长方体与正方体体积典型例题

教学目标：在掌握长方体与正方体的基本性质的基础上，掌握其体积（容积）的计算方法，并能灵活运用。

教学重难点：

1.体积 物体所占空间的大小就叫做物体的体积。

容积 容器所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。

高底面积积长方体（正方体）的体（可看作高）棱长（底面积）棱长棱长正方体的体积高（底面积）宽长长方体的体积?=???

??????=??=体积和容积的区别与联系：

区别：① 意义不同；

② 计算时测量方法不同，体积要从物体的外面测量，容积要从物体的里面测量；

③ 有容积的物体一定有体积，但有体积的物体不一定有容积。

联系：① 容积大小可以通过容器所能容纳物体的体积显示出来；

② 计算方法相同。

注意：只有容器才能有体积，如果是实心的木块等，是不会有容积的。

2.单位换算 立方米、立方分米、立方厘米、升、毫升

1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米

1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 1立方米=1000升

dm，长是0. 7dm，例题1 如图所示的一种长方体的钢坯，横截面的面积是８2

10个这样的钢坯的体积是多少

练习1

1. 一个长方体的横截面是边长为3厘米的正方形，它的长是5厘米，体积是（）立方厘米。

2. 一个正方体水箱的底面积是64平方分米，水箱的体积是（）立方分米。

3. 有沙16立方米，要垫在长8米、宽2. 5米的沙坑里，可以垫的厚度是（）米。

4. 填出下表中长方体或正方体的相关数据。

子重1400千克。这个沙坑里共装沙子多少吨

例题2 一块正方体的方钢，棱长是20cm，把它锻造成一个高80cm的长方体模具，这个长方体模具的底面积是多少平方厘米

练习2

1.一个棱长是12厘米的正方体鱼缸，里面装满水，把水倒入一个长18厘米、宽10厘米的长方体鱼缸里，水有多深

2.有一个完全封闭的容器，里面的长是20厘米，宽是16厘米，高是10厘米，平放时里面装了7厘米深的水。如果把这个容器竖起来放，水的高度是多少

3.一个长方体玻璃缸，最多可装水120升。已知玻璃缸里面长6分米，宽4分米，现有水深3分米。如果在玻璃缸里放入了体积为15立方分米的玻璃球，里面的水会不会溢出为什么

