高二数学讲义：直线与方程
讲义：直线与方程
内容讲解：
1、直线的倾斜角和斜率：
（1）设直线的倾斜角为α()
0180α≤<，斜率为k ，则tan 2k παα??=≠ ??
?.当2
π
α=时，斜率不存在.
（2）当090α≤<时，0k ≥；当90180α<<时，0k <. （3）过111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线斜率21
2121
()y y k x x x x -=≠-.
2、两直线的位置关系：
两条直线111:l y k x b =+，222:l y k x b =+斜率都存在，则：
（1）1l ∥2l ?12k k =且12b b ≠； （2）12121l l k k ⊥??=-； （3）1l 与2l 重合?12k k =且12b b =
3、直线方程的形式：
（1）点斜式：()00y y k x x -=-（定点，斜率存在） （2）斜截式：y kx b =+（斜率存在，在y 轴上的截距）
（3）两点式：
11
21212121
(,)y y x x y y x x y y x x --=≠≠--（两点）
（4）一般式：(
)
22
00x y C A B A +B += +≠
（5）截距式：
1x y
a b
+=（在x 轴上的截距，在y 轴上的截距）
4、直线的交点坐标：
设11112222:0,:0l A x B y c l A x B y c ++=++=，则： （1）1l 与2l 相交1122A B A B ?
≠；（2）1l ∥2l 111
222
A B C A B C ?=≠；（3）1l 与2l 重合
111
222
A B C A B C ?
==. 5、两点111(,)P x y ，222(,)P x y 间的距离公式2
2
122121()()PP x x y y =
-+- 原点()0,0O 与任一点(),x y P 的距离22OP x y =
+
6、点000(,)P x y 到直线:0l x y C A +B +=的距离002
2
Ax By C d A B
++=
+
（1）点000(,)P x y 到直线:0l x C A +=的距离0Ax C
d A +=
（2）点000(,)P x y 到直线:0l y C B +=的距离0By C
d B
+=
（3）点()0,0P 到直线:0l x y C A +B +=的距离2
2
C d A B
=
+
7、两条平行直线10x y C A +B +=与20x y C A +B +=间的距离122
2
C C d A B
-=
+
8、过直线1111:0l A x B y c ++=与2222:0l A x B y c ++=交点的直线方程为
()111222()()0A x B y C A x B y c R λλ+++++=∈
9、与直线:0l x y C A +B +=平行的直线方程为()0x y D C D A +B +=≠ 与直线:0l x y C A +B +=垂直的直线方程为0x y D B -A += 10、中心对称与轴对称：
（1）中心对称：设点1122(,),(,)P x y E x y 关于点00(,)M x y 对称，则12012
022
x x x y y y +?=???
+?=??
（2）轴对称：设1122(,),(,)P x y E x y 关于直线:0l x y C A +B +=对称，则： a 、0B =时，有
122x x C A +=-且12y y =； b 、0A =时，有122y y C
B
+=-且12x x =
c 、0A B ?≠时，有12121212022y y B
x x A
x x y y A B C -?=?-??++??+?+=??
典型例题
例1. 已知直线(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m)y ＝4m －1． ① 当m ＝ 时，直线的倾斜角为45°．
②当m ＝ 时，直线在x 轴上的截距为1．
③ 当m ＝ 时，直线在y 轴上的截距为－2
3．
④ 当m ＝ 时，直线与x 轴平行．⑤当m ＝ 时，直线过原点．
变式训练1.
（1）直线3y ＋ 3 x ＋2=0的倾斜角是 （ ）A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°
（2）设直线的斜率k=2，P 1（3，5），P 2（x 2，7），P （－1，y 3)是直线上的三点，则x 2，y 3依次是 （ ）
A ．－3，4
B ．2，－3
C ．4，－3
D ．4，3
（3）直线l 1与l 2关于x 轴对称，l 1的斜率是－7 ，则l 2的斜率是 （ ）A ．7 B ．－
77 C ．7
7
D ．－7 （4）直线l 经过两点（1，－2），（－3，4），则该直线的方程是 ．
例2. 已知三点A （1，-1），B （3，3），C （4，5）.求证：A 、B 、C 三点在同一条直线上.
变式训练2. 设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3）、B （b ，b 3）、C （c ，c 3）
在同一直线上，求证：a+b+c=0.
例3．直线3y x =绕原点逆时针旋转0
90，再向右平移１个单位，所得到的直线为( ) （Ａ）1133y x =-+ （Ｂ）113y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）1
13
y x =+
例4．（全国Ⅰ文）若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75
其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号）
例5.已知三角形的顶点是A(－5,0)、B(3,－3)、C(0,2) ，求这个三角形三边所在的直线方程.
例6.一条直线从点A(3,2)出发,经过x轴反射,通过点B(－1,6),求入射光线与反射光线所在的直线方程
例7、已知点A(－3,5) 和B(2,15) , 在直线l：3x－4y+4=0上找一点P, 使|PA|+|PB|最小, 并求这个最小值.
例8、在等腰直角三角形中,已知一条直角边所在直线的方程为2x-y=0,斜边的中点为A(4,2),求其它两边所在直线的方程.
