数值分析教案 ShandongUniversity
数值分析教案土建学院
工程力学系
2014年2月
一、课程基本信息
1、课程英文名称：Numerical Analysis
1
2、课程类别：专业基础课程
3、课程学时：总学时32
4、学分：2
5、先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《C 语言》
6、适用专业：工程力学
二、课程的目的与任务：
数值分析是工程力学专业的重要理论基础课程，是现代数学的一个重要分支。其主要任务是介绍进行科学计算的理论方法，即在计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值计算和分析的理论和方法。通过本课程的学习，不仅使学生初步掌握数值分析的基本理论知识，而且使学生具备一定的科学计算的能力、分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程以及将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。
三、课程的基本要求：
1．掌握数值分析的常用的基本的数值计算方法
2．掌握数值分析的基本理论、分析方法和原理
3．能利用计算机解决科学和工程中的某些数值计算应用问题，增强学生综合运用知识的能力
4．了解科学计算的发展方向和应用前景
四、教学内容、要求及学时分配：
(一) 理论教学：
引论（2学时）
第一讲（1-2节）
1．教学内容：
数值分析(计算方法)这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。数值计算中应注意的一些问题。
2．重点难点：
算法设计及其表达法；误差的基本概念。数值计算中应注意的一些问题。3．教学目标：
了解数值分析的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。学会选用相对较好的数值计算方法。
2
A 算法
B误差
典型例题
第一章插值方法（4学时）
第二讲（3-4节）
1.教学内容：
代数插值多项式的存在唯一性；Lagrange插值及其误差估计。差商、差分的概念与性质，Newton 插值公式及其余项。
2．重点难点：
Lagrange插值基函数、插值公式的构造、插值余项。差商表、差分表，Newton插值公式的构造。
3．教学目标：
了解插值问题的背景及提法、代数插值多项式的存在唯一性；掌握Lagrange插值基函数及其构造法。
1．问题的提出
2．拉格朗日查值公式
3．插值余项
典型例题
第三讲（5-6节）
教学内容：
重点难点：
差商表、差分表，Newton插值公式的构造。
教学目标：
理解差商、差分的定义及其性质，掌握Newton插值公式及其余项。
3
4．牛顿插值公式
5．埃尔米特插值
典型例题
第四讲（7-8节）
1．教学内容：
曲线拟合的概念、直线拟合、多项式拟合、正则方程组。
2．重点难点：
拟合曲线的类型、正则方程组的建立、拟合多项式的求解。
3．教学目标：
了解曲线拟合的概念、对给出的一组数据点，能判断其拟合曲线的类型、建立相应的正则方程组、求得拟合多项式
6．曲线拟合的最小二乘法
典型例题
第二章数值积分与数值微分（6学时）
第五讲（9-10节）
1．教学内容：
代数精度的概念、插值型的求积公式、牛顿-柯特斯公式、数值积分的误差估计。
2．重点难点：
代数精度的概念、插值型的求积公式、牛顿-柯特斯公式、数值积分的误差估计。
3．教学目标：
了解代数精度的概念、掌握插值型的求积公式、牛顿-柯特斯公式；对给出的一组数据点，能正确使用插值型的求积公式、牛顿-柯特斯公式进行数值计算，并能够进行误差分析。
1．机械求积
2．牛顿—柯特斯公式
典型例题
4
第六讲（11-12节）
1．教学内容：
梯形法的递推化、龙贝格公式、龙贝格算法程序设计
2．重点难点：
龙贝格算法的思想、龙贝格算法加速的过程、龙贝格算法程序设计
3．教学目标：
了解梯形法的递推化的方法、掌握龙贝格算法的加速过程、能利用变步长的梯形法和龙贝格
公式计算实际问题、编写龙贝格算法程序
3．龙贝格算法
典型例题
第七讲（13-14节）
1．教学内容：
通过对高斯公式的定义的讲解，介绍什么是高斯公式、什么是高斯点、什么是高斯求积系数；然后对高斯点的基本特性进行分析分析，推导出节点是高斯点的充分必要条件，从而引导出几种求高斯点的方法及勒让德多项式。
从微分的定义出发，用差商引导出几个微分的数值方法；再对中心差商公式，介绍一种加速的方法；然后利用插值公式，推导出插值型的数值微分公式并进行误差估计。
2．重点难点：
高斯点的基本特性、正交多项式、高斯点的计算
3．教学目标：
理解高斯公式的定义、掌握高斯点的基本特性、能利用梯形法的递推化的方法、掌握龙贝格算法的加速过程、能利用勒让德多项式得出几个低阶的高斯公式并能利用高斯公式解决实际问题。了解差商公式及插值型求导公式，并能利用它们进行数值微分的计算。
4．高斯公式
5．数值微分
典型例题
第三章常微分方程数值解（4学时）
第八讲（15-16节）
1．教学内容：
Euler方法：Euler公式，单步显式公式极其局部截断误差；后退Euler公式，单步隐式公式极其局部截断误差；梯形公式，预测校正公式与改进Euler公式。
5
2．重点难点：
Euler公式，预测校正公式与改进Euler公式
3．教学目标：
了解欧拉方法的几何意义、对给出的初值问题，能利用Euler公式，改进Euler公式进行微
分方程数值求解
1．欧拉法
2．改进欧拉法
典型例题
第九讲（17-18节）
1．教学内容：
