中考数学专题复习16矩形折叠问题(最新整理)

中考数学专题复习16——矩形折叠问

来源：家学网【相信自己,掌握未来,家学网值得信赖!】2012年05月18日

思路分析：找到由折叠产生的所有等量关系，其中也需要用到方程思想（设未知数，并表示出

其他线段长度）

例2．在长方形ABCD 中，AB=4，BC=8，将图形沿着AC 对折，如

图所示：（1）请说明△ABF △CFF（2）求

思路分析：

在多问设置的证明题中，前几问往往是为后面的问题服务的；所以得到全等之后，也就是得

到了多组等量关系，此时我们再来设未知数，自然可以表示出其他线段了.

例3. 在长方形 ABCD 中，AB=3，BC=5，将图形沿着 EF 对折，使得 B 点与 D 点重合。

（1）说明 DE=DF

（2）求

（3）求EF 的长度

思路分析：（1）要说明 DE=DF，有两种思路：

①可说明全等；

② 可说明△DEF 是等腰三角形，DE、DF 是两腰

所以这个题目既要有能力说明全等也要有能力说明等腰

例4 如图①，将边长为4cm 的正方形纸片 ABCD 沿EF 折叠(点 E、F 分别在边 AB、CD 上)，

使点B 落在AD 边上的点 M 处，点 C 落在点 N 处，MN 与CD 交于点 P，连接 EP．

(1)如图②，若M 为AD 边的中点，①,△AEM的周长= cm；②求证：EP=AE+DP；

(2)随着落点 M 在AD 边上取遍所有的位置(点M 不与A、D 重合)，△PDM的周长是否发生变化?

请说明理由．

思路分析：（1）①设 AE=x，由折叠的性质可知 EM=BE=12-x，在Rt△AEM 中，运用勾股定理求AE；②过点 F 作FG⊥AB，垂足为 G，连接 BM，根据折叠的性质得点 B 和点M 关于EF 对称，

即BM⊥EF，又AB=FG，∠A=∠EGF=90°，可证△ABM≌△GFE，把求 EF 的问题转化为求 BM；（2）设AE=x，AM=y，则 BE=EM=12-x，MD=12-y，在Rt△AEM中，由勾股定理得出 x、y 的关

系式，可证Rt△AEM∽Rt△DMP，根据相似三角形的周长比等于相似比求△DMP的周长．

三.能力训练

1.如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后

得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是（）.

A．2＋B．2＋2 C．12 D．18

2.如图，已知矩形纸片 ABCD，点 E 是 AB 的中点，点 G 是BC 上的一点，∠BEG>60°，现沿直线 EG 将纸片折叠，使点 B 落在纸片上的点 H 处，连接 AH，则与∠BEG相等的角的个数为( )

A．4 B．3 C．2 D．1

3.如图所示，把一长方形纸片沿MN 折叠后，点D，C 分别落在D′，C′的位置．若∠AMD′＝36°，则∠NFD′等于（）

（A）144°（B）126°（C）108°（D）72°

4.如图，矩形纸片ABCD 中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG，记与点A 重合点为A＇，则△A＇BG 的面积与该矩形的面积比为（）

A.B．C．D．

第4题图第5题图

5.如图，四边形ABCD 是边长为9的正方形纸片，将其沿MN 折叠，使点B 落在CD 边上的处，点A 对应点为，且=3，则AM 的长是（）

A．1.5 B．2 C．2.25 D．2.5

6.如图，在矩形 ABCD 中，AB=12cm，BC=6cm，点 E、F 分别在 AB、CD 上，将矩形 ABCD 沿EF

折叠，使点 A、D 分别落在矩形 ABCD 外部的点 A’，D’处，则整个阴影部分图形的周长为（

）

A．18cm B．36cm C．40cm D．72cm

7.如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN，则线段CN 的长是（）

A.3cm B．4cm C．5cm D．6cm

8.小明尝试着将矩形纸片ABCD（如图①，AD>CD）沿过A 点的直线折叠，使得B 点落在AD 边上的点F处，折痕为AE（如图②）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N

处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG（如图③）．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG

的平分线上，那么矩形ABCD 长与宽的比值为．

9.如图矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD 上有一点E，ED＝2cm，AD 上有一点P，PD＝3cm，

过P 作PF⊥AD交BC 于F，将纸片折叠，使P 点与E 点重合，折痕与PF 交于Q 点，则PQ 的

长是cm.

10.如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落到点B′的位置，AB′与CD 交于点E.

（1）试找出一个与△AED 全等的三角形，并加以证明.

（2）若AB=8，DE=3，P 为线段AC 上的任意一点，PG⊥AE 于G，PH⊥EC 于H，试求PG+PH 的值，并说明理由.

思维拓展：

1.如图，折叠矩形的一边 AD，折痕为AE，点E 在边CD 上，

折叠后点 D 落在BC 边的点 F 处，已知 AB=8cm，AD=10cm，求AE 的长.

