数的整除性讲解(一)(通用)
第4讲数的整除性（一）
我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。
数的整除具有如下性质：
性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。
性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。
性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。
利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：
（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。
（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。
（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。
（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。
（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。
（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。
其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。
因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。这就证明了（4）。
类似地可以证明（5）。
（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。
837＝800＋30＋7
＝8×100＋3×10＋7
＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7
＝8×99＋8＋3×9＋3＋7
＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）。
因为99和9都能被9整除，所以根据整除的性质1和性质2知，（8x99＋3x9）能被9整除。再根据整除的性质2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判断837能被9整除。
利用（4）（5）（6）还可以求出一个数除以4，8，9的余数：
（4＇）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。
（5＇）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。
（6＇）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。
例1 在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？
234，789，7756，8865，3728，8064。
解：能被4整除的数有7756，3728，8064；
能被8整除的数有3728，8064；
能被9整除的数有234，8865，8064。
例2 在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？
解：如果56□2能被9整除，那么
5＋6＋□＋2＝13＋□
应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除；
如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除；
如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。
到现在为止，我们已经学过能被2，3，5，4，8，9整除的数的特征。根据整除的性质3，我们可以把判断整除的范围进一步扩大。例如，判断一个数能否被6整除，因为6＝2×3，2与3互质，所以如果这个数既能被2整除又能被3整除，那么根据整除的性质3，可判定这个数能被6整除。同理，判断一个数能否被12整除，只需判断这个数能否同时被3和4整除；判断一个数能否被72整除，只需判断这个数能否同时被8和9整除；如此等等。
例3 从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。
解：因为组成的三位数能同时被2，5整除，所以个位数字为0。根据三位数能被3整除的特征，数字和2＋7＋0与5＋7＋0都能被3整除，因此所求的这些数为270，570，720，750。
例4 五位数能被72整除，问：A与B各代表什么数字？
分析与解：已知能被72整除。因为72＝8×9，8和9是互质数，所以既能被8整除，又能被9整除。根据能被8整除的数的特征，要求
能被8整除，由此可确定B＝6。再根据能被9整除的数的特征，
的各位数字之和为
A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，
因为l≤A≤9，所以21≤A＋20≤29。在这个范围内只有27能被9整除，所以A＝7。
解答例4的关键是把72分解成8×9，再分别根据能被8和9整除的数的特征去讨论B和A所代表的数字。在解题顺序上，应先确定B所代表的数字，因为B代表的数字不受A的取值大小的影响，一旦B代表的数字确定下来，A所代表的数字就容易确定了。
例5 六位数是6的倍数，这样的六位数有多少个？
分析与解：因为6＝2×3，且2与3互质，所以这个整数既能被2整除又能被3整除。由六位数能被2整除，推知A可取0，2，4，6，8这五个值。再由六位数能被3整除，推知
3＋A＋B＋A＋B＋A＝3＋3A＋2B
能被3整除，故2B能被3整除。B可取0，3，6，9这4个值。由于B 可以取4个值，A可以取5个值，题目没有要求A≠B，所以符合条件的六位数共有5×4＝20（个）。
例6 要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？
分析与解：因为36＝4×9，且4与9互质，所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除。六位数能被4整除，就要能被4整除，因此C可取1，3，5，7，9。
要使所得的商最小，就要使这个六位数尽可能小。因此首先是A
尽量小，其次是B尽量小，最后是C尽量小。先试取A=0。六位数的各位数字之和为12＋B＋C。它应能被9整除，因此B＋C＝6或B＋C＝15。因为B，C应尽量小，所以B＋C＝6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使
尽可能小，应取B＝1，C＝5。
当A=0，B=1，C＝5时，六位数能被36整除，而且所得商最小，为150156÷36＝4171。
专题02 数的整除性
