欧氏空间与酉空间
第八章欧氏空间
第九章欧氏空间 ［教学目标］ 1理解欧氏空间、内积、向量的长度、夹角、正交和度量矩阵的概念。2理解正交组、正交基、标准正交基和正交矩阵的概念，理解n维欧氏空间的标准正交基的存在性和标准正交基之间过渡矩阵的性质，重点掌握施密特正交化方法。 3理解欧氏空间同构的定义和同构的充要条件。 4理解正交变换的定义及正交变换与正交矩阵的关系，掌握正交变换的几个等价条件。 5理解子空间的正交和正交补的概念，掌握正交补的结构和存在唯一性。 6理解对称变换的定义和对称变换与对称矩阵之间的关系，掌握实对称矩阵特征值的性质，重点掌握用正交变换把实对称矩阵及实二次型化为对角形和标准形的方法。 ［教学重难点］ 欧氏空间的定义，求向量的长度和夹角的方法，施密特正交化方法，正交变换与正交矩阵的关系，用正交变换把实对称矩阵及实二次型化为对角形和标准形的方法。 ［教学方法］讲授，讨论和习题相结合。 ［教学时间］18学时。 ［教学内容］
欧氏空间的定义和性质，标准正交基，同构，正交变换，子空间，对称矩阵的标准形，向量到子空间的矩离、最小二乘法*。 [教学过程] §1 定义、性质 定义1：设V 是R 上的一个线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记为),(βα，如果它具有以下性质： （1）),(),(αββα= （2）),(),(βαβαk k = （3）),(),(),(γβγαγβα+=+ （4）0),(≥αα当且仅当0=α时0),(=αα。 这里R k V ∈∈,,,γβα，则V 称为欧几里得空间（简称欧氏空间） 例1、例2。 练习：394P 1（1）。 定义2：非负实数),(αα称为α的长度，记为α 性质：ααk k = 单位向量：长度为1的向量。 α单位化： α α -Cauchy Буняковский不等式：βα,?，有 βαβα≤),( 等号成立当且仅当βα,线性相关。 在不同内积中，-Cauchy Буняковский不等式的具体例子： 例1中，2 2221222212211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ
欧氏空间1
欧氏空间1 1．在欧氏空间4R 中，已知(2,1,3,2),(1,2,2,1)αβ==-，则||α= ，α与β的夹角为 （内积按通常的定义）。 2．设η是n 维欧氏空间V 中的一个单位向量，定义V 上的变换σ如下：,()2(,)V ασααηαη?∈=-，其中(,)ηα表示η与α的内积，证明： （1） σ是V 上的正交变换； （2） V 中存在一组标准正交基12,,,n ηηη 使得1()1,()1,2.i i n σηση=-=≤≤ 3．已知矩阵126103114A --?? ?=- ? ?--?? ， （1）求A 的逆； （2）求A 的初等因子； （3）求A 的若当标准形。 4．设A 是可逆的n 阶方阵，求证：存在正交阵T 和对角线元素全是正实数的下三角阵U ，使得A=UT ；并且这个表达式是唯一的。 5．证明：奇数维欧式空间中的旋转变换（第一类正交变换）一定有特征值1。 6．设A 是欧氏空间n R 的一个变换.试证：如果A 保持内积不变，即对于n R 中任意两个向量,αβ都有 (,)(,)A A αβαβ=，那么，它一定是线性的，而且是正交的。 7．设1,,m αα 与 1,,m ββ 是n 维欧氏空间V 中两个向量组，满足 ,,,,1,,,i j i j i j m ααββ<>=<>= 这里<>，表示内积，试证存在正交变换, A 使,1,,.i i A i m αβ== 8．设 f 是n 维欧氏空间V 的对称变换（即f 是V 的线性变换，且对任意,V αβ∈都有((),)(,())f f αβαβ=），证明：f 的像子空间Im f 是f 的核子空间Kerf 的正交补子空间。 9．设n R 为欧氏空间,则有柯西-施瓦茨不等式: . 10．在欧氏空间n R 中,向量[][]6,5,1,0,2,2==βα,则α与β的长度分别为 ,它们的 夹角为 . 11。已知[][][]2121 32121 21,,0,,,0,0,1,1-===ααα是欧氏空间3R 的一组标准正交 基,则[]2,2,1=β向量在这组基下的坐标为 .