例9、求过点P(－5,－4)且与坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程.
例10、已知点A(2,5)与点B(4,－7),试在y轴上求一点P,使及PB
PA+的值为最小.
例11、过点A(0,1)做一直线l,使它夹在直线1l:x-3y+10=0和2l:2x+y-8=0间的线段被A点平分,试求直线l的方程.
巩固训练
1、直线(2m2-5m-3)x-(m2-9)y＋4=0的倾斜角为π
4
，则m的值是（）
A、3
B、2
C、-2
D、2与3
2、点(a,b)关于直线x+y=0对称的点是 ( )
A、 (－a,－b) B 、 (a,－b) C、 (b,a) D、 (－b,－a)
3、已知l 平行于直线3x+4y－5=0, 且l和两坐标轴在第一象限内所围成三角形面积是24,则直线l的方程是 ( )
A、3x+4y－122=0
B、 3x+4y+122=0
C、 3x+4y－24=0
D、3x+4y＋24=0
4、若直线l经过点(1,1),且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2,则直线l的条数为( )
A、1
B、2
C、3
D、4
5、已知菱形的三个顶点为（a,b ）、（－b,a ）、（0，0），那么这个菱形的第四个顶点为 （ ）
A 、(a －b,a ＋b)
B 、(a ＋b, a －b)
C 、(2a,0)
D 、(0,2a)
6、若点(4，a)到直线4x-3y=1的距离不大于3，则a 的取值范围是（ ）
A 、[]
010， B 、(0，10)
C 、13313，
????
?
? D 、(-∞，0] [10，＋∞)
7、过定点P(2,1)作直线l ,交x 轴和y 轴的正方向于A 、B ，使△ABC 的面积最小，那么l
的方程为 （ ）
A 、x-2y-4=0
B 、x-2y+4=0
C 、2x-y+4=0
D 、x+2y-4=0
8、若直线Ax ＋By ＋C=0与两坐标轴都相交，则有（ ）
A 、A·
B ≠0 B 、A ≠0或B ≠0
C 、C ≠0
D 、A 2
＋B 2
=0
9、已知直线l 1：3x ＋4y=6和l 2：3x-4y=-6，则直线l 1和l 2的倾斜角是（ ）
A 、互补
B 、互余
C 、相等
D 、互为相反数
10、直线(2m 2
-5m-3)x-(m 2
-9)y ＋4=0的倾斜角为
π
4
，则m 的值是（ ）
A 、3
B 、2
C 、-2
D 、2与3
11、△ABC 的一个顶点是A(3,-1),∠B、∠C 的平分线分别是x=0,y=x ，则直线BC 的方程是 （ ） A 、y=2x+5 B 、y=2x+3 C 、y=3x+5 D 、y=-
2
52x + 12、直线kx －y=k －1与ky －x=2k 的交点位于第二象限，那么k 的取值范围是( )
A 、k ＞1
B 、0＜k ＜21
C 、k ＜21
D 、2
1
＜k ＜1
13、直线(m+2)x+m y m m 2)32(2
=--在x 轴上的截距是3,则实数m 的值是( )
A 、52
B 、6
C 、- 5
2
D 、-6
14、若平行四边形三个顶点的坐标为(1，0)，(5，8)，(7，-4),则第四个顶点坐标为 。
15、平行线3x ＋4y －7=0与3x ＋4y ＋8=0截直线x －7y ＋19=0所得线段的长度等于____________.
16、已知点(,)M a b 在直线1543=+y x 上，则22b a +的最小值为
17、 一直线被两直线0653:,064:21=--=++y x l y x l 截得线段的中点是P 点，当P 点为(0,0)时，求此直线方程
(推荐)高中数学直线与方程知识点总结
直线与方程 1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x 轴平行或重合时, 规定α= 0°. 2、倾斜角α的取值范围： 0°≤α＜180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°. 3、直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα ⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在. 4、直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率： 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1 两条直线的平行与垂直 1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，
如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即
直线的点斜式方程 1、 直线的点斜式方程：直线l 经过点),(000y x P ，且斜率为k )(00x x k y y -=- 2、、直线的斜截式方程：已知直线l 的斜率为k ，且与y 轴的交点为),0(b b kx y += 3.2.2 直线的两点式方程 1、直线的两点式方程：已知两点),(),,(222211 y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠ y-y1/y-y2=x-x1/x-x2 2、直线的截距式方程：已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ，与y 轴的交点为B ),0(b ，其中0,0≠≠b a 3.2.3 直线的一般式方程 1、直线的一般式方程：关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax （A ，B 不同时为0） 2、各种直线方程之间的互化。 3.3直线的交点坐标与距离公式 3.3.1两直线的交点坐标 1、给出例题：两直线交点坐标 L1 ：3x+4y-2=0 L1：2x+y +2=0 解：解方程组 3420 2220x y x y +-=??++=? 得 x=-2，y=2
必修二第三章直线与方程知识点总结及练习
必修二 第三章 直线与方程 （1）直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向 或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是（2）直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常 用 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 当时，； 当时，； 当时，不存在。 ②过两点的直线的斜率公式： （ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2） 注意下面四点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关； (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。 当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。 12 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 （7）两条直线的交点 相交 交点坐标即方程组的一组解。 方程组有无数解与重合 （8设是平面直角坐标系中的两个点， （9一点到直线的距离 （10已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ，