龙格-库塔方法：龙格-库塔方法的设计思想、二阶龙格-库塔方法、三阶龙格-库塔方法、四阶龙格-库塔方法、变步长的龙格-库塔方法；亚当姆斯方法：亚当姆斯格式、亚当姆斯预报-效正系统、误差分析。
2．重点难点：
龙格-库塔方法的设计思想；各阶龙格-库塔方法系数的确定。
3．教学目标：
理解龙格-库塔方法的设计思想，熟悉二阶龙格-库塔方法的推导，能利用龙格-库塔方法进行微分方程数值求解。了解亚当姆斯格式。
3．龙格—库塔法
4．亚当姆斯
典型例题
第四章方程求根的迭代法（4学时）
第十讲（19-20节）
1．教学内容：
首先，简单介绍二分法；然后讲解迭代法的设计思想、通过对同一方程的不同迭代格式的计算结果的分析，推导出迭代收敛性定理及局部迭代迭代收敛性定理。然后对收敛速度进行分析。讲解迭代加速的方法，并介绍埃特金加速算法的程序设计。
2．重点难点：
牛顿迭代法及局部收敛性、迭代法及收敛性定理
3．教学目标：
了解欧拉方法的几何意义、对给出的初值问题，能利用Euler公式，改进Euler公式进行数值求解
6
1．二分法
2．迭代法的概念
典型例题
第十一讲（21-22节）
1．教学内容：
首先介绍牛顿迭代公式及其几何意义，分析其收敛速度；然后利用牛顿迭代公式推导出开方公式，并分析其收敛速度；讲解牛顿下山法的基本思想及下山因子的选取。最后介绍牛顿迭代法的程序设计。
2．重点难点：
牛顿下山法及下山因子的选取牛顿迭代法及局部收敛性、
3．教学目标：
掌握牛顿迭代法，能利用牛顿迭代法进行方程求根的数值计算。并能够编制相应的应用程序。3．牛顿法
典型例题
第五章线性方程组的迭代法（2学时）
第十二讲（23-24节）
1．教学内容：
首先通过例子介绍解线性方程组的迭代法的基本思想；然后介绍雅可比迭代公式及其程序设计；介绍高斯-塞德尔迭代公式；超松驰迭代法及其程序设计；以及迭代公式的矩阵表示。
2．重点难点：
雅可比迭代法、高斯—塞德尔迭代法、超松驰迭代法
3．教学目标：
掌握三种迭代公式，能利用这三种迭代公式进行线性方程组的迭代求解，并编制相应的应用程序。
1．雅可比迭代法
2．高斯—塞德尔迭代法
7
3．超松驰迭代法
典型例题
第六章线性方程组的直接法（4学时）
第十三讲（25-26节）
1．教学内容：
线性方程组的消去法、Gauss消去法及其Gauss列主元素消去法的计算过程；三种消去法的程序设计。
2．重点难点：
约当消去法，Gauss消去法，Gauss列主元素消去法
3．教学目标：
北京大学数值分析试题2015 经过订正
北京大学2014--2015学年第一学期 研究生期末考试试题A (闭卷考试) 课程名称：数值分析 注：计算题取小数点后四位 一、填空题(每空3分，共24分) (1) 设1 2A ?-=-?? ，则A 的奇异值为 。 (2) 设0.00013753x =为真值0.00013759T x =的近似值，则x 有 位有效数字。 (3) 设数据123,,x x x 的绝对误差为0.002，那么123x x x -+的绝对误差约为 ____ _。 (4) )x (l ,),x (l ),x (l n 10是以01,, ,,(2)n x x x n ≥为节点的拉格朗日插值基函数， 则 20 (2)()n k k k x l x =+=∑ 。 (5) 插值型求积公式 2 2 =≈∑? ()()n k k k x f x dx A f x 的求积系数之和0 n k k A ==∑ 。 其中2x 为权函数，1≥n 。 （6）已知(3,4),(0,1)T T x y ==，求Householder 阵H 使Hx ky =，其中k R ∈。 H= 。 (7) 数值求积公式 1 1 2()((0)3f x dx f f f -?? ≈ ++???? ? 的代数精度为___。 (8) 下面Matlab 程序所求解的数学问题是 。 （输入向量x , 输出S ） x =input('输入x ：x ='); n=length(x ); S=x (1); for i=2:n if x (i)数值计算引论第4章答案
思考题： 1. (b) 错 (Newton Cotes 点多了就不是好条件了) (c) 错 (d)错 2. 不会，需要用复化公式 习题： 2. 确定下列数值积分公式中的参数，使它具有尽可能高的代数精度 (1) ()()()()1010h h f x dx A f h A f A f h ??≈?++∫ 解 令 ()1f x = ()2h h f x dx h ?=∫ 故()()()10110102A f h A f A f h A A A h ???++=++= 令()f x x = ()0h h f x dx ?=∫ 故 ()()()1011100A f h A f A f h A h A h ???++=?+= 令()2f x x = ()323 h h f x dx h ?=∫ 故 ()()()22310111203 A f h A f A f h A h A h h ???++=?+= 联立上面三式得 11014 33 A A h A h ?=== (2) 同理：11028 33 A A h A h ?=== (3) ()()()()1 1211233f x dx f f x f x ?≈?++????∫ 解 令 ()1f x = ()112f x dx ?=∫ 故 ()12332++= 令()f x x = ()1 10f x dx ?=∫ 故 121230x x ?++= 令()2 f x x = ()1123f x dx ?=∫ 故 2212213x x ++= 联立上面二式得 115x ±= 2315 x =?