专题02 数的整除性 阅读与思考 设a，b是整数，b≠0，如果一个整数q使得等式a=bq成立，那么称a能被b整除，或称 b整除a，记作b|a，又称b为a的约数，而a称为b的倍数．解与整数的整除相关问题常用到以下知识： 1．数的整除性常见特征： ①若整数a的个位数是偶数，则2|a； ②若整数a的个位数是0或5，则5|a； ③若整数a的各位数字之和是3(或9)的倍数，则3|a(或9|a)； ④若整数a的末二位数是4(或25)的倍数，则4|a(或25|a)； ⑤若整数a的末三位数是8(或125)的倍数，则8|a(或125|a)； ⑥若整数a的奇数位数字和与偶数位数字和的差是11的倍数，则11|a． 2．整除的基本性质 设a，b，c都是整数，有： ①若a|b，b|c，则a|c； ②若c|a，c|b，则c|(a±b)； ③若b|a，c|a，则[b，c]|a； ④若b|a，c|a，且b与c互质，则bc|a； ⑤若a|bc，且a与c互质，则a|b．特别地，若质数p|bc，则必有p|b或p|c． 例题与求解 【例1】在1，2，3，…，2 000这2 000个自然数中，有_______个自然数能同时被2和3整除，而且不能被5整除． (“五羊杯”竞赛试题) 解题思想：自然数n能同时被2和3整除，则n能被6整除，从中剔除能被5整除的数，即为所求． 【例2】已知a，b是正整数(a＞b)，对于以下两个结论： ①在a＋b，ab，a－b这三个数中必有2的倍数； ②在a＋b，ab，a－b这三个数中必有3的倍数．其中( ) A．只有①正确B．只有②正确 C．①，②都正确D．①，②都不正确 (江苏省竞赛试题) 解题思想：举例验证，或按剩余类深入讨论证明．
第二讲 速算与巧算(乘除法)
第二讲速算与巧算（乘除法） 一、乘法凑整 （1）8×23×125 （2）25×（200＋4）（3）625×64×25 1、43×20×5 25×91×4 43×76＋76×57 125×32×49×25 【拓展提高】 1、（1）25×25×25×32 （2）125×24×25 2、119×17＋42×119＋119×41 3999×222＋333×334
二、乘法速算 （1）73×77 （2）63×43 （3）25×99 （4）36×11 【拓展提高】 1、（1）317×11 （2）5613×11 2、（1）93×97 （2）49×69 3、（1）924×999 （2）485×999 4、（1）63×37 （2）21×67 游戏一：奇妙的数37 游戏二：神奇的37，67
三、除法凑整 1、（1）6300÷25÷4 （2）88000÷125÷8 2、（1）（860＋215）÷43 （2）（5000－375）÷25 3、（1）9750÷25 （2）2000÷125 【拓展提高】 1、（1）56560÷8÷7 （2）6300÷25÷7÷4 2、（1）135÷（15÷8）（2）625÷（100÷16） 3、（1）54÷26＋115÷26＋65÷26 （2）1560÷（78÷4） （2）（1234567＋2345671＋3456712＋4567123＋56712345＋6712345＋7123456）÷4
四、乘除法的简便运算 （1）204×108÷18 （2）10000÷（625÷8）（3）44000÷25 1、（1）160×24÷6 （2）78×352÷176 2、（1）400÷（25÷4）（2）1920÷（64÷4） 3、（1）3600÷25 （2）64000÷125 【拓展提高】 1、（1）777×75÷15 （2）145×584÷292 2、（1）648÷（18×3）（2）945÷（7×9）
最新小学奥数之数的整除性(题目+答案)
数的整除性 一、填空题 1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____. 2. 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____. 3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____. 4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____. 5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____. 6. 所有能被3整除的两位数的和是______. 7. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____. 8. 如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____. 9. 42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____. 10. 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号. 二、解答题 11. 173□是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字, 所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？ 12．在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少？
13．在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券？ 14．试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13.
第二讲整除与同余(教师版)
A ( a m 1 a m 2 a 0 ) p . 【例题分析】 位数? 于是所求的三位数只有 512. 3 .一个四位数，它的个位数字与百位数字相同。如果将这个四位数的数字顺序颠倒过来（即个位数字与 千位数字互换，十位数字与百位数字互换） ，所得的新数减去原数，所得的差为 7812，求原来的四位数。 解：设该数的千位数字、百位数字、十位数字分别为 x,y,z ，则 3 2 原数 10 x 10 y 10z y ①; Q O 颠倒后的新数 103y 102z 10y x ② 、整数的进位制 1、【十进制数】给定一 个 m 位的正整数 10 的m 1次多项式，即A m 1 a m 1 10 i 01,2, L ,m 1 且 a m 1 2、【p 进制数】若十进制正整数 A 第二讲 整除与同余 A ，其各位上的数字分别记为 a m 1,a m 2, ,a 。, A 可以表示成 m 2 a m 2 10 A a m 1 a m 可以表示为: a {0,1,2,L,p 1}, i 0,,,2,L,m 1 且 a m 1 0 , a i 10 a °，其中 a i {0,1,2,L ,9}, 2 a 0 . m 1 A a m 1 p a m 2 m 仍然为十进制数，则称 a 1 p a ，其中 p 进制数，记为 解: 由于 100 abc 999，则100 (a b 3 c) 999，从而 5 a b c ! 9 ； 当a b c 5时， 53 125 (1 2 5)3 ; 3 当a b c 6时，6 216 (2 1 6)3; 当a b c 7时， 73 343 (3 4 3)3 ; 3 当a b c 8时，8 512 (5 1 2)3; 当a b c 9时， 93 729 (7 2 9)3; b c ）3的所有三位数 1、（2008）a 是由2005个9组成的2005 位数, 是由2005个8组成的2005 为数, 则ab 是（） A 4000 B 4004 C 4008 4010 2.求满足abc (a abc 。
