(完整版)中考数学常见几何模型简介
初中几何常见模型解析
模型一：手拉手模型-旋转型全等
（1）等边三角形
?条件：均为等边三角形
?结论：①；②；③平分。
（2）等腰
?条件：均为等腰直角三角形
?结论：①；②；
?③平分。
（3）任意等腰三角形
?条件：均为等腰三角形
?结论：①；②；
?③平分
模型二：手拉手模型-旋转型相似
（1）一般情况
?条件：，将旋转至右图位置
?结论：
?右图中①；
?②延长AC交BD于点E，必有
（2）特殊情况
?条件：，，将旋转至右图位置
?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有；
③；
④；
⑤连接AD、BC，必有；
⑥（对角线互相垂直的四边形）
模型三：对角互补模型
（1）全等型-90°
?条件：①；②OC平分
?结论：①CD=CE; ②；③
?证明提示：
①作垂直，如图，证明；
②过点C作,如上图（右），证明；
?当的一边交AO的延长线于点D时：
以上三个结论：①CD=CE（不变）；
②；③
此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。
（2）全等型-120°
?条件：①；
?②平分；
?结论：①；②；
?③
?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一；
②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明
为等边三角形。
（3）全等型-任意角
?条件：①；②；
?结论：①平分；②；
?③.
?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）：
原结论变成：①；
②；
③；
可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。
?对角互补模型总结：
①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线；
②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；
③两种常见的辅助线作法；
④注意平分时，相等如何推导？
模型四：角含半角模型90°
（1）角含半角模型90°-1
?条件：①正方形；②；
?结论：①；②的周长为正方形周长的一半；
也可以这样：
?条件：①正方形；②
?结论：
（2）角含半角模型90°-2
?条件：①正方形；②；
?结论：
?辅助线如下图所示：
（3）角含半角模型90°-3
?条件：①；②；
?结论：
若旋转到外部时，结论仍然成立。（4）角含半角模型90°变形
?条件：①正方形；②；
?结论：为等腰直角三角形。
模型五：倍长中线类模型
（1）倍长中线类模型-1
?条件：①矩形；②;③；
?结论：
模型提取：①有平行线；②平行线间线段有中点；
可以构造“8”字全等。
（2）倍长中线类模型-2
?条件：①平行四边形；②；③；④.?结论：
模型六：相似三角形360°旋转模型
（1）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型-倍长中线法
?条件：①、均为等腰直角三角形；②
?结论：①；②
（1）相似三角形（等腰直角）360°旋转模型-补全法
?条件：①、均为等腰直角三角形；②；
?结论：①；②
（2）任意相似直角三角形360°旋转模型-补全法
?条件：①；②;③。
?结论：①；②
（2）任意相似直角三角形360°旋转模型-倍长法
?条件：①；②;③。
?结论：①；②
模型七：最短路程模型
（1）最短路程模型一（将军饮马类）
（2）最短路程模型二（点到直线类1）
?条件：①平分；②为上一定点；③为上一动点；④为上一动点；?求：最小时，的位置？
（3）最短路程模型二（点到直线类2）
?条件：
?问题：为何值时，最小
?求解方法：①轴上取，使；②过作，交轴于点，即为所求；
③，即.
