而相应于?c 的左矢则是相应于?的左矢乘以c ，c 是c 的共轭复数，?相应的左矢可写成?。
从以上两种方法来看，它们是从不同的方向来建立左矢空间的，在此过程中，都对矢量关系和运算问题进行了一些假定（或规定），并且所建立的左矢空间和右矢空间都是通过定义的标量积联系起来。
# 练习 1.14 证明：与所有左矢的内积均已给定（但给定值应满足内积条件（9）~（12））的右矢是一个确定的右矢（即必定存在而且只有一个）。 （完成人：谷巍 审核人：肖钰斐）
证明 设右矢1?和2?与所有左矢ψ?的内积均已给定,且内积均为C.则有
C =1?ψ
（1）
C =2?ψ
（2）
根据内积条件（10）的第一式，由（1）－（2），则有
()021=-??ψ
（3）
因为ψ是任意的左矢，故知括号内为0，即
021=-??
(4)
21??=
(5)
故与所有左矢的内积均已给定的右矢是一个确定的右矢（即必定存在而且只有一个）.定理得证.
喀兴林高等量子力学习题6、7、8
练习 6.1 在ψ按A 的本征矢量{}i a 展开的（6.1）式中，证明若ψ 是归一化的，则 1=∑*i i i c c ，即A 取各值的概率也是归一化的。（杜花伟） 证明：若ψ是归一化的，则1=ψψ。根据(6.1)式 ∑=i i i c a ψ, ψi i a c = 可得 1===∑∑* ψψψψ i i i i i i a a c c 即A 取各值的概率是归一化的。 # 练习6.2 (1) 证明在定态中,所有物理量取各可能值的概率都不随时间变化,因而,所有物理量的平均值也不随时间改变. (2) 两个定态的叠加是不是定态? （杜花伟 核对：王俊美） (1)证明：在定态中i E i H i = , Λ3,2,1=i 则 ()t E i i i i t η -=ψ 所以 i A i e i A e A t E i t E i i i ==-η η ψψ. 即所有物理量的平均值不随时间变化. (2)两个定态的叠加不一定是定态.例如 ()()()t E i t E i e x v e x u t x 21,η η --+=ψ 当21E E =时,叠加后()t x ,ψ是定态;当21E E ≠时, 叠加后()t x ,ψ不是定态. # 6.3证明：当函数)(x f 可以写成x 的多项式时，下列形式上含有对算符求导的公式成立： ) (]),([)()](,[X f X i P X f P f P i P f X ?? =?? =ηη （解答：玉辉 核对：项朋） 证明：（1）
) ()()()()()()()()](,[P f P i P i P f P i P f P f P i P i P f P f P i X P f P Xf P f X ??=??-??+??=??-??=-=ηηηηηηψψ ψψψ ψψ ψψ 所以 )()](,[P f P i P f X ?? =η （2） ) () ()())(())(()()())(()()(]),([X f X i X f X i X i X f X i X f X f X i X i X f X Pf P X f P X f ??=?? --??--??-=?? --??-=-=ηηηηηηψψψψψ ψψ ψψ 所以 )(]),([X f X i P X f ?? =η # 练习6.4 下面公式是否正确？（解答：玉辉 核对：项朋） ),()],(,[P X f P i P X f X ?? =η 解：不正确。 因为),(P X f 是X 的函数，所以)],(,[P X f X =0 # 练习6.5 试利用Civita Levi -符号，证明：（孟祥海） （1）00=?=?L X ,L P （2）[]0=?P X L, （3）()()P X X P P X P X L ?-??-=ηi 22 2 2 证明： （1）∑∑∑∑=== ?ijk k j i ijk k j jk ijk i i i i i P X P P X P L P εε L P
高等量子力学复习题
上册 1.3 粒子在深度为0V ,宽度为a 的直角势阱(如图1.3)中运动,求 (a)阱口刚好出现一个束缚态能级(即0V E ≈)的条件; (b)束缚态能级总和,并和无限深势阱作比较 . 解 粒子能量0V E 小于时为游离态,能量本征值方程为: []0)(22''=-+ ψψx V E m (1) 令002k mV = ,β=- )(20E V m (2) 式(1)还可以写成 ?? ???≥=-≤=+）（阱外）（阱内4)(2,03)(2,022''2''a x a x mE ψβψψψ 无限远处束缚态波函 数应趋于0，因此式(4)的解应取为()2,a x Ce x x ≥=-βψ 当阱口刚好出现束缚态能级时,0,0≈≈βV E ,因此 2,0)('a x Ce x x ≥≈±=-ββψ （6） 阱内波函数可由式(3)解出,当0V E ≈解为 ()()2,s i n ,c o s 00a x x k x x k x ≤?? ?