2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2 2 21B A C C d +-= 直线的方程 1.设a ，b ，c 是互不相等的三个实数，如果A （a ，a 3 ）、B （b ，b 3 ）、C （c ，c 3 ）在同一直线上，求证：a+b+c=0.证明 ∵A 、B 、C 三点共线，∴k AB =k AC ， ∴ c a c a b a b a --=--3333，化简得a 2+ab+b 2=a 2+ac+ c 2 ， ∴b 2 -c 2 +ab-ac=0，（b-c ）（a+b+c ）=0， ∵a 、b 、c 互不相等，∴b-c ≠0，∴a+b+c=0. 2.若实数x,y 满足等式(x-2)2 +y 2 =3，那么 x y 的最大值为 （ ） A.2 1 B. 3 3 C. 2 3 D.3 答案D 3.求经过点A （-5，2）且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线方程； 解 ①当直线l 在x 、y 轴上的截距都为零时，设所求的直线方程为y=kx, 将（-5，2）代入y=kx 中，得k=-52，此时，直线方程为y=-5 2 x, 即2x+5y=0. ②当横截距、纵截距都不是零时，设所求直线方程为 a y a x +2=1，将（-5，2）代入所设方程，解得a=-2 1 ， 此时，直线方程为x+2y+1=0.综上所述，所求直线方程为x+2y+1=0或2x+5y=0. 4.直线l 经过点P （3，2）且与x ，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，△OAB 的面积为12，求直线l 的方程. 解 方法一 设直线l 的方程为1=+b y a x （a ＞0, b ＞0）, ∴A(a,0),B(0,b), ∴?? ? ??=+=.123, 24b a a b 解得???==.4,6b a ∴所求的直线方程为 4 6y x +=1,即2x+3y-12=0. 方法二 设直线l 的方程为y-2=k(x-3), 令y=0,得直线l 在x 轴上的截距a=3-k 2 ,令x=0,得直线l 在y 轴上的截距b=2-3k. ∴??? ? ? -k 23(2-3k)=24.解得k=-32.∴所求直线方程为y-2=-32(x-3).即2x+3y-12=0. 9.已知线段PQ 两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l ：x+my+m=0与线段PQ 有交点，求m 的取值范围. 解 方法一 直线x+my+m=0恒过A （0，-1）点. k AP = 1011+--=-2，k AQ =2021---=2 3 ，
最新高二-数学集体备课教案
备课时间：8月15日 上课时间：8月24日 §3.1.1倾斜角与斜率 一、 教学目标： （1）知识与技能：理解直线倾斜角和斜率的概，掌握过两点的直线的斜率公式及其应用. （2）过程与方法：培养学生对数学知识的理解应用能力及转化能力；使学生初步了解数形结合分类讨论思想. （3）情感态度与价值观：从学习中体会到用代数方法解决几何问题的优点，能够从不同角度去分析问题，体会代数与几何结合的数学魅力。 二、教学重难点： （1）教学重点：直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式； （2）教学难点：斜率概念的学习，过两点的直线的斜率公式。 三：课时计划：1课时 四、教学过程： 学习目标： 1、 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握它们之间的关系； 2、 掌握过两点的直线的斜率计算公式及其简单的应用。 （一）课题导入 前面，我们学习了两点确定一条直线。 问题1：一点能够确定一条直线？ 问题2：了加多一个点外，在已知一个点的基础上能不能加上另外一个条件使到它能确定一条直线？ 【老师板书】画坐标平面以及一条直线，点出直线上一点，过此点画多条直线。 问题3：这些直线有什么共同点（过同一点，倾斜程度不一样） 如何刻画直线的倾斜程度呢？这就是本节课我们要学习的内容…… （二）讲授新课 1、 直线倾斜角的定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫 做直线l 的倾斜角。 例题：最后在黑板上用尺子依照定义说法比画出倾斜角将直线倾斜角的可能情况显示出来（共四种情况：平行于x 轴，经过一、三象限，垂直于x 轴，经过二、四象限） 注意：（1）直线的向上方向；（2）x 轴的正方向；（3）倾斜角范围是)180,0[??。 练习：下列三个图中所指的角是不是直线的倾斜角？ 命制：王露 校对：高一数学组 审核：刘金琼 第三章 第1节 直线的倾斜角与斜率(第1课时)
直线与方程专题复习上课讲义
直线与方程专题复习
专题复习直线与方程 【基础知识回忆】 1. 直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①关于倾斜角的概念要抓住三点：i ?与x轴相交；ii.x轴正向；iii.直线向上方向? ②直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 ③倾斜角的范围 _____________ . (2)直线的斜率 ①直线的倾斜角与斜率是反映直线倾斜程度的两个量，它们的关系是 ②经过两点P l(X!，y!),P2(X2, y2)(X! X2)两点的斜率公式为：k ③每条直线都有倾斜角，但并 不是每条直线都有斜率。倾斜角为_的直线斜率不存 在。 2. 两直线垂直与平行的判定 (1) 对于不重合的两条直线I i,l2，其斜率分别为k「k2,，则有： l l〃l2 ______________ ____________________________________ ；I l l2 (2) ___________________________________________________ 当不重合的两条直线的斜率都不存在时，这两条直线 ____________________________________ ;当一条直线斜率为 0，另一条直线斜率不存在时，两条直线. 3. 直线方程的几种形式
