2拉氏变换
2拉氏变换
2. 1 拉氏变换定义
2. 2 简单函数的拉氏变换
1、单位阶跃函数l（t）；
2、指数函数eat·I（t）；
3、正弦函数sinωt·和余弦函数cosωt·I（t）；
4、幂函数tn·I（t）。
2. 3 拉氏变换的性质
1、满足叠加原理；
2、微分定理；
3、积分定理；
4、衰减定理；
5、延进定理；
6、初值定理；
7、终值定理；
8、时间比例尺改变的象函数；
9、tx（t）的象函数；
x（t）
10、——的拉氏变换；
t 11、周期函数的象函数；
12、卷积分的象函数。
2. 4 拉氏反变换
1、只含不同单极点的情况；
2、含共轭复数极点情况
3、含多重极点的情况。
2. 5 用拉氏变换解常系数线性微分方程
3 系统的数学模型
3.1基本环节数学模型
3.1.1 质量——弹簧——阻尼系统
应用牛顿第二定律建立质量——弹簧——阻尼系统的运动微分方程。
3.1.2 电路网络
应用基尔霍夫定律和区姆定律建立电路网络系统的微分方程。
3.1.3 电动机
应用力学、电学方面定律建立电枢控制式直流电动机的数学模型。3.2 数学模型的线性化
（一）各类非线性现象。
（二）系统线性化处理的方法。
3.4 传递函数以及典型环节的传递函数
（一）传递函数的定义。
（二）传递函数的特点。
3.4.1 比例环节G（s）=K （其中K为常数）
3.4.2 一阶惯性环节G（s）=——（其中T这时间常数）TS+1
3.4.3 微分环节
1、理想微分环节G（s）
2、近似微分环节G（s）
2.4.4 积分环节G（s）
2.4.5 二阶振荡环节G（s）
3.5 系统函数方块图及其简化
1、方块图单元；
2、比较点；
3、引出点；
4、串联；
5、并联；
6、反馈；
7、方块图变换法则；
8、方块图简化
3.6 系统信号流图及梅逊公式
（一）信号流图的表示方法。
（二）梅逊公式。
3.7机械对象数学模型
1、高谐振振频率；
2、高刚度；
3、适当阻尼；
4、低转动惯量。
3.8 绘制实际物理系统的函数方块图
（一）各种典型机械系统的传递函数。
（二）各种电网络及电气系统的传递函数。
三、考核知识点
（一）数学模型的概念：
1、数学模型的含义；
2、线性系统含义及其最重要的特征—可以运用叠加原理；
3、线性定常系统和线性时变系统的定义；
4、非线性系统的定义及其线性化方法。
（二）系统微分方程的建立：
1、对于机械系统运用牛顿第二定律建立运动微分方程式；
2、对于电气系统运用基尔霍夫定律建立微分方程式。
（三）拉氏变换与拉氏反变换定义：
（四）典型时间函数的拉氏变换：
1、单位阶跃函数的拉氏变换；
2、指数函数ιat·l（t）的拉氏变换
3、正弦函数Sinωt·l（t）和余弦函数Cosωt·l（t）的拉氏变换；
4、幂函数tn·l（t）的拉氏变换。
（五）拉氏变换的性质1、满足叠加原理；
2、微分定理；
3、积分定理；
4、衰减定理；
5、延进定理；
6、初值定理；
7、终值定理；
8、时间比例尺改变的象函数；
9、tx（t）的象函数；
x（t）
10、——的拉氏变换；
t 11、周期函数的象函数；
12、卷积分的象函数。
（六）拉氏反变换1、拉氏反变换2、拉氏反变换的部分分式法：无重极点和有重极点的情况。
（七）用拉氏变换解常微分方程：
（八）传递函数：
1、传递函数的定义；
2、传递函数的主要特点。
（九）方块图及系统的构成：
1、方块图表示方法及其构成；
2、系统的构成：
（1）串联环节的构成及计算；
（2）并联环节的构成及计算；
（3）反馈联结的构成及计算；
（4）误差传递函数、前向通道传递函数、闭环传递函数、反馈通道传递函数和开环传递函数的定义及计算。
3、方块图的简化；
4、画系统方块图及求传递函数步骤。
（十）信号流图与梅逊公式：
1、信号流图表示方法及其构成；
2、信号流图与方块图之间的关系；
3、梅逮公式的应用。
（十一）受控机械对象的数学模型：
1、高谐振频率；
2、高刚度；
3、适当阻尼；
4、低转动惯量。
（十二）实际物理系统的传递函数方块图：
1、各种机械系统的传递函数；
2、各种电网络及电气系统的传递函数。
四、考核要求：
（一）系统数学模型概念要求达到识记的层次：
1、知道数学模型的概念；
2、知道线性系统和非线性系统的特性；
3、知道线性系统的叠加原理；
4、知道非线性系统定义及其线性化的方法。
（二）系统微分方程建立要求达到简单应用的层次：
1、应用牛顿定律，建立机械系统的数学模型；
2、会选取系统中间变量；
3、应用基尔霍夫定律建立电气系统的数学模型。
（三）拉氏变换与拉氏反变换的定义，要求达到领会层次：
1、拉氏变换的定义，原函数和象函数的概念；
2、函数拉氏变换存在的条件；
3、拉氏反变换的定义。
（四）典型时间函数的拉氏变换，要求达到领会层次：
1、能知道各种典型时间函数的拉氏变换；
2、能查表求得常用函数的拉氏变换。
（五）拉氏变换的性质，要求达到简单应用的层次：
1、熟记脉冲函数、阶跃函数、斜坡函数和指数函数的拉氏变换；
2、各个定理的证明；