==ψψ奇宇称 偶宇称 （7） 阱内、外ψ和ψ应该连续，而由式（6）可知，2a x =处，0'=ψ， 将这条件用于式（7），即得 ,5,3,,02cos ,6,4,2,02 sin 0000ππππππ====a k a k a k a k 奇宇称偶宇称(8) 亦即阱口刚好出现束缚能级的条件为 ,3,2,1, 0==n n a k π （9） 即2 22202π n a mV = （10） 这种类型的一维势阱至少有一个束缚能级，因此，如果 2 2202π< a mV ，只存在一个束缚态，偶宇称（基态）。如果22202π = a mV ，除基态外，阱口将再出现一个能级（奇宇称态），共两个能级。如() 222022π= a mV ，阱口将出现第三个能级(偶宇称)。依此类推，由此可知，对于任何20a V 值，束缚态能级总数为 其中符号[A]表示不超过A 的最大整数。 当粒子在宽度为a 的无限深方势阱中运动时，能级为 ,3,2,1,212 =?? ? ??=n a n m E n π 则0V E ≤的能级数为 120-=?? ????=N mV a n π （12） 也就是说，如果只计算0V E ≤的能级数，则有限深)(0V 势阱的能级数比无限深势阱的能级数多一个。注意，后者的每一个能级均一一对应的高于前者的相应能级。
矢量分析与场论 第四 谢树艺 习题答案 高等教育出社
矢量分析与场论 第四版 谢树艺 习题答案 高等教育出版社 习题1 解答 1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。 ()1x a t y b t cos ,sin == () 2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos === 解： ()1r a ti b tj cos sin =+，其图形是xOy 平面上之椭圆。 ()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++，其图形是平面430x y -=与圆柱面 2223x z +=之交线，为一椭圆。 2．设有定圆O 与动圆c ，半径均为a ，动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点M 所描曲线的矢量方程。 解：设M 点的矢径为OM r xi yj ==+u u u u r ，AOC θ∠=，CM u u u r 与x 轴的夹角为 2θπ-；因OM OC CM =+u u u u r u u u r u u u u r 有 ()()r xi yj a i a j a i a j θθθπθπ2cos 2sin cos 2sin 2=+=++-+- 则 .2sin sin 2,2cos cos 2θθθθa a y a a x -=-= 故j a a i a a r )2sin sin 2()2cos cos 2(θθθθ-+-= 4．求曲线3 2 3 2,,t z t y t x = ==的一个切向单位矢量τ。 解：曲线的矢量方程为k t j t ti r 3 2 3 2++= 则其切向矢量为k t tj i dt dr 2 22++= 模为24221441|| t t t dt dr +=++= 于是切向单位矢量为2 22122||/t k t tj i dt dr dt dr +++= 6．求曲线x a t y a t z a t 2 sin ,sin 2,cos ,===在t π 4 = 处的一个切向矢量。
高等量子力学习题汇总(可编辑修改word版)
2 i i i j i j ± 第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是 Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是 Hillbert 空间内的厄米算符( A ? )；2、物理量所能取的值是相应算符 A ? 的本征值；3、 一个任意态总可以用算符 A ? 的本征态 a i 展开如下： = ∑C i a i i C i = a i ；而 物理量 A 在 中出现的几率与 C i 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置 算符 x ? 和相应的正则动量算符 p ? 有如下对易关系： [x ? , x ? ]= 0 ， [p ? , p ? ] = 0 ， [x ?i , p ? j ]= i ij 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量 (t ) 随时间变化的规律由薛定谔方程给 i ? ?t (t ) = H ? (t ) 在海森堡图景中，一个厄米算符 A ?(H ) (t ) 的运动规律由海森堡 方程给出： d A ?(H ) (t ) = 1 [A ?(H ), H ? ] 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在 dt i Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答： (x, t ) =< x |(t )>式中态矢随时间而变而 x 不含 t ，结果波函数ψ(x ，t )中的宗量 t 来自 ψ(t ) 而 x 来自 x ，这叫做薛定谔图景. ?1 ? ? 0? 3、 已知 = ?,= ?. 0 1 (1)请写出 Pauli 矩阵的 3 个分量； (2)证明σ x 的本征态 ? ? ? ? 1 ?1 ? 1 | S x ± >= ? = ? 1? (± ). 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求 证： 2 2