欧式空间的最佳逼近
摘要 欧几里德空间，简称为欧式空间(也可以称为平直空间)，在数学中是对欧几里德所研究的2维和3维空间的一般化。这个一般化把欧几里德对于距离、以及相关的概念长度和角度，转换成任意数维的坐标系。这是有限维、实和内积空间的“标准”例子。 欧氏空间是一个特别的度量空间，它使得我们能够对其的拓扑性质，例如紧性加以调查。内积空间是对欧氏空间的一般化。内积空间和度量空间都在泛函分析中得到了探讨。 欧几里德空间在对包含了欧氏几何和非欧几何的流形的定义上发挥了作用。一个定义距离函数的数学动机是为了定义空间中围绕点的开球。这一基本的概念正当化了在欧氏空间和其他流形之间的微分。微分几何把微分，会同导入机动性手法，局部欧氏空间，探讨了非欧氏流形的许多性质 当一个线性空间定义了内积运算之后它就成为了欧几里德空间。 一、问题的阐述 1、欧式空间的定义 设V是实数域R上的线性空间或称为向量空间，若V上定义着正定对称双线性型g（g 称为内积），则V称为（对于g的）内积空间或欧几里德空间（有时仅当V是有限维时，才称为欧几里德空间）。具体来说，g是V上的二元实值函数，满足如下关系： （1）g(x,y)=g(y,x)； （2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)； （3）g(kx,y)=kg(x,y)； （4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0当且仅当x=0时成立。 这里x,y,z是V中任意向量，k是任意实数 2、举例说明
1. （经典欧几里德空间E^n）在n维实向量空间R^n中定义内积(x,y)=x1y1+...+xnyn，则R^n为欧几里德空间。（事实上，任意一个n维欧几里德空间V等距同构于E^n。） 2. 设V是[0,1]区间上连续实函数全体，则V是R上线性空间，对于如下内积是欧几里德空间：(f,g)定义为fg在[0,1]区间上的积分值。 3、最佳逼近的含义 在三维空间中，如果W是一条过原的直线或一个过原点的平面，而向量a是三维空间中的任意一个向量，那么向量a可以分解为向量a在W上的正射影与一个垂直于W的向量的和。设向量b是向量a在W上的正射影，向量c是垂直于W的向量，则a=b+c。所以向量a到W 的最短距离为∣a-b∣，也就是∣c∣。显然有∣a-b∣≥0，当且仅当向量a在W内，等号成立。有定理8.2.5得：对于W中的任意向量d≠向量a，都有∣a-b∣＜∣a-d∣。由此，我们就把向量a在子空间W上的正射影向量b叫作W到向量a的最佳逼近。 二、构造的方法 有三角形定理知，在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。这个定理不仅在几何空间中成立，在向量空间中也同样成立。我们可以把三角形的三边看成三个向量，首尾相连就构成了一个矢量三角形。都是三角形，所以有相同的性质，即满足上述条件（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）。但是不同的是，向量不仅有大小而且有方向，在任意的空间中如果三个向量共线，则构不成三角形；如果不共线又满足上述条件则可以构成一个三角形。这样虽然做出了一个三角形，但是这个三角形具有不唯一和不确定性，所以我们就希望用一定的方法把这个三角形确定下来。 解析如下： 设W是欧式空间V的一个非空子集。如果V的一个向量a与W 的每一个向量正交，那么就说a与W正交，并且记作
线性空间和欧式空间
第六章 线性空间和欧式空间 §1 线性空间及其同构 一 线性空间的定义 设V 是一个非空集合，K 是一个数域，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算， 叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V 中任意两个元素α和β，在V 中都有唯一的一个元素γ与他们对应，成为α与β的和，记为βαγ+=。在数域K 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K 中任一数k 与V 中任一元素α，在V 中都有唯一的一个元素δ与他们对应，称为k 与α的数量乘积，记为αδk =，如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V 称为数域K 上的线性空间。 加法满足下面四条规则： 1）αββα+=+；交换律 2）)()(γβαγβα++=++；结合律 3）在V 中有一个元素0，对于V 中任一元素α都有αα=+0（具有这个性质的元 素0称为V 的零元素）； 存在零元 4）对于V 中每一个元素α，都有V 中的元素，使得0=+βα（β称为α的负元素）. 存在负元 数量乘法满足下面两条规则： 5）αα=1； 存在1元 6）αα)()(kl l k =. 数的结合律 数量乘法与加法满足下面两条规则： 7）αααl k l k +=+)(； 数的分配律 8）βαβαk k k +=+)(. 元的分配律 在以上规则中，l k ,表示数域中的任意数；γβα,,等表示集合V 中任意元素。 例1． 元素属于数域K 的n m ?矩阵，按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法，构成 数域K 上的一个线性空间，记为,()m n M K 。 例2． 全体实函数（连续实函数），按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实 数域上的线性空间。 例3． n 维向量空间n K 是线性空间。
第一章 线性空间与线性变换概述