数的整除性讲解(一)(通用)
第4讲数的整除性（一） 我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。 数的整除具有如下性质： 性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。 性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。 性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。 利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来： （1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。 （2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。 （3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。 （4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。 （5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。 （6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。 其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。 因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。这就证明了（4）。 类似地可以证明（5）。 （6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。
数的整除特征基础篇
数的整除特征(上) 什么是整除？ 若整数a 除以大于0的整数b，商为整数，且余数为零。我们就说a能被ｂ整除(或说ｂ能整除a）,记作b|a，读作b整除ａ或a能被ｂ整除。 常见数的整除特征： 末位系：2，5:看末一位 4，25：看末两位 8,12５：看末三位 数字和系：3，9:看数字和 数字差系：１1:看奇位和与偶位和的差 7，11，13系列： ⑴看多位数的末三位和前面部分之差能否被７，１1，13整除； ⑵把数从末三位开始,三位为一段断开,只需看奇数段的和与偶数段的和的差是否为7，１1，１3的倍数。 常见整除性质: ⑴如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除,那么甲数能被丙数整除. ⑵如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。 ⑶如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除,那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。
? (★★★) 两个四位数275A 和275B 相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A 和B 。 (★★) 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。 例1 例2
例3 (★★★) 四位偶数64能被11整除，求出所有满足要求的四位数。 例4 ? (★★★) 在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？
? 【先睹为快】 将三位数3ab 连续重复地写下去，共写2005个3ab ，所得的数20053333ab ab ab ab 个正好是 91的倍数，试求ab ＝___________。 (★★★) 能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？ (★★★★) 请用1，2，5，7，8，9这六个数字(每个数字至多用一次)来组成一个五位数，使得它能被75整除，并求出这样的五位数有几个？ 例5 例6
第一讲数的整除
第一讲数的整除 一、基础知识： 1、能被4（25）、8（125）、3（9）、7（11）（13）整除的数的特征； 4（25）：； 8（125）：； 3（9）：；7（11）（13）：。 2、分解质因数：。 二、例题： 例1、一个六位数568abc分别能被3、4、5整除，这个六位数最小是多少？ 例2、六年级有72名学生捐款（处辨认不清），每人捐款 例3、六位数能被66整除，找出所有这样的六位数； 例4、一个2004位数A能被9整除，它的各位数字之和为a，a的各位数字之和为b，b的各位数字之和为c，求c是多少？ 例5、要使932×975×995×（）的积的最后五个数字都是0，那么在括号内最小应该填几？ 例6、四个班分一批图书，他们所得的本数一个班比一个班多3本，四个班分得图书本数之积是68040。每个班各分得图书多少本？ 例7、24有多少个约数？这些约数的和是多少? 24=23×3 约数个数=（3+1）×（1+1）= -1 31+1–1 ×= 3-1
三、练习： a)四位数8A1B能被2、3、5整除，问这些四位数是多少？ b)能同时被2、9整除，填出 c)已知六位数19 能被35整除，那么这个六位数是多少？ d)84×300×365×（），要使这个连乘积的最后五个数字都是0，在 括号里最小应填什么数？ e)五个连续奇数的积是135135，这五个奇数的和是多少？ 四、作业： 1、数学考试结果，某班学生中有1/3得优，3/7得良，其余得中或差，已知 全班人数在40与60之间，得中或差的学生有多少人？ 2、一个六位数能被11和13整除，这个六位数所有的质因数的 和是多少？ 3、四个连续自然数的积是3024，这四个自然数分别是多少？ 4、求4500的约数个数及所有约数的和是多少？ 五、思考题： 在3×3的方格图中填入几个互不相同的自然数，如果每行、每列三个数相乘所得的六个乘积都等于n，那么（1）n可以是1996、1997、1998、1999、2000、2001、2002、2003这八个数中的哪些数？（2）在下面方格中填出一 n=
第2讲 数的整除性