（4）最短路程模型三（旋转类最值模型）
模型八：二倍角模型
模型九：相似三角形模型
（1）相似三角形模型-基本型（2）相似三角形模型-斜交型
（3）相似三角形模型-一线三角型（4）相似三角形模型-圆幂定理型
小学数学常见几何模型典型例题及解题思路
* 小学数学常见几何模型典型例题及解题思路（1） 巧求面积 常用方法：直接求；整体减空白；不规则转规则（平移、旋转等）；模型（鸟头、蝴蝶、漏斗等模型）；差不变 1、ABCG 是边长为12厘米的正方形，右上角是一个边长为6厘米的正方形FGDE ，求阴影部分的面积。答案：72 A H F E C B I D G 思路：1）直接求，但是阴影部分的三角形和四边形面积都无法直接求；2）整体减空白。关键在于如何找到整体，发现梯形BCEF 可求，且空白分别两个矩形面积的一半。 2、在长方形ABCD 中，BE=5，EC=4，CF=4，FD=1。△AEF 的面积是多少答案：20 |
A D B F C E 思路：1）直接求，无法直接求；2）由于知道了各个边的数据，因此空白部分的面积都可求 3、如图所示的长方形中，E 、F 分别是AD 和DC 的中点。 （1）如果已知AB=10厘米，BC=6厘米，那么阴影部分面积是多少平方厘米答案： （2）如果已知长方形ABCD 的面积是64平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米答案：24 B C D F E 思路（1）直接求，无法直接求；2）已经知道了各个边的数据，因此可以求出空白的位置；3）也可以利用鸟头模型 4、正方形ABCD 边长是6厘米，△AFD （甲）是正方形的一部分，△CEF （乙）的面积比△AFD （甲）大6平方厘米。请问CE 的长是多少厘米。答案：8 @
A B D C F 思路：差不变 5、把长为15厘米，宽为12厘米的长方形，分割成4个三角形，其面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，且S 1=S 2=S 3+S 4。求S 4。答案：10 D C E F S 1 S 2 S 3 S 4 思路：求S4需要知道FC 和EC 的长度；FC 不能直接求，但是DF 可求，DF 可以由三分之一矩形面积S1÷AD ×2得到，同理EC 也求。最后一句三角形面积公式得到结果。 6、长方形ABCD 内的阴影部分面积之和为70，AB=8，AD=15。求四边形EFGO 的面积。答案10。 A B C D F O E G 思路：看到长方形和平行四边形，只要有对角线，就知道里面四个三
中考数学常见几何模型简介教学总结
初中几何常见模型解析 模型一：手拉手模型-旋转型全等 （1）等边三角形 ?条件：均为等边三角形 ?结论：①；②；③平分。（2）等腰 ?条件：均为等腰直角三角形 ?结论：①；②； ?③平分。 （3）任意等腰三角形 ?条件：均为等腰三角形 ?结论：①；②； ?③平分 模型二：手拉手模型-旋转型相似 （1）一般情况 ?条件：，将旋转至右图位置 ?结论： ?右图中①； ?②延长AC交BD于点E，必有
（2）特殊情况 ?条件：，，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有；③； ④； ⑤连接AD、BC，必有； ⑥（对角线互相垂直的四边形）
模型三：对角互补模型 （1）全等型-90° ?条件：①；②OC平分 ?结论：①CD=CE; ②；③ ?证明提示： ①作垂直，如图，证明； ②过点C作,如上图（右），证明； ?当的一边交AO的延长线于点D时： 以上三个结论：①CD=CE（不变）； ②；③ 此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。 （2）全等型-120° ?条件：①； ?②平分； ?结论：①；②； ?③ ?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等边三角形。（3）全等型-任意角 ?条件：①；②； ?结论：①平分；②； ?③.
?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①；②； ③； 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 ?对角互补模型总结： ①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线； ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③两种常见的辅助线作法； ④注意平分时，相等如何推导？
初中数学常用几何模型及构造方法大全
初中数学常用几何模型及构造方法大全几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间… 全等变换 平移：平行等线段（平行四边形） 对称：角平分线或垂直或半角 旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转 对称全等模型 角分线模型 往角两边作垂线 往角两边截取等线段 过角分线某点作垂线 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。
对称半角模型 说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。 旋转全等模型 半角：有一个角含1/2角及相邻线段 自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题 旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。
自旋转模型 构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形 遇90度旋90度，造等腰直角 遇等腰旋顶点，造旋转全等 遇中点旋180度，造中心对称 共旋转模型 说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。
模型变换 说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
全等三角形常见的几何模型