第一章 线性空间与线性变换 线性空间与线性变换是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念．本章先简要地论述这两个概念及其有关理论，然后再讨论两个特殊的线性空间，这就是Euclid 空间和酉空间． §1.1 线性空间 线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础，所考虑的数域是实数域(记为R)和复数域(记为C)，统称数域F ． 一、线性空间的定义及性质 定义1 设V 是一个非空集合，F 是一数域．如果存在一种规则，叫做V 的加法运算：对于V 中任意两个元素,αβ，总有V 中一个确定的元素γ与之对应．γ称为αβ与的和，记为γαβ=+．另有一种规则，叫做V 对于F 的数乘运算：对于F 中的任意数k 及V 中任意元素α，总有V 中一个确定的元素σ与之对应，σ叫做k 与α的数乘，记为k σα=．而且，以上两种运算还具有如下的性质： 对于任意α，β，V γ∈及k ，l F ∈，有 1)αββα+=+； 2)()()αβγαβγ++=++； 3)V 中存在零元素０，对于任何V α∈，恒有αα+=0； 4)对于任何V α∈，都有α的负元素V β∈，使0αβ+=； 5)1αα=； 6)()()k l kl αα=；(式中kl 是通常的数的乘法) 7)()k l k l ααα+=+；(式中k l +是通常的数的加法) 8)()k k k αβαβ+=+． 则称V 为数域F 上的一个线性空间，也称向量空间． V 中所定义的加法及数乘运算统称为线性运算，其中数乘又称数量乘 法．在不致产生混淆时，将数域F 上的线性空间简称为线性空间． 需要指出，不管V 的元素如何，当F 为实数域R 时，则称V 为实线性空间；当F 为复数域C 时，就称V 为复线性空间． 线性空间{0}V =称为零空间．
欧式空间习题
第九章 欧式空间习题 1．(填空)设n εεε,,,21 为n 维欧氏空间V 中的基,在此基下向量βα,坐标分别为),,,(21n a a a 与 ),,,(21n b b b ,则内积∑==n i i i b a 1),(βα的充分必要条件是 。 （n εεε,,,21 是V 的标准正交基） 2．(填空)21,V V 是有限维欧氏空间的子空间，存在0,2≠∈ααV ，使得1V ⊥α的充分条件是子空间的维数之间满足 。（） 维（）维（21V V < 3．对角矩阵为正交矩阵的充分必要条件是 （对角线上的元素为±1）。 4．（证明）设A 与B 是欧氏空间V 的两个线性变换，并且对任意V ∈α有))(),(())(),((ααααB B A A =，证明A V 与BV 作为欧氏空间是同构的。 证明：A V 与BV 均是欧氏空间V 的子空间，因而对于V 的内积来说作成欧氏空间。令V B A f ∈?→ααα),()(:，则f 是一个映射； 因为任取V ∈βα,， 若),()(βαA A = 得 ,0)(=-βαA ))(),((0))(),((βαβαβαβα--==--∴B B A A ，从而有,0)(=-βαB 即),()(βαB B =可证f 是单射，又是满射，现证f 是线性的； R k V A A A ∈?∈?),()(),(βα，有)()(())()((βαβαβα+=+=+B A f A A f ))(())(()()(βαβαA f A f B B +=+= )()()()(())((αααααkf kB k B k A f kA f ====，再证f 保持内积不变； V ∈?βα,，有))(),(())(),((2))(),(())(),(βββαααβαβαA A a A A A A A ++=++ ))(),(())(),((2))(),(())(),(βββαααβαβαB B B B B B B B ++=++= 所以))(),(())(),((βαβαB B A A =
欧氏空间简介
批第八章欧氏空间 本节恒设为实数域。 定义1 设是上的向量空间。如果有一个规则，使得对于中任意向量都对应中唯一确定的数，将其记为，并且下述条件成立。 1 2 3 4 若 则称为向量与的内积。而称为欧几里德空间，简称欧氏空间。 第五章所讨论的向量空间便是一个欧氏空间，因为那里的内积定义满足定义1中的所有条件，这是欧氏空间的一个典型代表。 又如，设是定义在闭区间上的所有连续函数所构成的上的向量空间，规定中任意二向量，对应 则便成为一个欧氏空间。这是因为对任意及实数，均有
同时，若不是零函数，则 故规定的对应是与的内积。 命题1 设为欧氏空间，则对任意及任意，恒有： (1) (2) (3) 证明由定义1知 而由 知。证毕。 由命题1，利用数学归纳法不难证明：对任意都有
现在，再把第五章中的向量长度的概念推广为 定义2 非负实数称为向量长度，记为。 由定义1中的条件4知非零向量的长度恒为正实数。而由命题1的（3）知零向量的长度为0。除此之外，还有 命题2 对任意实数及，有 其中表的绝对值。 由此 即知。 定理1 对欧氏空间中的任意二向量恒有 而等号成立的充分必要条件是线性无关。 证明当线性相关时，其中一个向量必可由另一个向量线性表示，不防设，于是由 知 当线性无关时，对任意负数均有，从而 并即
因此必有 这也就是，所以 这样，便证明了定理的前一结论，又因上面的两种情况分别说明了后一结论的充分性与必要性成立，故知定理得证。 定理2（三角不等式）对于欧氏空间中的任意向量均有 证明由定理1得 故 把定理1 用于前面的具体例子，即可得到关于定积的一个重要的不等式 由定理1知，在一般的欧氏空间中，对于任意非零向量，恒有 因此
点集拓扑21n维欧氏空间度量空间拓扑空间的概念定义
第二章 点 集 拓 扑 §2.1. n 维欧氏空间、度量空间、拓扑空间的概念 定义2.1.1．) , ,(n 1ξξ =x ，n R y ∈=) , ,(n 1ηη ，定义 R R R d n n →?: 为 ∑=-= n 1 2 )()y ,(i i i x d ηξ． 称d 为n R 上的Euclid 距离． 易证距离d 满足： 01．y x 0)y ,( ,0)y ,(=?=≥x d x d ； 02．) x ,()y ,(y d x d =； 03．)z ,()y ,()z ,(y d x d x d +≤， )R z y, ,(n ∈x ． 定义2.1.2．( 距离空间，Metrical Space ) X 为非空集合，二元函数 R X X d →?: 满足： 01．非负性：y x 0)y ,( ,0)y ,(=?=≥x d x d ； 02．对称性：) x ,()y ,(y d x d =； 03．三角不等式：)z ,()y ,()z ,(y d x d x d +≤ )R z y, ,(∈x ． 称d 为X 上的一个距离，)d ,(X 为距离空间或度量空间．如 X A ?，称)d ,(A 为距离子空间． 