电势能和电势·知识点精解

电势能和电势·知识点精解

1．电势能的概念

(1)电势能

电荷在电场中具有的势能。

(2)电场力做功与电势能变化的关系

在电场中移动电荷时电场力所做的功在数值上等于电荷电势能的减少量，即WAB=εA-εB。

①当电场力做正功时，即W AB＞0，则εA＞εB，电势能减少，电势能的减少量等于电场力所做的功，即Δε减=W AB。

②当电场力做负功时，即WAB＜0，则εA＜εB，电势能在增加，增加的电势能等于电场力做功的绝对值，即Δε增=εB-εA=-W AB=|WAB|，但仍可以说电势能在减少，只不过电势能的减少量为负值，即ε减=εA-ε

B=W AB。

【说明】某一物理过程中其物理量的增加量一定是该物理量的末状态值减去其初状态值，减少量一定是初状态值减去末状态值。

(3)零电势能点

在电场中规定的任何电荷在该点电势能为零的点。理论研究中通常取无限远点为零电势能点，实际应用中通常取大地为零电势能点。

【说明】

①零电势能点的选择具有任意性。

②电势能的数值具有相对性。

③某一电荷在电场中确定两点间的电势能之差与零电势能点的选取无关。

2．电势的概念

(1)定义及定义式

电场中某点的电荷的电势能跟它的电量比值，叫做这一点的电势。

(2)电势的单位：伏(V)。

(3)电势是标量。

(4)电势是反映电场能的性质的物理量。

(5)零电势点

规定的电势能为零的点叫零电势点。理论研究中，通常以无限远点为零电势点，实际研究中，通常取大地为零电势点。

(6)电势具有相对性

电势的数值与零电势点的选取有关，零电势点的选取不同，同一点的电势的数值则不同。

(7)顺着电场线的方向电势越来越低。电场强度的方向是电势降低最快的方向。

(8)电势能与电势的关系：ε=qU。

3．等势面

电场中电势相等的点构成的面。

(1)在同一等势面上任何两点间移动电荷，电场力不做功。这里存在两种情况：一种是电荷一直在等势面上移动，电场力在任何一段时间内都不做功。一种是电荷不在同一等势面上移动，但初、未位置在同一等势面上，在全过程中的某一具体过程中电场力可能做功，但在全过程中电场力不做功。

(2)等势面一定跟电场线垂直，场强一定跟等势面垂直。

(3)电场线由电势较高的等势面指向电势较低的等势面。

图1-13为几种典型电场的等势面。

4．电势差的概念

(1)定义

电荷在电场中两点间移动时，电场力所做的功跟电荷电量的比值，叫做这两点间的电势差，也叫电压。

(2)定义式

【说明】

①电势差即电势之差，UAB=UA-U B。

②WAB为电荷q由A点移动B点时电场力所做的功，可能为正值，也可能为负值。

③上式计算时，q应代入正负号。若UAB＞0，则UA＞UB；若UAB＜0，则UA＜UB。

④电势差的单位仍为伏(V)。

⑤两点间的电势差与零电势点的选取无关。

⑥某点的电势即该点与零电势点的电势差。

⑦电势差是标量。

5．电场力做的功

电场的基本性质就是对放入其中的电荷有力的作用。当电荷在电场中两点间移动时，电场力可能做功。求电场力的功一般有以下两个公式：

W AB=qU AB

W AB=εA-ε B

可见，电场力做功特点与重力做功相似，与电荷在电场中的具体路径无关，只由电荷的初、末位置决定。

6．匀强电场中电势差和电场强度的关系

在匀强电场中，任意两点间的电势差等于场强和这两点在场强方向上距离的乘积。即

U=Ed

【说明】 (1)该式中U为两点间电势差的绝对值，E为电场强度的大小，d为两点间距离在场强方向上的投影。

沿场强方向每单位距离上的电势差。场强还有另一单位：伏/米(v/m)。1N/c=1v/m。

【例1】如图1-14所示，a、b、c是一条电场线上的三个点，电场线的方向由a到c。a、b间的距离等于b、c 间的距离。用Ua、Ub、Uc和Ea、Eb、Ec分别表示三点的电势和场强，可以判定 [ ]

A．Ua＞Ub＞Uc；

B．Ea＞Eb＞Ec；

C．Ua-U b=Ub-U c；

D．Ea=E b=Ec。

【分析思路】本题所给的物理情景看起来比较简单，但实际上包含着较多的情形。这条电场线可能是匀强电场中的一条，也可能是点电荷电场中的一条，还可能是两个异种电荷之间的一条电场线，等等。因此，在分析问题时要考虑到各种情形，再根据所学的具体知识对各选项加以判断。