《矢量分析与场论》
1、若一个矢量的大小和方向不变，则该矢量为常矢量。 （ ） 2、若穿过一个封闭曲面的通量为零，则该曲面内无源。 （ ） 3、平行平面矢量场中的所有矢量的大小和方向都相同。 （ ） 二、单项选择题 1、下列关于导矢()t 'r 的说法正确的是（ ） A 、()t 'r 的几何意义为矢端曲线上的一个单位切向矢量。 B 、()t 'r 的物理意义为一个质点的加速度矢量。 C 、若()t =r 常数，则()t r 与()t 'r 互相平行。 D 、()t 'r 恒指向t 值增大的一方 2、下列关于环量面密度和旋度的各种说法，正确的是（ ） A 、环量面密度和旋度都是矢量。 B 、矢量场中某一个点的环量面密度有无数个 ，其中最大的那个环量面密度就 是旋度。 C 、旋度是用矢量场来描述数量场。 D 、某个方向的环量面密度等于旋度在该方向上的投影。 3、下列关于拉普拉斯运算符、调和场和调和函数，说法错误的是（ ） A 、若0u ?=，则u 为调和函数 B 、()u divgrad u ?= C 、调和场的散度和旋度都为0 D 、调和场是一个矢量场
1、已知曲线的矢量方程为sin sin cos t t t =++r i j k ，该曲线的参数方程是______。 2、矢性函数()t A 的导矢()t 'A 可分解为两个矢量，分解后的矢量一个与()t A 垂直， 另一个矢量与()t A ______。 3、数量场x y u z -=22 通过M （2，1，1）的等值面方程为______。 4、矢量场()22xz yz x y =+-+A i j k 的矢量线方程为______。 5、矢量场333x y z =++A i j k 穿出球面2221x y z ++=的通量为______。 6、在线单连域内，场有势，场无旋，______，P Q R ?=++A dl dx dy dz 为某个函数 的全微分是互相等价的。 7、平面调和场的力线又是矢量场的_____。 8、正交曲线坐标系中一般曲线弧微分ds 和坐标曲线弧微分1ds ，2ds ，3ds 的关系是______。 四、计算题（每题8分，共40分） 1、已知矢量()()232(2)424t t t t t t =-++-A i j k ，计算（1）()1 lim t t =A （2分）， （2）()d dt t A （2分），（3）()dt t ?A （2分），（4）()11dt t -?A （2分）。 2、计算积分()()0a e b d a ???≠?e ，式中()b ?e 为圆函数。 3、求函数u xyz =在曲面20z xy -=上的点M （2，3，3）处沿曲面上侧法线方向的 ()23222)()3yz y yz xyz xz -+++-i j k 所产生的散度场通过点
矢量分析与场论第四版谢树艺习题答案高等教育出版社.docx
4 矢量分析与场论第四版谢树艺习题答案高等教育出版社 习题1 解答 1 ?写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。 1 X = a cost, y = bsint 2 X = 3sin t, y = 4sin t,z = 3cost 1 r =acosti bsintj ,其图形是Xoy 平面上之椭圆。 2 r = 3sin ti 4sin tj 3costk ,其图形 是平面4x-3y = 0与 圆柱面 z -32之交线，为一椭圆。 2.设有定圆0与动圆c ,半径均为a ,动圆在定圆外相切而滚动， 求动圆上一定点 M 所描曲线的矢量方程。 解：设M 点的矢径为O^ = ^Xi yj , Z AOC=二 2)-二；因 OM -OC CM 有 r = xi yj = 2a cosri 2asin ∏ j a cos 2v -二 i asin 2 - ■: j 则 X = 2acos ■- acos2^, 目=2asin ) - asin2^. 故 r=(2acos - acos2^ )i (2asi^ - asin2 ) j 2 4.求曲线x=t, y = t 2,z t 3的一个切向单位矢量 .。 3 2 2 3 解：曲线的矢量方程为 - ti tj 2tk dr . . 2 则其切向矢量为dt = i 2tj 2t k dr 2 4 2 模为 I d t Pl 4t 4t =1 2t dr ι dr i + 2tj + 2t 2k 于是切向单位矢量为不门頁F 1 2t 2 2 Tl 6.求曲线X =asin t,y =asin2t,z = acost,在t 处的一个切向矢量。 解: CM 与X 轴的夹角为
高等量子力学习题.