3、利用拉氏变换的性质对各种函数和规则波形求拉氏变换。
（六）拉氏反变换的数学方法，要求达到简单应用的层次：
1、能采用部分分式法对无重极点的象函数求出原函数；
2、能采用部分分式法对有重极点的象函数求出原函数。
（七）用拉氏变换解常微分方程，要求达到简单应用的层次：
能用拉氏变换方法求解常微分方程。
（八）传递函数要求达到领会的层次：
1、知道传递函数的概念；
2、知道系统各环节与方块图之间的关系，串联、并联、反馈联接的概念，并能计算反馈通道传递函数、闭环传递函数、误差传递函数、开环传递函数和前向通道传递函数；
3、熟知方框图的简化方法及求解；
4、熟知画方框图的步骤及综合过程；
5、知道信号流图的概念用构成；
6、记住梅逊公式并理解其含义。
（十）机、电系统的传递函数要法度达到综合应用的层次：
1、会求各类机械系统的传递函数；
2、会求各类电网络的传递函数；
3、机械系统传递函数的求解过程；
4、机、电系统传递函数的求解。
（十一）本章重点：
建立简单机电系统的微分方程，运用综合基础知识，对系统正确地取分离体并分析受力，注意力和方向，列写系统微分方程式。
拉氏变换，拉氏变换的性质及其应用，用部分分式法求拉氏反变换的方法，吸盘拉氏变换法解常微分方程。
建立系统传递函数概念，系统构成及其传递函数，方块图简化及其绘制。
3 时域瞬态响应分析
一、学习目的与要求：
通过本章学习，明确一个系统在建立了系统的数学模型（包括微分方程和传递函数）之后，就可以采用不同的方法来分析和研究系统的动态性能，时域分析是重要的方法之一。明确系统在外加作用激励下，根据所描述系统的数学模型，求出系统的输出量随时间变化的规律，并由此确定系统的性能，明确系统的时间响应及其组成，脉冲响应函数的概念，掌握一阶、二阶系统的典型时间响应和高阶系统的时时间响应以及主导极点的概念。
二、课程内容
3.1 时域响应以及典型输入信号
（一）时域响应的含义：
1、瞬态响应的含义；
2、稳态响应的含义。
（二）典型输入信号的概念：
1、选择典型输入信号的好处；
2、常见的典型输入信号。
3.1.1 阶跃函数。
3.1.2 斜坡函数。
3.1.3 加速度函数
3.1.4 脉冲函数
3.1.5 正弦函数
3.2 一阶系统的瞬态响应
3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应。
3.2.2 一阶系统的单位斜坡响应。
3.2.3 一阶系统的单位脉冲响应。
3.3 二阶系统的瞬态响应
3.3.1 二阶系统的单位阶跃响应：
1、欠阻尼情况；
2、临界阻尼情况；
3、过阻尼情况；
4、零阻尼情况；
5、负阻尼情况。
3.3.2 二阶系统的单位脉冲响应：
1、欠阻尼情况；
2、临界阻尼情况；
3、过阻尼情况。
3.3.3 二阶系统的单位斜坡响应：
1、欠阻尼情况；
2、临界阻尼情况；
3、过阻尼情况。
3.4 时域分析性能指标
瞬态响应性能指标包括：
1、上升时间tr；
2、峰值时间tp；
3、最大超调量Mp；
4、调整时间ts.
3.5 高阶系统的瞬态响应
1、主导极点的概念；
2、偶极子的概念。
3.6 机电系统时域瞬态响应的实验方法
三、考核知识点：
（一）时间响应：
1、时间响应的概念；
2、瞬态响应和稳态响应的定义。（二）脉冲响应函数：
1、脉冲响应函数的定义；
2、脉冲响应函数与传递函数的关系；
3、如何利用脉冲响应函数求系统在任意输入下的响应。
（三）一阶系统的时间响应：
1、一阶系统的传递函数及其增益和时间常数的计算；
2、一阶系统的单位脉冲响应函数的计算；
3、一阶系统的单位阶跃响应函数的计算；
4、一阶系统的单位斜坡响应函数的计算。
（四）二阶系统的时间响应：
1、二阶系统的传递函数及其无阻尼自然频率、有阻尼自然频率和阻尼比的计算；
2、二阶系统特征方程；
3、二阶系统特征方程根的分布；
4、欠阻尼下的单位阶跃响应；
5、临界阻尼下的单位阶跃响应；
6、过阻尼下的单位阶跃响应；
7、阻尼比、无阻尼自然频率与响应曲线的关系；
8、不同阻尼比下的单位脉冲响应。
（五）高阶系统的时间响应1、主导极点的概念及其与时间响应的关系；
2、偶极子的概念。
（六）瞬态响应的性能指标1、瞬态响应的性能指标定义；
2、二阶系统的瞬态响应指标的计算；
3、二阶系统的阻尼比、无阻尼自然频率与各性能指标间的关系。
四、考核要求：
（一）时间响应，要求达到识记层次：
1、记住时间响应的定义，常用的典型输入信号型式、瞬态响应和稳态响应的定义；
2、记住脉冲响应函数的定义，脉冲响应函数与系统传递函数的关系。
（二）利用脉冲响应函数求系统在任意输入下的响应，要求达到领会的层次。
（三）一阶系统的时间响应要求达到领会层次：
1、一阶系统数学模型的建立；
2、一阶系统增益及时间常数的计算；
3、一阶系统的单位阶跃响应函数的计算；
4、一阶系统的单位脉冲响应函数的计算；
5、一阶系统的单位斜坡响应函数的计算；
6、一阶系统的时间常数与系统瞬态响应的关系。
（四）二阶系统的时间响应，要求达到简单应用层次：