一般式 Ax By c 0 (A2 B20) 注意：求直线方程时，要灵活选用多种形式? 4. 三个距离公式 (1) ____________________________________________________ 两点只(人，浙),卩2匕2°2)之间的距离公式是：|P l P2| ___________________________________ ? (2)点P(x0, y0)到直线l : Ax By c 0的距离公式是：d _____________ . (3)两条平行线l : Ax By & 0,1: Ax By c? 0间的距离公式是：d . 【典型例题】 题型一：直线的倾斜角与斜率问题 例1、已知坐标平面内三点A( 1,1), B(1,1),C(2, ..3 1). (1) 求直线AB、BC、AC的斜率和倾斜角. (2) 若D为ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的变化范围. 例2、图中的直线11、12、|3的斜率分别为k1、k2、k3,贝U： A . k1 < k2 v k3 B. k3< k1< k2 C. k3< k2< k1 < k2 例3、利用斜率证明三点共线的方法： D. k1 < k3
高二数学直线与方程典型习题教师版
【知识点一：倾斜角与斜率】 （1）直线的倾斜角 ①关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与x 轴相交；2、x 轴正向；3、直线向上方向。 ②直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0 0 ③倾斜角α的范围0 0180α≤< （2）直线的斜率 ①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为0 90的直线斜率不存在. 记作tan k α=0(90)α≠ ⑴当直线l 与x 轴平行或重合时, 00α=,0tan 00k == ⑵当直线l 与x 轴垂直时, 090α=,k 不存在. ②经过两点1112212(,),(,)P x y P x y x x ≠（ ）的直线的斜率公式是21 21 y y k x x -=- ③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. （3）求斜率的一般方法： ①已知直线上两点，根据斜率公式21 2121 ()y y k x x x x -= ≠-求斜率； ②已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率； （4）利用斜率证明三点共线的方法： 已知112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，若123AB BC x x x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。 【知识点二：直线平行与垂直】 （1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k l l =? 特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行 （2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=??⊥k k l l 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确； 由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直；反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直. （2）线段的中点坐标公式 【知识点四 直线的交点坐标与距离】 （1）两条直线的交点
新人教版第三章直线与方程测试题及答案解析
第三章 直线与方程 A 组 一、选择题 1．若直线x ＝1的倾斜角为 α，则 α( )． A ．等于0 B ．等于π C ．等于 2 π D ．不存在 2．图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )． A ．k 1＜k 2＜k 3 B ．k 3＜k 1＜k 2 C ．k 3＜k 2＜k 1 D ．k 1＜k 3＜k 2 3．已知直线l 1经过两点(－1，－2)、(－1，4)，直线l 2经过两点(2，1)、(x ，6)，且l 1∥l 2，则x ＝( )． A ．2 B ．－2 C ．4 D ．1 4．已知直线l 与过点M (－3，2)，N (2，－3)的直线垂直，则直线l 的倾斜角是( )． A ． 3 π B ． 3 2π C ． 4 π D ． 4 3π 5．如果AC ＜0，且BC ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 6．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )． A ．x ＋y －5＝0 B ．2x －y －1＝0 C ．2y －x －4＝0 D ．2x ＋y －7＝0 7．过两直线l 1:x －3y ＋4＝0和l 2:2x ＋y ＋5＝0的交点和原点的直线方程为( )． A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．19x －3y ＝ 0 D ．3x ＋19y ＝0 8．直线l 1:x ＋a 2y ＋6＝0和直线l 2 : (a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0没有公共点，则a 的值 是( )． (第2题)
数学必修2 直线与方程典型 例题
第三章直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1．1 倾斜角与斜率 【知识点归纳】 1.直线的倾斜角： 2.直线的斜率： 3.直线的斜率公式： 【典型例题】 题型一求直线的倾斜角 例 1 已知直线的斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为（）. A. 60° B. 30° C. 60°或120° D. 30°或150° 变式训练： 设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕原点沿逆时针方向旋转45°， 得到直线，则的倾斜角为（）。 A. B. C. D. 当0°≤α＜135°时为，当135°≤α＜180°时，为 题型二求直线的斜率 例2如图所示菱形ABCD中∠BAD=60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率. 变式训练：已知过两点, 的直线l的倾斜角为45°，求实数的值. 题型三直线的倾斜角与斜率的关系 例3右图中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（）. A .k1＜k2＜k3 B. k3＜k1＜k2 C. k3＜k2＜k1 D. k1＜k3＜k2
拓展一三点共线问题 例4 已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值． 变式训练: 若三点P（2，3），Q（3，），R(4，)共线，那么下列成立的是（）. A． B． C． D． 拓展二与参数有关问题 例 5 已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线与线段AB始终有公共点，求直线的斜率的取值范围. 变式训练： 已知两点，直线过定点且与线段AB相交，求直线的斜率的取值范围.