1、绕点型（手拉手模型） （1）自旋转：?????? ?，造中心对称遇中点旋 全等遇等腰旋顶角，造旋转 ，造等腰直角 旋遇，造等边三角形旋遇自旋转构造方法00 00018090906060 （2 ）共旋转（典型的手拉手模型） 例1、在直线ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （ 3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） △AGB ≌△DFB （5） △ EGB ≌△CFB （6） BH 平分∠AHC （7） GF ∥AC 变式练习1、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接 AE 与CD ，证明： （1） △ABE ≌△DBC （2） AE=DC （3） AE 与DC 的夹角为60。 （4） AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC 变式练习2、如果两个等边三角形△ABD 和△BCE ，连接AE 与CD ，证明： (1)△ABE ≌△DBC (2)AE=DC (3)AE 与DC 的夹角为60。 （4）AE 与DC 的交点设为H,BH 平分∠AHC
3、（1）如图1，点C 是线段AB 上一点，分别以AC ，BC 为边在AB 的同侧作等边△ACM 和△CBN ，连接AN ，BM ．分别取BM ，AN 的中点E ，F ，连接CE ，CF ，EF ．观察并猜想△CEF 的形状，并说明理由． （2）若将（1）中的“以AC ，BC 为边作等边△ACM 和△CBN ”改为“以AC ，BC 为腰在AB 的同侧作等腰△ACM 和△CBN ，”如图2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 例4、例题讲解： 1. 已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与B,C 重合），以AD 为边作菱形ADEF(按A,D,E,F 逆时针排列），使∠DAF=60°,连接CF. (1) 如图1，当点D 在边BC 上时，求证：① BD=CF ? ②AC=CF+CD. (2)如图2，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图3，当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系。 2、半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 例1、如图，正方形ABCD 的边长为1，AB,AD 上各存在一点P 、Q ，若△APQ 的周长为2， 求PCQ 的度数。 Q
初中几何常见九大模型解析(完美版)
初中几何常见九大模型解析(完美版) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
初中几何常见九大模型解析 模型一：手拉手模型-旋转型全等 （1）等边三角形 ?条件：均为等边三角形 ?结论：①；②；③平分。 （2）等腰 ?条件：均为等腰直角三角形 ?结论：①；②； ?③平分。 （3）任意等腰三角形 ?条件：均为等腰三角形 ?结论：①；②； ?③平分 模型二：手拉手模型-旋转型相似 （1）一般情况 ?条件：，将旋转至右图位置 ?结论： ?右图中①； ?②延长AC交BD于点E，必有
（2）特殊情况 ?条件：，，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有；③； ④； ⑤连接AD、BC，必有； ⑥（对角线互相垂直的四边形） 模型三：对角互补模型 （1）全等型-90° ?条件：①；②OC平分 ?结论：①CD=CE;②； ③ ?证明提示： ①作垂直，如图，证明； ②过点C作,如上图（右），证明； ?当的一边交AO的延长线于点D时： 以上三个结论：①CD=CE（不变）； ②；③ 此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。 （2）全等型-120° ?条件：①； ?②平分； ?结论：①；②； ?③
?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等边三角形。 （3）全等型-任意角 ?条件：①；②； ?结论：①平分；②； ?③. ?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①；②；③； 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 ?对角互补模型总结： ①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线； ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③两种常见的辅助线作法； ④注意平分时，相等如何推导？ 模型四：角含半角模型90° （1）角含半角模型90°-1 ?条件：①正方形；②； ?结论：①；②的周长为正方形周长的一半； 也可以这样： ?条件：①正方形；② ?结论：
盘点小升初平面几何常考五大模型
盘点小升初平面几何常考五大模型 （一）等积变换模型性质与应用简介 导读：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，这一期我们讲解了解一下五大模型第一块——等积变换模型。 等积变换模型例题讲解与课后练习题 （一）例题讲解与分析 ?【例1】：如右图，在△ABC中，BE=3AE，CD=2AD．若△ADE的面积是1平方厘米，那么三角形ABC的面积是多少 【解答】连接BD,S△ABD和S△ AED同高，面积比等于底边比，所以三角形ABD的面积是4， S△ABD和S△ABC同高面积比等于底边比，三角形ABC的面积是ABD的3倍，是12. 【总结】要找准那两个三角形的高相同。 【例2】：如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积=5，三角形DOC的面积=4，三角形AOB的面积=15，求三角形BOC的面积是多少
【解答】S△ADO=5,S△DOC=4根据结论2，△ADO与△DOC同高所以面积比等于底的比,即AO/OC=5:4同理S△AOB/S△BOC=AO/OC=5:4,因为S△AOB=15所以S△BOC=12。 【总结】从这个题目我们可以发现，题目的条件和结论都是三角形的面积比，我们在解题过程中借助结论2，先把面积比转化成线段比，再把线段比用结论2转化成面积比，解决了问题。事实上，这2次转化的过程就相当于在条件和结论中搭了一座“桥梁”，请同学们体会 一下。 （二）课后练习题讲解与分析 （二）鸟头定理（共角定理）模型 导语：平面几何问题，是历年小升初的必考题目，也在各大杯赛中占有很大比例，这些题目都是以等积变形为主导思想，结合五大模型的变化应用交织而成的，第二期我们讲解了解一下五大模型第二块——鸟头定理（共角定理）模型。