0r ,>∈X x ，开球：} ) ,({)r ;(r x y d X y x B <∈=； 闭球：} ) ,({)r ;(r x y d X y x S ≤∈=． 开集：X A ? ．A x ∈，?球 A x B ?)r ;(，称x 为A 的一个内点．如A 中每个点都是内点，则称A 为开集． 开球是开集；2R 中第一象限区域（不含坐标轴）是开集． 记)d ,(A 中开集全体为τ，则有如下结论． 定理2.1.1．(1) τφ∈X ,； (2) ττ∈?∈)( ,2121G G G G ； (3) τλτλλλ∈?Λ∈∈Λ ∈ )( G G ． 例：(1) 离散空间． φ≠X ，定义 ) X y x,( y x ,1y x ,0)y ,(∈?? ?≠==x d ． 称X 为离散距离空间． (2) ] ,[b a C 空间． } b] [a, )( )({] ,[上连续函数为t x t x b a C =．] ,[y(t)y ),(b a C t x x ∈==， 定义y(t)x(t) max )y ,( -=≤≤b t a x d ， d 是距离． (3) 有界函数空间)(X B ． φ≠X ，} X )( )({)(上有界函数为t x t x X B =． 定义 y(t)x (t) sup )y ,( -=∈X t x d ，()(y ,X B x ∈)，d 是距 离．称)(X B 为有界函数空间． 取 +=N X ，记} )( )( {)(有界 n n x l X B ξξ===∞．)(y ),(n ηξ==n x ，n n sup )y ,(ηξ-=∈N n x d ． 定义2.1.3．设 φ≠X ，)(X P ?τ 满足：
欧几里得空间
第九章 欧几里得空间 §1定义与基本性质 教学目的：理解欧几里得空间的定义与性质，掌握向量的长度与夹角的概念，度 量矩阵的概念与性质，会求欧几里得空间基的度量矩阵. 教学重点：欧几里得空间的定义与性质，度量矩阵的性质. 教学难点：理解欧几里得空间的定义. 教学内容： 一、向量的内积 定义1 设V 是实数域R 上一个向量空间,在V 上定义了一个二元实函数，称为内积,记作),(βα,它具有以下性质: 1) ),(),(αββα=; 2) ),(),(βαβαk k =; 3) ),(),(),(γβγαγβα+=+; 4) 0),(≥αα,当且仅当0=α时, 0),(=αα 这里γβα,,是V 任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间V 称为欧几里得空间. 例1 在线性空间n R 中,对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα, 定义内积 .),(2211n n b a b a b a +++= βα (1) 则内积(1)适合定义中的条件，这样n R 就成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间. 在3=n 时，(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式. 例2 在n R 里, 对于向量
),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα, 定义内积 .2),(2211n n b na b a b a +++= βα 则内积(1)适合定义中的条件，这样n R 就也成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间., 对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成欧几里得空间. 例 3 在闭区间],[b a 上的所有实连续函数所成的空间),(b a C 中,对于函数 )(),(x g x f 定义内积 ?=b a dx x g x f x g x f )()())(),((. (2) 对于内积(2)，),(b a C 构成一个欧几里得空间. 同样地，线性空间n x R x R ][],[对于内积(2)也构成欧几里得空间. 例4 令H 是一切平方和收敛的实数列 +∞<=∑∞ =12 21),,,,(n n n x x x x ξ 所成的集合,则H 是一个欧几里得空间,通常称为希尔伯特(Hilbert)空间. 二、欧几里得空间的基本性质 1）定义中条件1）表明内积是对称的. ),(),(),(),()2αββααββαk k k k ==='. ),(),(),(),(),(),()3γαβααγαβαγβγβα+=+=+=+' 定义2 非负实数),(αα称为向量α的长度，记为α. 显然，向量的长度一般是正数，只有零向量的长度才是零，这样定义的长度符合熟知的性质： αα||k k = (3) 这里V R k ∈∈α,. 长度为1的向量叫做单位向量.如果,0≠α由(3)式，向量
欧氏空间
第八章 欧式空间 基础训练题 1. 证明，在一个欧氏空间里，对任意的向量α，β，以下等式成立： (1) 222222βαβαβα＋＝－＋＋； (2) ?α，β ?＝2 24141βαβα－－＋. [提示：根据向量内积的定义及向量模的定义易证.] 2. 在欧氏空间R 4中，求一个单位向量与 α1＝(1, 1, 0, 0)，α2＝(1, 1, －1, －1)，α3＝(1, －1, 1, －1) 都正交. 解:ε=?? ? ??21,21,21,21－－. 3. 设a 1, a 2, …, a n 是n 个实数，证明: )(222211n n i i a a a n a ＋＋＋ ≤ ∑=. 证明: 令α=(1,1, …,1), β=(|a 1|,|a 2|,…, |a n |) ?α , β?=∑=n i i a 1≤|α|·|β |=)(2 2221n a a a n +++ . 4. 试证，欧氏空间中两个向量α, β正交的充分必要条件是：对任意的实数t ，都有 |α＋t β| ≥ |α|. 证明: ?α +t β,α +t β?=?α , α?+2t ?α , β?+t 2?β , β? 必要性: 设α与β正交, 对任意的实数t ,则 ?α +t β,α +t β?=?α , α?+t 2?β , β?≥?α , α? 所以 |α＋t β| ≥ |α|. 充分性: 当β=0时,结论成立.