拓展三利用斜率求最值 例 6 已知实数、满足当2≤≤3时，求的最大值与最小值。 变式训练：利用斜率公式证明不等式：且 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定 【知识点归纳】 1.直线平行的判定 2.两条直线垂直的判定（注意垂直与x轴和y轴的两直线）： 【典型例题】 题型一两条直线平行关系 例 1 已知直线经过点M（-3，0）、N（-15，-6），经过点R（-2，）、S（0，），试判断与是否平行？ 变式训练：经过点和的直线平行于斜率等于1的直线，则的值是（）. A．4 B．1 C．1或3 D．1或4
必修2初中数学第三章直线与方程知识点
直线与方程知识点 一、基础知识回顾 1.倾斜角与斜率 知识点1：当直线l 与x 轴相交时， x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角. 注意: 当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度. 知识点2：直线的倾斜角(90)αα≠?的正切值叫做这条直线的斜率.记为tan k α=. 注意: 当直线的倾斜角90οα=时，直线的斜率是不存在的王新敞 知识点3：已知直线上两点111222(,),(,)P x y P x y 12()x x ≠的直线的斜率公式：21 21 y y k x x -= -. 知识点4：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即12//l l ?1k =2k 王新敞 ． 知识点5：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直. 即12l l ⊥?12 1 k k =-?121k k =- 王新敞 注意： 1．1212//l l k k ?=或12,l l 的斜率都不存在且不重合. 2．12121l l k k ⊥?=-或10k =且2l 的斜率不存在，或20k =且1l 的斜率不存在. 2.直 线 的 方 程 知识点6：已知直线l 经过点00(,)P x y ，且斜率为k ，则方程00()y y k x x -=-为直线的点斜式方程. 注意： ⑴x 轴所在直线的方程是 ，y 轴所在直线的方程是 . ⑵经过点000(,)P x y 且平行于x 轴（即垂直于y 轴）的直线方程是 . ⑶经过点000(,)P x y 且平行于y 轴（即垂直于x 轴）的直线方程是 . 知识点7：直线l 与y 轴交点(0,)b 的纵坐标b 叫做直线l 在y 轴上的截距.直线y kx b =+叫做直线的斜截式方程. 注意：截距b 就是函数图象与y 轴交点的纵坐标. 知识点8：已知直线上两点112222(,),(,)P x x P x y 且1212(,)x x y y ≠≠，则通过这两点的直线方程 为11 12122121(,)y y x x x x y y y y x x --=≠≠--，由于这个直线方程由两点确定，叫做直线的两点式方程. 知识点9：已知直线l 与x 轴的交点为(,0)A a ，与y 轴的交点为(0,)B b ，其中0,0a b ≠≠， 则直线l 的方程为 1=+b y a x ，叫做直线的截距式方程. 注意：直线与x 轴交点（a ,0）的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距；直线与y 轴交点（0, b ）的纵坐标b 叫做直线在y 轴上的截距. 知识点10：关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程. 注意：（1）直线一般式能表示平面内的任何一条直线 （2）点00(,)x y 在直线0Ax By C ++=上?00Ax By +0C += 王新敞 3、直线的交点坐标与距离 知识点11： 两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组111222 0A x B y C A x B y C ++=?? ++=?，若方程组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行.
高二数学讲义四点共圆
高二数学竞赛班二试平面几何讲义 第五讲 四点共圆（一） 班级 姓名 一、知识要点： 1. 判定“四点共圆”的方法: （1)若对角互补，则四点共圆； （2）若线段同一侧的两点对线段的张角相等，则四点共圆； （3）圆的割线定理成立，则四点共圆； （4）圆的相交弦定理成立，则四点共圆； 2. “四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路. 二、例题精析： 例1. 在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM ＝∠CBK. 求证：∠DMA ＝∠CKB. （第二届袓冲之杯初中竞赛） A B C D K M ··
例2.给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q 四点共圆. (第19届美国数学奥林匹克) 例3．A、B、C三点共线，O点在直线外，O1，O2，O3分别为△OAB，△OBC， △OCA的外心.求证：O，O1，O2， O3四点共圆. (第27届莫斯科数学奥林匹克) A B C K M N P Q B′ C′ A B C O O O O 1 2 3 ？ ？
三、精选习题： 1．⊙O1交⊙O2于A，B两点，射线O1A交⊙O2于C点，射线O2A 交⊙O1于D点.求证：点A是△BCD的内心. 2．△ABC为不等边三角形.∠A及其外角平分线分别交对边中垂线于A1，A2；同样得到B1，B2，C1，C2.求证：A1A2=B1B2=C1C2.
