泰勒公式及泰勒级数的应用

摘要：多项式函数是各类函数中最简单的一种，用多项式逼近函数是近似计算和理论分析的一个重要内容。而函数的泰勒公式就是其中比较典型的一种。

本文先介绍泰勒公式和泰勒级数，然后再深入的分析和探讨了泰勒公式和泰勒级数在近似计算、极限计算、求函数值、不等式的证明以及判断级数敛散性等几个方面的应用。

关键字：泰勒公式；泰勒级数；应用

目录

目录

1 引言 (3)

2预备知识 (4)

2.1泰勒公式 (4)

2.2泰勒级数和泰勒展开式 (4)

2.3常见函数的展开式 (6)

3泰勒公式与泰勒级数的应用 (7)

3.1用泰勒公式进行近似计算 (7)

3.2利用泰勒公式进行极限计算 (7)

3.3求函数的极值和不等式的证明 (8)

3.4判断或证明级数的敛散性 (9)

3.5用泰勒公式求行列式的值 (9)

3.6 泰勒公式在经济学中的应用 (10)

3.7用泰勒级数解微分方程 (11)

4结论 (14)

参考文献 (15)

致谢 (14)

1引 言

泰勒公式是高等数学中非常重要的内容，它将一些复杂的函数近似表示为简单的多项式函数，这种化繁为简的方法，使它成为分析和研究其他数学的有力杠杆，并且在经济学上有一定的应用。泰勒公式的问世，使得许多以前难以解决或是不能解决的问题都得到了解决。

泰勒级数使得幂级数的求导和积分可以逐项进行，因此求和函数相对比较容易。而实际应用中，我们需要把泰勒级数截断，只取有限项，泰勒定理可以用于估算这种近似的误差。

泰勒公式中含有有限多项, 泰勒级数中含有无限多项, 泰勒公式不是泰勒级数, 泰勒级数也不是泰勒公式。当()f x 的各阶导数都存在时，()f x 的泰勒级数在收敛情况下一定等于()f x ；但不论()f x 的泰勒级数是否收敛,只要()f x 有1n 阶导数, 就有泰勒公式成立。可见泰勒级数收敛时,与泰勒公式结果一致,都是()f x 。

泰勒公式在理论研究和数值计算中具有广泛的应用, 泰勒级数是函数项级数的特例, 泰勒公式和泰勒级数在解决实际问题中有某些的相似性, 但是它们引入不同, 因此还是有一定的差异性。泰勒公式是通过重复运用柯西中值定理得来的, 过程比较复杂；泰勒级数属于函数项级数中的幂级数。千万不要把泰勒公式和泰勒级数混为一谈。

2 预备知识

2.1 泰勒公式

2.1.1 带有佩亚诺型余项的泰勒公式

若函数f 在点0x 存在直至n 阶导数，则有0()()(())n n f x T x x x ο=+-，即

''()'

200000000()

()()()()()()()(())

2!

!

n n n f x f x f x f x f x x x x x x x x x n ο=+-+-+

+-+-称为函数f 在0x 处的泰勒公式。形如

0(())n

x x ο-的余项称为佩亚诺型余项，所以该式有称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式。

当00x =时, 上式称为（带有佩亚诺型余项的）麦克劳林公式。即

()(1)21

(0)(0)()()(0)(0)(01)2!

!(1)!

n n n n f f f f x f f x x x x n n θθ++'''=+++

++<<+

()f x =(0)f +'(0)1!f x +

''2

(0)2!

f x ++

()(0)!

n n

f x n +()n o x 2.1.2 带有拉格朗日型余项的泰勒公式

泰勒定理：若函数f 在[,]a b 上存在直至n 阶的连续导函数，在(,)a b 上存在（n+1）阶导函数，则对任意给定的x ，0x ∈[,]a b ，至少存在一点(,)a b ξ∈，使

()()()()()()()()()()2'''0000000112!!

n

n n f x f x f x x x f x x x f x x x R x n =+-+

-+???+-+其中(1)(1)0()

()()(1)!n n n f R x x x n ξ++=-+

（ 00()x x x ξθ=+- (01)θ<<）称为拉格朗日型余项。所以上式有称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式。

当00x =时, 上式称为（带有拉格朗日型余项的）麦克劳林公式.即

()(1)2

1(0)(0)()()(0)(0)(01)2!!(1)!

n n n n f f f x f x f f x x x x n n θθ++'''=+++

++<<+

2.2 泰勒级数和泰勒展开式

2.2.1 泰勒级数

在前面的泰勒定理中曾指出，若函数f 在点0x 的某邻域上存在直至n+1阶的连续导数，则

'''

2000000()()

()()()()()()()2!