【解题方法】概念推理和公式推导得出结论。运用发散性思维方式创设物理情景。

【解题】根据电场线的概念可知，沿着电场线的方向电势越来越低，因此可以立即判断Ua＞Ub＞Uc，选项A正确；若图中电场线是一正点电荷电场中的电场线，根据点电荷场强

可得Ea＞Eb＞Ec，若是负点电荷的电场线，则为Ea＜Eb＜Ec，如该电场线是一匀强电场的电场线，则

Ea=Eb=E c，所以选项B、D都不全面，不是正确答案；在电场中的两点间移动电荷时，电场力对电荷做功W=qU，若是匀强电场，电场力做功又可写为W=qEd，由题意知，Wab=Wbc，所以qUab=qU bc，即Uab=Ubc，亦即Ua-U b=Ub-U c。但电场不确定，因此选项C也不是正确答案。

综上分析可知，本题正确答案为A。

【例2】下列说法中正确的是 [ ]

A．电场线相互平行的电场一定是匀强电场；

B．在电场中将电荷由a点移到b点，如果电场做功为零，则a、b两点场强大小必相等；

C．电势降低的方向，一定就是场强方向；

D．在电场中，只在电场力作用下，使电荷沿电场线运动，这样的电场只能是匀强电场。

【分析思路】本题四个选项所考查的内容互不相关。选项A考查了匀强电场的电场线的性质；选项B 考查了公式W=qU及电势与场强的区别；选项C考查了电势降低的方向与场强方向的关系；选项D考查了几种典型的电场线的形状及物体做直线运动和曲线运动的条件。

【解题方法】反证法及概念辩析。

【解题】对选项A可用反证法进行证明。在电场中，电荷沿任一闭合曲线运动一

周，电场力做功总为零，因为同一点是不存在电势差的。如图1-15所示，一点电荷从A点出发沿一矩形ABCD的路径回到A点。因路径BC、DA与电场线垂直，故电荷从B→C及从D

→A电场力不做功，若电荷从A→B电场力做正功，则从C→D电场力必做负功，但因电场线不均匀，从A→B电场力大，则|W A→B|＞|W C→D|，那么电荷从A→B→C→D→A过程中，电场力做功不为零，这是不可能的，说明这样的电场不存在。所以选项A正确。

对选项B，由W=qU可知，Ua=U b，而电势与场强大小没有关系，由等量异种电荷的等势面图上也可看出电势相等的地方场强大小未必相等，故选项B不正确。

对选项C，我们知道电势降低的方向有无数多个，而场强的方向是唯一的，所以选项C不正确。应该说场强的方向一定是电势降低的方向，而电势降低的方向未必是场强方向。实际上应是电势降低最快的方向才是场强方向。

对选项D，可以举一特例来判断。假设电荷在点电荷的电场中由静止仅在电场力作用下运动，根据物体做直线运动的条件可知电荷将沿着这条电场线做直线运动，而点电荷的电场并非匀强电场，所以D选项不对。

【例3】将一个10-6库的负电荷从电场中A点移动B点，克服电场力做功2×10-6焦，从C点移到D 点，电场力做功7×10-6焦，若已知B点比C点电势高3伏，则AD之间的电势差的值是______伏。

【分析思路】本题要求AD之间的电势差，但题目只告诉了B、C间的电势差，要想求A、D之间的电势差，还需求A、B之间的电势差以及C、D之间的电势差，因为UAD=UAB+U BC+UCD。而该题给出了电荷的电量及电荷由A到B及由C到D过程中电场力所做的功，可根据电场力做功公式分别求出UAB及UCD。

【解题方法】根据电场力做功公式W=qU求出UAB及UCD，再根据UAD=UAB+U BC+UCD求解。

【解题】由电场力做功公式W=qU得

所以A、D两点间的电势差

U AD=U AB+UBC+U CD=2+3+(-7)=-2(V)

D点电势高于A点电势。

【例4】如图1-16(a)所示，水平光滑绝缘轨道AB与半径为R的光滑绝缘轨道BCD平滑连接。匀强电场场强为E，方向水平向左，一个质量为m的带电滑块所受电场力等于重力，在A点静止释放，它能沿圆轨道运动到与圆心等高的D点，则AB至少多长？

【分析思路】带电滑块在重力和电场力及轨道压力的共同作用下作圆周运动，关键是要分析增加电场力作用后，滑块能在竖直平面内作圆周运动的条件。在力学中学习过物体在重力场中在竖直平面内作圆周运动的情况，知道物体若要刚好做圆周运动，即刚好通过最高点，则在

除重力场之外，还有一个水平方向的匀强电场。因此可把重力场和电场“合成”起来看成一个“等效”场，在该“等效”场中，轨道上的最高点应在图1-16(b)中所示的E点。AB最短时，意味着物体刚好通过E点，当然能沿轨道到达D点。所以，该种情况下，滑块在E点时，轨道对滑块的压力为零，向心力即重力与电场力的合力。可见，要解决本题，关键是用“等效场”的思想找出在“等效场”中的“最高点”。

【解题方法】用“等效场”的思想找出最容易脱离圆周的点，再用向心力公式及动能定理列式求解。

【解题】如图1-16(b)所示，在轨道圆心作重力mg和电场力qE的合成示意图，将对角线斜向上延长交轨道于E点，此即重力场与电场共同存在时圆周运动的““最高点”，在该点轨道压力为零时，向心力由重力与电场力的合力提供。由向心力公式得