第2讲数的整除性 三、四年级已经学习了能被2，3，5和4，8，9，6以及11整除的数的特征，也学习了一些整除的性质。这两讲我们系统地复习一下数的整除性质，并利用这些性质解答一些问题。数的整除性质主要有： （1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。 （2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。 （3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。 （4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。 （5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。 灵活运用以上整除性质，能解决许多有关整除的问题。 例1 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。 分析与解：分别由能被9，25和8整除的数的特征，很难推断出这个七位数。因为9，25，8两两互质，由整除的性质（3）知，七位数能被 9×25×8=1800整除，所以七位数的个位，十位都是0；再由能被9整除的数的特征，推知首位数应填4。这个七位数是4735800。 例2由2000个1组成的数111…11能否被41和271这两个质数整除？ 分析与解：因为41×271=11111，所以由每5个1组成的数11111能被41和271整除。按“11111”把2000个1每五位分成一节， 2000÷5=400，就有400节， 因为2000个1组成的数11…11能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根据整除的性质（1）可知，由2000个1组成的数111…11能被41和271整除。 例3 现有四个数：76550，76551，76552，76554。能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被12整除？ 分析与解：根据有关整除的性质，先把12分成两数之积：12=12×1=6×2=3×4。 要从已知的四个数中找出两个，使其积能被12整除，有以下三种情况：
2019数的整除性讲解(一)
2019数的整除性讲解（一） 我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。 数的整除具有如下性质： 性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。 性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。 性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。 利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来： （1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。 （2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。 （3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。
（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。 （5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。 （6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。 其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。 因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。这就证明了（4）。 类似地可以证明（5）。 （6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。 837＝800＋30＋7 ＝8×100＋3×10＋7 ＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7 ＝8×99＋8＋3×9＋3＋7 ＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）。 （8x99因为99和9都能被9整除，所以根据整除的性质1和性质2知， ＋3x9）能被9整除。再根据整除的性质2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判断837能被9整除。
数的整除特性练习题
数的整除专题训练 知识梳理： 性质1.如果一个自然数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个自然数就能被4（或25）整除，否则这个数就不能被4（或25）整除。 性质2.如果一个自然数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个自然数就能被8（或125）整除，否则这个数就不能被8（或125）整除。 性质3.如果一个数的各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数就能被9整除，否则这个数就不能被9整除。 性质4.如果一个自然数的奇数位上数字和与偶数位上数字和的差能被11整除，那么这个数便能被11整除，否则这个数便不能被11整除。 性质5.如果一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差能被11（7、13）整除，那么这个数就能被11（7、13）整除，否则这个数就不能被11（7、13）整除。 例题精讲： 1. 三年级共有75名学生参加春游，交的总钱数为一个五位数“2□7□5”元，求每位学生最多可能交多少元 解：先求出满足条件的最大五位数。75=25 ×3，则这个五位数是25和3的倍数。 因为是25的倍数，所以十位为7或2，设千位为x， 如十位为7，则使2+x+7+7+5=21+x为3的倍数的x最大为9，得此五位数为29775；如十位为2，则使2+x+7+2+5=16+x为3的倍数的x最大为8，得此五位数为28725。所以，满足题意的最大五位数为29775。 29775÷75=397(元)， 即每位学生最多可能交397元。