当β≠0时,取t 0=2,ββα? ?-,则 ?α +t 0β,α +t 0β?=?α , α?22 ,ββα??-. 由已知 ?α +t 0β,α +t 0β?≥?α , α? 故 22 ,ββα??=0, 所以?α , β?= 0. 即α , β正交. 5. 在欧氏空间R 4中，求基{α1, α2, α3, α4}的度量矩阵，其中 α1＝(1, 1, 1, 1), α2＝(1, 1, 1, 0), α3＝(1, 1, 0, 0), α4＝(1, 0, 0, 0) . 解: 度量矩阵为?????? ? ??1111122212331234. 6. 在欧氏空间R 3中，已知基α1＝(1, 1, 1), α2＝(1, 1, 0), α3＝(1, 0, 0)的度量矩阵为 B ＝???? ? ??--321210102 求基ε1＝(1, 0, 0), ε2＝(0, 1, 0), ε3＝(0, 0, 1)的度量矩阵. 解: 度量矩阵为 ???? ? ??----343485353. 7. 证明 α1＝??? ??21,21,21,21， α2＝?? ? ??21,21,21,21－－ α3＝??? ??21,21,21,21－－，α4＝??? ??-21,21,21,21－ 是欧氏空间R 4的一个规范正交基. [提示:令u =(α1, α2, α3, α4),计算uu T 即可.] 8. 设{ε1, ε2, ε3}是欧氏空间V 的一个基, α1＝ε1＋ε2, 且基{ε1, ε2, ε3}的度量
欧式空间
欧氏空间(Euler space ) 一、 内积与欧氏空间 1.设V 是实数域R 上的线性空间,在V 上定义一个二元实函数,称为内积,记为),(βα,它具有以下性质: )3(,)2(),,(),)(1( αββα= 这样的线性空间V 称为欧几里的空间,简称欧氏空间. 2.设V 是数域P 上的线性空间,如果V 中的任意两个向量βα,都按某一法则对应P 内唯一确定的数,记为),(βαf ,且 ) ,(),(),(,,,,)1(221122112121βαβαβααβααk f k k k f V P k k +=+∈∈?有;),(),(),(,,,,)2(221122112121βαβαββαββαl f l l l f V P l l +=+∈∈?有 则称),(βαf 是V 上的一个双线性函数. 3.内积是双线性函数. 4.设V 是n 维欧氏空间,n e e e ,,,21 为V 的一组基,V ∈βα,,若 n n e x e x e x +++= 2211α; n n e y e y e y +++= 2211β 则j i n j n i j i j i n j n i j i y x a y x e e ∑∑∑∑====?=1111),(),(βα, 5.称 )),(()(j i ij e e a A ==为基n e e e ,,,21 的度量矩阵. 6. 设n e e e ,,,21 是n 维欧氏空间V 的一组基,,A 是基n e e e ,,,21 下的度量矩阵,则任意V ∈βα,,有AY X '=),(βα.
7.度量矩阵必为正定矩阵,且不同基下的度量矩阵是合同的. 二、 长度与夹角 1。欧氏空间V 中向量长度 ),(||ααα=；单位化：当||0||0αααα=≠时， 2．欧氏空间中的重要不等式： ① Cauchy-Буняковский不等式： 对任意向量V ∈βα,有线性相关时等式成立。，当且仅当βαβαβα|,||||),(|≤。 ② 三角不等式：对任意向量V ∈βα,有222||||||,0),(|,|||||βαβαβαβαβα+=+=+≤+时当且仅当 3．向量的夹角：当是非零向量时，称| |||),(cos 1 βαβα-为βα,的夹角， 记为πβαβα>≤≤<><,0,,. 三、 标准正交基及性质 1．在欧氏空间V 中，如果0),(=βα，那么称βα与正交或互相垂直。 2．正交向量组（正交向量组必定线性无关） 3．正交基、标准正交基 4．关于标准正交基，有下述重要结论： ①n 维欧氏空间中标准正交基总是存在的，且不唯一； ②一个标准正交基到另一个标准正交基之间的过渡矩阵是正交矩阵，反之如果第一个基是标准正交基，过渡矩阵是正交矩阵，则第二个基也是标准正交基。 ③n 维欧氏空间中的一个基是标准正交基的充分必要条件是它的度量矩阵是
第九章欧氏空间分析
第八章 欧氏空间练习题 1．证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量ηξ,,以下等式成立: (1)2222||2||2||||ηξηξηξ+=-++； (2).||4 1 ||41,22ηξηξηξ--+= 在解析几何里,等式(1)的几何意义是什么? 2．在区氏空间n R 里,求向量)1,,1,1(Λ=α与每一向量 )0,,0,1,0,,0() (ΛΛi i =ε,n i ,,2,1Λ= 的夹角. 3．在欧氏空间4R 里找出两个单位向量,使它们同时与向量 ) 4,5,2,3()2,2,1,1() 0,4,1,2(=--=-=γβα 中每一个正交. 4．利用内积的性质证明,一个三角形如果有一边是它的外接圆的直径,那么这个三角形一定是直角三角形． 5．设ηξ,是一个欧氏空间里彼此正交的向量.证明: 222||||||ηξηξ+=+(勾股定理) 6．设βααα,,,,21n Λ都是一个欧氏空间的向量,且β是n ααα,,,21Λ的线性组合.证明：如果β与i α正交,n i ,,2,1Λ=,那么0=β. 7．设n ααα,,,21Λ是欧氏空间的n 个向量. 行列式 > <><><> <><><><><> <= n n n n n n n G ααααααααααααααααααααα,,,,,,,,,),,,(21222121211121Λ ΛΛΛΛΛ ΛΛ 叫做n ααα,,,21Λ的格拉姆(Gram)行列式.证明),,,(21n G αααΛ=0,必要且只要