高一数学《直线与方程》知识点整理
高一数学《直线与方程》知识点整理 1. 当直线l与x轴相交时，我们把x轴正方向与直线l向上方向之 间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时, 我们 规定它的倾斜角为0°. 则直线l的倾斜角的范围是 . 2. 倾斜角不是90°的直线的斜率，等于直线的倾斜角的正切值，即 . 如果知道直线上两点，则有斜率公式 . 特别地是，当，时，直线 与x轴垂直，斜率k不存有;当，时，直线与y轴垂直，斜率k=0. 注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存有，即直线与y轴平行或 者重合. 当α=90°时，斜率k=0;当时，斜率，随着α的增大，斜 率k也增大;当时，斜率，随着α的增大，斜率k也增大. 这样， 能够求解倾斜角α的范围与斜率k取值范围的一些对应问题. 两条直线平行与垂直的判定 1. 对于两条不重合的直线、，其斜率分别为、，有： (1) ;(2) . 2. 特例：两条直线中一条斜率不存有时，另一条斜率也不存有时， 则它们平行，都垂直于x轴;…. 直线的点斜式方程 1. 点斜式：直线过点 ,且斜率为k，其方程为 . 2. 斜截式：直线的斜率为k，在y轴上截距为b，其方程为 . 3. 点斜式和斜截式不能表示垂直x轴直线. 若直线过点且与x轴 垂直,此时它的倾斜角为90°，斜率不存有，它的方程不能用点斜式表示，这时的直线方程为，或 . 4. 注意：与是不同的方程，前者表示的直线上缺少一点，后者才 是整条直线.
直线的两点式方程 1. 两点式：直线经过两点，其方程为， 2. 截距式：直线在x、y轴上的截距分别为a、b，其方程为 . 3. 两点式不能表示垂直x、y轴直线;截距式不能表示垂直x、y轴及过原点的直线. 4. 线段中点坐标公式 . 直线的一般式方程 1. 一般式：，注意A、B不同时为0. 直线一般式方程化为斜截式方程，表示斜率为，y轴上截距为的直线. 2 与直线平行的直线，可设所求方程为 ;与直线垂直的直线，可设所求方程为 . 过点的直线可写为 . 经过点，且平行于直线l的直线方程是 ; 经过点，且垂直于直线l的直线方程是 . 3. 已知直线的方程分别是： ( 不同时为0)， ( 不同时为0)，则两条直线的位置关系能够如下判别： (1) ; (2) ; (3) 与重合 ; (4) 与相交 . 如果时，则 ; 与重合 ; 与相交 . 两条直线的交点坐标 1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组 . 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标;若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行;若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.
人教版高一数学必修2第三章直线与方程单元测试题及答案
必修2第三章《直线与方程》单元测试题 （时间：90 满分：120分） 班别 座号 姓名 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1.若直线过点（１，２），（４，２＋3），则此直线的倾斜角是（ ） Ａ ３０° Ｂ ４５° Ｃ ６０° Ｄ ９０° 2．直线x+6y+2=0在x 轴和y 轴上的截距分别是（ ） A.21 3, B.-- 213, C.--1 2 3, D.－2，－3 3. 如果直线ax+2y+2=0与直线3x-y-2=0平行，则系数a= A 、 -3 B 、-6 C 、2 3- D 、3 2 4.点P （-1，2）到直线8x-6y+15=0的距离为（ ） （A ）2 （B ）2 1 （C ）1 （D ）2 7 5.以Ａ（１，３），Ｂ（－５，１）为端点的线段的垂直平分线方程是（ ） Ａ 3x-y-8=0 B 3x+y+4=0 C 3x-y+6=0 D 3x+y+2=0 6.过点Ｍ（２,１）的直线与Ｘ轴，Ｙ轴分别交于Ｐ,Ｑ两点，且｜ＭＰ｜＝｜ＭＱ｜, 则Ｌ的方程是（ ） Ａ x-2y+3=0 B 2x-y-3=0 C 2x+y-5=0 D x+2y-4=0 7. 直线mx-y+2m+1=0经过一定点，则该点的坐标是 A （-2，1） B （2，1） C （1，-2） D （1，2） 8. 直线0202=++=++n y x m y x 和的位置关系是 （A ）平行 （B ）垂直 （C ）相交但不垂直 （D ）不能确定 9. 如图1，直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3， 则必有 A. k 1 讲义：直线与方程 内容讲解： 1、直线的倾斜角和斜率： （1）设直线的倾斜角为α() 0180α≤<，斜率为k ，则tan 2k παα??=≠ ?? ?.当2 π α=时，斜率不存在. （2）当090α≤<时，0k ≥；当90180α<<时，0k <. （3）过111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线斜率21 2121 ()y y k x x x x -=≠-. 2、两直线的位置关系： 两条直线111:l y k x b =+，222:l y k x b =+斜率都存在，则： （1）1l ∥2l ?12k k =且12b b ≠； （2）12121l l k k ⊥??=-； （3）1l 与2l 重合?12k k =且12b b = 3、直线方程的形式： （1）点斜式：()00y y k x x -=-（定点，斜率存在） （2）斜截式：y kx b =+（斜率存在，在y 轴上的截距） （3）两点式： 11 21212121 (,)y y x x y y x x y y x x --=≠≠--（两点） （4）一般式：( ) 22 00x y C A B A +B += +≠ （5）截距式： 1x y a b +=（在x 轴上的截距，在y 轴上的截距） 4、直线的交点坐标： 设11112222:0,:0l A x B y c l A x B y c ++=++=，则： （1）1l 与2l 相交1122A B A B ? ≠；（2）1l ∥2l 111 222 A B C A B C ?=≠；（3）1l 与2l 重合 111 222 A B C A B C ? ==. 