高等量子力学习题 1、 对于一维问题，定义平移算符()a D x ，它对波函数的作用是() ()()a x x a D x -=ψψ，其中a 为实数。设()x ψ的各阶导数存在，试证明()dx d a x e i p a a D -=?? ? ??= ?exp 。 2、 当体系具有空间平移不变性时，证明动量为守恒量。 3、 若算符()x f 与平移算符()a D x 对易，试讨论()x f 的性质。 4、 给定算符B A ,，证明[][][]....,,! 21 ,++ +=-B A A B A B Be e A A ξξ。 5、 给定算符C B A 和、，存在对易关系[]C B A =,，同时[][]0,,0,==C B C A 。证明Glauber 公式C A B C B A B A e e e e e e e 2 12 1 ==-+。 6、 设U 为幺正算符，证明U 必可分解成iB A U +=，其中A 和B 为厄密算符，并满足 122=+B A 和[]0,=B A 。试找出A 和B ，并证明U 可以表示为iH e U =，H 为厄密 算符。 7、 已知二阶矩阵A 和B 满足下列关系：02 =A ，1=+++AA A A ，A A B + =。试证明 B B =2，并在B 表象中求出矩阵A 、B 。 8、 对于一维谐振子，求湮灭算符a ?的本征态，将其表示为谐振子各能量本征态n 的线性叠加。已知1?-=n n n a 。 9、 从谐振子对易关系[ ]1,=+ a a 出发，证明a e ae e a a a a λλλ--=+ +。 10、 证明谐振子相干态可以表示为 0*a a e ααα-+=。 11、 谐振子的产生和湮灭算符用a 和+ a 表示，经线性变换得+ +=va ua b 和 ++=ua va b ，其中u 和v 为实数，并满足关系122=-v u 。试证明：对于算符b 的任 何一个本征态，2 =???p x 。 12、 某量子体系的哈密顿量为，() 223 2 35++++= a a a a H ，其中对易关系[]1,=-≡++ + a a aa a a 。试求该体系的能量本征值。 13、 用+ a ?和a ?表示费米子体系的某个单粒子态的产生和湮灭算符，满足基本对易式
矢量分析与场论课后答案..
矢量分析与场论 习题1 1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。 ()1x a t y b t cos ,sin == () 2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos === 解： ()1r a ti b tj cos sin =+，其图形是xOy 平面上之椭圆。 ()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++，其图形是平面430x y -=与圆柱面 2223x z +=之交线，为一椭圆。 4．求曲线3 2 3 2,,t z t y t x = ==的一个切向单位矢量τ。 解：曲线的矢量方程为k t j t ti r 32 3 2+ += 则其切向矢量为k t tj i dt dr 222++= 模为24221441||t t t dt dr +=++= 于是切向单位矢量为2 22122||/t k t tj i dt dr dt dr +++= 6．求曲线x a t y a t z a t 2 sin ,sin 2,cos ,===在t π 4 = 处的一个切向矢量。 解：曲线矢量方程为 r a ti a tj a tk 2sin sin2cos =++ 切向矢量为r a ti a tj a tk t τd sin22cos2sin d ==+- 在t π 4 = 处，t r ai a k t π τ4 d 2d 2 = = =- 7.求曲线t t z t y t x 62,34,12 2 -=-=+= 在对应于2=t 的点M 处的切线方程和法平面方程。 解：由题意得),4,5,5(-M 曲线矢量方程为,)62()34()1(22k t t j t i t r -+-++=
矢量期末复习题.docx
矢量分析与场论复习题 注意题目中出现的e x i,e y T j,e z 1.求下列温度场的等温线 1)T = xy, 2) T= J , x + y 解求等温线即设定相关的方程为常数，因此可得 C (1)xy = C f y =一； (2) x2 + y2 = C x ' 1.求下列标量场的等值面 1)u = ------ ! ------ , 2) w = z-yjx2 + y2 , 3) u = ln(x2+ y2 +z2) ax + by + cz 解据题意可得 (1)ax + by -\-cz=k (2)z _ J* +〉，2 = c , x2 + y2 = (z -c)2 (3)ln(x2 + y2 +z2)=c , x2 +y2 +z2 =e c, x2 +>j2+ z2 =k~ 2.求矢量场A = xe s +玖+ 2理经过点M(1.0, 2.0, 3.0)的矢量线方程。 解根据矢量线的定义，可得—- x y 2z 解微分方程，可得y = c【x, z = c2x2 将点M(L0, 2.0, 3.0)的坐标代入，可得q=2, c2 =3 即y = 2x, z = 3x2为所求矢 量线方程。 3.求矢量场A = y2xe x +x2Xv + )界阻的矢量线方程。 解根据矢量线的定义，可得芈=孚=半y x x y y z 解微分方程，可得x2-r =c,, z = c2x为所求矢量线方程。 4.设u(M) = 3尢2-2)* + 2兀z ,求： 1)讥M)在点M o(l.O, 2.0, 3.0)处沿矢量l = yxe x+ue y+xye:方向的方向导数, 2)u(M)在点M o(l.O, 2.0, 3.0)处沿矢量Z = (6x + 2z)e x -2ze y + (2z-2y + 2x)e z 方向的方向导数。 2 2 解/ 的方向余弦 为COS6Z = ;= ~^=, 722 +32 +22V17 3 3 2 2 COS B = { -------- = ~^= , COS7 = { ------- = —^=； A/22+32+22V17 722 +32 +22V17