初中：数学几何模型大全
全等变换 平移：平行等线段（平行四边形） 对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转 对称全等模型说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。 对称半角模型说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。 旋转全等模型 半角：有一个角含1/2角及相邻线段自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题
旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 自旋转模型构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形遇90度旋90度，造等腰直角遇等腰旋顶点，造旋转全等遇中点旋180度，造中心对称
共旋转模型 说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。
模型变形 说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。
中点旋转： 说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。
中考数学 几何模型汇编
中点模型 【模型1】倍长 1、倍长中线； 2、倍长类中线； 3、中点遇平行线延长相交 A B C D E A B C D E F E D C B A 【模型2】遇多个中点，构造中位线 1、直接连接中点； 2、连对角线取中点再相连 G A B C D E F A B C D E 【例1】在菱形ABCD 和正三角形BEF 中，∠ABC ＝60°，G 是DF 的中点，连接GC 、GE ． （1）如图1，当点E 在BC 边上时，若AB ＝10，BF ＝4，求GE 的长； （2）如图2，当点F 在AB 的延长线上时，线段GE 、GC 有怎样的数量和位置关系，写出你的猜想，并给予证明； （3）如图3，当点F 在CB 的延长线上时，（2）问中的关系还成立吗？写出你的猜想，并给予证明． 图3 图2图1 A C D E F G D E F G C D E G A B B F C B A 【解答】 （1）延长EG 交CD 于点H 易证明△CHG ≌△CEG ，则GE ＝ 注意G 的两端点D 、E 所在的直线DC ∥FE
F A （2）延长CG 交AB 于点I ， 易证明△BCE ≌△FIE ，则△CEI 是等边三角形，GE ＝3GC ，且GE ⊥GC A F （3） E J 【例2】如图，在菱形ABCD 中，点E 、F 分别是BC 、CD 上一点，连接DE 、EF ，且AE ＝AF ，∠DAE ＝∠BAF . （1）求证：CE ＝CF ； （2）若∠ABC ＝120°，点G 是线段AF 的中点，连接DG 、EG ，求证：DG ⊥EG . G F E D C B A 【解答】 （1）证明△ABE ≌△ADF 即可； （2）延长DG 与AB 相交于点H ，连接HE ，证明△HBE ≌△EFD 即可 为什么是证明△BCE ≌△FIE 你理解吗？ 你能写出解题思路和过程吗？ 类似的为什么要延长CG 呢，可以延长EG 吗？
初中几何模型及常见结论的总结归纳
初中几何模型及常见结论的总结归纳 三角形的概念 三角形边、角之间的关系：①任意两边之和大于第三边（任意两边之差小于第三边）；②三角形内角和为0180（外角和为0 360）；③三角形的外角等于不相邻的两内角和。 三角形的三线：(1)中线（三角形的顶点和对边中点的连线）;三角形三边中线交于一点（重心） 如）；DE 之到?S 如图，已知AB ，AC 的长，求AF 的取值范围时。我们可以通过倍长 中线。利用三角形边的关系在三角形ABD 中构建不等关系。（AC AB AF AC AB +- 2）. (2)角平分线（三角形三内角的角平分线）；三角形的三条内角平分线交于一点（内心）
如等 OE ； r = 2
（3）垂线（三角形顶点到对边的垂线）；三角形三条边上的高交于一点（垂心） 如图，O为三角形ABC的垂心，我们可以得到比较多的锐角相等如 COD ABC ACO ABO∠ = ∠ ∠ = ∠；等。因此垂线（或高）这样的条件在题目中出现，我们往往可以得出比较多的锐角相等。（等角或同角的余角相等），此外，如果要求垂线段的长度或与垂线段有关的长度问题，我们通常用面积法求解。在上图中，若已知CE AC AB， ，的长度，求BE的长。 特别注意：在等腰三角形中，我们通常所指的三线合一就是指中线、角平分线、高线。三线合一：已知三角形三线中的任意两个条件是重合的，那么就可以得出第三条线也是重合的。在具体运用时，我们往往时把三线合一的等腰三角形补充完整再加以运用。 三角形全等 三角形全等我们要牢记住它的五个判定方法。（SSS,SAS,ASA,AAS,HL） 在具体运用时，我们需要找出判定三角形全等的各种条件，不外乎是关于边相等或相等的问题。 对于寻找角相等：常有四种方法：①两条平行线被第三条直线所截得出的“三线八角”的结论；②对顶角相等；③锐角互余；④三角形的外角等于不相邻的两内角和。 对于寻找边相等：常有三种方法：①特殊图形中隐含的条件（如等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形。。。。。）；②利用三线合一的正逆定理；③通过已有的全等三角形性质得出。对于证明角相等，证明边相等，我们都要优先考虑边或角所在的三角形全等。（一定要注意对应）如果不能直接通过全等证明，我们就要转化角或转化边（用上面的几种方法）然后再考虑全等。 全等三角形的基本图形： 平移类全等；对称类全等；旋转类全等；
初中数学九大几何模型
初中数学九大几何模型 一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB 【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED O A B C D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E 图 1 O A C D E 图 2 O A B C D E O A B C D E 图 1 图 2