(4) ()()()()()1234b a f x dx f a f b f a f b ωωωω′′≈+++∫ 解 令 ()1f x = ()b a f x dx b a =?∫ 故12b a ωω+=? 令()f x x = ()()2212b a f x dx b a =?∫ 故 ()22123412 a b b a ωωωω+++= ? 令()2f x x = ()()3313 b a f x dx b a =?∫ 故 ()223312341223 a b a b b a ωωωω+++=? 令()3f x x = ()()4414 b a f x dx b a =?∫ 故 ()33224412341334a b a b b a ωωωω+++=? 联立上面四式得 ()()()122122 233333224441110021112233314b a b a a b a b a b b a a b a b b a ωωωω?????????????????????????=???????????????????????? 或者能解出具体的值也可以。 3. 略 6. 证明 ( )(( )1 1158059f x dx f f f ???≈++??∫ 解 令 ()1f x = ()112f x dx ?=∫ 故(( )[]115805585299 f f f ??++=++=?? 令()f x x = ()110f x dx ?=∫ 故 ( 1580509 ?×+×+=? 令()2f x x = ()1123 f x dx ?=∫ 故 ( 2212580593??×+×+×=????
东南大学 数值分析 考试要求
第一章绪论 误差的基本概念：了解误差的来源，理解绝对误差、相对误差和有效数的概念，熟练掌握数据误差对函数值影响的估计式。 机器数系：了解数的浮点表示法和机器数系的运算规则。 数值稳定性：理解算法数值稳定性的概念，掌握分析简单算例数值稳定性的方法，了解病态问题的定义，学习使用秦九韶算法。 第二章非线性方程解法 简单迭代法：熟练掌握迭代格式、几何表示以及收敛定理的内容，理解迭代格式收敛的定义、局部收敛的定义和局部收敛定理的内容。 牛顿迭代法：熟练掌握Newton迭代格式及其应用，掌握局部收敛性的证明和大范围收敛定理的内容，了解Newton法的变形和重根的处理方法。 第三章线性方程组数值解法 （1）Guass消去法：会应用高斯消去法和列主元Guass消去法求解线性方程组，掌握求解三对角方程组的追赶法。 （2）方程组的性态及条件数：理解向量范数和矩阵范数的定义、性质，会计算三种常用范数，掌握谱半径与2- 范数的关系，会计算条件数，掌握实用误差分析法。 （3）迭代法：熟练掌握Jacobi迭代法、Guass-Seidel迭代法及SOR方法，能够判断迭代格式的收敛性。 （4）幂法：掌握求矩阵按模最大和按模最小特征值的幂法。 第四章插值与逼近 （1）Lagrange插值：熟练掌握插值条件、Lagrange插值多项式的表达形式和插值余项。（2）Newton插值：理解差商的定义、性质，会应用差商表计算差商，熟练掌握Newton插值多项式的表达形式，了解Newton型插值余项的表达式。 （3）Hermite插值：掌握Newton型Hermite插值多项式的求法。 （4）高次插值的缺点和分段低次插值：了解高次插值的缺点和Runge现象，掌握分段线性插值的表达形式及误差分析过程。 （5）三次样条插值：理解三次样条插值的求解思路，会计算第一、二类边界条件下的三次样条插值函数，了解收敛定理的内容。 （6）最佳一致逼近：掌握赋范线性空间的定义和连续函数的范数，理解最佳一致逼近多项式的概念和特征定理，掌握最佳一致逼近多项式的求法。 （7）最佳平方逼近：理解内积空间的概念，掌握求离散数据的最佳平方逼近的方法，会求超定方程组的最小二乘解，掌握连续函数的最佳平方逼近的求法。
数值分析教案 ShandongUniversity
数值分析教案土建学院 工程力学系 2014年2月
一、课程基本信息 1、课程英文名称：Numerical Analysis 1 2、课程类别：专业基础课程 3、课程学时：总学时32 4、学分：2 5、先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《C 语言》 6、适用专业：工程力学 二、课程的目的与任务： 数值分析是工程力学专业的重要理论基础课程，是现代数学的一个重要分支。其主要任务是介绍进行科学计算的理论方法，即在计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值计算和分析的理论和方法。通过本课程的学习，不仅使学生初步掌握数值分析的基本理论知识，而且使学生具备一定的科学计算的能力、分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程以及将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。 三、课程的基本要求： 1．掌握数值分析的常用的基本的数值计算方法 2．掌握数值分析的基本理论、分析方法和原理 3．能利用计算机解决科学和工程中的某些数值计算应用问题，增强学生综合运用知识的能力 4．了解科学计算的发展方向和应用前景 四、教学内容、要求及学时分配： (一) 理论教学： 引论（2学时） 第一讲（1-2节） 1．教学内容： 数值分析(计算方法)这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。数值计算中应注意的一些问题。 2．重点难点： 算法设计及其表达法；误差的基本概念。数值计算中应注意的一些问题。3．教学目标： 了解数值分析的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。学会选用相对较好的数值计算方法。 2 A 算法 B误差 典型例题
华南理工大学数值分析试题-14年下-C
华南理工大学研究生课程考试 《数值分析》试卷C （2015年1月9日） 1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请按要求填写在本试卷上； 课程代码：S0003004； 4. 考试形式：闭卷； 5. 考生类别：硕士研究生； 本试卷共八大题，满分100分，考试时间为150分钟。 一、（12分）解答下列问题： 1）设近似值0x >，x 的相对误差为δ，试证明ln x 的绝对误差近似为δ。 2）利用秦九韶算法求多项式 542()681p x x x x x =-+-+ 在3x =时的值（须写出计算形式），并统计乘法次数。 （12分）解答下列问题： 1）设()235f x x =+，求[]0,1,2f 和[]0,1,2,3f 。 2）利用插值方法推导出恒等式： 33220,0[]j j i i x j i x i j =≠=-=-∑∏ 。