量子力学第一章习题答案
第一章 1.1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律： 能量密度极大值所对应的波长λm 与温度T 成反 比，即λm T = b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到两位有效数字。 解：黑体辐射的普朗克公式为：) 1(833 -=kT h e c h ν νν πρ ∵ v=c/λ ∴ dv/dλ= -c/λ2 又 ∵ ρv dv= -ρλdλ ∴ ρλ=-ρv dv/dλ=8πhc/[λ5(e hc/λkT -1)] 令x=hc/λkT ,则 ρλ=8πhc(kT/hc)5x 5/(e x -1) 求ρλ极大值，即令dρλ(x)/dx=0，得： 5(e x -1)=xe x 可得： x≈4.965 ∴ b=λm T=hc/kx ≈6.626 *10-34*3*108/(4.965*1.381*10-23) ≈2.9*10-3（m K ） 1.2√. 在0 K 附近，钠的价电子能量约为3电子伏，求其德布罗意波长。 解： h = 6.626×10-34 J ·s , m e = 9.1×10-31 Kg,， 1 eV = 1.6×10-19 J 故其德布罗意波长为： 07.0727A λ=== 或λ= h/2mE = 6.626×10-34/(2×9.1×10-31×3×1.6×10-19)1/2 ≈ 7.08 ? 1.3 √.氦原子的动能是E= 32 KT （K B 为波尔兹曼常数），求T=1 K 时，氦原子的德布罗意波长。 解：h = 6.626×10-34 J ·s , 氦原子的质量约为=-26-2711.993104=6.641012 kg ???? , 波尔兹曼常数K B =1.381×10-23 J/K 故其德布罗意波长为： λ = 6.626×10-34/ (2×-276.6410?×1.5×1.381×10-23×1)1/2 ≈0 1.2706A 或λ= 而KT E 23 =601.270610A λ-==? 1.4利用玻尔-索末菲量子化条件，求： a ） 一维谐振子的能量： b ） 在均匀磁场作圆周运动的电子轨道的可能半径。 解： a ）解法一：设一维谐振子的质量为m ，广义坐标为 q=Acos(ωt+φ) 根据玻尔—索末菲量子化条件 ∮pdq = nh 得：∮m(dq/dt)dq = m ωA 2∮sin 2θd θ=m ωA 2π=nh ∴ A 2 =nh/(πm ω)=2nh/m ω (其中h=h/2π) 又 ∵ 一维谐振子的周期 T =2π(m/k)0.5
全的矢量分析与场论讲义(必考
矢量分析与场论 第一章 矢量分析 一 内容概要 1 矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。 2 本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数()t A ，但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数()y x ,A 或者()z y x ,,A ，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。 3 本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢()t 'A 的几何意义，即()t 'A 是位于()t A 的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t 值的点处，且恒指向t 值增大的一方。 如果将自变量取为矢端曲线的弧长s ，即矢性函数成为()s A A =，则()ds d s A A ='不仅是一个恒指向s 增大一方的切向矢量，而且是一个单位切向矢量。这一点在几何和力学上都很重要。 4 矢量()t A 保持定长的充分必要条件是()t A 与其导矢()t 'A 互相垂直。因此单位矢量与其导矢互相垂直。比如圆函数()j i e t t t sin cos +=为单位矢量，故有()()t t 'e e ⊥，此外又由于()()t t 1'e e =，故()()t t 1e e ⊥。（圆函数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用）。 5 在矢性函数的积分法中，注意两个矢性函数的数量积和两个矢性函数的矢量积的分部积分法公式有所不同，分别为：
吉林大学高等量子力学习题答案共11页word资料