二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况 【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况 【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； ③ ===OA OB OC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有22 22CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21 S △BCD ?= 三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90° 【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 2 1 S S S =+= 证明提示： ①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN ②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21 S S =- O B C O A C D E O B C D E O A C D A O B C D E 图 1 A O B C D E M N 图 2 A O B C D E F 图 3 A O B C D E M N 图 4
中考数学几何五大模型
一、等积变换模型 ⑴等底等高的两个三角形面积相等； 其它常见的面积相等的情况 ⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。 如上图12::S S a b = ⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD 。 ⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半； ⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 二、鸟头定理（共角定理）模型 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 如图，在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点(如图1)或D 在BA 的延长线上， 五大模型
E 在AC 上(如图2)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 图1 图2 三、蝴蝶定理模型 任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”) ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③梯形S 的对应份数为()2a b +。 四、相似模型 相似三角形性质： 金字塔模型 沙漏模型
初中几何常见九大模型解析(完美版)
初中几何常见九大模型解析模型一：手拉手模型-旋转型全等 （1）等边三角形 ?条件：均为等边三角形 ?结论：①；②；③平分。 （2）等腰 ?条件：均为等腰直角三角形 ?结论：①；②； ?】 ?③平分。 （3）任意等腰三角形 ?条件：均为等腰三角形 ?结论：①；②； ?③平分 模型二：手拉手模型-旋转型相似 （1）一般情况 ?条件：，将旋转至右图位置 ?` ?结论： ?右图中①； ?②延长AC交BD于点E，必有
（2）特殊情况 ?条件：，，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有； ③； ④； ' ⑤连接AD、BC，必有； ⑥（对角线互相垂直的四边形） 模型三：对角互补模型 （1）全等型-90° ?条件：①；②OC平分 ?结论：①CD=CE;②；③ ?证明提示： ①作垂直，如图，证明； - ②过点C作,如上图（右），证明； ?当的一边交AO的延长线于点D时： 以上三个结论：①CD=CE（不变）； ②；③ 此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。 （2）全等型-120° ?条件：①； ?②平分； ?<
?结论：①；②； ?③ ?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等 边三角形。 （3）全等型-任意角 ?条件：①；②； ?结论：①平分；②； ?③. ?' ?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①；②；③； 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 ?对角互补模型总结： ①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线； ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③两种常见的辅助线作法； ④注意平分时，相等如何推导 ? 模型四：角含半角模型90°
(完整版)初中数学常用几何模型及构造方法大全
g a t a t i m e a n d A l l t h i n g s i n t h e i r b e i n g a r e g o o d f o r s o 初中数学常用几何模型及构造方法大全， 掌握它轻松搞定压轴题！ 几何是初中数学中非常重要的内容，一般会在压轴题中进行考察，而掌握几何模型能够为考试节省不少时间，这次整理了常用的各大模型，一定要认真掌握哦~全等变换 平移：平行等线段（平行四边形）对称：角平分线或垂直或半角旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转对称全等模型 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。对称半角模型 说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。旋转全等模型 半角：有一个角含1/2角及相邻线段 自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题