而由题意可知

联立①、②两式可得

在物体由A到E过程中应用动能定理得

将式③代入式④解得AB长度的最小值

端固定在水平向右的匀强电场中的0点，另一端系一质量为m的带电小球，水球能静止平衡在位置A，OA 与竖直方向成30°角。现将小球拉

点C处的速度。②小球运动到哪一位置速度最大？求该最大速度。

【分析思路】小球在竖直线右30°角平衡，可得Eq=mgtg30°。当小球至B位置时，其mg与Eq的合力指向圆切线的内侧，当小球由静止释放后，小球必然沿合力方向作匀加速直线运动至绳绷紧时结束。绳绷紧瞬间，小球的动量和动能都有损失，小球只剩下沿切线方向的分速度，而沿绳子方向的分速度由于绳子拉力冲量的作用在极短时间内变为零，此后自该点以沿切线方向的分速度向上摆动，如图1-17(b)所示。因为小球静止时绳子与竖直方向的夹角为30°，所以容易判断绳刚绷紧时小球的位置在最低点C的左侧。关于求最大速度及小球速度最大时小球的位置，可用数学方法求极值或利用“等效场”的思想方法解决。

【解题方法】运用物体直线运动的动力学条件分析物体首先做直线运动，利用等效分析法找出速度最大的位置(即重力势能和电势能的总和最小位置)，再应用动能定理求出小球的最大速度。

【解题】①小球在B点受水平向右的电场力及竖直向下的重力，如图1-17(b)所示。由于在B点的合力方向与竖直方向成30°角且在过B点的圆(以O为圆心，以绳长为半径的圆)切线内侧，故小球释放后由静止开始作匀加速直线运动，直到绳子再次伸直为止。由题目所给数据及几何知识容易判断出绳子刚伸直时绳在竖直位置左侧，如图(b)所示。在小球由A沿直线运动到D过程中应用动能定理得

∵小球可在A点平衡

从D到C过程中用动能定理得

②小球处在重力场、电场的“等效场”中，A点即“等效场”中速度最大的位置。在小球从C到A的过程中用动能定理得

该问也可用数学方法解决。设悬线与竖直方向夹角为α时小球动能最大，由动能定理

【启示】解决本题有三个关键。第一是物体做直线运动的条件，由此可判断小球首先做匀加速直线运动；第二是不可伸长的细线可使小球的沿线方向的分速度立即变为零；第三是等效场的应用以找到速度最大位置。从第②问的数学解法与等效场法比较可看出，从等效场观点解题是非常简便的，而且更能理解物理过程的实质。这三个关键正是本题的焦点，只要突破了这三点，带电小球的运动过程便可了然于胸，其他一切问题便可迎刃而解。所以，要学好物理，必须要掌握“概念和规律、状态和过程”这两把金钥匙。概念包括课本上的，也包括自己在习题中体会得到的。如一些理想化的模型：不可伸长的绳子——不发生弹性形变，不储存弹性势能，若对物体做负功，物体的动能转化为绳子的内能；轻弹簧——能发生弹性形变从而储存弹性势能，但没有质量从而不计其动能和动量；光滑面——摩擦力为零。规律包括原理、定理、定律等。

【例6】有一个匀强电场，电场线和坐标xoy平面平行，以原点为圆心、半径r=5cm的圆周上任意一点P的电势 U=(40sinθ+25) V，θ为O、P两点连线与x轴的夹角，如图1-18(a)所示，求该匀强电场场强的方向和大小。

【分析思路】本题重点考查了高考物理科要考核的能力之一——应用数学处理物理问题的能力。要解决该题，必须熟练掌握三角函数公式中的sin(180°-θ)=sinθ，同时要对数学式子所表达的物理意义有敏锐的洞察力，否则就是结论已摆在眼前，也未必能发现，这就要求学生要有“伯乐相马”的本领。这种题目的解决要经过两个转化，首先要把题目所述的物理问题转化为数学问题，利用数学手段加以处理，然后把得到结论的物理意义弄清楚，即把数学问题再转化为物理问题，从而使题目得到解决。

【解题方法】运用sin(180°-θ)=sinθ及等势面与电场线垂直的性质可判断出等势面与电场平面xoy 的交线与x轴平行，根据锐角范围内正弦函数的单调性可判断场强方向沿y轴负方向。在圆周上找纵坐标

【解题】匀强电场中的电场线与xoy平面平行，其等势面一定和xoy平面垂直。

根据sin(180°-θ)=sinθ，所以圆周上任一点电势U=(40sinθ+25)V=[40sin(180°-θ)+25]V。

上式说明圆周上关于y轴对称的任意两点的电势差相等，所以该匀强电场的等势面与xoy平面的交线与x 轴平行。

在锐角范围内，由U=(40sinθ+25)V可看出，随着θ的增大圆周上点的电势升高，由此可判断该匀强电场的场强方向沿y轴负方向。

在圆周上分别取纵坐标不同的两点P1、P2，这两点间的电势差为U12，它们相应的等势面之间的距离为d(图1-18(b))，则