n ααα,,,21Λ线性相关. 8．设βα,是欧氏空间两个线性无关的向量,满足以下条件: ><><ααβα,,2和> <> <βββα,,2都是0≤的整数. 证明: βα,的夹角只可能是 6 54 3,32,2π π ππ或 . 9.证明:对于任意实数n a a a ,,,21Λ, 2 3322211 (||n n i i a a a a n a ++++≤∑=Λ). 10．已知 )0,1,2,0(1=α,)0,0,1,1(2-=α, )1,0,2,1(3-=α,)1,0,0,1(4=α 是4R 的一个基.对这个基施行正交化方法,求出4R 的一个规范正交基． 11．在欧氏空间]1,1[-C 里,对于线性无关的向量级{1,x ,2x ,3x }施行正交化方法,求出一个规范正交组． 12．令},,,{21n αααΛ是欧氏空间V 的一组线性无关的向量,},,,{21n βββΛ是由这组向量通过正交化方法所得的正交组.证明,这两个向量组的格拉姆行列式相等,即 ><>><=<=n n n n G G βββββββββααα,,,),,,(),,,(22112121ΛΛΛ 13．令n γγγ,,,21Λ是n 维欧氏空间V 的一个规范正交基,又令 },2,1,10,|{1n i x x V K n i i i i Λ=≤≤=∈=∑=γξξ K 叫做一个n -方体.如果每一i x 都等于0或1,ξ就叫做K 的一个项点.K 的顶点间一切可能的距离是多少? 14．设},,,{21m αααΛ是欧氏空间V 的一个规范正交组.证明,对于任意V ∈ξ,以下等式成立:
线性空间和欧式空间
第六章 线性空间与欧式空间 §1 线性空间及其同构 一 线性空间得定义 设V 就是一个非空集合,K 就是一个数域,在集合V 得元素之间定义了一种代数运算, 叫做加法;这就就是说,给出了一个法则,对于V 中任意两个元素α与β,在V 中都有唯一得一个元素γ与她们对应,成为α与β得与,记为βαγ+=。在数域K 与集合V 得元素之间还定义了一种运算,叫做数量乘法,即对于数域K 中任一数k 与V 中任一元素α,在V 中都有唯一得一个元素δ与她们对应,称为k 与α得数量乘积,记为αδk =,如果加法与数量乘法满足下述规则,那么V 称为数域K 上得线性空间。 加法满足下面四条规则: 1)αββα+=+;交换律 2))()(γβαγβα++=++;结合律 3)在V 中有一个元素0,对于V 中任一元素α都有αα=+0(具有这个性质得元素0 称为V 得零元素); 存在零元 4)对于V 中每一个元素α,都有V 中得元素,使得0=+βα(β称为α得负元素)、存 在负元 数量乘法满足下面两条规则: 5)αα=1; 存在1元 6)αα)()(kl l k =、 数得结合律 数量乘法与加法满足下面两条规则: 7)αααl k l k +=+)(; 数得分配律 8)βαβαk k k +=+)(、 元得分配律 在以上规则中,l k ,表示数域中得任意数;γβα,,等表示集合V 中任意元素。 例1． 元素属于数域K 得n m ?矩阵,按矩阵得加法与矩阵得与数得数量乘法,构成数 域K 上得一个线性空间,记为,()m n M K 。 例2． 全体实函数(连续实函数),按函数得加法与数与函数得数量乘法,构成一个实数 域上得线性空间。 例3． n 维向量空间n K 就是线性空间。 例4． 向量空间得线性映射得集合(,)m n K Hom K K 就是线性空间。 二.简单性质 1.零元素就是唯一得。 2.负元素唯一。 3.00=α,00=k ,αα-=-)1(。 4.若0=αk ,则0=k 或者0=α。 三、同构映射 定义:设,V V '就是数域K 上得线性空间、 (,)K A Hom V V '∈就是一个线性映射、如果A 就 是一一映射,则称A 就是线性空间得同构映射,简称同构。线性空间V 与'V 称为同构 得线性空间。 定理 数域P 上两个有限维线性空间同构得充分必要条件就是她们有相同得维数。 同构映射得逆映射以及两个同构映射得乘积还就是同构映射。 ?同构 线性空间分类?维数
第六章 线性空间与线性变换
第六章 线性空间与线性变换 柴中林 (A) 1. 检验下列集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间： （1）全体n 阶上三角矩阵，对矩阵的加法和数量乘法。 （2）平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，对向量的加法和数乘运算。 （3）平面上的全体向量对于通常的加法和如下定义的数量乘法：k 。a =0 . 2. 设V 1和V 2都是线性空间V 的子空间，如果V 1∪V 2也是的子空间，求证有：V 1 V 2或V 2 V 1。 3. 检验下列各向量集合是否是R 3的子空间： （1）},0|),,{(213211R x x x x x x V i ∈≥=, （2）}(|),,{(3212有理数）Q x x x x V i ∈=. 4. R 4中，求向量ξ在基α1，α2，α3，α4下的坐标，已知： （1）α1（1，1，1，1）， α2=（1，1，-1，-1）， α3=（1，-1，1，-1）， α4=（1，-1，-1，1）， ξ=（1，2，1，1）。 （2）α1（1，1，0，1）， α2=（2，1，3，-1）， α3=（1，1，0，0）， α4=（1，1，-1，-1）， ξ=（0，0，0，1）。 