5、两点111(,)P x y ，222(,)P x y 间的距离公式2 2 122121()()PP x x y y = -+- 原点()0,0O 与任一点(),x y P 的距离22OP x y = + 6、点000(,)P x y 到直线:0l x y C A +B +=的距离002 2 Ax By C d A B ++= + （1）点000(,)P x y 到直线:0l x C A +=的距离0Ax C d A += （2）点000(,)P x y 到直线:0l y C B +=的距离0By C d B += （3）点()0,0P 到直线:0l x y C A +B +=的距离2 2 C d A B = + 7、两条平行直线10x y C A +B +=与20x y C A +B +=间的距离122 2 C C d A B -= + 8、过直线1111:0l A x B y c ++=与2222:0l A x B y c ++=交点的直线方程为 ()111222()()0A x B y C A x B y c R λλ+++++=∈ 9、与直线:0l x y C A +B +=平行的直线方程为()0x y D C D A +B +=≠ 与直线:0l x y C A +B +=垂直的直线方程为0x y D B -A += 10、中心对称与轴对称： （1）中心对称：设点1122(,),(,)P x y E x y 关于点00(,)M x y 对称，则12012 022 x x x y y y +?=??? +?=?? （2）轴对称：设1122(,),(,)P x y E x y 关于直线:0l x y C A +B +=对称，则： a 、0B =时，有 122x x C A +=-且12y y =； b 、0A =时，有122y y C B +=-且12x x = 必修二直线与方程专题讲义 1、直线的倾斜角与斜率 （1）直线的倾斜角 ① 关于倾斜角的概念要抓住三点： ⅰ.与x 轴相交; ⅱ.x 轴正向; ⅲ.直线向上方向. ② 直线与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0 0. ③ 倾斜角α的围00 0180α≤<. ④ 090,tan 0k αα?≤ 注：过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定） （1）若2121y y x x ≠=且，直线垂直于x 轴，方程为1x x =； （2）若2121y y x x =≠且，直线垂直于y 轴，方程为1y y =； （3）若2121y y x x ≠≠且，直线方程可用两点式表示） 3、两条直线平行与垂直的判定 （1） 两条直线平行 斜截式：对于两条不重合的直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+，则有 121212//,l l k k b b ?=≠ 注：当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行. 一般式：已知 1111:0l A x B y C ++=, 2222:0l A x B y C ++=，则 1212211221//,l l A B A B AC A C ?=≠ 注：1212211221=,l l A B A B AC A C ?=与重合 1l 与2l 相交01221≠-?B A B A （2）两条直线垂直 斜截式：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则12121l l k k ⊥?=- 注：两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1.如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直. 1．一条光线从点A (－1,3)射向x 轴，经过x 轴上的点P 反射后通过点B (3,1)，求P 点的 坐标． 解 设P (x,0)，则k P A ＝3－0－1－x ＝－3x ＋1，k PB ＝1－03－x ＝13－x ，依题意， 由光的反射定律得k P A ＝－k PB ， 即3x ＋1＝13－x ，解得x ＝2，即P (2,0)． 2．△ABC 为正三角形，顶点A 在x 轴上，A 在边BC 的右侧，∠BAC 的平分线在x 轴上， 求边AB 与AC 所在直线的斜率． 解 如右图，由题意知∠BAO ＝∠OAC ＝30°， ∴直线AB 的倾斜角为180°－30°＝150°，直线AC 的倾斜角为30°， ∴k AB ＝tan 150°＝－33 ， k AC ＝tan 30°＝33 . 3．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，a >b >c >0，试比较f (a )a ，f (b )b ，f (c )c 的大小． 解 画出函数的草图如图，f (x )x 可视为过原点直线的斜率． 由图象可知：f (c )c >f (b )b >f (a )a . 4．(1)已知四点A (5,3)，B (10,6)，C (3，－4)，D (－6,11)，求证：AB ⊥CD . (2)已知直线l 1的斜率k 1＝34 ，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)且l 1⊥l 2，求实数a 的值． (1)证明 由斜率公式得： k AB ＝6－310－5＝35 ， k CD ＝11－(－4)－6－3＝－53， 则k AB ·k CD ＝－1，∴AB ⊥CD . (2)解 ∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1， 即34×a 2＋1－(－2)0－3a ＝－1，解得a ＝1或a ＝3. 5. 如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0)、P (1，t )、Q (1－2t,2＋t )、R (－2t,2)，其中t >0.试判断四边形OPQR 的形状． 解 由斜率公式得k OP ＝t －01－0 ＝t ， 第三章 直线与方程知识点及典型例题 1. 直线的倾斜角 定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x 轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° 2. 直线的斜率 ①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。 直线的斜率常用k 表示。即k=tan 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 当[ ) 90,0∈α时，0≥k ； 当( ) 180,90∈α时，0 【小编寄语】查字典数学网小编给大家整理了人教版高二数学教案,希望能给大家带来帮助! 一、教学目标 根据学生的认知结构特征以及教材内容的特点,依据新课程标准要求,确定本节课的教学目标如下: (1知识与技能目标: 1、了解微积分基本定理的含义; 2、会用牛顿-莱布尼兹公式求简单的定积分. (2过程与方法目标:通过直观实例体会用微积分基本定理求定积分的方法. (3情感、态度与价值观目标: 1、学会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系,提高理性思维能力; 2、了解微积分的科学价值、文化价值. 3、教学重点、难点 重点:使学生直观了解微积分基本定理的含义,并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 难点:了解微积分基本定理的含义. 