2. 小勤想在电脑上恢复已经删除掉的72个文件，可是他只记得这些文件的总大小是“*679.*KB”，“*”表示小勤忘掉的第一个和最后一个数字(两个数字可能不同)，你能帮他算出这两个数字吗 解：“*679. *”能被72除尽，则“*679*”应是72的倍数。72=8 ×9，先考虑8，末三位数字79*应满足被8整除，所以十分位数字是2；考虑9，已知数字之和是6+7+9+2=24，所以原数的千位上应是3，即这两个数字分别是3和2。 3. 有三个连续的四位数，它们的和也是四位数，并且是3333的倍数，求中间那个数可能的最小取值。 解：设中间的数为a，则另外两个数是(a-1)和(a+1)，所以要a+(a+1)+(a-1)=3a是3333的倍数，那么a是1111的倍数，又3a<10000，所以a≤3333，所以a可取1111、2222、3333。所以。取可能的最小的值为1111。 4. 一个整数的末三位数字组成的数与其末三位以前的数字组成的数之间的差是7的倍数时，这个整数可以被7整除吗请证明你的判断。 解：设末三位数字组成的数为m，末三位以前数字组成的数为n，则m-n=7d(d 为整数),即n=m-7d，原数为m+1000n=m+1000 ×(m-7d)=1001m-7000d，1001=13 ×11 ×7，7000d=7 ×1000d，所以原数是7的倍数。 5. 小明有一些数字卡片，现在要从这些卡片中挑出2、4、5、7、8这几张，任选4张，能组成可以被75整除的没有重复数字的四位数，它能组成几种呢 解：75=3 ×5 ×5， 要被75整除，必可被3整除，所以有4、5、7、8，2、4、7、8和2、4、5、7三种选法； 又要被25整除，所以未两位为25或75，所以排除2、4、7、8的选法。 则4、5、7、8的选法有2种组合，2、4、5、7的选法有4种组合，所以共可
第二讲整除与同余(教师版)
第二讲 整除与同余 一、整数的进位制 1、【十进制数】给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m ， A 可以表示成10 的1 m 次多项式，即01221 1101010 a a a a A m m m m ，其中{0,1,2,,9},i a L 01,2,,1i m L ，且01 m a ，简记为021a a a A m m . 2、【p 进制数】若十进制正整数A 可以表示为：012211a p a p a p a A m m m m ，其中 {0,1,2,,1},01,2,,1i a p i m L L ，且01 m a ，m 仍然为十进制数，则称A 为p 进制数，记为p m m a a a A )(021 . 【例题分析】 1、（2008）a 是由2005个9组成的2005位数，b 是由2005个8组成的2005为数，则ab 是（ ）位数. A 4000 B 4004 C 4008 4010 2．求满足3 )(c b a abc 的所有三位数abc 。 解：由于999100 abc ，则999)(1003 c b a ，从而95 c b a ； 当5 c b a 时，3 3 )521(1255 ； 当6 c b a 时，3 3 )612(2166 ； 当7 c b a 时，3 3 )343(3437 ； 当8 c b a 时，3 3 )215(5128 ； 当9 c b a 时，3 3 )927(7299 ； 于是所求的三位数只有512. 3．一个四位数，它的个位数字与百位数字相同。如果将这个四位数的数字顺序颠倒过来（即个位数字与千位数字互换，十位数字与百位数字互换），所得的新数减去原数，所得的差为7812，求原来的四位数。 解：设该数的千位数字、百位数字、十位数字分别为z y x ,,，则 原数y z y x 1010102 3 ①； 颠倒后的新数x y z y 1010102 3 ②
数的整除特性
2013国家公务员考试行测数学运算冲刺：数的整除特性 在国家公务员考试中，数学运算题目通常是给出一段表达数量关系的文字，考生需要做的就是找到题干中各个数字之间的联系，然后运用基本的运算法则，计算出结果。中公教育专家发现，国家公务员考试中，数学运算题干中的数字之间都有着千丝万缕的联系，最基础的体现就是两个数之间的整除关系。在考试中，如果能够顺利的发现数字之间存在整除关系，那么我们就可以利用数字的整除特性，快速、简单地得到答案。 一、整除判定 在解题过程中，如果经过分析、判断后，你已经确定题目的正确答案能被某个数整除，那么在进行具体计算之前，只需要对四个选项逐个进行判定，哪个选项能被这个特殊数字整除，即可得到结果。 在行测考试中，被2、３、５、8、９整除的判定较为常见，考生需要熟练掌握并灵活应用。 被2、3、4、5、8、9整除的判断依据 （1）被2整除的判断依据：个位数字能被2整除的数能被2整除。 （2）被３整除的判断依据：各位数字和是３倍数的数可被３整除。 （3）被4整除的判断依据：末两位可被4整除的数能被4整除。 （4）被５整除的判断依据：个位是０、５的数可被５整除。 （5）被８整除的判断依据：末三位可被８整除的数能被８整除。 （6）被９整除的判断依据：各位数字和是９倍数的数可被９整除。 【例题1】为了打开保险箱，首先要输入密码，密码由7个数字组成，它们不是2就是3，在密码中的数字2比3多，而且密码能被3和4整除，试求出这个密码？ A.2323232 B.2222232 C.2222332 D.2322222 中公解析：此题答案为B。此题的题干中明确说明，要求密码能够同时被3和4整除。考虑被3、4整除的判断依据。 能被4整除的数字，其后两位数字能够被4整除。所以四个选项中，首先排除D项。 能被3整除的数，要求各位数字和是3的整倍数，剩余三个选项中，A项所有数字和为17，B项所有数字和为15，C项所有数字和为16，符合条件的只有B项。 因此密码为2222232。 【例题2】某单位有工作人员４８人，其中女性占总人数的３７．５％，后来又调来女性若干人，这时女性人数恰好是总人数的４０％，问调来几名女性？ Ａ．１人Ｂ．２人Ｃ．３人Ｄ．４人
(完整)四年级奥数第二讲
第二讲错中求解 例1 小丽在计算乘法时，把乘以12写成了加上12，结果得到和是27.求这道乘法算式正确的积是多少？ 试一试 小红在计算除法时，把除以15写成加上15，结果得到的和是90。这道除法算式正确的商是多少？ 例2 小明在计算除法时，把除数52写成了25，结果得到的商是22，还余22。正确的商应该是多少？ 试一试 小明在计算乘法时，把乘数24写成了42，结果得到积是840。正确的积应该是多少？ 例3 马小虎在计算有余数的除法时，把被除数184错写成148，这样算出的商比原来少了4，而余数没变。请你算出这道题的除数和余数各是多少？ 试一试 马小虎在计算有余数的除法时，把被除数119错写成191，这样算出来的商比原来多了6，而余数没变。请你算出这道题的除数和余数各是多少? 例4 马小虎在做一道减法题时，把减数个位上的6看成9，把减数十位上的9看成6，结果得出差是111，求正确答案应该是多少？ 试一试 马小虎在做一道减法题时，把减数个位上的8看成2，把减数十位上的3看成6，结果得出的差是125，求正确答案应该是多少? 例5 小辉在做一道两位数乘以两位数的计算题时，把乘数个位上的2错当做了8，乘得的结果是980，实际结果应该是770。求这两个两位数各是多少？ 试一试 小辉在做一道两位数乘以两位数的计算题时，把乘数个位上的9错当做了3，乘得的结果是621，实际结果应该是783。求这两个两位数各是多少？
