(完整版)数值分析教案
§1 插值型数值求积公式
教学目的 1. 会求插值型数值求积公式及Gauss 型数值求积公式并会讨论它们的代数精度； 2. 理解复化梯形数值求积公式及复化Simpson 数值求积公式和余项的推导的基础上掌握它们； 3. 理解数值微分公式推导的基础上掌握一阶、二阶数值微分公式及余项； 4. 了解外推原理。
教学重点及难点 重点是插值型数值求积公式及Gauss 型数值求积公式的求解及它们代数精度的讨论；难点是Gauss 型数值求积公式节点的求解方法的推导及求解方法。
教学时数 12学时 教学过程
1．1一般求积公式及其代数精度
设)(x ρ是),(b a 上的权函数，)(x f 是],[b a 上具有一定光滑度的函数。用数值方逑下积分
?b
a
dx x f x )()(ρ
的最一般方法是用)(x f 在节点b x x x a n ≤<<≤≤Λ10上函数值的某种线性组合来近似
?∑=≈b
a
n
i i
i
x f A dx x f x 0
)()()(ρ
其中n i A i ,,0,Λ=是独立于函数)(x f 的常数，称为积分系数，而节点n i x i ,,1,0,Λ=称为求积节点。
我们也可将（1．2）写成带余项的形式
][)()()(0
f R x f A dx x f x b
a
n
i i
i
+=?∑=ρ
（1．2）和（1．3）都称之为数值求积公式或机械求积公式。更一般些的求积公式还可以包含函数)(x f 在某些点的低阶导数值。
在（1.3）中余项][x R 也称为求积公式的截断误差。
一个很自然的想法是数值求积公式要对低次多项式精确成立这就导出了求积公式数精度的概念。
定义1 若求积公式（1.2）对任意不高于m 次的代数多项式都精确成立，而对1
+m x 不能精
确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度。
一个求积公式的代数精度越高，就会对越多的代数多项式精确成立。 例1 确定求积公式
)]1()0(4)1([3
1
)(1
1
f f f dx x f ++-≈?-
的代数精度。
解 ???
??+=+--==+-?为偶数为奇数k k k k dx x I k k k ,1
2
,01)1(11
1
1 ;2)1141(31
,
1)(0I x f ==+?+= ;0)1041(31
,)(1I x x f ==+?+-=
;32
)101(31,)(22I x x f ==++=
;0)101(31
,)(33I x x f ==++-=
445
2
32)101(31,)(I x x f =≠=++=。
从而该求积公式的代数精度为3=m 。
对给定节点，,10b x x x a n ≤<<<≤Λ如何选择求积系数,,,0n A A Λ使求积公式代数精度尽可能高，对此可用插值型求积公式来实现。
1． 2 插值型求积公式
对给定求积节点,0b x x a n ≤<<≤Λ构造求积公式的一种简单方法是利用插值多项式的准许确积分来作为数值积分值。
设)(x L n 是)(x f 关于n x x x Λ,,10的Lagrange 插值多项式
∑==n
k k k n x l x f x L 0
)()()(
其中
∏
≠==--=n
k
l l l
k l
k n k x x x x x l 0.,,1,0,)(Λ
为Lagrange 基函数。取
?
?∑?==≈b
a
b
a
n
k b
a
k k n dx x l x x f dx x L x dx x f x 0
)()()()()()()(ρρρ
∑==n
i i
i
x f A 0
)(
其中
?==b
a
i i n i dx x l x A ,,1,0,)()(Λρ。
定义2 对给定互异求积节点b x x a n ≤<<≤Λ0，若求积系数n i A i ,,1,0,Λ=是由（1.4）
给出的，则称该求积公式是插值型的。
定理1 数值求积公式（1.2）或（1.3）是插值型的当且仅当它的代数精度n m ≥。 证明 假设求积公式（1.2）是插值型的，则
dx
x x x x x x n x f
x dx
x L x f x x f A dx x f x n b
a
n b
a
n i b
a
n
i i )())(()!
1())
(()
(])()()[()()()(10)
1(0
---+-=-?
??
∑+=Λξρρρ
上面我们假设了],[)()
1(b a C x f n +∈。从而当)(x f 为次数n ≤的代数多项时必精确成立，
故有
n m ≥。
假设n m ≥。注意到多项式),,0)((n k x l k Λ=的次数为n ，对)(x f =)(x l k 数值求积精确成立，从而
),,0()()()(0
n k A x l A dx x l
x k
b
a
n
i i k i k
Λ===?∑=ρ
即其求积系数由（1．4）给出。
推论1 对给定求积节点b x x x a n ≤<<<≤Λ10，代精度最高的求积公式是插值型求积公式。
例2 求插值型求积公式
)2
1()21(
)(101
1
f A f A dx x f +-≈?
- 并确定其代数精度。 解 21
)(,21)(,21,211010+=-==-=
x x l x x l x x 。 1)2
1
(,1)21(111110=+==+-=??--dx x A dx x A
从而求积公式为
?
-+-≈1
1
)2
1
()21(
)(f f dx x f 且1≥m 。
对?-=≠=+-=112
2
3
221)21()21(,)(dx x f f x x f
从而1=m 。
若我们利用Hermite 插值多项式的准确积分作为数值积分值，我们可以类似地建立带有函数在某些节点导数值的插值型求积分式。
推论2 若(1)
[,],(1.3)n f C
a b +∈是插值型求积公式，则有余项公式
(1)1(())[]()()(1)!
n b
n a
f x R f x x dx n ξρω++=+?
其中101()()()().n n x x x x x x x ω+=---L
1．3 Newton-Cotes 求积公式 在[a,b]上()1,,0,1,,i b a
x x a i i n n
ρ-≡=+=L 的插值型求积公式应用最方便、
最广泛，称之为Newton-Cotes 求积公式。
设,b a
h n
-=
令,x a th =+则求积系数为 0
0()
()()()i k
n b n k k a i n k t i
A l x dx h dx
k i b a C ≠=-==-=-∏??
其中
()00
1(1)(()),0,,(1.6)!()!i k
k
n n n k
i C
t i dt k n n k n k ≠=-=-=-∏?L 因此，Newton-Cotes 公式为
()0
()()()
(1.7)n
b
n k k a
k f x dx b a C f x =≈-∑?
其中 (),0,1,,,n k k b a
x a k
k n C n
-=+=L 由（1．6）给出。 求职系数()
n k C 独平于区间[a,b] 称之为Cotes 系数。Cotes 系数可以用（1．6）计算或查（见表4-1）给出。
n=1,2 的Newton-Cotes 求积是常用公式。n=1的公式称为梯形公式，其几何意义是用直
边梯形的面积1
()[()()]2
b a f a f b -+来近似曲边梯形面积()b a f x dx ?（图4-1）。即
表4-1
()
111221412666133138888716216749045154590192525252519528896144144962884199349941684035280105280258407513577132329892989132335777517172801728017280172801728017280172801728098958889288
28350
28350
283n k n C -10496454010496928588898950
28350
28350
28350
28350
28350
28350
--
()[()()]2
b
a
b a
f x dx f a f b -≈
+?
（1.8）
2n =的Newton-Cotes 公式称为Simpson 公式: ()[()4()()]62
b a
b a a b f x dx f a f f b -+≈++? （1.9）
Simpson 公式的几何意义是用以插值抛物线22()()(),0,1,2)i i y P x P x f x i ===为曲边的曲边梯形面积来近似()y f x =为曲边的曲边梯形面积（如图4—2），因此Simpson 求积公式也称为抛物线公式。
3,4n =的Newton —Cotes 公式分别为Simpson 3
8
法则（公式）和Cotes 公式。
1.4 Newton —Cotes 求积公式的余项
定理２ 若2
()[,]f x C a b ∈，则梯形公式(1.8)的余项为
3
1()[](),[,]12
b a R f f a b ξξ-''=-∈
(1.10)
证明 由插值型求积公式的余项得
1(())
[]()()2!
b
a
f x R f x a x b dx ξ''=--?