1、二阶系统数学模型的建立；
2、二阶系统无阻尼自然频率，有阻尼自然频率，阻尼比，临界阻尼及特征方程要之间的关系；
3、二阶系统在不同阻尼下的单位阶路响应及其根的分布；
4、二阶系统在不同阻尼下的单位脉冲响应。
（五）高阶系统的时间响应要求达到识记层次：
1、明确主导极点及与系统时间响应的关系；
2、明确偶极子概念。
（六）瞬态响应的性能指标，要求达到领会的层次：
1、瞬态响应的性能指标定义；
2、二阶系统的瞬态响应指标计算；
3、二阶系统的阻尼比、无阻尼自然频率与各性能指标的关系；
4、根据性能指标的要求来计算二阶系统的阻尼比、无阻尼自然频率、有阻尼自然频率。
（七）本章重点：
时间响应的基本概念，一阶系统的时间响应，二阶系统单位阶跃响应及性能指标。
4 控制系统的频率特性
一、学习目的与要求：
通过本章学习，明确频率特性的基本概念，频率特性与传递函数的关系，系统动刚度的概念，掌握频率特性的两种表示方法以及频率特性与时间响应之间的关系，各基本环节及系统的极坐标图和伯德图的画法，闭环频率特性及相应的性能指标，为频域分析系统的稳定性以及综合校正打下基础。
二、课程内容
4.1 机电系统频率特性的概念及其基本实验方法4.1.1 频率特性概述。
4.1.2 频率特性的实验求取。
4.2 极坐标图
4.2.1 曲型环节的乃氏图：
1、比例环节；
2、积分环节；
3、微分环节；
4、一阶惯性环节；
5、二阶振荡环节；
6、延迟环节。
4.2.2 乃氏图的一般作图方法。
4.3 对数坐标图
4.3.1 典型环节的伯德图：
1、放大环节：
2、积分环节；
3、一阶惯性环节；
4、一阶身分环节；
5、二阶振荡环节；
6、延迟环节。
4.3.2 一般系统伯德图的作图方法。
4.3.3 最小相位系统：
1、最小相位系统定义；
2、非最小相位系统概念。
4.4 由频率特性曲线求系统传递函数
4.5 由单位脉冲响应求系统的频率特性
*4.6 对数幅相图
4.7 控制系统的闭环频响
4.7.1 由开环频率特性估计闭环频率特性。
4.7.2 系统频域指标：
1、开环频域指标；
2、闭环频域指标。
三、考核知识点：
（一）频率特性：
1、频率特性定义；
2、频率特性与传递函数的关系；
3、系统动刚度概念；
4、传递函数、频率特性和时间响应的关系；
5、频率特性的对数坐标图和极坐标图的表示方法。
（二）频率特性的对数坐标图：
1、对数坐标图的组成及特点；
2、各种典型环节的伯德图近似画法及相应的误差计算；
3、画系统的伯德图的一般步骤和方法。
（三）频率特性的极坐标图：
1、极坐标图的表示方法及特点；
2、各种典型环节的极坐标图的画法及特点；
3、系统极坐标图的一般画法及特殊点计算方法；
4、系统的型次、阶次及零、极点位置对极坐标图的影响。
（四）闭环频率特性与频域性能指标：
1、系统闭环频率特性概念及其计算方法；
2、频域性能指标及计算方法。
（五）最小相位系统的概念：
1、最小相位系统的定义；
2、非最小相位系统中，当零、极点分布在S的右半平面时，与系统频率特性的关系。
四、考核要求：
（一）频率特性要求达到识记的层次：
1、系统频率特性的定义及其幅频特性、相频特性；
2、频率特性与传递函数和微分方程之间的关系；
3、频率特性的特点；
4、频率特性与动刚度的概念；
5、频率特性的表示方法。
（二）频率特性的对数坐标图要求达到综合应用层次：
1、知道对数坐标图的表示方法及特点；
2、能熟练绘制各种典型环节的伯德图的近似画法及计算相应的误差；
3、熟知绘制系统伯德图的步骤和方法。
（三）频率特性的极人材图要求达到综合应用层次：
1、知道极坐标图的表示方法及特点；
2、能熟练绘制各种典型环节的极坐标图的近似画法及计算相应特殊点；
3、熟知绘制系统极坐标图的步骤和方法。
4、熟知系统型次、阶次与极坐标图的起始和终点的关系。
（四）最小相位系统的概念要求达到领会层次：
1、最小相位系统的定义；
2、非最小相位系统的概念及其频率特性计算；
3、熟知由系统伯德图估计最小相位系统的传递函数。
（五）本章重点频率特性的基本概念及其两种表示方法、画法及特点，闭环频率特性的性能指标及其计算方法。
5 控制系统的稳定性分析
一、学习目的与要求：
通过本章学习明确稳定性的概念，掌握判别系统稳定性的基本准则，掌握劳斯—赫尔维茨稳定判据和乃奎斯特稳定判据以及相对稳定性的概念。
二、课程内容：
5.1 系统稳定性的基本概念
5.2 系统稳定的充要条件
5.3 代数稳定性判据
5.3.1 劳斯稳定性判据
5.4 乃奎斯特稳定性判据
5.4.1 米哈伊洛夫定理
5.4.2 乃奎斯特稳定性判据
5.4.3 乃奎斯特稳定性判据的另一表述
*5.4.4 应用逆Nyguist图的Nyguist稳定判据
5.5 应用乃奎斯特判据分析延时系统的稳定性
5.5.1 延时环节并联在闭环系统前向通道中时的系统稳定性。
*5.5.2 延时环节并联在闭环系统前向通道中时的系统稳定性。
5.7 控制系统的相对稳定性
（一）相位裕量γ。
（二）幅值裕量kg.