!

n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n =+-+-+

+-+ (1)

这里()n R x 为拉格朗日型余项

(1)10()

()()(1)!

n n n f R x x x n ξ++=-+

其中ξ在x 与0x 之间，称(1)为f 在0x 处的泰勒公式。

如果在(1)中抹去余项()n R x ，那么在点0x 附近f 可用(1)式右边的多项式来近似代替，如果函数f 在0x 处存在任意阶的导数，这时称级数

'''

2000000()()

()()()()()2!

!

n n f x f x f x f x x x x x x x n +-+-+

+-+

为函数f 在0x 处的泰勒级数。

定理（充要条件）设f 在点0x 具有任意阶导数，那么f 在区间（0x -r ,0x +r ）上等于它的泰勒级数的和函数的充分条件是：对于一切满足不等式0||x x r -<的

x ，有

lim ()0n n R x →∞

=

这里()n R x 是f 在0x 处的泰勒公式余项。 2.2.2 泰勒展开式

若在点0x 的某邻域内函数)(x f 的Taylor 级数（Taylor 公式仅有有限项时）用多项式逼近函数。项数无限增多时，得

()20000000()000

()

()

()()()()()2!

!

()()!n n n n

n f x f x f x f x x x x x x x n f x x x n ∞

='''+-+-+

+-+

=-∑

称此级数为函数)(x f 在点0x 的Taylor 级数.只要函数)(x f 在点0x 无限次可导，就可写出其Taylor 级数。 称0x =0时的Taylor 级数为麦克劳林级数， 即级数

∑

∞

=0

)(!

)0(n n

n x n f 收敛且和恰为()f x ，

则称函数)(x f 在点0x 可展开成Taylor 级数（自然要附带展开区间），称此时的Taylor 级数为函数)(x f 在点0x 的Taylor 展开式或幂级数展开式。简称函数)(x f 在点0x 可展为幂级数。 当0x =0 时，称Taylor 展开式为麦克劳林展开式。 2.2.3 可展条件

定理(必要条件) 若函数)(x f 在点0x 可展，则必有)(x f 在点0x 有任意阶导数。

定理(充要条件) 设函数)(x f 在点0x 有任意阶导数, 则)(x f 在区间

) 0 ( ) , (00>+-r r x r x 内等于其Taylor 级数(即可展)的充要条件是：对) , (0r x U x ∈?，有0)(lim =∞

→x R n n . 其中)(x R n 是Taylor 公式中的余项。

定理(充分条件) 设函数)(x f 在点0x 有任意阶导数，且导函数所成函数列

)}({)(x f n 一致有界，则函数)(x f 可展。

2.3 常见函数的展开式

211

111!2!

!

x n

e x x x n =+

++++

35

21

1

sin (1)

3!5!(21)!

n n x x x x x n -+=-++

+-+

-

24

2cos 1(1)2!4!

(2)!

n

n

x x x x n =-++

+-+

234

1

ln(1)(1)

234n

n x x x x x x n

-+=-+-+

+-+

2

(1)(1)12!

m m m x mx x -+=++

+

3 泰勒公式与泰勒级数的应用

3.1 用泰勒公式进行近似计算

一元函数的泰勒公式可以按任意给定的精度要求来近似表达这个函数。由拉格朗日型余项()()()

()()

11

01!

n n n f R x x x n ξ++=

-+，如果()()1

n f x M +≤， M 为一定数，则

其余项不会超过()1

01!