（1）设{}∞ =0)(k k x q 是区间[]1,0上带权1=ρ而最高次项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，求1()q x 和2()q x 。 （2）求形如2y a bx =+的经验公式，使它与下列数据拟合： 四、（14分）对积分()10I f x dx = ?，试 （1）构造一个以012113,,424 x x x ===为节点的插值型求积公式； （2）指出所构造公式的代数精度； （3）用所得数值求积公式计算积分1 203x dx ?的精确值； （4）指出所得公式与一般的Newton-Cotes 型公式在形式上的重要区别。
（1）设?? ????=4321A ,计算1A 、()Cond A ∞和()A ρ。 （2）用列主元Gauss 消去法解方程组： 12312315410030.112x x x ????????????=????????????-?????? 六、（13分）对2阶线性方程组 11112212112222 a x a x b a x a x b +=??+=? （11220a a ≠ ） （1）证明求解此方程组的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代同时收敛或同时发散； （2）当同时收敛时，试比较它们的收敛速度。
(完整版)数值分析教案
§1 插值型数值求积公式 教学目的 1. 会求插值型数值求积公式及Gauss 型数值求积公式并会讨论它们的代数精度； 2. 理解复化梯形数值求积公式及复化Simpson 数值求积公式和余项的推导的基础上掌握它们； 3. 理解数值微分公式推导的基础上掌握一阶、二阶数值微分公式及余项； 4. 了解外推原理。 教学重点及难点 重点是插值型数值求积公式及Gauss 型数值求积公式的求解及它们代数精度的讨论；难点是Gauss 型数值求积公式节点的求解方法的推导及求解方法。 教学时数 12学时 教学过程 1．1一般求积公式及其代数精度 设)(x ρ是),(b a 上的权函数，)(x f 是],[b a 上具有一定光滑度的函数。用数值方逑下积分 ?b a dx x f x )()(ρ 的最一般方法是用)(x f 在节点b x x x a n ≤<<≤≤Λ10上函数值的某种线性组合来近似 ?∑=≈b a n i i i x f A dx x f x 0 )()()(ρ 其中n i A i ,,0,Λ=是独立于函数)(x f 的常数，称为积分系数，而节点n i x i ,,1,0,Λ=称为求积节点。 我们也可将（1．2）写成带余项的形式 ][)()()(0 f R x f A dx x f x b a n i i i +=?∑=ρ （1．2）和（1．3）都称之为数值求积公式或机械求积公式。更一般些的求积公式还可以包含函数)(x f 在某些点的低阶导数值。 在（1.3）中余项][x R 也称为求积公式的截断误差。 一个很自然的想法是数值求积公式要对低次多项式精确成立这就导出了求积公式数精度的概念。 定义1 若求积公式（1.2）对任意不高于m 次的代数多项式都精确成立，而对1 +m x 不能精 确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度。 一个求积公式的代数精度越高，就会对越多的代数多项式精确成立。 例1 确定求积公式 )]1()0(4)1([3 1 )(1 1 f f f dx x f ++-≈?-
数值计算方法习题答案(绪论,习题1,习题2)
引论试题（11页） 4 试证：对任给初值x 0, 0)a >的牛顿迭代公式 112(),0,1 ,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成立下列关系式： 2112(1)(,0,1,2,.... (2)1,2,...... k k k x k x x k x k +-=≥= 证明： （1 ）(2 2 11222k k k k k k k k x a x a x x x x x +-??-+=+= =? ?? （2） 取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ， a a x a x x a x x k k k k k ≥+??? ? ??-=???? ??+=+2 12121 6 证明： 若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤ -1102 1 8， 而() k k k k k x x x x x 28882182 1-=-???? ??+=-+ n n k k x x 21221102 1 5.22104185 .28--+?=??<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。 8 解： 此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理： （设x 的近似数* x 可表示为m n a a a x 10......021*?±=，如果* x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为 ()11 * *1021 --?≤ -l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数） 则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为
025.0102 21 111=??≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 122=??≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为： 00025.0102 21 333=??≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7.21=x ，0183.01<-e x ∴其相对误差限为 00678.07 .20183 .011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有 003063 .071 .20083 .022≈<-x e x 对于718.23=x ，有 00012.0718 .20003 .033≈<-x e x 备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。 （2）采用第二种方法时，分子为绝对误差限，不是单纯的对真实值与近似值差值的四舍五入，绝对误差限大于或等于真实值与近似值的差。 11. 解: ......142857.3722≈，.......1415929.3113 255≈ 21021 722-?≤-∴ π，具有3位有效数字 6102 1 113255-?≤-π，具有7位有效数字