*5.8 李雅普诺夫稳定性方法
三、考核知识点：
（一）稳定性：
1、稳定性的概念；
2、判别稳定性的基本准则，即系统稳定性的必要和充分条件；
3、判别稳定的方法，直接计算特征根和判别特征根在S平面上的位置。
（二）劳斯——赫尔维茨稳定性判据：
1、劳斯—赫尔维茨稳定性判据的原理及系统稳定必要条件；
2、劳斯稳定性判据充分条件以及判别方法和步骤；
3、劳斯数列中几种特殊情况的处理方法；
4、赫尔维茨稳定性判据充分条件以及方法和步骤。
（三）乃奎斯特稳定性判据：
1、基本原理：
通过系统开环乃奎斯特图以及开环极点的位置来判别闭环特征方程的根在S平面上的位置，从而判别系统的稳定性。
（1）闭环特征方程；
（2）米哈伊洛夫定理；
（3）乃奎斯特判据；
（4）用乃奎斯特法判别系统的稳定性；
（5）对O型系统判稳定方法及特殊点计算方法；
（6）对I型系统判稳定方法及特殊点的计算方法；
（7）对Ⅱ型系统判稳定方法及特殊点的计算方法；
（8）对具有延时环节系统判稳定方法及计算。
2、应用实例：
明确系统参数对系统稳定性的影响。
（四）系统相对稳定性：
1、系统相对稳定性：
（1）相位裕量和幅值裕量在极坐标图和伯德图上的表示方法；（2）用相们裕量和幅值量来衡量系统稳定性时应注意的几个问题。
2、条件稳定系统的基本概念。
四、考核要求：
（一）稳定性要求达到识记层次：
1、知道系统稳定性的概念；
2、知道系统稳定性的基本条件。
（二）劳斯—赫尔维茨稳定性判据要求达到简单应用层次：
1、能表述劳斯稳定性判据的基本原理及计算方法；
2、能表达劳斯数列中出现零或某一行全为零时的计算方法及含义。（三）乃奎斯特稳定性判据要求达到简单应用层次：
1、能表述闭环特征方程的零点数与极点数的关系；
2、能表述米哈依洛夫原理及其计算方法；
3、能表述乃奎斯物判稳定的步骤和方法；
4、能表述在虚轴上存在有几个极点时的乃奎斯特判稳方法；
5、对不同型次、阶次的系统能熟练地判别其稳定性；
6、对具有延时环节系统的稳定性判别方法；
7、通过稳定性分析，明确系统参数的影响程度及如何改善性能。
（四）系统的相对稳定性要求达到综合应用层次：
1、能表述相对稳定性的基本概念；
2、熟知相位裕量和幅值裕量的表示方法及计算；
3、熟知选取相位裕量和幅值裕量应注意的几个问题；
4、能表述条件稳定性的基本概念。
（五）本章重点：
系统稳定性的基本概念，劳斯—赫尔维茨判稳的方法，乃奎斯物判稳的方法，相位裕量和幅值裕量的概念及计算方法。
6 控制系统的误差分析和计算
一、学习目的与要求：
通过本章学习明确系统的误差的概念与稳态误差的计算方法以及系统稳态误差与系统型次的关系。
二、课程内容：
6.1 稳态误差的基本概念
1、误差和偏差；
2、误差和稳态误差。
6.2 输入引起的稳态误差
6.2.1 误差传递函数与稳态误差。
6.2.2 静态误差系数：
1、系统类别与系统阶次；
2、系统稳态误差；
3、表态位置误差系数和位置误差；
4、静态速度误差系数和速度误差；
5、表态加速度误差系数和加速误差。
6.3 干扰引起的稳态误差
6.4 减小系统误差的途径
1、按干扰补偿；
2、按输入补偿。
*6.5 动态误差系数
三、考核知识点：
（一）误差、偏差的概念：
1、误差、偏差的概念；
2、稳态误差和稳态偏差的计算。
（二）输入引起的稳态误差：
1、误差传递函数与稳态误差的概念；
2、系统类别的定义；
3、系统稳态误差与系统类别、开环增益及输入信号之间的关系；
4、静态位置误差系统和位置误差定义以及与系统类别的关系；
5、静态速度误差系数与速度误差定义以及与系统类别的关系；
6、静态加速度误差系数和加速度误差定义以及与系统类别的关系；
7、不同类别系统在不同输入信号下的稳态误差。
（三）振动作用下系统干扰稳态误差的计算。
（四）减小系统误差的途径：
1、按干扰补偿的概念和对干扰全裣的条件；
2、按输入补偿的概念和在输入信号作用下误差全补偿条件。
四、考核要求：
（一）系统误差分析要求达到综合应用的层次：
1、记住误差、偏差和稳态误差的定义；
2、知道系统类别的概念；
3、知道稳态误差与系统有关因素之间的关系；
4、知道各种静态误差系数定义及与稳态误差的关系；
5、求解扰动作用的稳态误差；
6、具有扰动作用下系统误差的计算。
（二）减小系统误差的途径要求达到识记层次：
1、知道按干扰补偿的概念，熟知按干扰进行顺馈补偿及其计算；
2、熟知按输入进行顺馈补偿及实现全补偿的原理。
（三）本章重点：
误差分析，误差及稳态误差的定义，位置误差、速度误差和加速度误差的计算，干扰作用下的系统误差计算，对干扰进行全补偿条件，对输入作用下误差全补偿条件。
7 控制系统的综合与校正
一、学习目的的与要求：
通过本章学习，明确在预先在规定了系统性能指标情况下，如何选择适当的校正环节和参数，使系统满足这些要求，因此，应掌握系统的时域性能指标、频域性能指标以及它们之间的相互关系，各种校正方法的实现。
二、课程内容：
7.1 系统的性能指标
7.1.1 时域性能指标。
7.1.2 开环频域指标。
7.1.3 闭环频域指标。
7.1.4 综合性能指标（误差准则）。
7.2 系统的校正概念
1、校正的含义；
2、校正的方法。
7.3 串联校正
7.3.1 超前校正。
7.3.2 滞后校正。
7.3.3 滞后——超前校正。
7.3.4 PID调节器：
1、比例控制器（P调节）；
2、积分控制器（I调节）；
3、微分控制器（D调节）；
4、比例——积分——微分控制器（PID调节）。
7.4 反馈校正
7.4.1 利用反馈校正改变局部结构和参数。
7.4.2 速度反馈和加速度反馈。
7.5 用频率法对控制系统进行综合与校正
7.5.1 典型系统的希望对数频率特性
1、二阶最优模型；
2、高阶最优模型。
7.5.2 希望对数频率特性与系统性能指标的关系。
7.5.3 用希望对数频率特性进行校正装置的设计。
7.6 典型机电反馈控制系统综合校正举例
7.6.1 直流电动机调速系统：
1、直流伺服电动机——测速机机组；
2、PWM功率放大器；
3、霍尔电流传感器；
4、电流环（跨导功率放大器）的分析与设计。
7.6.2 电压——位置随动系统。
*7.7 确定PID参数的其他方法
三、考核知识点：
（一）控制系统性能指标及校正方法：
1、系统性能指标的分类；
2、系统瞬态性能指标的含义及通常采用的指标；
3、稳态性能指标的含义及通常采用的指标；
4、频域性能指标的含义及通常采用的指标；
5、二阶系统频域性能指标与时域性能指标间的关系；
6、频率特性曲线中，不同频率段的特性与系统性能的关系；
7、校正的目的及方式。
（二）控制系统的串联校正：
1、相位超前校正的特点及实现方法；
2、相位滞后校正的特点及实现方法；
3、相位滞后—超前校正的特点及实现方法；
4、PID校正的特点及实现方法。
（三）控制系统的反馈校正：
1、利用反馈校正改变局部结构和参数；
2、速度反馈和加速度反馈的特点及实现方法。
四、考核要求：
（一）控制系统的性能指标及校正方式要求达到识记层次：
1、表述系统时域和频域性能指标；
2、表述二阶系统中时域和频域性能指标的转换；
3、表述系统开环频率特性各频段含义及对系统性能的影响；
4、表述校正的概念，校正的方式及其特点。
（二）控制系统的串联校正要求达到简单应用层次：
1、熟知增益校正的特点及计算方法；
2、熟知相位超前校正的特点及计算方法；
3、熟知相位滞后校正的特点及计算方法；
4、熟知相位滞后—超前校正的特点及其计算方法；
5、熟知PID校正的特点及实现方法。
（三）反馈和顺馈校正要求达到综合应用层次：
1、熟知反馈校正中系统类别、系统时间常数以及系统阻尼比对系统性能的影响；
2、熟知速度反馈、加速度反馈的特点和实现方法；
3、熟知按输入进行顺馈校正及实现全补偿的原理；
4、熟知按扰动进行顺馈校正及其计算和实现全补偿的原理。
（四）本章重点：
1、各种性能指标的含义及算法，校正的概念，各种校正环节的传递函数及其特点，速度反馈、加速度反馈的特点。
拉氏变换及其在电路应用
拉氏变换与电路设计计算 要用好拉氏变换，先了解S的物理含义和其用途。信号分析有时域分析、频域分析两种，时域是指时间变化时，信号的幅值和相位随时间变化的关系；频域则是指频率变化时，信号的幅值和相位随时间变化的关系；而S则是连接时域与频域分析的一座桥梁。 在电路中，用到的线性元件为阻性，用R表示；用到的非线性元件，主要指感性特性和容性特性，分别用SL和1/SC表示，然后将其看成一个纯粹的电阻，只不过其阻值为SL（电感）和1/SC（电容）； 其他特性（如开关特性）则均可通过画出等效电路的方式，将一个复杂的特性分解成一系列阻性、感性、容性相结合的方式。并将其中的感性和容性分别用SL和1/SC表示。 然后，就可以用初中学过的电阻串、并联阻抗计算的方式来进行分压、分流的计算，这当然很简单了。计算完后，最后一定会成一个如下四种之一的函数：Vo=Vi（s） --------------------（1） Io=Vi（s） --------------------（2） Vo=Ii（s） --------------------（3） Io=Ii（s） --------------------（4） 下一步，如果是做时域分析，则将S=d/dt代入上述1-4其中之一的式子中，随后做微分方程的求解，则可求出其增益对时间的变化式 G（t）； 而如果做的是频域分析，则将S=jw代入上述1-4其中之一的式子中，随后做复变函数方程的求解，则可求出其增益对时间的变化式 G（w）、和相位对时间的变化式θ（w）； 至于求出来时域和频域的特性之后，您再想把数据用于什么用途，那就不是我能关心得了的了。 例子：