g a t a t i m e a n d A l l t h i n g s i n t h e i r b e i n g a r e g o o d f o r s o 旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。自旋转模型构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形; 遇90度旋90度，造等腰直角;遇等腰旋顶点，造旋转全等; 遇中点旋180度，造中心对称. 共旋转模型
九年级数学初中常见几何模型汇总(图片版)
初中常见几何模型汇总 全等变换 平移：平行等线段（平行四边形） 对称：角平分线或垂直或半角 旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转 对称全等模型 说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。 对称半角模型 说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。 旋转全等模型 半角：有一个角含1/2角及相邻线段 自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等 共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等 中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题 旋转半角模型 说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。 自旋转模型 构造方法： 遇60度旋60度，造等边三角形 遇90度旋90度，造等腰直角 遇等腰旋顶点，造旋转全等 遇中点旋180度，造中心对称 共旋转模型 说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。 模型变换 说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。 当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。 中点旋转： 说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三
初中数学九大几何模型
初中数学九大几何模型 Prepared on 24 November 2020
初中数学九大几何模型 一、手拉手模型----旋转型全等 （1）等边三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等边三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=60°；③OE 平分∠AED （2）等腰直角三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰直角三角形； 【结论】：①△OAC ≌△OBD ；②∠AEB=90°；③OE 平分∠AED （3）顶角相等的两任意等腰三角形 【条件】：△OAB 和△OCD 均为等腰三角形； 且∠COD=∠AOB 【结论】：①△OAC ≌△OBD ； ②∠AEB=∠AOB ； ③OE 平分∠AED 二、模型二：手拉手模型----旋转型相似 （1）一般情况 【条件】：CD ∥AB ， 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA （2）特殊情况 【条件】：CD ∥AB ，∠AOB=90° 将△OCD 旋转至右图的位置 【结论】：①右图中△OCD ∽△OAB →→→△OAC ∽△OBD ； ②延长AC 交BD 于点E ，必有∠BEC=∠BOA ； O A B C D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E 图 1 O A B C D E 图 2 O A B C D E O C D E 图 1图 2O C O C D E O B C D E O C D
③ ===OA OB OC OD AC BD tan ∠OCD ；④BD ⊥AC ； ⑤连接AD 、BC ，必有22 22CD AB B C AD +=+；⑥BD AC 21 S △BCD ?= 三、模型三、对角互补模型 （1）全等型-90° 【条件】：①∠AOB=∠DCE=90°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=2OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 2 1 S S S =+= 证明提示： ①作垂直，如图2，证明△CDM ≌△CEN ②过点C 作CF ⊥OC ，如图3，证明△ODC ≌△FEC ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如图4）： 以上三个结论：①CD=CE ；②OE-OD=2OC ； ③2△OCD △OCE OC 21 S S =- （2）全等型-120° 【条件】：①∠AOB=2∠DCE=120°；②OC 平分∠AOB 【结论】：①CD=CE ；②OD+OE=OC ；③2△OCE △OCD △DCE OC 43 S S S =+= 证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如右下图：在OB 上取一点F ，使OF=OC ，证明△OCF 为等边三角形。 （3）全等型-任意角ɑ 【条件】：①∠AOB=2ɑ，∠DCE=180-2ɑ；②CD=CE ； 【结论】：①OC 平分∠AOB ；②OD+OE=2OC ·cos ɑ； ③α cos αsin OC S S S 2△OCE △OCD △DCE ??=+= ※当∠DCE 的一边交AO 的延长线于D 时（如右下图）： 原结论变成：①； ②； ③。 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。 A O B C D E 图 1 A O B C D E M N 图 2 A O B C D E F 图 3 A O B C D E M N 图 4 A
全等三角形常见的几何模型