高等量子力学习题和解答 ? 量子力学中的对称性 1、 试证明：若体系在线性变换Q ?下保持不变，则必有0]?,?[=Q H 。这里H ?为 体系的哈密顿算符，变换Q ?不显含时间，且存在逆变换1?-Q 。进一步证明，若Q ?为幺正的，则体系可能有相应的守恒量存在。 解：设有线性变换Q ?，与时间无关；存在逆变换1?-Q 。在变换 若体系在此变换下不变，即变换前后波函数满足同一运动方程 ?''?t t i H i H ?ψ=ψ?ψ=ψ h h 进而有 2、 令坐标系xyz O -绕z 轴转θd 角，试写出几何转动算符)(θd R z e ρ的矩阵表示。 解： 'cos sin 'sin cos 'O xyz z d x x d y d y x d y d z z θθθθθ -=+=-+=考虑坐标系绕轴转角 用矩阵表示 '10'10'00 1x d x y d y z z θθ?????? ? ???=- ? ??? ? ?????? ??? 还可表示为 '()z e r R d r θ=r 3、 设体系的状态可用标量函数描述，现将坐标系绕空间任意轴n ρ 转θ d 角， 在此转动下，态函数由),,(z y x ψ变为),,(),()',','(z y x d n U z y x ψθψρ =。试导出转动算符),(θd n U ρ 的表达式，并由此说明，若体系在转动),(θd n U ρ 下保持不变，则体系的轨道角动量为守恒量。 解：从波函数在坐标系旋转变换下的变化规律，可导出旋转变换算符
()z e U d θr 利用 (')()()z e r U d r θψ=ψ 及 (')()r Rr ψ=ψr r 可得 ()1z e z i U d d L θθ=-r h 通过连续作无穷多次无穷小转动可得到有限大小的转动算符 绕任意轴n 转θ角的转动算符为 1U U U -+=? 为幺正算符 若 (')()()z e r U d r θψ=ψr r r 则必有 1 (')()()()()[,] z z e e z H r U d H r U d i H r d H L θθθ-==+r r r r r h 若哈密顿量具有旋转对称性，就有[,]0z H L =→角动量守恒 4、 设某微观粒子的状态需要用矢量函数描述，试证明该粒子具有内禀自旋 1=S 。 解：矢量函数在旋转变换下 后式代入前式 '(')(')[](')[](')x x y y x y z z r r e d e r d e e r e θθψ=ψ++ψ-++ψr r r r r r r r r r 又 '(')'(')'(')'(')x x y y z z r r e r e r e ψ=ψ+ψ+ψr r r r r r r r 比较得 '(')(')(') ?[1]()[1]()[1]()() x x y z x z y z x y r r d r i i d L r d d L r i d L r d r θθ θθθθψ=ψ-ψ=-ψ--ψ=-ψ-ψr r r r r h h r r h 类似可得 ?'(')()[1]()?'(')[1]()y x z y z z z i r d r d L r i r d L r θθθψ=ψ+-ψψ=-ψr r r h r r h
(完整版)矢量分析与场论第四版谢树艺习题答案
4 习题 1 解答 1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。 1 x acost, y bsint 2 x 3sin t, y 4sin t,z 3cost 解： 1 r a costi bsin tj ，其图形是 xOy 平面上之椭圆。 2 r 3sin ti 4sin tj 3cos tk ， 其 图 形 是 平 面 4x 3y 0 与 圆 柱 面 222 x 2 z 2 32 之交线，为一椭圆。 2．设有定圆 O 与动圆 c ，半径均为 a ，动圆在定圆外相切而滚 动， 所描曲线的矢量方程。 uuuur 解：设 M 点的矢径为 OM r xi yj ， AOC 与 x 轴的夹角为 uuuur uuur ；因 OM OC uuuur CM 有 r xi yj 2acos i 2asin j acos 2 asin 2 则 x 2acos acos2 ,y 2asin asin2 . 故 r (2acos acos2 )i (2asin asin2 )j 4．求曲线 x t,y 2 ,z 2 t 3 的一个切向单位矢 量 解：曲线的矢量方程为 ti t dr 则其切向矢量为 dt 2t j 模为| d d r t | 1 4t 2 4t 4 dr 于是切向单位矢量为 dt / | d d r t 6．求曲线 x asin 2 t,y 23 t 3 k 2t 2 k 2t 2tj 2t 2 k 2 1 2t 2 asin 2t,z acost,在 t 处的一个切向矢量。 解：曲线矢量方程为 r asin 2 ti asin2tj acostk 求动圆上一定点 M
高等量子力学习题汇总
第一章 1、简述量子力学基本原理。 答：QM 原理一 描写围观体系状态的数学量是Hilbert 空间中的矢量,只相差一个复数因子的两个矢量，描写挺一个物理状态。QM 原理二 1、描写围观体系物理量的是Hillbert 空间内的厄米算符(A ?)；2、物理量所能取的值是相应算符A ?的本征值；3、一个任意态 总可以用算符A ?的本征态i a 展开如下：ψψi i i i i a C a C ==∑,；而物理量A 在 ψ 中出现的几率与2 i C 成正比。原理三 一个微观粒子在直角坐标下的位置算符i x ?和相应的正则动量算符i p ?有如下对易关系：[]0?,?=j i x x ，[]0?,?=j i p p ，[] ij j i i p x δ =?,? 原理四 在薛定谔图景中，微观体系态矢量()t ψ随时间变化的规律由薛定谔方程给 ()()t H t t i ψψ?