拉氏变换及其计算机公式
时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种。 一、拉氏变换的定义 已知时域函数，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换为 (2-45) 式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表示为 (2-46) 因为是复自变量的函数，所以是复变函数。 有时，拉氏变换还经常写为 (2-47) 拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为 (2-48)
上式为复变函数积分，积分围线为由到的闭曲线。 二、常用信号的拉氏变换 系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。现复习一些基本时域信号拉氏变换的求取。 (1)单位脉冲信号 理想单位脉冲信号的数学表达式为 (2-49) 且 (2-50) 所以 (2-51) 说明： 单位脉冲函数可以通过极限方法得到。设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的宽度为，脉冲的高度为，面积为1。当保持面积不变，方波脉冲的宽度趋
于无穷小时，高度趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。在坐标图上经常将单位脉冲函数 表示成单位高度的带有箭头的线段。 由单位脉冲函数的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。因此在求它的拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是。由此，特别指明拉氏变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。所以，关于拉氏变换的积分下限根据应用的实际情况有，，三种情况。为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。 (2)单位阶跃信号 单位阶跃信号的数学表示为 (2-52) 又经常写为 (2-53)
由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为 (2-54) 因为 阶跃信号的导数在处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉氏变换，其积分下限规定为。 (3)单位斜坡信号 单位斜坡信号的数学表示为 (2-55) 图2-15单位斜坡信号
第2章 拉氏变换与反变换
第二章 拉氏变换与反变换 拉氏变换解微分方程，可将微积分运算转化为代数运算，且能表明初始条件的影响；采用拉氏变换，能将微分方程方便地转换为系统的传递函数，也便于设计控制系统。 一、拉氏变换的定义 设f(t)是以时间t 为自变量的实变函数，0≥t （定义律），那么f(t)拉氏变换的定义为： dt e t f t f L s F st ?∞ -? ==0)()]([)( （2-1） 式中：S 是复变数： Jw S +=σ （可用点、向量、三角（指数）表示） ? ∞ -0 dt e st ——拉氏积分 F(s)——函数f(t)的拉氏变换，为一复变函数，也称象函数。 f(t)——原函数 L ——拉氏变换的符号 拉氏反变换 ?∞ +∞ --= =j j st ds e s F j s F L t f σσ π)(21)]([)(1 （2-2） 式中：1-L 拉氏变换的符号 上二式表明：拉氏变换是在一定条件下，能将一个实数域中的实变函数转换成一个在复数域中与之等价的复变函数，反之亦然。 二、几种典型函数的拉氏变换 1．单位阶跃函数1（t ）的拉氏变换 如图所示，单位阶跃函数定义为 ?? ?=?1 0)(1t 0≥ 附录A 拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质 2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表 3．用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项 查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =----ΛΛ （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)(ΛΛ （F-1） 式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='=)() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得 原函数 []? ?? ?? ?-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝ t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= +Λ = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根； 其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算： )()(lim 11 s F s s c r s s r -=→ )]()([lim 111 s F s s ds d c r s s r -=→- M )()(lim !11)() (1s F s s ds d j c r j j s s j r -=→- (F-5) 控制原理补充讲义——拉氏变换 拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。 一、拉氏变换与拉氏及变换的定义 1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作： 称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)： 1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。2)当时， ，M，a为实常数。 2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。 —拉氏反变换符号 关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。 二、典型时间函数的拉氏变换 在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。 注意：六大性质一定要记住 1．单位阶跃函数 2．单位脉冲函数 3．单位斜坡函数 4．指数函数 5．正弦函数sinwt 由欧拉公式： 所以， 6．余弦函数coswt 其它的可见下表：拉氏变换对照表 三、拉氏变换的性质 1、线性性质 若有常数k 1，k 2 ,函数f 1 (t),f 2 (t),且f 1 (t),f 2 (t)的拉氏变换为F 1 (s),F 2 (s), 则有：，此式可由定义证明。 2、位移定理 (1)实数域的位移定理 若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有 , 其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表示f(t)延迟时间a. 证明：， 令t-a=τ,则有上式= 例：求其拉氏变换 2拉氏变换 2. 1 拉氏变换定义 2. 2 简单函数的拉氏变换 1、单位阶跃函数l（t）； 2、指数函数eat·I（t）； 3、正弦函数sinωt·和余弦函数cosωt·I（t）； 4、幂函数tn·I（t）。 2. 3 拉氏变换的性质 1、满足叠加原理； 2、微分定理； 3、积分定理； 4、衰减定理； 5、延进定理； 6、初值定理； 7、终值定理； 8、时间比例尺改变的象函数； 9、tx（t）的象函数； x（t） 10、——的拉氏变换； t 11、周期函数的象函数； 12、卷积分的象函数。 2. 4 拉氏反变换 1、只含不同单极点的情况； 2、含共轭复数极点情况 3、含多重极点的情况。 2. 5 用拉氏变换解常系数线性微分方程 3 系统的数学模型 3.1基本环节数学模型 3.1.1 质量——弹簧——阻尼系统 应用牛顿第二定律建立质量——弹簧——阻尼系统的运动微分方程。 