1、绕点型（手拉手模型） 遇 600旋 60 0，造等边三角形 遇 900旋 900，造等腰直角 （ 1）自旋转：自旋转构造方法 遇等腰旋顶角，造旋转全等 遇中点旋 1800，造中心对称 （2）共旋转（典型的手拉手模型） 例 1、在直线 ABC 的同一侧作两个等边三角形△ABD和△ BCE，连接 AE与 CD，证明： （ 1）△ ABE≌△ DBC D （ 2）AE=DC （ 3）AE 与 DC的夹角为 60。E （ 4）△ AGB≌△ DFB H F （ 5）△ EGB≌△ CFB G （6） BH平分∠ AHC （7）GF∥AC A B C 变式练习 1、如果两个等边三角形△ABD和△ BCE，连接 AE 与 CD，证明： （ 1）△ ABE≌△ DBC D （ 2）AE=DC C （ 3）AE 与 DC的夹角为 60。 E （ 4）AE 与 DC的交点设为 H,BH平分∠ AHC A B
变式练习 2、如果两个等边三角形△ABD 和△ BCE，连接 AE 与 CD，证明： D (1) △ ABE≌△ DBC (2)AE=DC (3)AE 与 DC的夹角为 60。 （ 4） AE与 DC的交点设为 H,BH 平分∠ AHC B A H E C （1）如图 1，点 C 是线段 AB 上一点，分别以 AC ，BC 为边在 AB 的同侧作等边△ ACM 和△ CBN ，连接 AN ，BM ．分别取BM ， AN 的中点 E， F，连接 CE， CF， EF．观察并猜想△ CEF 的形状，并说明理由． （2）若将（ 1）中的“以 AC ，BC 为边作等边△ ACM 和△ CBN”改为“以 AC ，BC 为腰在 AB 的同侧作等腰△ ACM 和△CBN ，”如图 2，其他条件不变，那么（1）中的结论还成立吗？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． 例 4、例题讲解： 1.已知△ ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上的一动点（点 D 不与 B,C 重合），以 AD 为边作菱形 ADEF( 按 A,D,E,F 逆时针排列），使∠ DAF=60° ,连接 CF. (1) 如图 1，当点 D 在边 BC 上时，求证：①BD=CF ?② AC=CF+CD. (2)如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出AC 、 CF、CD 之间存在的数量关系，并说明理由； (3)如图 3，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC 、CF、CD 之间存在的数量关系。
初中数学常见几何模型解析
初中数学常见几何模型解析模型一：手拉手模型-全等 （1）等边三角形 条件：均为等边三角形 结论：①；②；③平分。（2）等腰 条件：均为等腰直角三角形 结论：①；②；③平分。（3）任意等腰三角形
条件：均为等腰三角形 结论：①；②；③平分。 模型二：手拉手模型-相似 （1）一般情况 条件：，将旋转至右图位置 结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有 （2）特殊情况 条件：，，将旋转至右图位置 结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有；
③；④；⑤连接AD、BC，必有； ⑥（对角线互相垂直的四边形） 模型三：对角互补模型 （1）全等型-90° 条件：①；②OC平分 结论：①CD=CE; ②；③ 证明提示： ①作垂直，如图，证明； ②过点C作,如上图（右），证明； 当的一边交AO的延长线于点D时：
以上三个结论：①CD=CE（不变）；②；③ 此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。 （2）全等型-120° 条件：①；②平分； 结论：①；②；③ 证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等边三角形。
当的一边交AO的延长线于点D时（如上图右）： 原结论变成：①； ②； ③； 可参考上述第②种方法进行证明。 （3）全等型-任意角 条件：①；②； 结论：①平分；②； ③. 当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①； ②； ③； 可参考上述第②种方法进行证明。 请思考初始条件的变化对模型的影响。 如图所示，若将条件“平分”去掉，条件①不变，平分，结论变化如下：
最新中考数学必会几何模型
目录 将军饮马模型 (3) 模型1：直线与两定点 (3) 模型2/角与定点 (10) 模型3两定点一定长 (15) 第十二章辅助圆 (20) 模型1 共端点，等线段模型 (20) 模型2 直角三角形共斜边模型 (23) 半角模型 (32) 模型实例 (33) 8字模型与飞镖模型 (50) 模型1：角的8字模型 (50) 模型2：角的飞镖模型 (54) 模型3 边的“8”字模型 (57) 模型4 边的飞镖模型 (58) 中点四大模型 (63) 模型1 倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形 (63) 模型2 已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”． (66) 模型3 已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理 (71) 模型4 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线 (78) 二次函数 (85) 圆中的辅助线 (91) 模型1 连半径构造等腰三角形 (91) 模型2 构造直角三角形 (94) 模型3 与圆的切线有关的辅助线 (100) 相似模型 (111) 模型1：A、8模型 (111) 模型2 共边共角型 (116) 模型3 一线三等角型 (121) 模型4 倒数型 (127) 模型5 与圆有关的简单相似 (132) 模型6 相似和旋转 (136) 1.2空间几何体的三视图和直观图 (145)
1.3 空间几何体的表面积与体积 (145) 手拉手模型 (147) 模型手拉手 (147) 三垂直全等模型 (158) 模型三垂直全等模型 (158) 蚂蚁行程 (170) 模型立体图形展开的最短路径 (170) 截长补短辅助线模型 (180) 模型：截长补短 (180) 角平分线四大模型 (192) 模型1 角平分线的点向两边作垂线 (192) 模型2 截取构造对称全等 (194) 模型3 角平分线+垂线构造等腰三角形 (198) 模型4 角平分线+平行线 (200)
中考数学常见几何模型简介