练习题 A 组 1.小华在计算一道除法时，把除数60末尾的“0”漏写了，结果得到的商是30，正确的商是多少？ 2. 小红在计算除法时，把除以24写成了加上24，结果得到的和是360。这道除法算式正确的商是多少？ 3. 小红在计算除法时，把除以13写成了乘以13，结果得到的积是3380。这道除法算式正确的商是多少？ 4. 小军在计算除法时，把除数37写成了乘以73，结果得到的商是32，还余69。这道除法算式正确的商是多少？ 5.小明在计算乘法时，把乘数23写成了32，结果得到的积是704。正确的积应该是多少? 6. 小丽在做一道减法题时，把减数个位上的1看成7，把减数十位上的2看成5，结果得出的差是273，求正确答案应该是多少? 7. 小丽在做一道减法题时，把减数个位上的3看成7，把减数十位上的4看成6，结果得出的差是163，求正确答案应该是多少? 8. 小丽在做一道加法题时，把加数个位上的4看成2，把减数十位上的6看成0，结果得出的差是293，求正确答案应该是多少? 9. 小惠在做一道“某数加上5再乘以4”的题时，错把题目做成“先乘以5再加上4”，结果得34。正确的答案是多少？
数的整除性知识分享
数的整除性
数的整除性 我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。 数的整除具有如下性质： 性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。 性质2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。 性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。 利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来： （1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。 （3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。 （4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。 例1在下面的数中，哪些能被4整除？哪些能被8整除？哪些能被9整除？ 234，789，7756，8865，3728，8064。 例2在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？例3从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小
第二讲 数的整除1
第二讲 数的整除性 一、整除的一些定义： 1．整数的定义：对于整数a ，b （b ≠0），如存在整数q ，使a=bq （即a ÷b=q ）则称a 能被b 整除，或称b 能整除a ，记为b │a 。我们称a 是b 的倍数，或b 是a 的约数。 2．带余数除法：对于整数a ，b （b ≠0），如a 除以b 得到的整数商q 和一个余数r （0?r ＜b 且为整数），则a ，b ，q ，r 间有如下关系：a=bq+r 。 3．同余的定义：两个整数a ，b ，如果它们除以自然数n 所得的余数相等，则称a ，b 对于模n 同余，记作a ≡b （modn ）。 4．剩余类的定义：用任意一个自然数去除以一个自然数b ，根据除数b 以及余数r 的大小，我们可以把全体自然数进行分类。一个自然数被b 除时的余数只能有0、1、2、…、b-2、b-1共b 种，因此我们把自然数按照余数的情况分成b 类，这类就是剩余类。 二、整除的一些基本性质： 1．如果两个整数都能被一个自然数整除，那么这两个整数的和与差也能被这个自然数整除，即： 若，m │a ，m │b ，则m │（a ±b ）。 2．如果两个整数的和或差及一个整数能被一个自然数整除，那么另一个整数也能被这个自然数整除，即： 若，m │a ，m │（a ±b ），则m │b 。 3．如果一个整数能被一个自然数整除，那么这个整数的整倍数也被这个自然数整除，即： 若，m │a ，则m │ka （k 是整数）。 4．如果一个整数能被两个互质数中的每一个整除，那么这个整数能被这两个互质数的积整除，即： 若，m │a ，m │b ，（a ，b ）=1，则m │ab 。 5．如果一个整数能被两个互质数的积整除，那么这个整数能被这两个互质数中任一个整除，即： 若（a ，b ）=1，且m │ab ，则m │a ，且m │b 。 6．．如果一个自然数能被第二个自然数整除，第二个自然数能被第三个自然数整除，那么一个自然数能被第三个自然数整除，即： 若，b │a ，c │b ，则c │a 。 三、习题： 1．求无重复数字，能被75整数得五位数563b a 。 2．某校六年级共有学生72人，每人买一本语文课外读物和一本数学课外读物。已知两本的书得单价不同，但语文课外读物和数学课外读物的总价都在200元和300元之间，且元位上得数字是8，角位上得数字是4，问，每个学生为购买这两本书付了多少钱？ 3．有这样两个五位数，一个能被11整除，另一个能被7整除。它们的前四位都是9876，而末位数字不同。求这两个五位数的和。 4．求用1、2、3、4、5、6这六个数字组成一个六位数abcdef ，其中不同的字母代表1到6不同的数字。要求前两位数字组成的两位数ab 能被2整除，且前三位数abc 能被3整除，前四位数abcd 能被4整除，前五位数abcde 能被5整除，abcdef 能被6整除。 5．有1995个1组成的11…1能否被41整除？ 6．证明任意一个三位数连着写两遍得到的六位数一定同时能被7，11，13整除。 7．两个自然数的各位数字中都只用到了1。4。6。9这四种数字，问：是否有可能其中的一个自然数正好是另一个自然数的17倍？
五年级奥数之数的整除
第二讲数的整除 例1：在下面的数中，哪些能被4整除?哪些能被8整除?哪些能被25整除?哪些能被125整除? 100，234，728，7756，6648，2781，1750，8125。 例2：学校为竖笛小组购买了75根竖笛，发票上的总价有两个数字模糊不清，只看到3□7．□元，你知道每根竖笛至少是多少元吗? 例3：一个六位数165□□□能同时被4和9整除，这个六位数最大是多少?最小是多少? 例4：abcabc这个六位数能否被7整除?能否被11整除?能否被13整除?如果能，请说明理由。
例5:173□是四位数，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可被9、11、6整除”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？ 例6:将自然数1，2，3，…依次写下去组成一个数：12345678910111213…．如果写到某个自然数时，所组成的数恰好第一次能被72整除，那么这个自然数是多少? 例7:自然数中1～100内共有多少个不能被3或11整除的数？
例8：用1，2，3，4，5，6，7，8，9（每个数字用一次）组成三个能被9整除的、和尽可能大的三位数，这三个三位数分别是多少？ 例9：小明的两个衣服口袋中各有13张卡片，每张卡片上分别写着1，2，3，…，13。如果从这两个口袋各拿出一张卡片来计算它们所写两数的乘积，可以得到许多不相等的乘积。那么，其中能够被6整除的乘积共有多少个？ 应用与拓展 1.在下面的□里填上适当的数字。 能被4整除：93，可以填)能被8整除： 错误!