利用2()()()x x a x b ω=--在(,)a b 上不变的号，由积分中值定理得
13()[]()()2!
()(),12
b
a f R f x a x
b dx b a f a b ξξξ''=
----''=<
定理３ 若4
()[,]f x C a b ∈，则Simpson 公式(1.9)的余项为
5(4)
21[]()(),902
b a R f f a b ξξ--=
<< (1.11) 证明 由例１知Simpson 公式的代数的精度为3m =。令()H x 为()f x 的三次Hermite 插值多项式，满足插值条件：
()(),(
)(),22
()(),()()
22a b a b
H a f a H f a b a b H f H b f b ++==++''==
对多项式()H x ，Simpson 公式精确成立，即：
()[()4()()]62
[()4()()]
62
b
a
b a a b
H x dx H a H H b b a a b f a f f b -+=
++-+=++?
从而
2(4)2
[][()()](())()()()4!2
b
a b
a R f f x H x dx
f x a b x a x x b dx ξ=-+=---??
利用2
()()()()[,]2
a b x x a x x b a b ω+=---在上小于等于零，由积分中值定理给出
(4)2
25(4)()[]()()()4!21()(),902
b a
f a b R f x a x x b b a f a b ξξξ+=-----=<
(1)12(2)
1()()(1)![]()()()(2)!
2n b
n a n b n a f x dx n R f f a b x x dx n ξωξω++++??+?
=?+?-?+???
（1．2）
其中101()()()(),(,)n n x x x x x x x a b ωξ+=---∈L 。
例3 用1n =、2、3、4、5 相应的Newton —Cotes 公式计算积分
1
0sin x dx x ?
解 1n =、2、3、4、5相应Newton —Cotes 公式所得积分近似值见表4-2
表4-2
积分的准确值是0.9460830。容易发现2n =的结果比1n =有显著改进，但32n n ==与相比较没有实质性的进展。对充分光滑的被积函数，为了既保证精度又节约时间，应尽量选用n 是偶数的情形。
1.5 Newton —Cotes 公式的数值稳定性和收敛性
求积分式（1.2）的数值稳定性是指()k f x 的误差对数值积分结果的影响。若影响很大，就称该数值求积公式不稳定。
设()k f x 的近似值(),,0,,k k k k f f x k n εεε=+≤=L 。由近似值,0,,k f k n =L 所得数值积分值为
,()n
n n
k
k k k k k
k k k A f
A f x A ε====+∑∑∑
（n 为奇数）
（n 为偶数）
其误差为0n
k
k
k E A ε
==
∑
||0
||max ||||
(1.13)k n
n
nax k k k k k E A A ωεε≤
====∑∑
一般求积公式对()1f x ≡准确成立。因此有
max 0
||||()n
b
k a
k E A x dx εερ=≥∑?
对Newton-Cotes 公式来说，
()0
1,n
n k
k C
==∑ 从而
()max 0
||()||()n
n k k E b a C b a εε==-≥-∑
当7n ≤时，()
0,||()n k C E b a ε>≤-是数值稳定的。当8n ≥时，(),0,1,,n k C k n =L 有正
有负，而且有
()0
lim ||n
n k n k C →∞
==+∞∑
从而高阶Newton-Cotes 公式是数值不稳定的。
我们可以证明，存在[],a b 上的连续函数()f x ，对Newton-Cotes 公式来说，不成立
[]lim 0n n R f →∞
=。即Newton-Cotes 公式当时n →∞，对连续函数的数值积分不能保证收敛。
基于上述稳定性、收敛性原因，在职实际计算中，很少采用高阶Newton-Cotes 求积人以式，而是采用Gauss 型求积公式或复化求积公式来提高数值积分的精度。
§2 Gauss 型求积公式
2．1最高代数精度求积公式
由推论1知，插值型求积公式的代数精度完全由求积节点的分布所决定。节点数目固定后，节点分布不同，所达到的确良代数精度也不同。
例4 求节点01,x x 使插值型求积公式
11
0011()()()f x dx A f x A f x -≈+?
（2.1）
具有尽可能高的代数精度。
解 首先有
1
11
010110
1
00
1110
102,
2x x x A dx x x x x x x x A dx x x x x ---==---==
--?
?
由于是插值型的，其代数精度1m ≥。令2
()f x x =，有
1
1
2
23
x dx -=
?
，及 2
20011102A x A x x x +=-
故只要有011/3x x =-，就有1m ≥。进一步取3
()f x x =，有
1
33
300110101011
2
0,2()()3
x dx A x A x x x x x x x -=+=-+=
+?
及 0101130
x x x x -?
=
??
?+=? 就有3m ≥
。上述方程的解为01x x ==，对应的求积公式为
1
1
()(
33
f x dx f f -≈+?
对于52
923333,)(11
44
?-=≠=???
? ??+???? ??-=dx x f f x x f 。因此二个节点的求积公式，代数精度最高为3=m 。
对于任意求积节点b x x x a n ≤<<<≤Λ10，任意求积系数，求积公式
?∑=≈b
a
n
k k k
x f A
dx x f x 0
)()()(ρ
的代数精度m 必小于22+n 。这是因为对于
210)]())([()(n x x x x x x x f ---=Λ
有 ?>b
a
dx x f x 0)()(ρ
而
∑==n
k k k
x f A
0)(
)(x f 是22+n 次代数多项式，从而22+ 最高能达到的代数精度了。下面我们利用正交多项式的根来构造代数精度能达到最高的求积 公式。 引理1 若b x x x a n <<<<<Λ10是],[b a 上关于权函数)(x ρ的1+n 次正交多项式 )(1x P n +的根，则插值型求积公式 ?∑=≈b a n k k k x f A dx x f x 0 )()()(ρ 具有代数精度12+=n m 。 证明 设)(x f 为任一次数12+≤n 的代数多项式，则有 )()()()(1x r x q x P x f n +=+ 其是)(x q 和)(x r 为次数n ≤的多项式。于是 ? ??+=+b a b a b a n dx x r x dx x q x P x dx x f x )()()()()()()(1ρρρ ?+ =+b a n dx x r x q P )()(),(1ρ 其中),(1q P n +表示)(1x P n +与)(x q 在],[b a 上带权)(x ρ的内积，由于)(1x P n +是1+n 次正交多项式，)(x q 次数小于等于n ，它们的内积为0，而)(x r 次数不高于n 。对于插值型求积公式（2.2）有 ?∑∑====b a n k n k k k k k x f A x r A dx x r x 0 )()()()(ρ 从而 ?∑==b a n k k k x f A dx x f x 0 )()()(ρ 对所有次数12+≤n 的代数多项式)(x f 成立. 定义3 1+n 个节点的求积公式(2.2)称为Gauss 型求积公式,若其代数精度达12+=n m ,即达最高.并称其节点Gauss 点. 2.2Gauss 点与正交多项式的联系 利用正交多项式零点作插值型求积公式,可使其代数精度达到最高.下面我们给出Gauss 点与正交多项式零点的联系. 定理4 求积公式(2.2)是Gauss 型的,当且仅当Gauss 点b x x x a n <<<<<Λ10是],[b a 上关于权)(x ρ的1+n 次正交多项式的根. 证明 充分性即引理1的结论.下证必要性.置)())(()(101n n x x x x x x x ---=+Λω.任取次数n ≤ 的多项式)(x q 有 ∑?=++==n k k k n k b a n x q x A dx x q x x 0 11 0)()()()()(ωω ρ 用内积术语来描述,即0),(1=+q n ω对一切次数不高于n 的代数多项式q 成立,从而)(1x n +ω是],[b a 上关于权)(x ρ的1+n 次正交多项式. Gauss 点n k x k ,,1,0,Λ=是1+n 次正交多项式)(1x n +ω的根. 2.3Gauss 求积公式的余项 定理5 若],[)() 22(b a C x f n +∈,则Gauss 求积公式(2.2)的余项为 ?+=++b a n n x n f f R )()!22()(][)22(1ρξ ),(, )]())([(2 10b a dx x x x x x x n ∈---?ξΛ (2.3) 证明 取)(x f 的Hermite 插值多项式)(12x H n +，满足插值条件 .,,1,0),()(),()(12 12n k x f x H x f x H k k n k k n Λ='='=++ 由 ∑∑?