初中几何常见模型解析 ?模型一：手拉手模型-旋转型全等 （1）等边三角形 ?条件：均为等边三角形 ?结论：①；②；③平分。 （2）等腰 ?条件：均为等腰直角三角形 ?结论：①；②； ?③平分。 （3）任意等腰三角形 ?条件：均为等腰三角形 ?结论：①；②； ?③平分。 ?模型二：手拉手模型-旋转型相似 （1）一般情况 ?条件：，将旋转至右图位置 ?结论： ?右图中①； ?②延长AC交BD于点E，必有 （2）特殊情况 ?条件：，，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有； ③； ④； ⑤连接AD、BC，必有； ⑥（对角线互相垂直的四边形）
?模型三：对角互补模型 （1）全等型-90° ?条件：①；②OC平分 ?结论：①CD=CE; ②；③ ?证明提示： ①作垂直，如图，证明； ②过点C作,如上图（右），证明 ； ?当的一边交AO的延长线于点D时： 以上三个结论：①CD=CE（不变）；② ；③ 此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。
（2）全等型-120° ?条件：①； ?②平分； ?结论：①；②； ?③ ?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等边三角形。 ?当的一边交AO的延长线于点D时（如上图右）： 原结论变成：①；②； ③； 可参考上述第②种方法进行证明。 （3）全等型-任意角 ?条件：①；②； ?结论：①平分；②； ?③. ?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①；②； ③； 可参考上述第②种方法进行证明。请思考初始条件的变化对模型的影响。
初中几何常考模型汇总(完整版)
O D C B A 第01讲 8字模型与飞镖模型 模型1 角的“8”字模型 如图所示，AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、BC 。 结论：∠A+∠D=∠B+∠C 。 模型分析 8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。 模型实例 观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 。 图1 2 图E A B C D E F D C B A 热搜精练 1．（1）如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E= 。 O O 图1 2 图E A B C D E D C B A 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H= 。 H G E F D C B A
D C B A 105 O O 120D C B A 模型2 角的飞镖模型 如图所示，有结论： ∠D=∠A+∠B+∠C 。 模型分析 飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。 模型实例 如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M 。探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系。 M D C B A 热搜精练 1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ； O 135 E F D C B A 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D = 。
O D C B A O D C B A O C B A O C B A 模型3 边的“8”字模型 如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 。 结论：AC+BD>AD+BC 。 模型实例 如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 。 求证：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD ； （2）AB+BC+CD+AD<2AC+2BD. 模型4 边的飞镖模型 如图所示有结论：AB+AC>BD+CD 。 模型实例 如图，点O 为三角形内部一点。 求证：（1）2（AO+BO+CO ）>AB+BC+AC ； （2）AB+BC+AC>AO+BO+CO.
中考数学常见几何模型简介
几何问题 初中几何常见模型解析 （1）等边三角形 ?条件：均为等边三角形 ?结论：①；②；③平分。（2）等腰 ?条件：均为等腰直角三角形 ?结论：①；②；③平分。（3）任意等腰三角形 ?条件：均为等腰三角形 ?结论：①；②；③平分。?
（1）一般情况 ?条件：，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有 （2）特殊情况 ?条件：，，将旋转至右图位置 ?结论：右图中①；②延长AC交BD于点E，必有； ③；④；⑤连接AD、BC，必有 ； ⑥（对角线互相垂直的四边形） ?
（1）全等型-90° ?条件：①；②OC平分 ?结论：①CD=CE; ②；③ ?证明提示： ①作垂直，如图，证明； ②过点C作,如上图（右），证明；?当的一边交AO的延长线于点D时： 以上三个结论：①CD=CE（不变）；②；③此结论证明方法与前一种情况一致，可自行尝试。
（2）全等型-120° ?条件：①；②平分； ?结论：①；②；③ ?证明提示：①可参考“全等型-90°”证法一； ②如图：在OB上取一点F，使OF=OC，证明为等边三角形。 ?当的一边交AO的延长线于点D时（如上图右）： 原结论变成：①； ②； ③； 可参考上述第②种方法进行证明。
（3）全等型-任意角 ?条件：①；②； ?结论：①平分；②；③ . ?当的一边交AO的延长线于点D时（如右上图）： 原结论变成：①； ②； ③； 可参考上述第②种方法进行证明。 ◇请思考初始条件的变化对模型的影响。 ?
如图所示，若将条件“平分”去掉，条件①不变，平分，结论变化如下： 结论：①；②；③. ?对角互补模型总结： ①常见初始条件：四边形对角互补； 注意两点：四点共圆及直角三角形斜边中线； ②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别； ③两种常见的辅助线作法； ④注意下图中平分时，相等是如何推导的？