错误! 48 □2， 可以填错误! ) 能被 9 整除：20□308，□可以填( ) 能被 25 整除： 71 ， 可以填 ) 能被 125 整除：□8 50，□可以填( ) 2. 在下面的数中，哪些能被 4 整除，哪些能被 25 整除?哪些能 被 8 整除？哪些能被除 125 整除? ①234②500③789④8865⑤3728⑥8064⑦5125⑧12000 能被 4 整除的数是： 能被 8 整除的数 是 能被 25 整除的数是 能被 125 整除的 数是： 3. 用 2，3，7，8 四个数字组成没有重复数字的四位数，且它是 11 的倍数，并将这些数按从大到小排列出来。
五年级奥数专题数的整除性
二数的整除性（A） 年级班姓名得分 一、填空题 1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____. 2. 在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格内应填_____. 3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____. 4. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____. 5. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____. 6. 所有能被3整除的两位数的和是______. 7. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____. 8. 如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是_____. 9. 42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是_____. 10. 从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行,从左向右1至11报数,报数为11的同学原地不动,其余同学出列;然后留下的同学再从左向右1至11报数,报数为11的留下,其余同学出列;留下的同学第三次从左向右1至11报数,报到11的同学留下,其余同学出列,那么最后留下的同学中,从左边数第一个人的最初编号是_____号. 二、解答题 11. 173□是个四位数字.数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字,所得到的3个 四位数,依次可被9、11、6整除.”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少 12．在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，这个七位数最小值是多少 13．在“改革”村的黑市上,人们只要有心,总是可以把两张任意的食品票换成3张其他票券,也可以反过来交换.试问,合作社成员瓦夏能否将100张黄油票换成100张香肠票,并且在整个交换过程中刚好出手了1991张票券 14．试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13.
五年级春季第2讲数的整除
第二讲数的整除 知识导航 能被2整除的特征：末尾是偶数（0、2、4、6、8） 能被3整除的特征：各个数位上数字的和是3的倍数 能被5整除的特征：末尾是0或5的数 能被9整除的特征：各个数位上数字的和是9的倍数 随堂笔记 【例1】判断下面哪些数能被9整除，并说出理由。 1008 234 36702 6229 5471 339282 1927 【小试牛刀】 ①在□里填上合适的数，使所构成的数能够被9整除。 735□6 317□□65□ 913□ 555□ ②74051至少减去多少后，才能被9整除？
【例2】在□里填上适当的数字，使所构成的数符合给出的条件。 ① 62□□能被9整除，也能被5整除。 ②5□7□能被110整除。 【小试牛刀】 ①判断下面的数能不能同时被2和9整除。 7272 11772 1766 19134 ②下面的数能被110整除吗？ 7150 3652 97020 81420 【例3】能被7、11、13整除的数的特征分别是什么？ 【小试牛刀】 ①判断哪些数能被7整除？哪些数能被11整除？哪些数能被13整除？ 143 625790 111605 96096 443527 ②在□里填数字，使□85□4和68□6□都能被7整除。
【例4】小明在售货亭买了6枝铅笔，2枝圆珠笔和5本练习本。已知圆珠笔每枝元，练习本每本元。售货员要小明付元，小明却说售货员算错了，为什么？ 【小试牛刀】 ①小青买了三枝铅笔，三本练习本和二块单价为3角钱的橡皮，售货员要他付3元5 角钱，小青却说售货员算错帐了，请问为什么？ ②一班的同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班 一共糊纸盒342个。小马统计错了吗？为什么？ 【例5】学校为了给教室里安装闭路电视，买回来18台彩色电视机。不小心发票被墨水弄脏了，单价只剩下2个数字2□□0元。总价也是只剩下两个数字□4□8□元。 你能帮忙算出单价和总价吗？ 【小试牛刀】 ①学校买来36套桌椅，不料发票被弄丢了，采购员只记得单价大概是□3.□□元， 总价是1□□元。请你帮忙把单价和总价算出来。 ②购买36台同样的电冰箱，总价是□711□元，每台电冰箱大概2000多元。能算出 总价吗？
数的整除特征