数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)
数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)
数值分析 （p11页） 4 试证：对任给初值x 0, (0) a a >的牛顿 迭代公式 112(),0,1 ,2,......k a k k x x x k +=+= 恒成立下列关系式： 21 12(1)(,0,1,2,.... (2),1,2,...... k k k x k x a x a k x a k +-= -=≥= 证明： （1） ( 2 2 112222k k k k k k k k x a a x ax a x a x a x x x +-??-+-=+-== ? ?? （2） 取初值0 >x ，显然有0 >k x ，对任意0≥k ， a a x a x x a x x k k k k k ≥+??? ? ??-=???? ??+=+2 12121 6 证明： 若k x 有n 位有效数字，则n k x -?≤ -1102 1 8， 而 ( )k k k k k x x x x x 28882182 1-=-??? ? ??+=-+ n n k k x x 21221102 1 5.221041 85 .28--+?=??<-∴>≥ 1 k x +∴必有2n 位有效数字。
8 解： 此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理： （设x 的近似数* x 可表示为m n a a a x 10......021* ?±=，如果* x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为 ()11 * *1021 --?≤ -l a x x x ，其中1 a 为* x 中第一个非零数） 则7 .21 =x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 111=??≤--x x e 71 .22=x ，有两位有效数字，相对误差限为 025.0102 21 122=??≤--x x e 3 2.718 x =，有两位有效数字，其相对误差限为： 00025.0102 21 333=??≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解 对于7 .21 =x ，0183.01 <-e x ∴ 其相对误差限为00678.07 .20183.01 1≈<-x e x 同理对于71 .22 =x ，有 003063.071 .20083 .022≈<-x e x
《数值分析》教案
1.7.2 三次样条插值的基本原理 三次样条插值也是一种分段插值方法，用分段的三次多项式构造成一个整体上具有函数、一阶和二阶导函数连续的函数，近似地替代已知函数)(x f ，“样条”一词源于过去绘图员使用的一种绘图工具样条，它是用于富于弹性、能弯曲的木条（或塑料）制成的软尺，把它弯折靠近所有的基点用画笔沿着样条就可以画出连续基点的光滑曲线。 假设已知函数)(x f 在区间],[b a 上的)1(+n 个节点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 及其对应的函数值 i i y x f =)(,),,2,1,0(n i =，即给出)1(+n 组样本点数据),(,),,(),,(1100n n y x y x y x ，可以构造一个定义在],[b a 上的函数)(x S ， 满足下述条件。 ① i i y x S =)(,),,2,1,0(n i = ② )(x S 在每个小区间],[1+i i x x )1,,2,1,0(-=n i 上，都是一个三次多项式： 3 32210)(x a x a x a a x S i i i i i +++= （1-42） ③ )(),(),(x S x S x S '''在],[b a 上连续。 可见，)(x S 是一个光滑的分段函数，这样的函数称为三次样条（Spline ）插值函数。 构造的函数)(x S 是由n 个小区间上的分段函数组成，根据条件②，每个小区间上构造出一个三次多项式，第 i 个小区间上的三次多项式为 332210)(x a x a x a a x S i i i i i +++=，共有n 个多项式，每个多项式有4个待定系数。要确定这n 个多项式，就需要确定 4 n 个系数
数值计算方法复习知识点
2015计算方法复习 1. 会高斯消去法；会矩阵三角分解法；会Cholesky 分解的平方根法求解方程组 2. 会用插值基函数；会求Lagrange, 会计算差商和Newton 插值多项式和余项 3. 会Jacobi 迭代、Gauss-Seidel 迭代的分量形式，迭代矩阵，谱半径，收敛性 4. 会写非线性方程根的Newton 迭代格式;斯蒂芬森加速 5. 会用欧拉预报—校正法和经典四阶龙格—库塔法求解初值问题 6. 会最小二乘法多项式拟合 7. 会计算求积公式的代数精度；(复化)梯形公式和(复化)辛普生公式求积分；高斯-勒让德求积公式 第1章、数值计算引论 (一)考核知识点 误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；误差的传播。 (二) 复习要求 1.了解数值分析的研究对象与特点。 2.了解误差来源与分类,会求有效数字; 会简单误差估计。 3.了解误差的定性分析及避免误差危害。 （三）例题 例1. 设x =0.231是精确值x *=0.229的近似值，则x 有2位有效数字。 例2. 为了提高数值计算精度, 当正数x 充分大时, 应将)1ln(2--x x 改写为 )1ln(2++-x x 。 例3. 3 *x 的相对误差约是*x 的相对误差的1/3 倍. 第2章、非线性方程的数值解法 (一)考核知识点 对分法；不动点迭代法及其收敛性；收敛速度; 迭代收敛的加速方法；埃特金加速收敛方法；Steffensen 斯特芬森迭代法；牛顿法；弦截法。 (二) 复习要求 1.了解求根问题和二分法。 2.了解不动点迭代法和迭代收敛性；了解收敛阶的概念和有关结论。 3.理解掌握加速迭代收敛的埃特金方法和斯蒂芬森方法。 4.掌握牛顿法及其收敛性、下山法, 了解重根情形。 5.了解弦截法。 （三）例题 1.为求方程x 3―x 2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( ) (A) (B) 11,1112-=-= +k k x x x x 迭代公式21211,11k k x x x x +=+=+迭代公式