==+==n k k k n k k k n b a x f A x H A dx x H x 0 1 2)()()()(ρ得 得 dx x x x x x x n f dx x H x f x f R b a n n b a n n ? ?---+=-=+++210)22(121)]())([()! 22() ()]()()[(][Λξρ 利用,0)]())([(2 10≥---n x x x x x x Λ由积分中值定理即得式（2．3）。 2．4 Gauss 求积公式的数值稳定性和收敛性 设n k x l k ,,1,0),(Λ=为Lagrange 基函数。0)(2 ≥x l k 为n 2次代数理化多项式。于是 n k A x l A dx x l x k b a n i i k i k ,,1,0,)()()(00 22 Λ=-= 由 ??∑===b a b a k n k k dx x A A )(||0 ρ 知Gauss 型求积公式是数值稳定的。 设],[b a 上关于权)(x ρ的1+n 次正交多项式根为b x x x a n n n n <<<<<+++) 1()1(1)1(0 Λ，对应的Gauss 求积公式为 ][)()()(10 ) 1()1(f G x f A dx x f x n b a n k n k n k +=++≡≈? ∑ρ 引理2 对于有限闭区间],[b a 上的任何连续函数)(x f 有 dx x f x f G b a n n )()(][lim 1?=+∞ →ρ 证明 ],[b a 上的连续函数)(x f 可以用代数多基式一致逼近。 对任意给定的,0>ε存在某个多项式)(x q m ，有 ?< -≤≤b a m b x a dx x x q x f )(2|)()(|max ρε 当2 m n ≥ 时，有 ∑?=++=n k n k m n k b a m x q A dx x q x 0) 1()1()()()(ρ 从而 ?∑=++=b a n k n k n k x f A dx x f x |)()()(|0 ) 1()1(ρ |)()]()([)(|)1(0 )1(+=+∑?--=n k n k n k m b a x f A dx x q x f x ρ|)]()1(+-n k m x q ∑???=+=+ ≤ n k n k b a b a b a A dt t dx dt t x 0 ) 1()(2))(2 )((ερε ρε ρ上面应用了 ?≤ -++b a n k m n k dt t x q x f )(2|)]()(|) 1() 1(ρε 及 ∑?=+=n k b a n k dt t A 0 )1()(ρ 由0>ε的任意性得（2．1）。证毕。 定理 6 Gauss 型求积公式是数值稳定的；且对（有限闭区间上的）连续函数，Gauss 求积的数值随节点数目的增加而收敛到准确积公值。 Gauss 型求积公式有很多优点，但对一般的权函数)(x ρ，Gauss 节点不容易求。Gauss 求积系数多为无理数，因此不如Newton- Cotes 求积公式的等距节点和Cotes 系数。当函数 )(x f 赋值计算量大或计算的积公多，这时Gauss 型求积公式常被优先选取。 2．5 几个常用的Gauss 型求积公式 常用Gauss 型求积公式有Gauss-Laguerre 求积公式和Gauss-Laguerre 求积公式等。 Gauss-Laguerre 求积公式： [-1，1]上关于权1)(≡x ρ的Gauss 型求积公式对应的Gauss 点和求积系数列在表4-3中 表4-3 对于一般区间[]b a ,上带权1)(≡x ρ的Gauss 权型求积公式，可通过变量变换，由Gauss-Legendre 求积公式得到： ?? -++---++dt a b b a f a b dx x f t a b b a b a )22(2)(112 2 ∑=≈n k k x Akf 0 ) ( n k A b A n k k ,,1,0,22) 1(Λ=-= + n k t a b b a x n k k ,,1,0,22) 1(Λ=-++=+ . ,,1,0,,)1() 1(点及求积系数求积公式的为Gauss Legendre Gauss n k A t n k n k -=++Λ 例5 用二点、三点Gauss 型求积公式计算 dx x x I ?=sin 10 解 令dt t t I t x 2 121) 221sin(21,212111 ++=+=?- 用二节点、三节点计算结果列在表4-4中。 表4-4 946083133 .03 946041136.02积分近似值节点数 与Newton-Cotes 公式相比较，近似值要精确得多。 Gauss-Chebyshev 求积公式： []求积公式节点型求积公式的上关于函数Chebyshev Gauss n Gauss x x x -<<--=-)11(1/ 1)(1,12ρ )21 2(cos 1)(1 2 1 1 ππ ∑? =--≈ -n k n k f n dx x x f Gauss-Laguerre 求积公式： []. 54.)(,0-=∞-点和求积系数列在表对应的公式的上关于权函数Gauss Gauss e x x ρ Gauss-Hermite 求积公式： ),(∞-∞上关于权函数2 )(x e x -=ρ的Gauss 型求积公式。对应的Gauss 点和求积系数列在表4-6中。 §3 复化数值求积公式 3.1 复化数值求积法 无论用Newton －Cotes 求积公式或Causs 型求积公式，提高数值积分精度的一个途径是增加求积节点数目。当n 增大时，Newton －Cotes 公式的数值稳定性变差，也不能保证能提高精度而Causs 型救只公式的Causs 点、求积系数通常是无理数，查找、计算都不方便。当 )(x f 的赋值不太复杂时，提高数值积分精度的另一个途径是利用复化求积公式。 复化求积公式的帮派则是把求积区间],[b a 进行等距细分： n i n a b i a x i ,,1,0,Λ=-+= 在每个小区间],[1xi x i -上用相同的“基本”求积公式计算出 ? -xu xi x f 1 )(的近似值n i S i ,,2,1,Λ=。并取 ? ++≈b a n S S S dx x f Λ21)( 当权函数1)(≠x ρ时，不易构造复化求积公式。下面讲座一些常用复化求积公式。 3.2 复化梯形公式 记,n a b h -= 在],[1xi x i -上采用梯形公式 ?-+≈-xi x i i i x f x f h dx x f 1 1)]()([2 )( 得 n n i i b a n i n i i x x x T b f x f a f h x f x f h dx x f dx x f i i ?? ?? ???++=+≈=∑? ∑∑? -===--1 11 11)(21)()(21)] ()([2 )()(1 即复化梯形求积公式为 ? ∑??? ???+-++-=≈-=b a n i n b f n a b i a f a f n a b T dx x f 1 1)(21)()(21)( （3.1） 设],,[)(2 b a C x f ∈由 i i i i x x i i x x f h x f x f h dx x f i i <<''-=+=--? -ξξ13 1),(12 )] ()([2 )(1 得 )(12 )(1 3 i b a n i n f h T dx x f ξ? ∑=''-= - 定理7 若],[)(2 b a C x f ∈，则复化梯形公式的余项为 b a f h a b T dx x f b a n <<''--=-? ξξ),(12 )()(2 （3.2） 及渐近估计式 0)),()((12 1 )(2 →'-'→ -? h b f a f h T xdx x f b a n （3.3） 当区间细分节点加密一倍时，得 ? ?? ???-+++-=∑-=1 212)2()(21)(212n i n n a b i a f b f a f n a b T )(2 1 n n H T += 其中 ∑=--+-=n i n a b i a f n a b Hn 1))21(( 为复化中矩求积公式. 3.3复化Simpson 公式 在每个小区间],[1i i x x -上采用Simpson 公式,得复化Simpson 求积公式 ? ∑-=-++=≈b a n k k n x f b f a f h S dx x f ])(2)()([6)(1 1 1 ∑-- +n k k x f 1 2 1 )(4 (3.4) 利用复化梯形公式n T 和复化中矩公式n H 有 )4(3 1 32312n n n n n T T H T S -=+= 其中.)21(,,2 1h k a x kh a x n a b h k k -+=+=-= - 对应于复化Simpson 公式有如下余项定理. 定理8 当],[)(1 b a C x f ∈时,复化Simpson 公式的余项有表达式 ? <<--= -b a n b a f h a b S dx x f ξξ),(2880 )()() 4(4 (3.5) 及渐近估计式 0)),()((2880 1 )()3()3(4 →-→ -? h b f a f h S dx x f b a n (3.6) 类似地我们可以建立复化Cotes 公式,复化Causs-Legendre 求积公式等,同时给出相应的余项估计. 