2.如图，四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点 A 在x 轴上，点 C 在y 轴上，将边 BC 折叠，使点 B 落在边 OA 的

点D 处．已知折痕,且，求直线 CE 与x 轴交点 P 的坐标；

3.已知：在矩形 AOBC 中，OB=4,OA=3．分别以OB,OA 所在直线为 x 轴和y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F 是边BC 上的一个动点（不与 B,C

重合），过 F 点的反比例函数的图象与 AC 边交于点 E．请探索：是否存在这样

的点 F，使得将△CEF沿EF 对折后，C 点恰好落在 OB 上？若存在，求出点 F 的坐标；若不存在，请说明理由．

4.如图，在矩形ABCD 中，AB=3,AD=1,点P 在线段AB 上运动，设AP= ，现将纸片折叠，使点D与点P重合，得折痕EF（点E、F为折痕与矩形边的交点），再将纸片还原。

（1）当时，折痕EF 的长为；当点E 与点A 重合时，折痕EF 的长为；

（2）请写出使四边形EPFD 为菱形的的取值范围，并求出当时菱形的边长；

（3）令，当点E 在AD、点F 在BC 上时，写出与的函数关系式。当取最大值时，判断与是否相似？若相似，求出的值；若不相似，请说明理由。

5.问题解决

如图（1），将正方形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点，重

合），压平后得到折痕．当时，求的值．

类比归纳

在图（1）中，若则的值等于；若则的值等于

；若（为整数），则的值等于．（用含的式子表示）联系拓广

如图（2），将矩形纸片折叠，使点落在边上一点（不与点重合），压平后得到折痕设则的值等于．（用含的式子表示）

参考答案

例1 由题意可得：AD=BC=10，又由折叠可知：AF=AD=10 DE=EF

∴ 在Rt△ABF 中，根据勾股定理可得：

∴BF=6，∴ FC=10-6=4 。设DE= ，则，

故，在Rt△CEF中，根据勾股定理可得：，解得：即：DE=5

另解：本题亦可以由长方形的面积 S 长方形ABCD=S△ABF+S△ADE+S△AEF+S△ECF列出方程：

解得

例2 解：（1）由题意可得：AD=BC=8，CD=AB=4

又由折叠可知：AE=AD=8，CE=CD=4，∠E=∠D=90°

在△ABF 与△CEF 中：

∠B=∠E=90°

∠AFB=∠CFE（对顶角相等）

AB=CE=4

∴△ABF△CFF（AAS）

（2）∵ △ABF△CFF，∴AF=FC，BF=EF

设 EF= ，则 BF= ，

∴ 在Rt△CEF 中，由勾股定理可得：

解得：

即EF=3

∴

此题中对于△ABF，同样可以通过设未知数，利用勾股定理求解。

例3 解：（1）方法一：由题意可得：CD=AB=3，∠ADC=90°

由折叠可得：DG=CD=3，∠G=∠C=90°，∠GDF=∠B=90°

∴ ∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°∴ ∠1=∠3

故在△DEG与△DCF中：

∠G=∠C（已证）

DG=CD（已证）∴ △DEG≌△DCF（ASA）

∠1=∠3（已证）∴ DE=DF

方法二：∵ 长方形 ABCD ∴ AD∥BC

∴ ∠4=∠6（两直线平行，内错角相等）

又由折叠可知∠4=∠5

∴ ∠5=∠6（等量代换）

∴ DE=DF（等角对等边）

（2）求

解：由折叠可知：EG=AE

设，则，∴

故在Rt△DEG中，根据勾股定理可得：

解得：

故EG DE=

例 4

能力训练答案

1.B

2. B

3. B

4. C

5. B

6. B

7. A

8.

9.

10.（1）△AED≌△CEB′

证明：∵四边形ABCD 是矩形，

∴BC=B′C=AD，∠B=∠B′=∠D

又∠B′EC=∠DEA

∴△AED≌△CEB′

（2）延长HP 交AB 于M，则PM⊥AB ∵∠1=∠2，PG⊥AB′

∴PM=PG

∵CD∥AB

∴∠2=∠3

∴∠1=∠3

∴AE=CH=8-3=5

在Rt△ADE 中，DE=3

AD= =4

∵PH+PM=AD

∴PG+PH=AD=4.

思维拓展答案：

1.5

2.(16,0)

3. 设存在这样的点 F，将△CEF沿EF 对折后，C 点恰好落在 OB 边上的 M 点，过点 E 作EN⊥OB，垂足为 N．

由题意得：EN=AO=3，EM=EC=4-1/3k，MF=CF=3- 1/4k，

∵∠EMN+∠FMB=∠FMB+∠MFB=90°，

∴∠EMN=∠MFB．

又∵∠ENM=∠MBF=90°，

∴△EMN∽△MFB．

∴ EN/MB=EM/MF，

∴ 3/MB=(4-1/3k)/(3-1/4k)=[4(1-1/12k)]/[3(1-1/12k)]，

∴MB= 9/4．

∵MB2+BF2=MF2，

∴ (9/4)2+(k/4)2=(3-1/4k)2，解得 k= 21/8．

∴BF= k/4=21/32．

∴存在符合条件的点 F，它的坐标为（4， 21/32）．

4. 解：（1）3，（2）．

当时，如图1，连接，

为折痕，，

令为，则，

在中，，

，

解得，此时菱形边长为．

（3）如图2，过作，易证，

，

当与点重合时，如图3，连接，

，，

．

显然，函数的值在轴的右侧随的增大而增大，

当时，有最大值．

此时，．

综上所述，当取最大值时，，

5.解：方法一：如图（1-1），连接．

由题设，得四边形和四边形关于直线对称．∴垂直平分．∴

∵四边形是正方形，∴

∵设则

在中，．

∴解得，即

在和在中，，

，

设则∴

解得即分

∴

方法二：同方法一，

如图（1－2），过点做交于点，连接

∵∴四边形是平行四边形．

∴

同理，四边形也是平行四边形．∴

∵

在与中

∴

∵

∴

类比归纳

（或）；；

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