n M x x n +-+。

由此可以精确地计算某些数值并估计它们的误差。

例 3.1 求ln1.2的近似值，使误差不超过0.0001。

解：设()()ln 1f x x =+，将其在0x =0处展成带拉格朗日型余项的泰勒公式

()()()231ln 1123n

n n x x x

x x R x n

-+=-++???+-+,

其中()()()()

11

111n

n n n x R x n ξ++-=++ (ξ在0和x 之间)，令0.2x =，则00.2ξ<<. 要使

()()()()

()1

1

1

0.20.20.000111n n n n R x n ξ+++=<≤++,则取5n = 即可. 此时

ln1.2≈0.2?0.02 +0.00267?0.00040 +0.00006=0.1823，

其误差50.0001R <.

3.2 利用泰勒公式进行极限计算

为了简化极限运算，有时可以用某项的泰勒展开式代替该项，使得原来函数的极限转化为类似多项式有理分式的极限，就能简捷地求出。

例3.2 求极限2

2

4

0cos lim

x x x e

x →-.

分析：此为0

型极限，若用罗比达法则很麻烦，这时可将cos x 和2

2x

e 分别用

其泰勒展开式代替，则可以简化此比式。

解：由

24cos 12!4!

x x x =-+

()2

4

20x

x e +()222

4()21022

x x x =-++

得

()244

442

2111cos ()4!22!12x x e

x o x x o x -

??-=-+=-+?????

于是

2

2

4

0cos lim

x x x e

x →-=0

lim

x →()4

44111212

x o x x -+=- 由泰勒公式计算的实质是用等价无穷小来计算极限，我们知道，当0x →时，

sin ,tan x x x x →→等，这种等价无穷小其实就是将函数用泰勒公式展开至一次

项，有些问题用泰勒公式和我们所熟悉的等价无穷小结合，问题又能进一步简化。

3.3 求函数的极值和不等式的证明

(1)求极值

例 3.3 设f 在0x 的某邻域);(0δx U 内一阶可导,在0x x =处二阶可导,且

0)(0'=x f ,0)(0''≠x f .

(i)若0)(0''x f ,则f 在0x 取得极小值.

证明： 由条件，可得f 在0x 处的二阶泰勒公式

))(()(!

2)

()(!1)()()(20200''00'0x x o x x x f x x x f x f x f -+-+-+=.

由于0)(0'=x f ,因此

200''0))](1(2

)

([)()(x x o x f x f x f -+=- (2)

又因0)(0''≠x f ,故存在正数δδ≤',当);('0δx U x ∈时,

)(2

10'

'x f 与)1()(210'

'o x f +同号.所以,当0)(0''

0)()(0<-x f x f

即f 在0x 取得极大值. 同样对0)(0''>x f ,可得f 在0x 取得极小值。 （2）不等式的证明

关于不等式的证明，我们已经在前面介绍了多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法。 下面我们举例说明，泰勒公式也是证明不等式的一个重要方法。

例3.4 设()f x 在[0,1]二次可导，而且(0)(1)0f f ==，1

lim ()1x f x →=-，试求

存在(0,1)ξ∈，使()8f ξ''≥.

证： 由于()f x 在[0,1]的最小值不等于在区间端点的值，故在[0,1]内存在

1x ，使1()1f x =-，由费马定理知，1()0f x '= 又

21111()

()()()()()2!

f f x f x f x x x x x η'''=+-+

- 21()

1()2!

f x x η''=-+

-（η介于x 与1x 之间） 由于(0)(1)0f f ==，令0x =和1x = 有

211()0(0)1(0)2f f x ξ''==-+

-,221()

0(1)1(1)2

f f x ξ''==-+- 所以

21111()2(0)f x x ξξ-''=<<，22112()2(1)(1)f x x ξξ-''=-<<

当1112x <≤时，2128x -≥，而当11

12

x <<时，212(1)8x --≥，可见1()f ξ''与2()

f ξ''中必有一个大于或等于8.

3.4 判断或证明级数的敛散性

当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时，往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式，以便利用判敛准则。

例3.5

讨论级数1n ∞

=∑的敛散性.