例7 利用9点函数值,用复化梯形公式和复化Simpson 公式计算 ?1 0sin dx x x 解 ,8,1,0,8/Λ==i i xi 经计算得 T8=0.9456909, S4=0.9460832, C2=0.9460829 三种方法所用函数值个数一样多,与积分准确值0.9460831…相比较,复化Simpson 公式的结果与复化梯形公式的结果相比,复化Simpson 公式的结果要准确得多.故在实际使用中,复化Simpson 公式应用较广泛. 3.4复化求积公式的收敛阶 对],[b a 上的任何连续函数)(x f ,.都有 ?=∞ →b a n n dx x f T )(lim 但对代数多项式2 )(x x f = ? =≠-b a n n T dx x f Λ,2,1,0)( 因此复化求积公式不能用代数精度来决定其优劣.对复化求积公式我们用收敛阶来刻划其收敛性. 定义4 设n I 是将n b a ],[等分,n a b h -= ,用某一基本求积公式生成的复化求积公式,我们称该复化求积公式具有收敛阶ρ，若对充分光滑的被积函数)(x f ，有 ),|(|)(→∞<→-? h C C h I dx x f p p p b a n （3.7） 其中P C 独立于n ,依赖于)(x f . 根据定义,复化梯形公式的收敛阶是2(当)(')('b f a f =时收敛阶大于2);复化Simpson 公式的收敛阶是4(当)()(b f a f '''='''时大于4);复化m 节点Causs-Legendre 求积公式的收敛阶为m 2. 收敛阶越高,当区间划分加密时,积分近似值就越精确. §4 外推方法 在用复化梯形求积公式时,记n T 为)(h T ,其中n a b h -= .利用定积分定义有 )0()()(lim 0T dx x f h T b a h ? →==?+ 在数值计算中,经常会遇到类似情况:精确值)0(f 是所要求的,但不能用有限计算量算出来,而对某些0>h ,)(h f 却可以很方便地计算出来.如何从已知的0,,,2,1),(>=i i h n i h f Λ推出 )0(f 的近似值,为些介绍数值计算中的重要方法;外推方法. 4.1外推原理 定理9 若)(h f 逼近)0(f 有下述余项展开 )()0()(12211++++++=pn pn n p p h O h h h f h f αααΛ (4.1) 其中n i p p p i n ,,2,1,0,0121ΛΛ=≠<<<<+α,设11,,+n h h Λ为相近的互异正数,则)0(f 可用 ∑+==1 1 )(~n k k k h f f λ (4.2) 来近似，其中n λλλ,,,21Λ满足 n j h h h j j j p n n p p n ,,2,101122111 21ΛΛΛ==+++++++++λλλλλλ （4.3） 而且),,max(),(~ )0(1211 +==-+n p h h h h h O f f n Λ. 对于1,,2,1,1≠==+q i qh h i i Λ的情况,我们有： 定理10 若)(h f 逼近)0(f 的余项能写成渐近形式 ∑≥<<<=-1 21,0,)0()(k pk k p p h a f h f Λ （4.4） Λ,2,1,0=≠k a k 及k p 是独立于h 的常数，则由 ?? ???=-?-==+Λ2,1]1/[])()([)()()(11m q q h f qh f h f h f h f m m p p m m m （4.5） 定义的序列)}({h f m 随m 增大以更快的速度收敛于)0(f ： ∑≥++=-0 ) ()0()(k p m k m m k m h f h f α （4.6） 其中 1,11,) ()1()1(+≥?? ???--=≥=+m i q q q i m m i p p p m i m i i i αααα （4.7） 定理10也称Richardson 外推法。 4．2复化梯形公式余项的渐近展开 利用Euler-Maclaurin 求和公式，可以证明复化梯形公式的余项具有渐近展开。 定理11 若],,[)() 22(b a C x f m +∈则有 12)12()12(1 2])([)! 2()()(+--==-=-? ∑ m l l l b a m l l r h f a f l B h T dx x f (4.8) 其中Λ,42 1 ,31,61642=-==B B B 为Bernoulli 数，而 b a h a b f m B r m m m m <<-+- =++++ξξ,))(()! 22(22)22(2 21 （4.9） 若记 m l b f a f l B C l l l l ,2,1)],()([)! 2()12()12(2Λ=-= -- 从而可用Richardson 外推法提高精度。 4．3 Romberg 算法 在复化梯形公式中，选取.,2,1,2/,10Λ==-=-i h h a b h i i 记.,1,0)(,0,Λ==k T h T k k 注意到,2 1,,2,1,2= ==q l l p l Λ得 ],4[1 41,1--= k i k k k i T T （4.10） 计算顺序如表4-7所示。 表4-7 Romberg 算法： 1．输入外推次数0k （一般取为3），控制精度)0(>ε； 2．置,:,1:,1:a b h jj i -===计算)]()([2 0b f a f h T += ，取0:T T =； 3．计算])21(([21 ~1 00∑=-++=jj j h j a f h T T ； 4．对i k ,,2,1Λ=进行外推计算 )14/()~ 4(~11--=--k k k k k T T T ； 5．若ε<-T T i ~，输出数值积分值i T ~ ，停机； 6．置jj jj jj h h +==,2/:， ,,,1,0~:i k T T k k Λ== ;:),1,m in(:0i T T i k i =+= 7．转3。 在Romberg 算法中，第一列对应于复化梯形序列，第二列对应于复化Simpson 序列，第三列对应于Cotes 序列，第四列称为Romberg 序列。在实际使用中常常只计算到第4段列（即取30=k ），更高的列较少用。Romberg 算法中止准则，一般取同列或同行相邻两高值的的误差绝以值小于事先给定的精度要求。 Romberg 算法是数值稳定的，且对任意连续函数，都能保证数值积分收敛到准确值。Romberg 算法程序简单，当)(x f 函数值不太复杂时，Romberg 算法是常用的实用方法。 §5 自适应求积方法 5．1自适应计算问题 若要计算 ? b a dx x f )(要求误差不超过ε，我们可以用Newton-Cotes 公式，Gauss 型求积 公式，复化求积公式,Romberg 算法等来实现。当)(x f 充分光滑时，利用余项公式可以确定 n 或区间等公数。这儿有些不足之外，首先高阶导数不易估计，即使给出了估计，估计式也 把误差放大到一个误差限；其次上述求积公方法全是把被积函数在整个区间上作整体处理的。函数)(x f 在],[b a 上性质可能差异很大。例如在不等长分划b x x x a n =<<<=Λ10下，若每个小区间],[1i i x x -上用Simpson 公式求积，有 北京大学2014--2015学年第一学期 研究生期末考试试题A (闭卷考试) 课程名称：数值分析 注：计算题取小数点后四位 一、填空题(每空3分，共24分) (1) 设1 2A ?-=-?? ，则A 的奇异值为 。 (2) 设0.00013753x =为真值0.00013759T x =的近似值，则x 有 位有效数字。 (3) 设数据123,,x x x 的绝对误差为0.002，那么123x x x -+的绝对误差约为 ____ _。 (4) )x (l ,),x (l ),x (l n 10是以01,, ,,(2)n x x x n ≥为节点的拉格朗日插值基函数， 则 20 (2)()n k k k x l x =+=∑ 。 (5) 插值型求积公式 2 2 =≈∑? ()()n k k k x f x dx A f x 的求积系数之和0 n k k A ==∑ 。 其中2x 为权函数，1≥n 。 （6）已知(3,4),(0,1)T T x y ==，求Householder 阵H 使Hx ky =，其中k R ∈。 H= 。 (7) 数值求积公式 1 1 2()((0)3f x dx f f f -?? ≈ ++???? ? 的代数精度为___。 (8) 下面Matlab 程序所求解的数学问题是 。 （输入向量x , 输出S ） x =input('输入x ：x ='); n=length(x ); S=x (1); for i=2:n if x (i) 大作业 三 1. 给定初值 0x 及容许误差 ，编制牛顿法解方程f (x )=0的通用 程序. 解：Matlab 程序如下： 函数m 文件：fu.m function Fu=fu(x) Fu=x^3/3-x; end 函数m 文件：dfu.m function Fu=dfu(x) Fu=x^2-1; end 用Newton 法求根的通用程序Newton.m clear; x0=input('请输入初值x0:'); ep=input('请输入容许误差:'); flag=1; while flag==1 x1=x0-fu(x0)/dfu(x0); if abs(x1-x0) while flag1==1 && m<=10^3 x1=x0-fu(x0)/dfu(x0); if abs(x1-x0) 第一章绪论 误差的基本概念：了解误差的来源，理解绝对误差、相对误差和有效数的概念，熟练掌握数据误差对函数值影响的估计式。 