=?? 在海森堡图景中，一个厄米算符() ()t A H ?的运动规律由海森堡 方程给出： ()()()[] H A i t A dt d H H ? ,?1? = 原理五 一个包含多个全同粒子的体系，在Hillbert 空间中的态矢对于任何一对粒子的交换是对称的或反对称的。服从前者的粒子称为玻色子，服从后者的粒子称为费米子。 2、薛定谔图景的概念？ 答：()()t x t ψψ|,x =<>式中态矢随时间而变而x 不含t ，结果波函数()t x ，ψ中的宗量t 来自()t ψ而x 来自x ，这叫做薛定谔图景. 3、 已知.10,01??? ? ??=???? ??=βα (1)请写出Pauli 矩阵的3个分量； (2)证明σx 的本征态).(211121|βα±=??? ? ??±>=±x S 4、已知：P 为极化矢量，P=<ψ|σ|ψ>，其中ψ=C 1α+C 2β，它的三个分量为： 求证： 答案：设：C 1=x 1+iy 1,C 2=x 2+iy 2
量子力学思考题及解答
量子力学思考题 1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或 可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。 （2）如按这种理解 ),()(),()(),(2211t x t c t x t c t x ψψψ+=
矢量分析与场论课后答案
矢量分析与场论课后答案矢量分析与场论 习题1 1(写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。 1 xatybt,,cos,sin，， 2 xtytzt,,,3sin,4sin,3cos，， 1解: ，其图形是平面上之椭圆。 ratibtj,，cossinxOy，， ，其图形是平面与圆柱面rtitjtk,，，3sin4sin3cos430xy,,2，，222xz，,3之交线，为一椭圆。 2234(求曲线x,t,y,t,z,t的一个切向单位矢量。 ,3 223,，，rtitjtk解:曲线的矢量方程为 3 dr2,i，2tj，2tk则其切向矢量为 dt dr242||,1，4t，4t,1，2t 模为 dt 2drdri，2tj，2tk /||,于是切向单位矢量为 2dtdt1，2t ,2t,6(求曲线在处的一个切向矢量。 xatyatzat,,,sin,sin2,cos,4 2ratiatjatk,，，sinsin2cos解:曲线矢量方程为 dr,,,，,atiatjatksin22cos2sin切向矢量为 dt
,d2rt,在处， ,,,,aiak,4t,4d2t 22t,27.求曲线在对应于的点M处的切线方程和x,t，1,y,4t,3,z,2t,6t 法平面方程。 22r,(t，1)i，(4t,3)j，(2t,6t)k,M(5,5,,4),解:由题意得曲线矢量方程为dr在的点M处，切向矢量 t,2,,,[2ti，4j，(4t,6)k],4i，4j，2kt,2dtt,2 y,5y,5x,5z，4x,5z，4于是切线方程为 ,,,即,,442221于是法平面方程为，即 2(x,5)，2(y,5)，(z，4),0 2x，2y，z,16,0 238(求曲线上的这样的点，使该点的切线平行于平面。 xyz，，,24rtitjtk,，， dr2解:曲线切向矢量为， ? ,,,，，23itjtkdt 平面的法矢量为，由题知 nijk,，，2 22 ,,，，,，，niktt,，itjtk2302j，,,143，，，， 1t,,,1,得。将此依次代入?式，得3 111 |,|11t,,,,,i，j,k,,,i，j,k t,,39273 111,,,,,,1,11,,,故所求点为，，,,3927,, 习题2 1(说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。 11 u,;，，AxByCzD，，， z2,sinuarc ，，22，xy 1AxByCzD，，，,0解:场所在的空间区域是除外的空间。，， 等值面为 11,C或Ax，By，Cz，D,,0，这是与平(C,0为任意常数)11Ax，By，Cz，DC1
矢量分析与场论讲义
矢量分析与场论 第一章矢量分析 一内容概要 1矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。 2本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数 A t ,但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数A x,y或者A x, y,z，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。 3本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢A't的几何意义，即 A' t是位于A t的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t值的点处，且恒指向t值增大的一方。 如果将自变量取为矢端曲线的弧长S,即矢性函数成为A = A s，则 A' s =d A不仅是一个恒指向S增大一方的切向矢量，而且是一个单位ds 切向矢量。这一点在几何和力学上都很重要。 4矢量A t保持定长的充分必要条件是 A t与其导矢A' t互相垂直。因此单位矢量与其导矢互相垂直。比如圆函数 e t = cost i si nt j为单 位矢量，故有e t _e't，此外又由于e' t = ei t，故e t — & t。（圆函数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用）。 5在矢性函数的积分法中，注意两个矢性函数的数量积和两个矢性函数的矢量积的分部积分法公式有所不同，分别为： A B'dt 二AB— B A'dt