分析：直接根据通项去判断该级数是正项级数还是非正项级数比较困难，因

而也就无法恰当选择判敛方法,注意到11

ln ln(1)n n n +=+，若将其泰勒展开为1n 的

幂的形式,

解：因为

234111111

1

ln

ln(1)234n n

n n n n n

n

+=+=-+-+< 所以

所以

n

u=>

故该级数是正项级数.

又因为

3

2

1

2n =>==

所以

33

22

11

)

22

n

u

n n

=<-=

又因为

3

12

1

2

n n

∞

=

∑收敛,所以由正项级数比较判别法知原级数收敛。

例3.6证明数列{}

n

a收敛，其中

11

1ln.

2

n

a n

n

=+++-

证明因为

1

1

ln

11

n n

n

a a

n n

+

-=+

++

11

ln(1),

11

n n

=+-

++

又因为

22

1111

n(1)()

112(1)(1)

n n n n

ο

-=-++

++++

故1n n

a a

+

-当n充分大时是正的，且与2

1

n是同阶无穷小.又因级数2

1

1

n

n

∞

=

∑

收敛，所以级数

1

1

()

n n

n

a a

∞

+

=

-

∑

也收敛，从而数列

{}

n

a收敛。

3.5 用泰勒公式求行列式的值

若一个行列式可看作x的函数（一般是x的n次多项式），记作()

f x，按泰

勒公式在某处

x展开，用这一方法可求得一些行列式的值。

例3.7求n阶行列式

D =x

z

z

z

y x z z

y

y x z

y y y x

解：记()n f x D =，按泰勒公式在z 处展开：

'''()2()()

()

()()()()()1!2!

!

n n n n n n f z f z f x z f x f z x z x z x z n -=+-+-+

+-, （3）

易知

10000

000

0()00000

k k z y y z y y z y

y D z z y z y

y z y -阶

---=

=--- （4）

由（4）得, 1()(),1,2,,k k f z z z y k n -=-= 时都成立. 根据行列式求导的规则，

有

''''112211()(),()(1)(),

,()2(),()1n n n n f x nf x f x n f x f x f x f x ---==-==

于是)(x f n 在z x 处的各阶导数为

''21()()|()()n n n x z n f z f z nf z nz z y -=-===-,

'''''31()()|()(1)()n n n x z n f z f z nf z n n z z y -=-===--,

… … … …

111()|(1)

2()(1)

2n n n n x z f z f n n f z n n z --===-=-,

()()(1)

2n n f z n n =-.

把以上各导数代入（3）式中，有

12321(1)

()()()()()()1!2!

(12)(1)21()().

(1)!!

n n n n n n n n n f x z z y z z y x z z z y x z n n n n z x z x z n n -----=-+--+----. +

+-+--

若z y =，有1()()[(1)]n n f x x y x n y -=-+-.

若z y ≠，有()()()n n

n z x y y x z f x z y

---=-.

3.6 泰勒公式在经济学中的应用

我们知道泰勒公式在解定积分中有着广泛的应用，而定积分在经济学中是不

可缺的，在这里将以定积分为平台，利用泰勒公式去解决经济学问题。

例3.8 完全竞争行业中某厂商的成本函数为STC =3(1)x +，假设产品的价格为66元，求：（1）由于竞争市场供求发生变化，由此决定新的价格为30元，在心的价格下，厂商是否会发生亏损，如果会，最小的亏损额是多少？

解：（1）由于市场供求发生变化，新的价格为27元，厂商是否发生亏损仍需要根据P=MC 所决定的均衡产量计算利润为正还是为负，不论利润最大还是亏损最小，均衡条件都是P=MC ，成本函数为STC =3(1)x +， 令()f x =3(1)x +由泰勒公式我们知道，

2

(1)(1)12m m m x x x -+=+m +!

……

所以 STC =23x x x 1+3+3+. 又因为 P=MC ，即27=233x x +6+,

所以4,1x x == 因为 2000001(1)()()(1)()(1)2

f f x f x x f x x ′′′

=+-+

- ,

2000001(0)()()()()()2

f f x f x x f x x ′′′

=+-+

-, 所以 22d T C dx =6×4+6300=>，22

d TC

dx

=6×1+60=12>. 故 4,1x x ==是利润最大或者最小的产量.