机器数系：了解数的浮点表示法和机器数系的运算规则。 数值稳定性：理解算法数值稳定性的概念，掌握分析简单算例数值稳定性的方法，了解病态问题的定义，学习使用秦九韶算法。 第二章非线性方程解法 简单迭代法：熟练掌握迭代格式、几何表示以及收敛定理的内容，理解迭代格式收敛的定义、局部收敛的定义和局部收敛定理的内容。 牛顿迭代法：熟练掌握Newton迭代格式及其应用，掌握局部收敛性的证明和大范围收敛定理的内容，了解Newton法的变形和重根的处理方法。 第三章线性方程组数值解法 （1）Guass消去法：会应用高斯消去法和列主元Guass消去法求解线性方程组，掌握求解三对角方程组的追赶法。 （2）方程组的性态及条件数：理解向量范数和矩阵范数的定义、性质，会计算三种常用范数，掌握谱半径与2- 范数的关系，会计算条件数，掌握实用误差分析法。 （3）迭代法：熟练掌握Jacobi迭代法、Guass-Seidel迭代法及SOR方法，能够判断迭代格式的收敛性。 （4）幂法：掌握求矩阵按模最大和按模最小特征值的幂法。 第四章插值与逼近 （1）Lagrange插值：熟练掌握插值条件、Lagrange插值多项式的表达形式和插值余项。（2）Newton插值：理解差商的定义、性质，会应用差商表计算差商，熟练掌握Newton插值多项式的表达形式，了解Newton型插值余项的表达式。 （3）Hermite插值：掌握Newton型Hermite插值多项式的求法。 （4）高次插值的缺点和分段低次插值：了解高次插值的缺点和Runge现象，掌握分段线性插值的表达形式及误差分析过程。 （5）三次样条插值：理解三次样条插值的求解思路，会计算第一、二类边界条件下的三次样条插值函数，了解收敛定理的内容。 （6）最佳一致逼近：掌握赋范线性空间的定义和连续函数的范数，理解最佳一致逼近多项式的概念和特征定理，掌握最佳一致逼近多项式的求法。 （7）最佳平方逼近：理解内积空间的概念，掌握求离散数据的最佳平方逼近的方法，会求超定方程组的最小二乘解，掌握连续函数的最佳平方逼近的求法。 数值分析作业答案 插值法 1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。 （1）用单项式基底。 （2）用Lagrange插值基底。 （3）用Newton基底。 证明三种方法得到的多项式是相同的。 解：（1）用单项式基底 设多项式为: ， 所以： 所以f(x)的二次插值多项式为： （2）用Lagrange插值基底 Lagrange插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： (3) 用Newton基底: 均差表如下： xk f(xk) 一阶均差二阶均差 1 0 -1 -3 3/2 2 4 7/ 3 5/6 Newton插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。 6、在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h应取多少？ 解：以xi-1,xi,xi+1为插值节点多项式的截断误差，则有 式中 令得 插值点个数 是奇数，故实际可采用的函数值表步长 8、，求及。 解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系： 所以有： 15、证明两点三次Hermite插值余项是 并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。 证明：利用[xk，xk+1]上两点三次Hermite插值条件 知有二重零点xk和k+1。设 确定函数k(x): 当或xk+1时k(x)取任何有限值均可； 当时，，构造关于变量t的函数 显然有 在[xk,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle定理，存在及使得 在，，上对使用Rolle定理，存在，和使得 再依次对和使用Rolle定理，知至少存在使得 而，将代入，得到 推导过程表明依赖于及x 综合以上过程有： 确定误差限： 记为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。在区间[xk，xk+1]上有 而最值 进而得误差估计： 16、求一个次数不高于4次的多项式，使它满足，，。 数值分析教案土建学院 工程力学系 2014年2月 一、课程基本信息 1、课程英文名称：Numerical Analysis 1 2、课程类别：专业基础课程 3、课程学时：总学时32 4、学分：2 5、先修课程：《高等数学》、《线性代数》、《C 语言》 6、适用专业：工程力学 二、课程的目的与任务： 数值分析是工程力学专业的重要理论基础课程，是现代数学的一个重要分支。其主要任务是介绍进行科学计算的理论方法，即在计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值计算和分析的理论和方法。通过本课程的学习，不仅使学生初步掌握数值分析的基本理论知识，而且使学生具备一定的科学计算的能力、分析问题和解决问题的能力，为学习后继课程以及将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。 三、课程的基本要求： 1．掌握数值分析的常用的基本的数值计算方法 2．掌握数值分析的基本理论、分析方法和原理 3．能利用计算机解决科学和工程中的某些数值计算应用问题，增强学生综合运用知识的能力 4．了解科学计算的发展方向和应用前景 四、教学内容、要求及学时分配： (一) 理论教学： 引论（2学时） 第一讲（1-2节） 1．教学内容： 数值分析(计算方法)这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点；算法的有关概念及要求；误差的来源、意义、及其有关概念。数值计算中应注意的一些问题。 2．重点难点： 算法设计及其表达法；误差的基本概念。数值计算中应注意的一些问题。3．教学目标： 了解数值分析的基本概念；掌握误差的基本概念：误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字；理解有效数字与误差的关系。学会选用相对较好的数值计算方法。 2 A 算法 B误差 典型例题 大作业 三 1. 给定初值 0x 及容许误差 ，编制牛顿法解方程f (x )=0的通用程序. 解：Matlab 程序如下： 函数m 文件：fu.m function Fu=fu(x) Fu=x^3/3-x; end 函数m 文件：dfu.m function Fu=dfu(x) Fu=x^2-1; end 用Newton 法求根的通用程序Newton.m clear; x0=input('请输入初值x0:'); ep=input('请输入容许误差:'); flag=1; while flag==1 x1=x0-fu(x0)/dfu(x0); if abs(x1-x0) while flag==1 sigma=k*eps; x0=sigma; k=k+1; m=0; flag1=1; while flag1==1 && m<=10^3 x1=x0-fu(x0)/dfu(x0); if abs(x1-x0) end end fprintf('最大的sigma 值为：%f\n',sigma); 2．求下列方程的非零根 5130.6651()ln 05130.665114000.0918 x x f x x +?? =-= ?-???解： Matlab 程序为： （1）主程序 clear clc format long x0=765; N=100; errorlim=10^(-5); x=x0-f(x0)/subs(df(),x0); n=1; 数值计算方法第一次作业及参考答案 1. 已测得函数()y f x =的三对数据：（0，1），（－1，5），（2，－1）， （1）用Lagrange 插值求二次插值多项式。（2）构造差商表。（3）用Newton 插值求二次插值多项式。 解：(1)Lagrange 插值基函数为 0(1)(2)1 ()(1)(2)(01)(02)2 x x l x x x +-= =-+-+- 同理 1211 ()(2),()(1)36 l x x x l x x x = -=+ 故 2 20 2151 ()()(1)(2)(2)(1) 23631 i i i p x y l x x x x x x x x x =-==-+-+-++=-+∑ （2）令0120,1,2x x x ==-=，则一阶差商、二阶差商为 011215 5(1) [,]4, [,]20(1) 12 f x x f x x ---= =-= =----- 0124(2) [,,]102 f x x x ---= =- 实际演算中可列一张差商表： （3）用对角线上的数据写出插值多项式 2 2()1(4)(0)1*(0)(1)31P x x x x x x =+--+-+=-+ 2. 在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表，若用二次插值求x e 的近似值，要使 截断误差不超过6 10-，问使用函数表的步长h 应取多少 解： ()40000(), (),[4,4],,,, 1.x k x f x e f x e e x x h x x h x x th t ==≤∈--+=+≤考察点及 (3) 2000 4 43 4 3 () ()[(()]()[()] 3! (1)(1) (1)(1) 3!3! .