5. R 4中，求由基α1，α2，α3，α4到基β1，β2，β3，β4的过渡矩阵，并求向量ξ在指定基下的坐标。已知： （1）α1=（1，0，0，0）， α2=（0，1，0，0）， α3=（0，0，1，0）， α4=（0，0，0，1）， β1=（2，1，-1，1）， β2=（0，3，1，0）， β3=（5，3，2，1）， β4=（6，6，1，3）。 ξ=（1，2，1，1）在基β1，β2，β3，β4下的坐标。 （2）α1=（1，1，1，1）， α2=（1，1，-1，-1）， α3=（1，-1，1，-1）， α4=（1，-1，-1，1）， β1=（1，1，0，1）， β2=（2，1，3，1）， β3=（1，1，0，0）， β4=（0，1，-1，-1）。 ξ=（1，0，0，-1）在基α1，α2，α3，α4下的坐标。 6. 向量α、β、γ满足0321=++γβαk k k ，且k 1k 2≠0, 求证向量组α、β和向量组β、γ生成相同的向量空间。 7. 判断下面所定义的变换，哪些是线性变换，哪些不是： （1）在线性空间V 中，T （ξ）=ξ+α，其中α∈V 是一已知向量, （2）在R 3 中， T T x x x x x x x T ),,()),,((233221321+=, （3）在R 3中，T T x x x x x x x x T ),,2()),,((13221321+-=, （4）在P[x]n 中，T(f (x ))=f (x +1). 8. 证明线性变换将一个子空间变为一个子空间。 9. 已知矩阵A 与B 相似，C 与D 相似，证明： ???? ??C A 00与???? ??D B 00相似。 10. 设α1，α2，α3，α4是4维线性空间V 的一组基, 线性变换T 在这组基下的矩阵为: ??????? ??--------=7113102/52/92/1323133425T ,
高等代数欧几里得空间知识点总结
第九章 欧几里得空间（ * * * ） 一、复习指导：在第九章中，有两个重要的考点：1.标准正交基（施密特正交化）2.实对称矩阵如何相似对角化，如何求标准形。除此之外，欧氏空间的含义，概念，性质也要作为一个比较重要的内容来复习。 二、考点精讲： 三、首师大真题： （一）欧氏空间 1.设V 是是数域R 上一线性空间，在V 上定义了一个二元实函数，称为内积，记为(,)αβ，特具有一下性质： （1）(,)(,)αββα=； （2）(,)(,)k k αβαβ= （3）(,)(,)(,)αβγαγβγ+=+； （4）(,)0αα≥，当且仅当α=0时(,)αβ=0.这里,,αβγ是V 中任意的向量，k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间。 2.α的长度，记为α。 3.非零向量的夹角,β规定为(,) ,arccos ,0,ααβαβπαβ =≤≤ 4.如果向量,αβ的内积为零，即(,)0αβ=，那么,αβ称为正交或互相垂直，记为αβ⊥。 5.设V 是一个n 维欧几里得空间，在V 中取一组基1,2,......,n εεε令 (,),(,1,2,....)ij i j a i j n εε==矩阵()ij n n A a ?= 称为基1,2,......,n εεε的度量矩阵。 （1）度量矩阵是正定的； （2）不同基底的度量矩阵是合同的。 6.欧氏空间V 中一组非零向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。在n 维欧氏空间中，由n 个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基。 （1）施密特正交化 这是把线性无关向量组改造为单位正交向量组的方法. 以3个线性无关向量α1,α2,α3为例. ①令β1=α1, β2=α2- 11112) ,() ,(ββββα, β3=α3-11113),(),(ββββα-22223) ,() ,(ββββα. 此时β1,β2,β3是和α1,α2,α3 等价的正交非零向量组. （二）同构 1.实数域R 上欧氏空间V 与' v 称为同构，如果由V 到' v 有一个1-1上的映射σ，适合 （1）()()()σαβσασβ+=+ （2）()()k k σασα=
第八章欧氏空间欧氏空间的定义及基本性质.doc
第八章欧氏空间 计划课时：22学时 (P335—360) §8.1 欧氏空间的定义及基本性质（4学时） 教学目的及要求：理解内积、长度、夹角、正交、距离的定义，掌握柯西一施瓦兹不等式。通过本节的学习，使学生逐步掌握由特殊的例子抽象出一般概念的方法。 教学重点、难点：内积的定义、柯西一施瓦兹不等式 本节内容分为下面四个问题讲授： 一．内积及欧氏空间的定义 1. 内积及欧氏空间的定义 定义1（内积及欧氏空间的定义P336） 注意：(1) .通过这个定义让学生逐步学会从具体例子抽象出一般概念的方法。 (2). 让学生体会公理化定义的特点。 (3). 内积的定义是本章的难点之一。 例1 （P336） 例2 （P336） 例3 （P336） 例4 （P336） 2. 向量的长度 定义2（向量的长度P337） 例5 （P336） 例6 （P336） 例7 （P336） 长度的性质： | kα|＝|k||α|. 单位向量 二. 柯西一施瓦兹不等式 定理8.1.1 注意：Cauchy不等式与Schwarz不等式这两个看似完全不同的不等式在高等代数课程中达到了高度的统一。 例8 （P338） 例9（P338） 三. 两向量的夹角、正交、距离 定义3（P338-339） 定义4 （P339） 作业：P356-P357习题八1（1），2，3，4，5.