西北工业大学数值分析(附答案)
西北工业大学数值分析习题集 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设 028,Y =按递推公式 1n n Y Y -= ( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 211N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =-
数值分析关冶版第一章教案
授课题目: 第一章引论 §1数值分析的研究对象（1学时） 教学目标: 使学生了解数值分析的研究对象、作用与特点、数值算法 教学重点：数值分析的研究对象、作用与特点 教学难点: 数值分析的研究对象 教学过程: 一、数值分析的研究对象、作用 数值分析——也称计算数学，是数学科学的一个分支，主要研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现. 主要研究：算法设计，有数学模型给出数值计算方法；上机实现，根据计算方法编制算法程序并计算结果 二、数值分析的作用： 重点研究数学问题的数值方法及其理论。 作用领域广，形成许多交叉学科。 科学计算与理论研究和科学实验是三种科学手段 最重要作用——计算模型数值解
三、数值分析的特点 面向计算机，根据计算机特点提供有效算法。 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求。 要有好的计算复杂性——时间和空间复杂性。 要有数值实验。证明其有效性。 练习： 思考： 作业: 教学反思:
授课题目: §2 数值计算的误差（1学时） 教学目标: 使学生掌握误差、有效数字及其关系、误差估计 教学重点：误差、有效数字及其关系、误差估计 教学难点: 误差估计 教学过程: 误差来源与分类 截断误差 例如，可微函数f(x)的泰勒(Taylor)多项式 则数值方法的截断误差是 舍入误差 例如，用3.14159代替，产生的误差 ●由原始数据或机器中的十进制数转化为二进制数产生的初始误差。 ●在用计算机做数值计算时，受计算机字长的限制产生的误差。 误差与有效数字 定义1 设x为准确值，x*为x的一个近似值，称
为近似值的绝对误差，简称误差。 通常准确值x 是未知的，因此误差e *也是未知的。若能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个上界，即 则ε*叫做近似值的误差限 也可表示成 把近似值的误差e *与准确值x 的比值 称为近似值x *的相对误差，记作 它的绝对值上界叫做相对误差限, 记作 , 定义2 若近似值x *的误差限是某一位的半个单位，该位到x *的第一位非零数字共有n 位，就说x * 有n 位有效数字. 其中 是0到9中的一个数字，m 为整数，且 定理1设近似数x *表示为 x x e -=*****ε≤-=x x e *,***εε+≤≤-x x x . **ε±=x x x x x x e -=******* x x x x e e r -= =. ** * x r εε =
《数值分析》教案5
1.6.4 分段三次Hermite 插值 为了利用多项式插值方法而又克服高次插值多项式的缺陷，便引入了分段插值的概念。它的基本思想是把函数整个区间上分成许多段，每段都选用适当的低次插值多项式代替函数，整体上按一定的要求连接起来，构成一个分段的插值函数。 为此，把函数)(x f 的自变量x 在区间],[b a 上用)1(+n 个节点分割成n 段： b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 根据这些节点的取值 i x ，)(x f 在节点上的函数值i i y x f =)(和导数值 i i m x f =')(),,2,1,0(n i =，可以构造一个分段三次插值函数)(x H ，它满足 下述条件： ①i i y x H =)(,i i y x H '=')(),,2,1,0(n i =。 ② 在每个小区间],[1+i i x x ),,2,1,0(n i =上，都是一个三次多项式： 3 32210)(x a x a x a a x H i i i i i +++= 把这样构成的分段三次函数)(x H 称为分段三次Hermite 插值函数，它的 各小段均为三次多项式，而整体上具有一阶连续导数。 由式（1-34）可直接写出分段三次Hermite 插值函数的分段表达式 12 112 1112 1112 111)()(2121)(++++++++++++'??? ? ??---+'???? ??---+??? ? ??--???? ? ?--++???? ??--???? ??--+=i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i y x x x x x x y x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x x H 也可通过构造基函数给出分段三次Hermite 插值函数的表达式。参照分段线性插值与Hermite 插值基函数公式（1-31）和式（1-32），可得出分段三次
常州大学数值分析
4.(1)T=1/2(3+1)=2 S=1/6(3+8+1)=2 计算其准确的结果为2 与精确值比较，T的误差为0 S的误差为0 7（1）复合梯形公式T2n的matlab 实现： function I= trapezoid(fun,a,b,n) n=2*n; h=(b-a)/(n-1); x=a:h:b; f=feval(fun,x); I=h* (0.5*f(1)+sum(f(2:n-1))+ 0.5*f(n)); function trapezoid_and_sinpsom clc; format long syms x Iexact= int(x*exp(x^2),x,0,1); a=0; b=1; for n=2:1:4 t=trapezoid(@f,a,b,n) s=simpson(@f,a,b,n) err1=vpa(Iexact-t,5) err2=vpa(Iexact-s,5) end function y=f(x)y= x*exp(x^2); return 从而得出的结果： n=2 t=1.000576811286697 s=0.860997139578795 err1=-0.14144 