(4,4). 6 f R x x x h x x x x h t t t e t h th t h e h e ξ ξ =----+ -+ ≤+??-= ≤∈- 则 4 36 ((1)(1) 100.006. t t t h - -+± << Q在点 得 3.求2 () f x x =在［a,b］上的分段线性插值函数() h I x，并估计误差。 解： 22 22 11 1 111 22 11 11 1 () () k k k k h k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x I x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++ + +++ ++ ++ + --- =+= --- ?-? -=+- - [] 2 11 22 11 ()()()[()] 11 ()() 44 h h k k k k k k k k R x f x I x x x x x x x x x x x x x h ++ ++ =-=-+- =--≤-= 4.已知单调连续函数() y f x =的如下数据 用插值法计算x约为多少时() 1. f x=（小数点后至少保留4位） 解：作辅助函数()()1, g x f x =-则问题转化为x为多少时，()0. g x=此时可作新 的关于() i g x的函数表。由() f x单调连续知() g x也单调连续，因此可对() g x的数值进行反插。的牛顿型插值多项式为 1()0.110.097345( 2.23)0.451565( 2.23)( 1.10) 0.255894( 2.23)( 1.10)(0.17) x g y y y y y y y - ==-+++++ -++- 目录 第一章非线性方程求根 (3) 1.1迭代法 (3) 1.2牛顿法 (4) 1.3弦截法 (5) 1.4二分法 (6) 第二章插值 (7) 2.1线性插值 (7) 2.2二次插值 (8) 2.3拉格朗日插值 (9) 2.4分段线性插值 (10) 2.5分段二次插值 (11) 第三章数值积分 (13) 3.1复化矩形积分法 (13) 3.2复化梯形积分法 (14) 3.3辛普森积分法 (15) 3.4变步长梯形积分法 (16) 第四章线性方程组数值法 (17) 4.1约当消去法 (17) 4.2高斯消去法 (18) 4.3三角分解法 (20) 4.4雅可比迭代法 (21) 4.5高斯—赛德尔迭代法 (23) 第五章常积分方程数值法 (25) 5.1显示欧拉公式法 (25) 5.2欧拉公式预测校正法 (26) 5.3改进欧拉公式法 (27) 5.4四阶龙格—库塔法 (28) 数值计算方法 第一章非线性方程求根 1.1迭代法 程序代码： Private Sub Command1_Click() x0 = Val(InputBox("请输入初始值x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = (Exp(2 * x0) - x0) / 5 If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求f(x)=e2x-6x=0在x=0.5附近的根（ep=10-10） 1.2牛顿法 程序代码： Private Sub Command1_Click() b = Val(InputBox("请输入被开方数x0")) ep = Val(InputBox(请输入误差限ep)) f = 0 While f = 0 X1 = x0 - (x0 ^ 2 - b) / (2 * b) If Abs(X1 - x0) < ep Then Print X1 f = 1 Else x0 = X1 End If Wend End Sub 例：求56的值。（ep=10-10） 华南理工大学研究生课程考试 《数值分析》试卷C （2015年1月9日） 1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚； 所有答案请按要求填写在本试卷上； 课程代码：S0003004； 4. 考试形式：闭卷； 5. 考生类别：硕士研究生； 本试卷共八大题，满分100分，考试时间为150分钟。 一、（12分）解答下列问题： 1）设近似值0x >，x 的相对误差为δ，试证明ln x 的绝对误差近似为δ。 2）利用秦九韶算法求多项式 542()681p x x x x x =-+-+ 在3x =时的值（须写出计算形式），并统计乘法次数。 （12分）解答下列问题： 1）设()235f x x =+，求[]0,1,2f 和[]0,1,2,3f 。 2）利用插值方法推导出恒等式： 33220,0[]j j i i x j i x i j =≠=-=-∑∏ 。 （1）设{}∞ =0)(k k x q 是区间[]1,0上带权1=ρ而最高次项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x q ，求1()q x 和2()q x 。 （2）求形如2y a bx =+的经验公式，使它与下列数据拟合： 四、（14分）对积分()10I f x dx = ?，试 （1）构造一个以012113,,424 x x x ===为节点的插值型求积公式； （2）指出所构造公式的代数精度； （3）用所得数值求积公式计算积分1 203x dx ?的精确值； （4）指出所得公式与一般的Newton-Cotes 型公式在形式上的重要区别。 （1）设?? ????=4321A ,计算1A 、()Cond A ∞和()A ρ。 （2）用列主元Gauss 消去法解方程组： 12312315410030.112x x x ????????????=????????????-?????? 六、（13分）对2阶线性方程组 11112212112222 a x a x b a x a x b +=??+=? （11220a a ≠ ） （1）证明求解此方程组的Jacobi 迭代与Gauss-Seidel 迭代同时收敛或同时发散； （2）当同时收敛时，试比较它们的收敛速度。 6.4.设??? ? ? ??=5010010a b b a A ，0det ≠A ，用a ，b 表示解线性方程组f Ax =的雅可比迭代与 高斯—塞德尔迭代收敛的充分必要条件。 解 雅可比迭代法的迭代矩阵 ? ??? ??? ? ??----=???? ? ??----????? ??=-050100100100000001010101 a b b a a b b a B J ， ?? ? ?? -=-1003||2ab B I J λλλ，10||3)(ab B J = ρ。 雅可比迭代法收敛的充分必要条件是3 100 || §1 插值型数值求积公式 教学目的 1. 会求插值型数值求积公式及Gauss 型数值求积公式并会讨论它们的代数精度； 2. 理解复化梯形数值求积公式及复化Simpson 数值求积公式和余项的推导的基础上掌握它们； 3. 理解数值微分公式推导的基础上掌握一阶、二阶数值微分公式及余项； 4. 了解外推原理。 教学重点及难点 重点是插值型数值求积公式及Gauss 型数值求积公式的求解及它们代数精度的讨论；难点是Gauss 型数值求积公式节点的求解方法的推导及求解方法。 教学时数 12学时 教学过程 1．1一般求积公式及其代数精度 设)(x ρ是),(b a 上的权函数，)(x f 是],[b a 上具有一定光滑度的函数。用数值方逑下积分 ?b a dx x f x )()(ρ 的最一般方法是用)(x f 在节点b x x x a n ≤<<≤≤Λ10上函数值的某种线性组合来近似 ?∑=≈b a n i i i x f A dx x f x 0 )()()(ρ 其中n i A i ,,0,Λ=是独立于函数)(x f 的常数，称为积分系数，而节点n i x i ,,1,0,Λ=称为求积节点。 我们也可将（1．2）写成带余项的形式 ][)()()(0 f R x f A dx x f x b a n i i i +=?∑=ρ （1．2）和（1．3）都称之为数值求积公式或机械求积公式。更一般些的求积公式还可以包含函数)(x f 在某些点的低阶导数值。 在（1.3）中余项][x R 也称为求积公式的截断误差。 一个很自然的想法是数值求积公式要对低次多项式精确成立这就导出了求积公式数精度的概念。 定义1 若求积公式（1.2）对任意不高于m 次的代数多项式都精确成立，而对1 +m x 不能精 确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度。 一个求积公式的代数精度越高，就会对越多的代数多项式精确成立。 例1 确定求积公式 )]1()0(4)1([3 1 )(1 1 f f f dx x f ++-≈?- 数值分析报大作业 班级：铁道2班 专业：道路与铁道工程 姓名：蔡敦锦 学号：13011260 一、序言 该数值分析大作业是通过C语言程序编程在Microsoft Visual C++ 6.0编程软件上运行实现的。本来是打算用Matlab软间来计算非线性方程的根的。学习Matlab也差不多有一个多月了，感觉自己编程做题应该没什么问题了；但是当自己真心的去编程、运行时才发现有很多错误，花了一天时间修改、调试程序都没能得到自己满意的结果。所以，我选择了自己比较熟悉的C程序语言来编程解决非线性的求值问题，由于本作业是为了比较几种方法求值问题的收敛速度和精度的差异，选择了一个相对常见的非线性函数来反映其差异，程序运行所得结果我个人比较满意。