A B'dt 二 A B B A'dt 前者与高等数学种数性函数的分部积分法公式一致，后者有两两项变为了求和，这是因为矢量积服从于“负交换律”之故。 6在矢量代数中，在引进了矢量坐标之后，一个空间量就和三个数量构成 对应关系，而且有关矢量的一些运算，例如和、差以及数量与矢量的乘积都可以转化为三个数量坐标的相应运算。同样，在矢量分析中，若矢性函数采用坐标表示式，则一个矢性函数就和三个数性函数构成一一对应关系，而且有关矢性函数的一些运算，例如计算极限、求导数、求积分等亦可以转化为对其三个坐标函数的相应运算。 7矢性函数极限的基本运算公式（14）、导数运算公式（p11）、不定积分 的基本运算公式（p16）典型例题： 教材p6 例2、p10 例4、p12 例6、p13 例7。习题一（p19~20） 此外还有上课所讲的例题。补充： 1 2 TT 1）设r 二a0］亠b k，求S 二-i ir r' d^ 2）一质点以常角加速度沿圆周r = ae「运动，试证明其加速度 2 八-￡r，其中v为速度v的模。 a 3）已知矢量 A =t i -2t j l nt k , B = e t i si nt j - 3t k ,计算积分.A B' dt。 4）已知矢量 A = t i 2t j , B = cost i sint j ? e，k，计算积分A B'dt。 第二章场论一内容概要1本章按其特点可以划分为三部分：第一部分为第一节，除介绍场的概念外，主要讨论了如何从宏观上利用等值面（线）和矢量线描述场的分布规律；第二部分为第二、三、四节，内容主要是从微观方面揭示场的一些重要特性；第三部分为第五节，主要介绍三种具有某种特性而又常见的矢量场。其中第二部分又为本章之重点。 2空间数量场的等值面和平面数量场的等值线以及矢量场的矢量线等，都是为了能够形象直观地体现所考察的数量uM或矢量A M在场中的宏观分布情况而引入的概念。 比如温度场中的等温面，电位场中的等位面，都是空间数量场中等值
矢量分析与场论第四版_谢树艺习题答案
矢量分析与场论习题解答 习题1解答 1．写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。 ()1x a t y b t cos ,sin == () 2x t y t z t 3sin ,4sin ,3cos === 解： ()1r a ti b tj cos sin =+，其图形是xOy 平面上之椭圆。 ()2r ti tj tk 3sin 4sin 3cos =++，其图形是平面430x y -=与圆柱面2 2 2 3x z +=之交线，为一椭圆。 2．设有定圆O 与动圆c ，半径均为a ，动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点M 所描曲线的矢量方程。 解：设M 点的矢径为OM r xi yj ==+，AOC θ∠=，CM 与x 轴的夹角为2θπ-；因OM OC CM =+有 ()()r xi yj a i a j a i a j θθθπθπ2cos 2sin cos 2sin 2=+=++-+- 则 .2sin sin 2,2cos cos 2θθθθa a y a a x -=-= 故j a a i a a r )2sin sin 2()2cos cos 2(θθθθ-+-= 4．求曲线3 2 3 2,,t z t y t x = ==的一个切向单位矢量τ。 解：曲线的矢量方程为k t j t ti r 3 2 3 2+ += 则其切向矢量为k t tj i dt dr 2 22++= 模为24221441|| t t t dt dr +=++= 于是切向单位矢量为2 22122||/t k t tj i dt dr dt dr +++= 6．求曲线x a t y a t z a t 2 sin ,sin 2,cos ,===在t π 4 = 处的一个切向矢量。 解：曲线矢量方程为 r a ti a tj a tk 2sin sin2cos =++ 切向矢量为r a ti a tj a tk t τd sin22cos2sin d ==+- 在π r d 2
高等量子力学第一章习题
?k ijk j i S i S S ε=],[2322212S S S S ++=> >=+0|)(!1 |n b n n ∫=++?x x x x e e d ****2φφφφπ φ高等量子力学第一章习题： 1、两个态矢量|+＞和|－＞形成完全集。在它们所构成的Hilbert 空间中定义如下三个算符： 试证明它们满足如下对易和反对易关系： 并求出两个态矢量|+＞和|－＞之间的翻转变换算符及算符的表 达式 2、二能级系统的哈密顿算符一般可表达为： H ＝a|1><1|+b|2><2|+c|1><2|+d|2><1| 其中|1>和|2>分别表示二能级的状态，形成正交归一集。 问：H 的厄密性对系数a,b,c,d 有何限制?求该系统的能量本征值及相应的本征态矢量(表示为|1>和|2>的线性叠加)。 3、已知一线性谐振子在其哈密顿表象中的本征态矢量为 其中，基态|0>满足b|0>=0,并且b 和b +与其坐标和动量算符的关系为 试求态矢量|n>转换到坐标表象表达式