数的整除特征 1、一个整数的末尾一位数能被2或5整除，那么这个数就能被2或5整除。 2、一个整数的末尾两位数能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除。 3、一个整数的末尾三位数能被8或125整除，那么这个数就能被8或125整除。 4、能被9和3整除的数的特征，如果各位上的数字和能被9或3整除，那么这个数能被9 或3整除。 5、一个整数的末尾三位数与末尾三位数以前的数字组成的数的差（大数减小数）能被 7、11、13整除，那么这个数就能被7、11、13整除。 6、一个整数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字之和的差（大减小）能被11整除，这个数就能被11整除。 【例1】七位数 23A45AB 一一一一一一一 能被15整除，A 与B 可以是哪些数字？ 【例2】从0， 4， 9， 5这四个数中任选三个排列成能同时被2， 5， 5 整除的三位 数。问：这样的三位数有几个？ 【例3】五年级（1）班有36名同学，每人买了一本英语词典，共花了6 问：每本词典多少钱？
【例4】在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3,4,5整除，而且使这个数尽可能小。 【例5】要使27A3B 一一一一一一 这个五位数能被44整除，那么个位，百位各应该是几？ 【例6】能被11整除，首位数字是6，其余各位数字均不相同的最大与最小六位数分别是几？ 数的整除专项练习： 1、五位数6A25B 一一一一一一一一 的A ，B 各是什么数字时，这个五位数能被75整除？问：这样的五
位数共有几个？ 2、在 内填上合适的数使七位数 能被72整除。 3、在1978后面补上三个数字，组成一个七位数，使它能同时被3,4,5整除，并且使这个数尽可能小。 4能被11整除，求这个六位数。 5、能被11整除，首位数字是6，其余各位数字均不相同的最大和最小六位数分别是几？
数的整除第二讲
数的整除第二讲 1 、如果41位数5555、、、、、、55（20个5）（）999999、、、99（20个9）能被7整除，那么中间方格内的数字是几？ 2、判断1059282是否是7的倍数？ 3、在（）内填上合适的数字，使六位数19（）88（）能被35整除。 4、李老师共为学校买了28支价格一样的钢笔，共付了人民币9（）.2（）元。已知（）数字相同，请问每支钢笔的价格是多少？ 5、一个三位数，能同时被2、5、7整除，这样的三位数按照由小到大的顺序排成一列，中间的一个数是几？ 6、将1、2、3………从左到右依次排列成一个51位数123456…2930，试问这个51位数除以11的余数。 7、用0到9这十个不同的数字可以组成许多的十位数，在这些数字中能被11整除的最大的十位数是多少？（每个数字只能用上一次） 8、已知整数（1a2a3a4a5a）能被11整除，求所有满足这个条件的整数。 9、用6、7、8、9四个数字组成的，各个数字互不相同的四位数中，能被11整除的有多少个？ 10、在（）内填上合适的数字，使六位数（）1991（）能被66整除。 11、在28的前面连续写上若干个1993，得到19931993…1993199328。如果这个数字能被11整除，那么它最小是几位数？ 12、判断3456725能否被13整除。 13、从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字中选出5个不同的数，组成一个5位数，使它可以被3、5、7、13整除，这个数字最大是多少？
14、求能被26整除的六位数x1991y。 15、甲乙两个人进行下面的游戏。两个人约定一个整数N，然后由甲开始，轮流地用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数字之一组成一个六位数的一位，数字可以重复。如果这个六位数能被N整除，就算是乙胜，如果这个六位数不能被N整除，就算是甲胜。设N小于15，那么当N取哪个几个数时，乙才能取胜？ 16、把三位数3ab接连重复地写下去，共有1993个3ab，所得的这个多位数恰好是91的倍数。求ab等于多少？ 17、一个整数乘以13后，积的最后三位数是23，那么，这样的整数中最小的是几？ 18、任一个三位数连续写两次得到一个六位数.试证：这个六位数能同时被7、11、13整除 19、证明：任何两个自然数的和、差、积中，至少有一个数能被3整除. 20、某个七位数2000□□□能同时被1、2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么最后三位是什么？ 21、173口是一个四位数．数学老师说：“我在其中的方框内中先后填入3个数字，所得到的3个四位数：依次可被9，11，6整除．”问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少? 22、如果六位数1992口口能被105整除，那么它的最后两位数是多少? 23、某个七位数1993口口口能够同时被2，3，4，5，6，7，8，9整除，那么它的最后三位数字依次是多少? 24、从0，l，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中选出5个不同的数字组成一个五位数，使它能被3，5，7，13整除，这个数最大是多少? 25、修改31743的某一个数字，可以得到823的倍数．问修改后的这个数是多少? 26、在六位数11口口11中的两个方框内各填入一个数字，使此数能被17和19整除，那么方框中的两位数是多少?