编写C语言，感觉比较上手，程序出现问题也能比较熟练的解决。最终就决定上交一份C程序语言编程的求值程序了！ 二、选题 本作业的目的是为了加深对非线性方程求根方法的二分法、简单迭代法、、牛顿迭代法弦截法等的构造过程的理解；能将各种方法的算法描述正确并且能够改编为程序并在计算机上实现程序的正确合理的运行，能得到自己满意的结果，并且能调试修改程序中可能出现的问题和程序功能的增减修改。本次程序是为了比较各种方法在求解同一非线性方程根时，在收敛情况上的差异。 为了达到上面的条件我选择自己比较熟悉的语言—C语言来编程，所选题目为计算方程f(x)=x3-2x-5=0在区间[2,3]内其最后两近似值的差的绝对值小于等于5 ?的根的几种方法的比较。 110- 本文将二分法、牛顿法、简单迭代法、弦截法及加速收敛法这五种方法在同一个程序中以函数调用的方式来实现，比较简洁明了，所得结果能很好的比较，便于分析；发现问题和得出结论。 1.7.2 三次样条插值的基本原理 三次样条插值也是一种分段插值方法，用分段的三次多项式构造成一个整体上具有函数、一阶和二阶导函数连续的函数，近似地替代已知函数)(x f ，“样条”一词源于过去绘图员使用的一种绘图工具样条，它是用于富于弹性、能弯曲的木条（或塑料）制成的软尺，把它弯折靠近所有的基点用画笔沿着样条就可以画出连续基点的光滑曲线。 假设已知函数)(x f 在区间],[b a 上的)1(+n 个节点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 及其对应的函数值 i i y x f =)(,),,2,1,0(n i =，即给出)1(+n 组样本点数据),(,),,(),,(1100n n y x y x y x ，可以构造一个定义在],[b a 上的函数)(x S ， 满足下述条件。 ① i i y x S =)(,),,2,1,0(n i = ② )(x S 在每个小区间],[1+i i x x )1,,2,1,0(-=n i 上，都是一个三次多项式： 3 32210)(x a x a x a a x S i i i i i +++= （1-42） ③ )(),(),(x S x S x S '''在],[b a 上连续。 可见，)(x S 是一个光滑的分段函数，这样的函数称为三次样条（Spline ）插值函数。 构造的函数)(x S 是由n 个小区间上的分段函数组成，根据条件②，每个小区间上构造出一个三次多项式，第 i 个小区间上的三次多项式为 332210)(x a x a x a a x S i i i i i +++=，共有n 个多项式，每个多项式有4个待定系数。要确定这n 个多项式，就需要确定 4 n 个系数 西北工业大学数值分析习题集 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设 028,Y =按递推公式 1n n Y Y -= ( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 211N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 5.1.设A 是对称矩阵且011≠a ，经过一步高斯消去法后，A 约化为 ?? ????21 110 A a a T 证明2A 是对称矩阵。 证明 由消元公式及A 的对称性，有 ,,,3,2,,)2(111 11111 )2(n j i a a a a a a a a a a ji i j ji j i ij ij ==-=- = 故2A 对称。 5.2.设n ij a A )(=是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A 约化为 ?? ????21 110 A a a T 其中1)2(2)(-=n ij a A 。证明： (1).A 的对角元素;,,2,1,0n i a ii => (2).2A 是对称正定矩阵。 证明 (1).因为A 对称正定，所以 n i e Ae a i i ii ,,2,1,0),( =>=， 其中T i e )0,,0,1,0,,0( =为第i 个单位向量。 (2).由A 的对称性及消元公式，有 ,,,3,2,,)2(111 11111 )2(n j i a a a a a a a a a a ji i j ji j i ij ij ==-=- = 故2A 也对称。 又由A L A a a T 121110=????? ?，其中 ??? ?????- =? ????? ? ?????????--=-111 1 11111 21101 1011n n I a a a a a a L ， 可见1L 非奇异，因而对任意0≠x ，由A 的正定性，有 ,0),(),(,011111>=≠x AL x L x AL L x x L T T T T 故T AL L 11正定。 由,000110211 111121111 1?? ? ?? ?=????????-??????=-A a I a a A a a AL L n T T T 而011>a ，故知2A 正定 授课题目: 第一章引论 §1数值分析的研究对象（1学时） 教学目标: 使学生了解数值分析的研究对象、作用与特点、数值算法 教学重点：数值分析的研究对象、作用与特点 教学难点: 数值分析的研究对象 教学过程: 一、数值分析的研究对象、作用 数值分析——也称计算数学，是数学科学的一个分支，主要研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现. 主要研究：算法设计，有数学模型给出数值计算方法；上机实现，根据计算方法编制算法程序并计算结果 二、数值分析的作用： 重点研究数学问题的数值方法及其理论。 作用领域广，形成许多交叉学科。 科学计算与理论研究和科学实验是三种科学手段 最重要作用——计算模型数值解 三、数值分析的特点 面向计算机，根据计算机特点提供有效算法。 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求。 要有好的计算复杂性——时间和空间复杂性。 要有数值实验。证明其有效性。 练习： 思考： 作业: 教学反思: 授课题目: §2 数值计算的误差（1学时） 教学目标: 使学生掌握误差、有效数字及其关系、误差估计 教学重点：误差、有效数字及其关系、误差估计 教学难点: 误差估计 教学过程: 误差来源与分类 截断误差 例如，可微函数f(x)的泰勒(Taylor)多项式 则数值方法的截断误差是 舍入误差 例如，用3.14159代替，产生的误差 ●由原始数据或机器中的十进制数转化为二进制数产生的初始误差。 ●在用计算机做数值计算时，受计算机字长的限制产生的误差。 误差与有效数字 定义1 设x为准确值，x*为x的一个近似值，称 为近似值的绝对误差，简称误差。 通常准确值x 是未知的，因此误差e *也是未知的。若能根据测量工具或计算情况估计出误差绝对值的一个上界，即 则ε*叫做近似值的误差限 也可表示成 把近似值的误差e *与准确值x 的比值 称为近似值x *的相对误差，记作 它的绝对值上界叫做相对误差限, 记作 , 定义2 若近似值x *的误差限是某一位的半个单位，该位到x *的第一位非零数字共有n 位，就说x * 有n 位有效数字. 其中 是0到9中的一个数字，m 为整数，且 定理1设近似数x *表示为 x x e -=*****ε≤-=x x e *,***εε+≤≤-x x x . **ε±=x x x x x x e -=******* x x x x e e r -= =. ** * x r εε = 第2章 插值法 1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。 （1）用单项式基底。 （2）用Lagrange 插值基底。 （3）用Newton 基底。 证明三种方法得到的多项式是相同的。 解：（1）用单项式基底 设多项式为:2 210)(x a x a a x P ++=， 所以：64 211111 1111122 2 211 200 -=-==x x x x x x A 3 76144 211111114241 13110111)() ()(22 221120 022 2 22 11 120 00-=-= ---==x x x x x x x x x f x x x f x x x f a 2 3694211111114411 31101111)(1)(1 )(122 221120 02 2 22112 001=--= --==x x x x x x x x f x x f x x f a 6 5654 2 1 1111114 2 1 3 11011111) (1)(1)(122 2 21120 022 11 00 2=--= ---==x x x x x x x f x x f x x f x a 所以f(x)的二次插值多项式为：26 52337)(x x x P ++-= （2）用Lagrange 插值基底 )21)(11() 2)(1())(())(()(2010210-+-+=----=x x x x x x x x x x x l )21)(11() 2)(1())(())(()(2101201------=----=x x x x x x x x x x x l ) 12)(12() 1)(1())(())(()(1202102+-+-=----= x x x x x x x x x x x l 1.6.4 分段三次Hermite 插值 为了利用多项式插值方法而又克服高次插值多项式的缺陷，便引入了分段插值的概念。