3.1.2 电路网络 应用基尔霍夫定律和区姆定律建立电路网络系统的微分方程。 3.1.3 电动机 应用力学、电学方面定律建立电枢控制式直流电动机的数学模型。3.2 数学模型的线性化 （一）各类非线性现象。 （二）系统线性化处理的方法。 3.4 传递函数以及典型环节的传递函数 （一）传递函数的定义。 （二）传递函数的特点。 3.4.1 比例环节G（s）=K （其中K为常数） 3.4.2 一阶惯性环节G（s）=——（其中T这时间常数）TS+1 3.4.3 微分环节 1、理想微分环节G（s） 2、近似微分环节G（s） 2.4.4 积分环节G（s） 2.4.5 二阶振荡环节G（s） 3.5 系统函数方块图及其简化 1、方块图单元； 2、比较点； 3、引出点； 4、串联； 5、并联； 6、反馈； 7、方块图变换法则； 常用拉普拉斯变换总结 1、指数函数 00)(≥ ? ? ∞ -∞ -∞ ----==0 d d ][t s e s e t t te t L st st st 2 01d 1s t e s st == ?∞- 6、正弦函数 0sin 0 )(≥ 机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。 拉普拉斯变换的定义 如果有一个以时间为自变量的实变函数，它的定义域是，那么的拉普拉斯变换定义为 式中，是复变数，（σ、ω均为实数），称为拉普拉斯积分；是函数的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称为的象函数，而称为的原函数；L是表示进行拉普拉斯变换的符号。 式（）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数。 几种典型函数的拉氏变换 1.单位阶跃函数的拉氏变换 单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为 单位阶跃函数如图所示，它表示在时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。单位阶跃函数的拉氏变换式为 当，则。 所以 （） 图单位阶跃函数 2.指数函数的拉氏变换 指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中是常数。 令 则与求单位阶跃函数同理，就可求得 （） 3.正弦函数与余弦函数的拉氏变换 设，，则 由欧拉公式，有 所以 ）同理 ）4.单位脉冲函数δ(t)的拉氏变换 单位脉冲函数是在持续时间期间幅值为的矩形波。其幅值和作用时间的乘积等于1，即。如图所示。 图单位脉冲函数 单位脉冲函数的数学表达式为 其拉氏变换式为 此处因为时，，故积分限变为。 5.单位速度函数的拉氏变换 单位速度函数，又称单位斜坡函数，其数学表达式为 见图所示。 图单位速度函数 单位速度函数的拉氏变换式为 利用分部积分法 令 则 复变函数与积分变换模拟题 1 一、判断题（正确打√，错误打?， ） 1． )7Im()5Re(63i i e e π π <. （ ） 2．设iv u z f +=)(，若 x v x u ????,存在，则 ()u v i f z x x ??'+=??. ( ) 3．设C 为)(z f 的解析域D 内的一条简单正向闭曲线，则?=c dz z f 0)(.（ ） 4．若iv u z f +=)(是解析函数，则,u v 都是调和函数. ( ) 5．幂级数01 ()n n n a z z ∞ =-∑必在其收敛圆上收敛. （ ） 6．0 1z =为函数2 cot ()(1) z f z z π=-的三级极点. （ ） 二、填空题 1．复数=1+cos sin ()z i θθπθπ+-<≤的三角表示式为_________________. 2．若实数y x b a ,,,满足等式 () i a y x iy e a i b x iy ++=+-，则=+2 2 b a ______. 3．函数iz W =将z 平面上的曲线21=-z 映射到W 平面的曲线方程为________. 4．方程的i i e iz +-=112全部解为______________________. 5．函数) 4)(1(1)(++-= z z z z z f 在10-=z 处可展罗朗级数的所有圆环域是_________ 6．_______0,cos 1Re 2 =?? ? ? ??-z z s . 三、计算题 1．问k 取何值时, x y i y x k z f arctan )ln()(22++=在域0>x 内是解析函数。 1 最全拉氏变换计算公式 1. 拉氏变换的基本性质 1 线性定理 齐次性 )()]([s aF t af L = 叠加性 )()()]()([2121s F s F t f t f L ±=± 2 微分定理 一般形式 = -=][ '- -=-=----=-∑1 1 )1() 1(1 22 2) ()() 0()()(0)0()(])([)0()(]) ([ k k k k n k k n n n n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ）（ 初始条件为0时 )(])([s F s dt t f d L n n n = 3 积分定理 一般形式 ∑???????????==+-===+=+ +=+= n k t n n k n n n n t t t dt t f s s s F dt t f L s dt t f s dt t f s s F dt t f L s dt t f s s F dt t f L 10 102 2022 ]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个 共个 共 初始条件为0时 n n n s s F dt t f L ) (]))(([=??个 共 4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=-- 5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=- 6 终值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t →∞ →= 7 初值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t ∞ →→= 8 卷积定理 )()(])()([])()([210 210 21s F s F d t f t f L d f t f L t t =-=-??τττττ 2.5 拉氏变换与反变换 机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。 2.5.1 拉普拉斯变换的定义 如果有一个以时间 为自变量的实变函数 ，它的定义域是 ，那么 的拉普拉 斯变换定义为 (2.10) 式中， 是复变数， （σ、ω均为实数）， 称为拉普拉斯积分； 是 函数 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 为 的象函数，而称 为 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。 式（2.10）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数 。 2.5.2 几种典型函数的拉氏变换 1.单位阶跃函数 的拉氏变换 单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为 单位阶跃函数如图2.7所示，它表示在 时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。 单位阶跃函数的拉氏变换式为 当 ，则 。 所以 t ()t f 0≥t ()t f ()()()0 e d st F s L f t f t t ∞ -=??????s ωσj +=s ?∞ -0e st )(s F )(t f )(s F )(t f )(t f )(s F )(s F )(1t ?? ?≥s 0 e lim →-∞ →st t 附录A 拉普拉斯变换及反变换表A-1 拉氏变换的基本性质 表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设 )(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 1 1 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + =n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根； 1 拉氏变换及反变换公式 1. 