§8.2 度量矩阵与正交基（4学时） 教学目的及要求：理解度量矩阵、规范正交基、正交矩阵的定义及相应的理论，掌握在规范正交基下内积的算 法与正交化方法 教学重点、难点：正交化方法 本节内容分为下面三个问题讲授： 一. 度量矩阵 (1). 内积的计算 (2).度量矩阵 定理8.2.1 （P 309） 例1 (P 341) 二. 规范正交基 (1). 规范正交基的定义 注意：一个基为规范正交基的充分必要条件是它的度量矩阵是单位矩阵. (2). 在规范正交基下内积、坐标的算法 (3). 规范正交基的求法—正交化过程. 定理8.2.3 注意：1.Schmidt 正交化方法肯定了)1(≥n n 维欧氏空间的规范正交基的存在性。 2. 在求欧氏空间的规范正交基时, 常常是已经有了空间的一个基{ε1, ε2, …, εn }, 这时我们首先将它化成正交基{β1, β2, …, βn }，再将每一个向量单位化 例2 （P 3４３） 三. 正交矩阵 注意：由规范正交基到规范正交基的过渡矩阵是正交矩阵；反过来, 如果一个基是规范正交的, 同时过渡矩阵是正交矩阵,那么另一个基也是规范正交基. 作业：P 357-358 习题八 7，9，11. §8.3 正交变换与对称变换（2学时） 教学目的及要求：理解正交变换、对称变换的定义，掌握有限维欧氏空间的正交变换、对称变换的等价命题 ，理解欧氏空间2V 的一个正交变换不改变平面上图形的大小和形状。 教学重点、难点：正交变换、对称变换的等价命题 本节内容分为下面二个问题讲授： 一. 正交变换 定义1 （P 3４６） 注意：正交变换不改变任意两个向量的夹角和向量的长度。 定理8.3.1 （P 346） 二. 对称变换
第九章_欧氏空间
第九章 欧氏空间 一. 内容概述 1. 欧氏空间的定义 设V 是实数域R 上的一个线性空间.如果V ∈?βα.,定义了一个二元实函数.记作 ()()R ∈βαβα,,,称为内积,且满足 1) ()()2;,,αββα=)()()()()()(), 0,)4;,,,)3;,,≥+=+=ααγβγαγβαβαβαk k 当且仅当 0=α时,().0,=αα其中γβα,,是V 中任意向量,k 为任意实数,则称V 为欧几里空间,简称欧氏空 间. 常见的欧氏空间有: (1) 在 (){}R x x x x R i n n ∈=|,,2 1 里定义内积为()()1,2 2 1 1 y x y x y x n n +++= βα其 中()().,,,,,1 1 y y x x n n ==βα则称R n 为R 上的欧氏空间. (2) 设[]b a C ,为定义在[]b a ,上所有连续实函数所成的线性空间.内积定义为 ()()()()2,dx x g x f g f b a ?= (3) 设 R m n ?为一切m n ?矩阵所成的线性空间.内积定义为()()3,B A B A t r '= 则称R m n ?为R 上的欧氏空间, 2. 欧氏空间的内积的主要性质: 1) ()()()()()()())4;0,00,)3;,,,)2;,,==+=+=βαγαβαγβαβαβαk k 设εεεn ,,,21 为V 的一组基,,,2 2 1 1 2 2 1 1 ε ε εεε εβαn n n n y y y x x x + ++=+++= 则()Ay x '=βα,其 中()()()()??? ? ? ??=?????? ? ??=? ? ????? ??=εεεεεεεεn n n n n n A y x y y y x x x 11 112121,. 3. 向量的长度,角,柯西-不涅柯夫斯基不等式().,βαβα≤ 4. 标准正交基 施密特正交化的方法 正交向量组是线性无关的.正交基.标准正交基. 格拉姆矩阵()()( )()??? ?? ??=∈αααααααααααn n n n m G V V 11 1 121.,,,.