它的基本思想是把函数整个区间上分成许多段，每段都选用适当的低次插值多项式代替函数，整体上按一定的要求连接起来，构成一个分段的插值函数。 为此，把函数)(x f 的自变量x 在区间],[b a 上用)1(+n 个节点分割成n 段： b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 根据这些节点的取值 i x ，)(x f 在节点上的函数值i i y x f =)(和导数值 i i m x f =')(),,2,1,0(n i =，可以构造一个分段三次插值函数)(x H ，它满足 下述条件： ①i i y x H =)(,i i y x H '=')(),,2,1,0(n i =。 ② 在每个小区间],[1+i i x x ),,2,1,0(n i =上，都是一个三次多项式： 3 32210)(x a x a x a a x H i i i i i +++= 把这样构成的分段三次函数)(x H 称为分段三次Hermite 插值函数，它的 各小段均为三次多项式，而整体上具有一阶连续导数。 由式（1-34）可直接写出分段三次Hermite 插值函数的分段表达式 12 112 1112 1112 111)()(2121)(++++++++++++'??? ? ??---+'???? ??---+??? ? ??--???? ? ?--++???? ??--???? ??--+=i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i y x x x x x x y x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x x H 也可通过构造基函数给出分段三次Hermite 插值函数的表达式。参照分段线性插值与Hermite 插值基函数公式（1-31）和式（1-32），可得出分段三次 4.(1)T=1/2(3+1)=2 S=1/6(3+8+1)=2 计算其准确的结果为2 与精确值比较，T的误差为0 S的误差为0 7（1）复合梯形公式T2n的matlab 实现： function I= trapezoid(fun,a,b,n) n=2*n; h=(b-a)/(n-1); x=a:h:b; f=feval(fun,x); I=h* (0.5*f(1)+sum(f(2:n-1))+ 0.5*f(n)); function trapezoid_and_sinpsom clc; format long syms x Iexact= int(x*exp(x^2),x,0,1); a=0; b=1; for n=2:1:4 t=trapezoid(@f,a,b,n) s=simpson(@f,a,b,n) err1=vpa(Iexact-t,5) err2=vpa(Iexact-s,5) end function y=f(x)y= x*exp(x^2); return 从而得出的结果： n=2 t=1.000576811286697 s=0.860997139578795 err1=-0.14144 err2=-0.0018562 n=3 t=0.923798756293777 s=0.859533825596209 err1=-0.064658 err2=-0.00039291 n=4 t=0.895892057505771 s=0.859268455239111 err1=-0.036751 err2=-0.00012754 13.function [Dc,err]=dfDc(f,x0,h) d0=1/x0; Dc=(f(x0+h)-f(x0-h))/(2*h); err=Dc-d0; return function [Sc,err]=dfSc(f,x0,h) d0=1/x0; Sc=4/3*dfDc(f,x0,h/2)... -1/3*dfDc(f,x0,h); err=Sc-d0; return function [Cc,err]=dfCc(f,x0,h) d0=1/x0; Cc=16/15*dfSc(f,x0,h/2)... -1/15*dfSc(f,x0,h); err=Cc-d0;return f=@(x)log(x); x0=2;h=0.1; [Dc,err]=dfDc(f,x0,h) [Sc,err]=dfSc(f,x0,h) [Cc,err]=dfCc(f,x0,h) Dc=0.500417292784913 err=4.172927849132035e-04 Sc=0.499999843400513 err= -1.565994868224507e-07 Cc=0.500000000017481 err=1.748101663423540e-11 14. 3.示位法的MATLAB实现：Function [c,k]=fapo(f,a,b,epsilon,max1) Use false position to find the toot of function Input:f=the function a,b=left and right brachets of root 第2章 插值法 1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。 （1）用单项式基底。 （2）用Lagrange 插值基底。 （3）用Newton 基底。 证明三种方法得到的多项式是相同的。 解：（1）用单项式基底 设多项式为:2 210)(x a x a a x P ++=， 所以：64 211111 1111122 2 211 200 -=-==x x x x x x A 所以f(x)的二次插值多项式为： 2 6 52337)(x x x P ++-= （2）用Lagrange 插值基底 Lagrange 插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为：226 52337)(x x x L ++-= (3) 用Newton 基底: 均差表如下： Newton 所以f(x)的二次插值多项式为：2 2 6 52337)(x x x N ++-= 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。 6、在44≤≤-x 上给出x e x f =)(的等距节点函数表，若用二次插值求e x 的近似 值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h 应取多少？ 解：以x i-1,x i ,x i+1为插值节点多项式的截断误差，则有 式中.,11h x x h x x i i +=-=+- 令 634103 9-≤h e 得00658.0≤h 插值点个数 是奇数，故实际可采用的函数值表步长 8、13)(47+++=x x x x f ，求]2,,2,2[710Λf 及]2,,2,2[810Λf 。 解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系： 所以有：1! 7! 7!7)(]2,,2,2[)7(7 1 === ξf f Λ 15、证明两点三次Hermite 插值余项是 并由此求出分段三次Hermite 插值的误差限。 证明：利用[x k ，x k+1]上两点三次Hermite 插值条件 知)()()(33x H x f x R -=有二重零点x k 和k+1。设 确定函数k(x): 当k x x =或x k+1时k(x)取任何有限值均可； 当1,+≠k k x x x 时，),(1+∈k k x x x ，构造关于变量t 的函数 显然有 在[x k ,x][x,x k+1]上对g(x)使用Rolle 定理，存在),(1x x k ∈η及),(12+∈k x x η使得 在),(1ηk x ，),(21ηη，),(12+k x η上对)(x g '使用Rolle 定理，存在),(11ηηk k x ∈， ),(212ηηη∈k 和),(123+∈k k x ηη使得 再依次对)(t g ''和)(t g '''使用Rolle 定理，知至少存在),(1+∈k k x x ξ使得 而!4)()()()4()4()4(t k t f t g -=，将ξ代入，得到 推导过程表明ξ依赖于1,+k k x x 及x 综合以上过程有：!4/)())(()(212)4(3+--=k k x x x x f x R ξ 确定误差限： 记)(x I h 为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite 插值函数。 n a b h n k kh a x k -==+=),,1,0(,Λ 在区间[x k ，x k+1]上有 而最值)(,16 1)1(max )()(max 4 4221 02121 sh x x h h s s x x x x k s k k x x x l k +== -=--≤≤+≤≤+ 进而得误差估计：)(max 3841)()()4(4 x f h x I x f b x a h ≤≤≤ - 16、求一个次数不高于4次的多项式)(x p ，使它满足0)0()0(='=p p ，北京大学数值分析试题2015 经过订正
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