行列式检验测试题(有规范标准答案)

第九讲

行列式单元测试题点评

一、填空题（每小题2分，满分20分）

1．全体3阶排列一共有 6 个，它们是123,132,213,231,312,321；

2. 奇排列经过奇数次对换变为偶排列，奇排列经过偶数次

对换变为奇排列；

3. 行列式D和它的转置行列式D'有关系式D D'

=；

4. 交换一个行列式的两行（或两列），行列式的值改变符号；

5. 如果一个行列式有两行（或两列）的对应元素成比例，则这

个行列式等于零；

6. 一个行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到

行列式符号的外边；

7. 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）

的对应元素上，行列式的值不变；

8. 行列式的某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的

代数余子式的乘积之和等于零；

9.

11121

222

1122

; 00

n

n

nn

nn

a a a

a a

a a a

a

=

L

L

K

M M M M

L

10.当

k=22

±时，542k k k =。

二、判断题（每小题3分，满分24分）

1.1)(,)(31221±==k i i i i k i i i n n ΛΛππ则若 （∨）

的符号

的一般项则设n n j i j i j i nn

n n n

n

a a a a a a a a a a a a D ΛΛ

M

M M M ΛΛ2211D ,.221

2222111211=

.)1()

(21n j j j Λπ-是 （×） 3. 若n(n>2)阶行列式D=0,则D 有两行（列）元素相同. (×) 4．若n 阶行列式D 恰有n 个元素非0，则D ≠0. (×) 5.对于线性方程组，只要方程个数等于未知数个数，就可以直接使用克莱姆法则求解。 （×） 6．若行列式D 的相同元素多于2n n -个，则D=0. (×)

7.

11

121313233321222312

222331

32

33

11

21

31

a a a a a a a a a a a a a a a a a a = (×)

8.n 阶行列式主对角线上元素乘积项带正号，副对角线上元素乘积项带负号。 （×） 三、单项选择题（每小题4分，满分20分）

1．位于n 级排列12111k k n i i i i i -+L L 中的数1与其余数形成的反序个数为（ A ）

（A ）k-1 (B) n-k-1 (C) k n C (D) 2n C k -

2.设12n i i i L 是奇排列，则121n n i i i i -L 是（C ） （A ）奇排列； （B ） 偶排列；

（C ）奇偶性不能仅由n 的奇偶性确定的排列； （D ）奇偶性仅由n 的奇偶性确定的排列。

3．一个不等于0的n 阶行列式中非零元素个数至少为（D ）；

22

()(1)

()()(1)()A n n B n C n D n --

4．以下数集作成数环的是( C )

(1)

S={

}

b Z ∈; (2) S={}

0a a Q ≠∈;

(3)

S={},a b Z +∈; （4）

S={

}

,a a b Q +∈.

（A ）（1）、（3） （B ）（2）、（4） （C ）（3）、（4） （D ）（1）、（4）

5．行列式000

00

a

e b

f

g c h

d

中元素f 的代数余子式是（ C ） ()

()()()

d e d e a e

a

e

A B C g

D g

f

g

f

h d

h d -

-

四、计算下列各题（每小题5分，满分20分）

1．计算(

)πL (2k)1(2k-1)2(k+1)k ；

111213143

521

1

1052.,1313

241

3

设求的值.

D A A A A --=+++----

3．计算行列式

D=

2223

3

3

444

3453453

4

5

345的值。

222222223333333344

4

4

4

4

4

4

11

1112345634534563453456345345634532)42)52)62)43)53)63)

54)64)65==----------解（（（（（（（（（（

4．计算行列式 1

2

3

11100

0220

000011n n

n n

--=---L

L

L

M M M M M L

n D 的值。

111105

3133

-=-11121314A A A A +++解 4.=212311

10000

220000

01112310

1000(1)0

2

2

n n n n D n n n n n n

--==

-----+-L L L M M M M M L L L L

将第至列都加到第一列

解

五、证明下列各题（满分16分）

1212,F F F F I 1.设均为数域，证明也是数域。（5分）

2．已知a,b,c 均不为0，证明ay bx c cx az b bz cy a +=??

+=??+=?

有唯一解。（5分）

证明 因为方程组的系数行列式

020(,,00b a D c a abc a b c c b

==-≠Q 均不为）

所以有克莱姆法则知，方程组有唯一解。

3．设a,b,c 是一个三角形的三边，证明000.00a b c

a c b

b c a c b a <（6分）

证明

0110000101

01010

10

1a b c

a b c

a c b

c b

a

c b b c

b

c

a c

a c a

b

a c c

b a b a b a a b

c

---==------（a+b+c)

（a+b+c)

.

====-a

c-b b-c -a c-b b-c

（a+b+c)c-a

-b

a-c （a+b+c)c

-c a-b b-a a-b

-c b a-c

-b

-1

11

=（a+b+c)(a-(b+c))c

-c a-b b a-c -b -1

00（a+b+c)(a-(b+c))c

0a+c-b b

a+b-c

（a+b+c)(a-(b+c))(a+b-c)(a+c-b)<0

（因为a,b,c 是三角形的三边）

本讲作业：

（一）解答下列各题

1.计算行列式

1231131211231

n x n D x n x +=++L L L

M M

M O M L

1

10,(1)|.2),,[(1)]()2)[(1)]|1=2)[(1)]

n n n n

n n n x D x D x x n D x i x j i j x x n D D x D x x n -==------≠------L L L 解当时，所以同理（均为的因式。又与各不相同，所以

（x-1)（ 但的展开式中最高次项的系数为，所以

（x-1)（

2.计算n 阶行列式5100065100065000005100065

D =

L L L M M M O

M M L L

121

1

1156560,5

A231,22319

4,93-2.

n n n n n n n n n D D D x A B D B n A B A B D ----++=--+=+=?=+=?

+=?=-=?=2解由于按第一列展开有 ，作特征方程 x 解此方程得二根2,3，令 ，令可得 解得

01211

012

12

1031

2

30

1

3.(1)()(),22(),cos sin .

n n n n n n n n i

i i a a a a a a a a D a a a a f f f a a a a f x a x i n n εεππ

ε--------=====+∑L L L L M M M L M L

证明 其中0

1212110

122

4

2(1)

210312(1)(1)(1)1

2

301

11

1

11

1n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a εεεεεε

εεε------------???? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

?

??L L L

L L L M M M L M M

M

M

L

M L

L

证明作矩阵乘积

2122112422(1)112(1)2(1)(1)121

242(1)12(1)(1)((1)()()

()(1)()

()

()

(1)()

()

()(1)()()()1111111n n n n n n n n n n n n n n n n f f f f f f f f f f f f f f f f εεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεεε---------------?? ? ?

?

= ?

? ???=L L L M

M

M

L

M L

L L L M M

M L M L 11)(1)()

()n f f f εε--??

?? ?

? ? ? ?

? ? ? ???

???O

两边取行列式即得所征。

22222

2222

222

2

2

2

2

12312(1)(1)1(2)2341n n n n n n ---L L L M M M L M L

说明:此行列式称为循环行列式，以后见到以下类型的行列式计算，可直接利用这一结果。

例如计算行列式 D=（二）阅读教材P49-60，并回答什么是矩阵、矩阵的相等？矩阵有哪些运算和性质？有哪些特殊矩阵和特殊性质？