拉氏变换的基本性质 1 线性定理 齐次性 )()]([s aF t af L = 叠加性 )()()]()([2121s F s F t f t f L ±=± 2 微分定理 一般形式 = -=][ '- -=-=----=-∑1 1 )1() 1(1 22 2) ()() 0()()(0)0()(])([)0()(]) ([ k k k k n k k n n n n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ）（ 初始条件为0时 )(])([s F s dt t f d L n n n = 3 积分定理 一般形式 ∑???????????==+-===+=+ +=+= n k t n n k n n n n t t t dt t f s s s F dt t f L s dt t f s dt t f s s F dt t f L s dt t f s s F dt t f L 10 102 2022 ]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个 共个 共 初始条件为0时 n n n s s F dt t f L ) (]))(([=??个 共 4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=-- 5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=- 6 终值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t →∞ →= 7 初值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t ∞ →→= 8 卷积定理 )()(])()([])()([210 210 21s F s F d t f t f L d f t f L t t =-=-??τττττ 拉普拉斯变换及反变换1.表A-1 拉氏变换的基本性质 2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表 1 2 3 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将 )(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++-- 11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根； 其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算： 拉氏变换重要公式 1 拉氏变换定义 ()()[]()dt e t f t f L s F st 0-∞ ?==? 2 常用公式 ()[]1t L =δ/()[]s 1t 1L = /a s 1]e [L at -= /2 at a) (s 1]e [L -= t /[]2 2 s t sin L ω ω ω+= []2 2 s s t cos L ω ω+= /[]2 s 1t L = /[]1 n n s n!t L += /[]2 2at -a)(s t sin e L ω ω ω++= /[] 2 2 at -a)(s a s t cos e L ω ω+++= 3 拉氏变换的几个重要定理 （1）线性性质： [])s (bF )s (aF )t (bf )t (af L 2121+=+ （2）微分定理： ()[]()()0f s F s t f L -?=' （3）积分定理：()[]()() ()0f s 1s F s 1dt t f L 1-+?= ? 零初始条件下有：()[]()s F s 1dt t f L ?= ? 进一步有： ()()()()()()()()0f s 10f s 10f s 1s F s 1dt t f L n 21n 1n n n n ----++++=??? ? ??????? （4）位移定理 实位移定理：()[]()s F e -t f L s ?=-ττ 虚位移定理：()[]()a -s F t f e L at =? （5）终值定理（极限确实存在时） ()()()s F s lim f t f lim 0s t ?=∞=→∞→ （6）初值定理（极限确实存在时） ()()()s F s lim 0f t f lim s 0t ?==∞ →→ 4 拉氏反变换 (1) 反变换公式：?∞ +∞ -= j j st ds e ).s (F j 21 )t (f σσ π (2) 查表法——分解部分分式(留数法，待定系数法，试凑法) 设 )m n (a s a s a s a s b s b s b s b ) s (A )s (B )s (F n 1-n 2 -n 21 -n 1n m 1-m 1 m 1m 0>+++++++++= = - 其中分母多项式可以分解因式为： )p s ()p s )(p s ()s (A n 21---= )s (A p i 为的根(特征根)，分两种情形讨论： §2-3拉普拉斯变换及其应用 时域的函数可以通过线性变换的方法在变换域中表示，变换域的表示有时更为简捷、方便。例如控制理论中常用的拉普拉斯变换，简称拉氏变换，就是其中的一种。 一、拉氏变换的定义 已知时域函数，如果满足相应的收敛条件，可以定义其拉氏变换为 (2-45) 式中，称为原函数，称为象函数，变量为复变量，表示为 (2-46) 因为是复自变量的函数，所以是复变函数。 有时，拉氏变换还经常写为 (2-47) 拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为 (2-48) 上式为复变函数积分，积分围线为由到的闭曲线。 二、常用信号的拉氏变换 系统分析中常用的时域信号有脉冲信号、阶跃信号、正弦信号等。现复习一些基本时域信号拉氏变换的求取。 (1)单位脉冲信号 理想单位脉冲信号的数学表达式为 (2-49) 且 (2-50) 所以 (2-51) 说明： 单位脉冲函数可以通过极限方法得到。设单个方波脉冲如图2-13所示，脉冲的宽度为，脉冲的高度为，面积为1。当保持面积不变，方波脉冲的宽度趋于无穷小时，高度趋于无穷大，单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲函数。 在坐标图上经常将单位脉冲函数 表示成单位高度的带有箭头的线段。 由单位脉冲函数的定义可知，其面积积分的上下限是从到的。因此在求它的拉氏变换时，拉氏变换的积分下限也必须是。由此，特别指明拉氏变换定义式中的积分下限是,是有实际意义的。所以，关于拉氏变换的积分下限根据应用的实际情况有，，三种情况。为不丢掉信号中位于处可能存在的脉冲函数，积分下限应该为。 (2)单位阶跃信号 单位阶跃信号的数学表示为 (2-52) 又经常写为 (2-53) 由拉氏变换的定义式，求得拉氏变换为 (2-54) 因为 阶跃信号的导数在处有脉冲函数存在，所以单位阶跃信号的拉氏变换，其积分下限规定为。 (3)单位斜坡信号 单位斜坡信号的数学表示为 (2-55) 图2-15单位斜坡信号 另外，为了表示信号的起始时刻，有时也经常写为 (2-56) 附录A 拉普拉斯变换及反变换 419 2．表A-2 常用函数的拉氏变换和z变换表 420 421 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 11 10 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==---- （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110- 都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)( （F-1） 式中，n s s s ,,,21 是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ （F-2） 或 i s s i s A s B c ='= )() ( （F-3） 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 (F-4) ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= + 拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用．本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用．拉氏变换的基本概念 在代数中，直接计算 是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为 ， 然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数． 这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法．