利润 3(1)27TR TC PQ x π=-=-+=×34(14)17-+=-,

3(1)27T R T C P Q x π=-=-+=×3

1(1

)-+1=19, 可见，当价格为27元时，当厂商生产量为1时，其最大盈利额为19。当厂商生产量为4时，其发生亏损，最小亏损额为17。

3.7 用泰勒级数解微分方程

对于一阶微分方程(,)dy

f x y dx

=若(,)f x y 为关于,x y 的多项式，则可设其通解为

2012n n y a a x a x a x =+++++

再结合泰勒公式，比较同次幂的系数，就可得出待定系数012,,,,

,n a a a a 从而

得通解2012n n y a a x a x a x =+++++

例3.9 求方程2,dy

x y dx

=+满足0|0x y ==的特解. 解：设2012n n y a a x a x a x =+++++

因为 0|0x y ==，所以00.a = 所以 212n n y a x a x a x =++

++ '1122n n y a a x na x -=++

++

将',y y 代入原方程得

122

121222

3

24

5

1

12132

14232()2(2)(22)n n n n a a x na x x a x a x a x x a x a a x a a a x a a a a x -++

++

=+++

++

=++++++

+

比较同次幂系数，得

22

12314125132

61423

0,21,3,42,52622a a a a a a a a a a a a a a a a =====+=+

12345611

0,,0,0,,0,

220

a a a a a a ?=====

=

从而，25

11220

y x x =+

+ 对于形如'''()()0y p x y x y θ++=的方程，当()p x ，()x θ可在R x R -<<内展为x 的幂级数时，那么在(,)R R -内必有形如0

n n n y a x ∞

==∑的解。

4 结论

本文通过对数学分析之中的相关内容的学习之后，认识到了泰勒公式和泰勒级数对于初等函数的重要性。在函数值估测及近似计算，级数的敛散型、求函数的极限、定积分不等式的证明、求解行列式、求解微分方程以及经济学中泰勒公式和泰勒级数均是有非常用的工具。

在估测及近似计算方面一元函数的泰勒公式可以按任意给定的精度要求来近似表达这个函数。而由拉格朗日型余项可以精确地计算某些数值并估计它们的误差。在求函数的极限方面，为了简化极限运算，有时可以用某项的泰勒展开式代替该项，使得原来函数的极限转化为类似多项式有理分式的极限，就能简捷地求出函数的极限。当级数的通项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时，往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式，以便利用判敛准则。泰勒公式在解定积分中有着广泛的应用，而定积分在经济学中是不可缺的，我们以定积分为平台，利用泰勒公式去解决经济学问题。对于一阶微分方程先设通解再结合泰勒公式，比较同次幂的系数，就可以求出其通解。

泰勒公式及泰勒级数在数学及其它诸多领域的作用可见一斑，由此可知泰勒公式及泰勒级数的应用是非常广泛的。

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析（上）[M].北京:高等教育出版社,2010.

[2] 华东师范大学数学系.数学分析（下）[M].北京:高等教育出版社,2010.

[3] 张自兰,崔福荫.高等数学证题方法[M].西安：陕西科学出版社,1985.

[4]同济大学数学教研室.高等数学[M].北京:人民教育出版社,1999.

[5] 鲍培文.泰勒公式与泰勒级数的异同和典型应用[J].怀化学院报,2011,2（30）:91-93.

[6] 张锐，杨海成.泰勒公式在不等式和行列式中的应用[J].数学教学研究，2009,10（28）:55-56.

[7] 高鸿业.西方经济学（第四版）[M].北京:中国农业大学出版社,2000.

[8] 谭康.泰勒公式及泰勒级数之妙用[J].高等数学研究,2010,3（13）:11.

[9] 熊灿.讨论泰勒公式的综合应用[J].北京电力高等专科学校学报,2009, 11:104.

[10]朱永生.基于泰勒公式应用的几个问题[J].长春师范学院学报,2006,4(25):30-31.