err2=-0.0018562 n=3 t=0.923798756293777 s=0.859533825596209 err1=-0.064658 err2=-0.00039291 n=4 t=0.895892057505771 s=0.859268455239111 err1=-0.036751 err2=-0.00012754 13.function [Dc,err]=dfDc(f,x0,h) d0=1/x0; Dc=(f(x0+h)-f(x0-h))/(2*h); err=Dc-d0; return function [Sc,err]=dfSc(f,x0,h) d0=1/x0; Sc=4/3*dfDc(f,x0,h/2)... -1/3*dfDc(f,x0,h); err=Sc-d0; return function [Cc,err]=dfCc(f,x0,h) d0=1/x0; Cc=16/15*dfSc(f,x0,h/2)... -1/15*dfSc(f,x0,h); err=Cc-d0;return f=@(x)log(x); x0=2;h=0.1; [Dc,err]=dfDc(f,x0,h) [Sc,err]=dfSc(f,x0,h) [Cc,err]=dfCc(f,x0,h) Dc=0.500417292784913 err=4.172927849132035e-04 Sc=0.499999843400513 err= -1.565994868224507e-07 Cc=0.500000000017481 err=1.748101663423540e-11 14. 3.示位法的MATLAB实现：Function [c,k]=fapo(f,a,b,epsilon,max1) Use false position to find the toot of function Input:f=the function a,b=left and right brachets of root
计算机数值方法教案
第O 章 绪论 一、教学设计 1．教学内容：数值计算方法这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。数值计算中应注意的一些问题。 2．重点难点：算法设计及其表达法；误差的基本概念。数值计算中应注意的一些问题。 3．教学目标：了解数值计算方法的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。学会选用相对较好的数值计算方法。 4．教学方法：介绍与讨论 二、教学过程 §1。1引论 1．课程简介： 数学科学的一个分支，它研究数值计算方法的设计、分析和有关的理论基础与软件实现问题。另外，有一个较常用的名词“数值分析”，其包含的内容属于计算数学的一个部分。 2．历史沿革： ①数学最初导源于计算，计算曾经是古代数学的最重要的组成部分。 ②各个时期的大数学家，在发展基础数学的同时也都对计算方法作出了重要贡献。例如：牛顿、拉格朗日、高斯、秦九韶等。 ③直到20世纪40年代，由于技术手段和计算工具条件的不足，发展比较缓慢，作用也比较有限。 3．计算方法的形成： ①20世纪下半叶，计算机极大地扩展了数学的应用范围与能力。如：天气预报 ②计算能力的提高与所用计算方法的效能密切相关。 ③以原来分散在数学各分支的计算方法为基础的一门新的数学科学“计算数学”开始形成并迅速发展。 4．作用与意义： 科学实验、科学理论、科学计算已成为人类进行科学活动的三大方法。这是伽利略、牛顿以来在科学方法论方面取得的重大进展。 5．计算方法的任务： ①将计算机不能直接计算的运算，化成在计算机上可执行的运算。 例：!!212n x x x e n x ++++≈ ， h x y h x y x y )()()(-+≈' ②针对数值问题研究可在计算机上执行且行之有效的新系列计算公式。 例：解线性方程组，已有Cram 法则，但不可行。(几十万年) ③误差分析，即研究数值问题的性态和数值方法的稳定性。 6．计算机数值方法的研究对象：(与科学计算有关的数学问题是多种多样的，最基本类型有：) 利用计算机解决科学计算问题的全过程大致如下： 实际问题――＞构造数学模型――＞设计数值计算方法――＞程序设计――＞上机求 出结果――＞回到实际问题。 数学模型举例： 例1：鸡兔同笼：（共10只，34只脚）导致方程组； 例2：曲边梯形的面积。 相应地，本课程主要研究的数值问题有：函数的插值与逼近方 法；微分与积分计算方法；线性方程组与非线性方程组计算方 法；微分方程数值解等。 7．主要特点 既有纯数学的高度抽象性与严密科学性的特点，同时又具 有应用广泛性与数值试验的高度技术性。（要求先掌握基本数 学知识，以及计算机的基本操作）
数值分析每节课的教学重点、难点
计算方法教案新疆医科大学 数学教研室 张利萍
一、课程基本信息 1、课程英文名称：Numerical Analysis 2、课程类别：专业基础课程 3、课程学时：总学时54 4、学分：4 5、先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《Matlab 语言》 二、课程的目的与任务： 计算方法是信息管理与信息系统专业的重要理论基础课程，是现代数学的一个重要分支。其主要任务是介绍进行科学计算的理论方法，即在计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值计算和分析的理论和方法。通过本课程的学习，不仅使学生初步掌握数值分析的基本理论知识，而且使学生具备一定的科学计算的能力、分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程以及将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。 三、课程的基本要求： 1．掌握计算方法的常用的基本的数值计算方法 2．掌握计算方法的基本理论、分析方法和原理 3．能利用计算机解决科学和工程中的某些数值计算应用问题，增强学生综合运用知识的能力 4．了解科学计算的发展方向和应用前景 四、教学内容、要求及学时分配： (一) 理论教学： 引论（2学时） 第一讲（1-2节） 1．教学内容： 计算方法(数值分析)这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。数值计算中应注意的一些问题。 2．重点难点： 算法设计及其表达法；误差的基本概念。数值计算中应注意的一些问题。3．教学目标： 了解数值分析的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。学会选用相对较好的数值计算方法。
数值分析第一章绪论习题答案