7.1.1 拉氏变换的基本概念 定义设函数当时有定义，若广义积分在的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为的函数，记作，即 （7-1）称（7-1）式为函数的拉氏变换式，用记号表示．函数称为的拉氏变换(Laplace) (或称为的象函数)．函数称为的拉氏逆变换（或称为象原函数），记作 ，即． 关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明： (1) 在定义中，只要求在时有定义．为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在时，．（2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数是在复数范围内取值．为了方便起见，本章我们把作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用． （3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换．一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的． 例7-1 求一次函数（为常数）的拉氏变换． 解 ． 7.1.2 单位脉冲函数及其拉氏变换 在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流，以表示上述电路中的电量，则 1拉氏变换的定义 若时间函数 f (t ) 在 t > 0 有定义，则 f (t ) 的拉普拉斯变换（简称拉氏变换）为 ? ∞ -?= =0 )()()]([dt e t f s F t f L ts ???)()(t f s F 2拉普拉斯反变换 s s F t f st d e )(j 21 )( j j ?∞ +∞ -=σσ π ,可表示为：f (t ) =L -1[F (s )] 1.表A-1 拉氏变换的基本性质 1 线性定理 齐次性 )()]([s aF t af L = 叠加性 )()()]()([2121s F s F t f t f L ±=± 2 微分定理 一般形式 = -=][ '- -=-=----=-∑1 1)1() 1(1 22 2) ()() 0()()(0)0()(])([)0()(]) ([ k k k k n k k n n n n dt t f d t f f s s F s dt t f d L f sf s F s dt t f d L f s sF dt t df L ）（ 初始条件为0时 )(])([s F s dt t f d L n n n = 3 积分定理 一般形式 ∑???????????==+-===+=+ +=+= n k t n n k n n n n t t t dt t f s s s F dt t f L s dt t f s dt t f s s F dt t f L s dt t f s s F dt t f L 10 102 2022 ]))(([1)(])()([]))(([])([)(]))(([])([)(])([个 共个 共 初始条件为0时 n n n s s F dt t f L ) (]))(([=??个 共 4 延迟定理（或称t 域平移定理） )()](1)([s F e T t T t f L Ts -=-- 5 衰减定理（或称s 域平移定理） )(])([a s F e t f L at +=- 6 终值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t →∞ →= 7 初值定理 )(lim )(lim 0 s sF t f s t ∞ →→= 8 卷积定理 )()(])()([])()([210 210 21s F s F d t f t f L d f t f L t t =-=-??τττττ 像 原像 拉氏变换及反变换公式 1 2 3 3． 用查表法进行拉氏反变换 用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设)(s F 是s 的有理真分式 1110 111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++= =----ΛΛ （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① 0)(=s A 无重根 这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。 ∑=-=-++-++-+-=n i i i n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 122 11)(ΛΛ 式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计 算： )()(lim s F s s c i s s i i -=→ 或 i s s i s A s B c ='= )() ( 式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数 []??????-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 11 1 )()(＝t s n i i i e c -=∑1 ② 0)(=s A 有重根 设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为 ()) ()()() (11n r r s s s s s s s B s F ---= +Λ = n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11 111 111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根； 第二章 控制系统的数学模型 练习题及答案 2-1 试建立图2-27所示各系统的微分方程。其中外力)(t F ，位移)(t x 和电压)(t u r 为输入量；位移)(t y 和电压)(t u c 为输出量；k （弹性系数），f （阻尼系数），R （电阻），C （电容）和m （质量）均为常数。 解 （a ）以平衡状态为基点，对质块m 进行受力分析（不再考虑重力影响），如图解2-1(a)所示。根据牛顿定理可写出 22)()(dt y d m dt dy f t ky t F =-- 整理得 )(1 )()()(2 2t F m t y m k dt t dy m f dt t y d =++ （b ）如图解2-1(b)所示，取A,B 两点分别进行受力分析。对A 点有 )()(111dt dy dt dx f x x k -=- （1） 对B 点有 y k dt dy dt dx f 21)( =- （2） 联立式（1）、（2）可得： dt dx k k k y k k f k k dt dy 2112121)(+= ++ (c) 应用复数阻抗概念可写出 )()(11 )(11 s U s I cs R cs R s U c r ++ = （3） 2 ) ()(R s Uc s I = （4） 联立式（3）、（4），可解得： Cs R R R R Cs R R s U s U r c 212112) 1()()(+++= 微分方程为: r r c c u CR dt du u R CR R R dt du 1 21211 +=++ (d) 由图解2-1（d ）可写出 [] Cs s I s I s I R s U c R R r 1 )()()()(++= （5） )()(1 ) (s RI s RI Cs s I c R c -= （6） []Cs s I s I R s I s U c R c c 1 )()()()(++= （7） 联立式（5）、（6）、（7），消去中间变量)(s I C 和 )(s I R ，可得： 1312)()(2 22222++++=RCs s C R RCs s C R s U s U r c 微分方程为 r r r c c c u R C dt du CR dt du u R C dt du CR dt du 222222221 213++=++ 2-2 试证明图2-28中所示的力学系统(a)和电路系统(b)是相似系统（即有相同形式 的数学模型）。 解 (a) 取A 、B 两点分别进行受力分析，如图拉氏变换表
拉氏变换
2拉氏变换
(推荐)拉氏变换常用公式
拉氏变换与反变换
复变函数与拉氏变换模拟题1、2、3
最全拉氏变换计算公式
拉氏变换与反变换
拉氏变换常用公式
拉氏变换表(包含计算公式)[1]1
Laplace拉氏变换公式表
拉氏变换重要公式
拉氏变换及应用
常用函数的拉氏变换
很好的拉普拉斯变换讲解
拉氏变换与Z变换的基本公式及性质
拉氏变换表(包含计算公式)
第二章习题及答案