4.红家新买一个长50厘米、宽24厘米、高30厘米金鱼缸，（玻璃厚度不计）放进30升水，水深多少厘米

5.一个长20分米、宽15分米的长方体容器内，有20分米深的水，现在在水中沉入一个棱长30厘米的正方体铁块，这时容器内的水深多少分米

例题3 一个正方体，它的底面周长是60m，求这个正方体的体积。

练习3

1.一个正方体，表面积是294cm2，求这个正方体的体积。

2.一个长方体，表面积是368cm2，底面积是40cm2，底面周长是36cm，求这个长方体的体积。

3.一个长方体，表面积是550cm2，侧面积是400cm2，底面周长是40cm，求这个长方体的体积。

4.一个正方体的体积是125立方厘米，它的表面积是多少平方厘米

5.一块长35厘米、宽25厘米的长方形铁皮，在它的四个角上分别剪去面积相等的四个小正方形后，剩下的部分正好可以制成一个高为5厘米的铁盒。求这个铁盒的体积。

例题4 高的变化引起表面积的变化

将一个长方体的高减少5cm，就变成了正方体，正方体的表面积比原来长方体的表面积减少了60cm2。原长方体的体积是多少立方厘米

练习4

1.一个长方体，如果高增加2厘米就成了正方体，而且表面积要增加56平方厘米，原来这个长方体的体积是多少立方厘米

2.一个长方体，如果高减少2厘米就成了正方体，而且表面积要减少56平方厘米，原来这个长方体的体积是多少立方厘米

3.一个长方体，长a分米，宽b分米，高h分米，如果高减少3分米，这个长方体表面积比原来减少（）平方分米体积比原来减少（）立方分米

段的变化（割、补）

例题5 （切割）

一个长方体长2米，截面是边长3厘米的正方形，将这个长方体木料锯成五段后，表面积一共增加了多少平方厘米

练习5

1.将一个长3米的长方体木料平均截成3段，表面积一共增加了平方分米，这根木料的体积是多少立方分米

2.一个正方体的表面积是48平方厘米，将它平均分成两个小长方体，每个小长方体的表面积是多少每个小长方体的体积是多少立方厘米

3. 把一个棱长为5厘米的正方体，锯成3个长方体，它的表面积增加了多少平方厘米

4.一个长方体如果高缩短3厘米，就成了一个正方体。这时表面积比原来减少了48平方厘米，原来的长方体的体积是多少立方厘米表面积是多少平方厘米

5.将一个长8厘米，宽6厘米，高5厘米的长方体切成两个小长方体，表面积最多增加多少平方厘米最少增加多少平方厘米

6.一个长方体的木块，截成两个完全相等的正方体。两个正方体棱长之和比原来长方体棱长之和增加40厘米，求原长方体的长是多少厘米

7.一根横截面为正方形的长方体木料，表面积为114平方厘米，锯去一个最大正方体后，表面积为54平方厘米，锯下的正方体木料表面积是多少

例题6（拼补）（拼表面积发生变化，体积不变）

用两块大小相同的正方体木块拼成长方体，已知长方体的棱长总和是48厘米，每块正方体木块的体积是多少

练习6

1.一个正方体和一个长方体，拼一个新长方体，新长方体的表面积比原长方体增加60平方厘米，求正方体的表面积。

2.用8个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体，拼成的长方体的表面积最多是多少平方厘米最少是多少平方厘米

3.用12个棱长都是2厘米的正方体拼成一个长方体，一共有多少种拼法，每种拼法拼成的长方体的表面分别是多少

4.将三个长8厘米，宽6厘米，高5厘米的长方体拼成一个大长方体，表面积

最多减少多少平方厘米最少减少多少平方厘米

5.把3个棱长为4厘米的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积比原来的3个正方体的表面积之和减少了多少

例题7 扩大和增加倍数。

1.一个正方体棱长扩大2倍，表面积扩大（）倍，体积扩大（）倍，表面积增加（）倍，体积增加（）倍。

2.一个正方体的棱长增加2倍，表面积增加（）倍，体积增加（）倍。

3.一个大正方体的棱长是小正方体棱长的2倍，已知大正方体的体积比小正方

体多21立方厘米，大小正方体的体积分别是多少

例题8 将一个长方体或正方体切成若干个小正方体或小长方体。

1.把一个棱长6厘米的正方体方块，锯成棱长2厘米的小正方体木块，表面积增加多少平方厘米

2.把一个长8 厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体木块，锯成若干个棱长2厘米的小正方体，一共可锯成多少个这样的小正方体

3.把一个长16 厘米，宽12厘米，高8厘米的长方体木块，锯成若干个小正方体，（没有剩余）至少可以锯成多少个这样的小正方体表面积一共增加多少平方方厘米

例题9 挖

1.用8个小正方体木块拼成一个大的正方体，如果拿走1个小方块，它的表面积和原来比( )。

A增加了B减少了C没有变化D无法判断

2.在棱长1分米的正方体的顶点处挖去一个棱长1厘米的小正方体，剩下物体的表面积和体积分别是多少

3.在一个棱长4厘米的正方体六个面的中心都挖去一个棱长1厘米的小正方体，剩下物体的表面积是多少平方厘米

例题10 熔铸沉浮

1.一个正方体钢坯棱长6分米，把它锻造成横截面是边长3分米的正方形的长方体钢材，钢材长多少米

2.一块棱长是米的正方体的钢坯，锻成横截面是平方米的长方体钢材，锻成的钢材有多长

3.把一块棱长是米的正方体钢坯，锻成高2分米、宽4分米的长方体钢材，锻成的长方体钢材有多少长

4.把两个棱长都是1分米的正方体的方钢，熔铸成一根横截面是长5厘米、宽4

厘米的长方体的钢材，这根钢材的长是多少分米