第一章绪论 e In X* =In X * -Inx ：丄e* X* 进而有；(In X *): 2. 设X 的相对误差为2% ,求X n 的相对误差。 解：设f(χZ ,则函数的条件数为Cp=l fX+ n _1 X nχ I Xn n 又；r ((X*) n) C P 7(X *) 且 e r (χ*)为 2 .7((χ*)n ) 0.02 n 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 * * * * * 出它们是几位有效数字： X 1 =1.1021, χ2 =0.031, χ3 =385.6, χ4 = 56.430,x 5 = 7".0. . * 解：X I -1.1021是五位有效数字； X 2 = 0.031是二位有效数字； X 3 =385.6是四位有效数字； X 4 =56.430是五位有效数字； X 5 =7 1.0.是二位有效数字。 4. 利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限： (1) X 1 X 2 X 4,(2) X 1 X 2X 3 ,(3) X 2 /X 4 . 其中χl ,x 2,x 3,X 4均为第3题所给的数。 1设X 0, x 的相对误差为 解：近似值X*的相对误差为 、：，求InX 的误差。 e* X* -X 而InX 的误差为 又 f '(χ) =nx n 」 C P
解：
* 1 4 ；(x 1) 10 2 * 1 3 ;(x 2) 10 2 * 1 1 ；(x 3) 10 * 1 3 ；(x 4) 10 2 * 1 1 ；(x 5) 10 2 (1) ；(x ； x ； x *) * * * =；(%) ；(x 2) *x 4) 1 A 1 2 1 j3 10 10 10 2 2 2 -1.05 10J 3 * * * (2) S(X I X 2X 3) * * * * * * ** * =X1X 2 ￡(X 3)+ X 2X 3 ^(X J + X 1X 3 E (X 2) :0.215 ⑶；(x 2/x ；) * Il * * I * X 2 E(X 4) + X 4 &(X 2) 全 Γ"2 X 4 1-3 1 3 0.031 10 56.430 10 = ______________________ 2 56.430X56.430 -10 5 4 3 解：球体体积为V R 3 则何种函数的条件数为 1.1021 0.031 1 1θ' 2 + 0.031X385.6 x 1><10* 2 +∣ 1.1021 X 385.6 卜 -×1^3 5计算球体积要使相对误差限为 1 ,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? C P 愕'
南昌大学_数值分析试题
一、单项选择题（每小题3分，共15分）i 1. 和分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110l x = B ． () 00l x ＝0， ()111 l x = C ．() 00l x ＝1，()111 l x = D ． () 00l x ＝1， ()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组1231231 220 223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个 方程（ ）. A ． 232 x x -+= B ． 232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ．
230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数 ()()() 33301213,88C C C === ，那么() 3 3C = 4. 因为方程 ()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满 足 ，所以 ()0 f x =在区间内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公 式 . 填空题答案
数值计算方法教案数值积分(20200511215237)
计算方法课程中学习数值积分内容的心得和体会 计算方法又称 数值分析”。是为各种数学问题的数值解答研究提供最有效的算法。主要内容为函数逼 近论，数值微分，数值积分，误差分析等。常用方法有迭代法、差分法、插值法、有限元素法等。现代的 计算方法还要求适应电子计算机的特点。 数值分析即 计算方法”下面来谈谈学习了计算方法中学习数值积 分内容的心得与体会。 首先了解一下数值积分的内容: b c (1)针对定积分 I 二 f xdx ，若 f x =x 5 ,a=0,b=1，即有 I 二 L a *■ 0 f x = Sin -x , f x 二sinx 2 , ........ ，时，很难找到其原函数。 x (2)被积函数并没有具体的解析形式，即 f x 仅为一数表。 b 定积分I f x dx 的几何意义为，在平面坐标系中I 的值即为四条曲线所围图形的面 a 积，这四条曲线分别是y = f x ，y=0, x=a ，x=b b 二 a f x dx ： b -a f - 以及梯形公式I = [ f (x )dx 化七卫f (a )+ f (b )] 梯形公式的几何意义是，用以下梯形面积替代曲边梯形的面积: 1 6 1 5门 X x dx =— 6 1 J ，但当 0 6 其几何意义为用以下矩形面积替代曲边梯形面积 a b 2
再来是辛普森公式 l=J f (x )dx RZ Wl? ] f (a )+4f |兰辿〕十f (b ) 」a 6 「 I 2丿 J 辛普生公式的几何意义为，阴影部分的面积为抛物线曲边梯形，该抛物线由 (a, f (a) > 1卑卫,f '卑卫j ,(b, f (b))三点构成。 I 2 I 2丿丿 b n 从而到处其一般公式为 f x dx A k f x k ，其中x k 称为节点，A 称为求积系数，或 a k=0 权。 衡量一个积分公式的好坏，要用具体的函数来衡量，寻找怎样的函数来衡量呢？简单的 多项式函数是一个理想的标准。若某积分公式对于x k (k=0,1,|H,m )均能准确成立，但对于x m41 不能准确成立。则称该公式具有m 次代数精度。代数精度只是衡量积分公式好坏的1种标准。 f x dx “ b - a f 口的代数精度及几何意义 I 2丿 b b 【解】当f x =x 0=1时，公式左边 f x dx 1dx=b-a ，公式右边二b-a ，左= a a 右; a a+ b b 2 ***研究中矩形公式