二、教学设计 复习:1. 定积分定义: 其中 --积分号, -积分上限, -积分下限, -被积函数, -积分变量, -积分区间 2.定积分的几何意义:一般情况下,定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和,在轴上方的面积取正号,在轴下方的面积去负号. 曲边图形面积: ; 变速运动路程: ; 3.定积分的性质: 性质1 性质2 性质3 性质4 二. 引入新课: 计算 (1 (2 上面用定积分定义及几何意义计算定积分,比较复杂不是求定积分的一般方法。我们必须寻求计算定积分的比较一般的方法。 问题: 设一物体沿直线作变速运动,在时刻t时物体所在位置为S(t, 速度为v(t( ,则物体在时间间隔[a,b]内经过的路程可用速度函数表示为。 另一方面,这段路程还可以通过位置函数S(t在[a,b]上的增量S(b-S(a来表达,即s= = = S(b-S(a 而。 推广: 微积分基本定理:如果函数是上的连续函数的任意一个原函数,则 1 / 26 一、直线与方程 ★1、直线的倾斜角及斜率： （1）倾斜角：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角.特别地，当直线与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0，因此，倾斜角的范围是[)π，0. （2）斜率：①倾斜角不是2 π 的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，即αtan =k （2 π α= 时，直线斜率不存在）；②过两点的直线斜率公式：()211 21 2x x x x y y k ≠--= . ★2、直线的方程：点方向式： v y y u x x 0 0-= -（过点()00,y x ，方向向量()v u ,） 点法向式：()()000=-+-y y b x x a （过点()00,y x ，法向量()b a ,） 斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b 点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x 两点式： 11 2121 y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x 截矩式： 1x y a b +=（与x 轴交于点(,0)a ，与y 轴交于点(0,)b ） 一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0） 高考数学基础知识回顾：解析几何 基础知识 2 / 26 ★★3、直线与直线的位置关系：（1）平行直线系：01=++C By Ax 与02=++C By Ax ；（2）垂直直线系：01=++C By Ax 与02=+-C Ay Bx ；（3）直线平行与垂直的充要条件：①当 111:b x k y l +=，222:b x k y l +=时，212121,//b b k k l l ≠=?；12121-=?⊥k k l l ；②当 :1111=++c y b x a l ， :2222=++c y b x a l 时， //122121=-?b a b a l l ； 0212121=+?⊥b b a a l l ★★4、直线的夹角公式：（1）对直线0:1111=++c y b x a l ，0:2222=++c y b x a l ， 2 2 2 22 12 121212121||| |||| |cos |cos b a b a b b a a d d +?++= ?==θα；（2）对直线111:b x k y l +=， 222:b x k y l +=，2 12 11tan k k k k +-= α ★★5、点到直线的距离：（1）点到直线的距离：点()00,y x P 到直线0:1=++C By Ax l 的距离为 2 2 00B A C By Ax d +++= ；（2 ）点在直线的同侧或异侧的问题：令δ= ，当两点在直线l 的同侧，则它们的δ同号；当两点在直线l 的异侧，则δ异号；（3）两平行线间的距离公式： 0:11=++C By Ax l 与0:22=++C By Ax l 为2 2 21B A C C d +-= ★6、线性规划：①设出所求的未知数；①列出约束条件（即不等式组）；①建立目标函数；①作出可行域；①运用图解法求出最优解． 二、圆与方程 ★1、圆的方程：（1）标准方程()()22 2 r b y a x =-+-，圆心 ()b a ,，半径为r ；（2）一般方程 02 2 =++++F Ey Dx y x ，圆心?? ? ??--2,2E D ，半径2422F E D -+，能形成圆的充要条件是 0422>-+F E D ；（3）参数方程：???+=+=θ θ sin cos r b y r a x ，圆心()b a ,，半径为r ． （数学2必修）第三章 直线与方程 [基础训练A 组] 一、选择题 1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=， 则,a b 满足（ ） A ．1=+b a B ．1=-b a C ．0=+b a D ．0=-b a 2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x 3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行， 则m 的值为（ ） A ．0 B ．8- C ．2 D ．10 4．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第二、三、四象限 5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ） A ．0 45,1 B ．0 135,1- C ．090，不存在 D ．0 180，不存在 6．若方程014)()32(2 2 =+--+-+m y m m x m m 表示一条直线，则实数m 满足（ ） A ．0≠m B ．2 3 - ≠m C ．1≠m D ．1≠m ，2 3 - ≠m ，0≠m 二、填空题 1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________. 2．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________;高二数学讲义：直线与方程
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