抽象代数习题

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[精华版]近世代数期末考试试卷及答案

[精华版]近世代数期末考试试卷及答案 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a是生成元,则G的子集( )是子群。 33,,,,aa,e,,e,a,,e,a,aA、 B、 C、 D、 2、下面的代数系统(G,*)中,( )不是群 A、G为整数集合,*为加法 B、G为偶数集合,*为加法 C、G为有理数集合,*为加法 D、G为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N上,下列哪种运算是可结合的,( ) A、a*b=a-b,,,B、 a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b| ,,,,,,3322114、设、、是三个置换,其中=(12)(23)(13),=(24)(14),= ,3(1324),则=( ) 22,,,,,,122121A、 B、 C、 D、 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。 A、不可能是群,,,B、不一定是群 C、一定是群 D、是交换群 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 4Gaa3、已知群中的元素的阶等于50,则的阶等于------。 4、a的阶若是一个有限整数n,那么G与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A?B=-----。 6、若映射既是单射又是满射,则称为-----------------。,,

《抽象代数基础》习题解答

《抽象代数基础》习 题 答 解 于延栋编 盐城师范学院数学科学学院二零零九年五月

第一章 群 论 §1 代数运算 1.设},,,{c b a e A =,A 上的乘法”“?的乘法表如下: 证明: ”“?适合结合律. 证明 设z y x ,,为A 中任意三个元素.为了证明”“?适合结合律,只需证明 )()(z y x z y x ??=??. 下面分两种情形来阐明上式成立. I.z y x ,,中至少有一个等于e . 当e x =时,)()(z y x z y z y x ??=?=??; 当e y =时,)()(z y x z x z y x ??=?=??; 当e z =时,)()(z y x y x z y x ??=?=??. II .z y x ,,都不等于e . (I)z y x ==.这时,)()(z y x e x x z z e z y x ??=?===?=??. (II)z y x ,,两两不等.这时,)()(z y x x x e z z z y x ??=?==?=??. (III)z y x ,,中有且仅有两个相等. 当y x =时,x 和z 是},,{c b a 中的两个不同元素,令u 表示},,{c b a 中其余的那个元素.于是,z z e z y x =?=??)(,z u x z y x =?=??)(,从而,)()(z y x z y x ??=??.同理可知,当z y =或x z =时,都有)()(z y x z y x ??=??. 2.设”“?是集合A 上一个适合结合律的代数运算.对于A 中元素,归纳定义∏=n i i a 1为: 111a a i i =∏=,111 1+=+=????? ??=∏∏r r i i r i i a a a . 证明: ∏∏∏+==+==???? ??????? ??m n k k m j j n n i i a a a 1 11.

抽象代数复习题及答案.docx

《抽象代数》试题及答案 本科 一、单项选择题 ( 在每小题的四个备选答案中,选出一个正确答案, 并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题 3 分) 1. 设 Q 是有理数集,规定 f(x)= x +2; g(x)= x 2 +1, 则( fg ) (x) 等于( B ) A. x 2 2 x 1 B. x 2 3 C. x 2 4x 5 D. x 2 x 3 2. 设 f 是 A 到 B 的单射, g 是 B 到 C 的单射,则 gf 是 A 到 C 的 ( A ) A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 3. 设 S = {( 1),(1 2),( 1 3),( 2 3),( 1 2 3),( 1 3 2)} ,则 S 中与元素 ( 1 32)不能交换的元的个数是 ( C )。 3 3 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在整数环 Z 中,可逆元的个数是 ( B ) 。 A. 1 个 B. 2 个 C. 4 个 D. 无限个 5. 剩余类环 Z 的子环有 ( B ) 。 10 A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个 6. 设 G 是有限群, a G, 且 a 的阶 |a|=12, 则 G 中元素 a 8 的阶为 ( B ) A . 2 B. 3 C. 6 D. 9 7.设 G 是有限群,对任意 a,b G ,以下结论正确的是 ( A ) A. (ab) 1 b 1a 1 B. b 的阶不一定整除 G 的阶 C. G 的单位元不唯一 D. G 中消去律不成立 8. 设 G 是循环群,则以下结论不正确 的是 ( A ) ... A. G C. G 的商群不是循环群 是交换群 D. G B. G 的任何子群都是正规子群 的任何子群都是循环群 9. 设集合 A={a,b,c}, 以下 A A 的子集为等价关系的是 ( C ) A. R 1 = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)} B. R 2 = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)} C. R 3 = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)} D. R 4 = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)} 10. 设 f 是 A 到 B 的满射, g 是 B 到 C 的满射,则 gf 是 A 到 C 的 ( B ) A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 11. 设 S 3 = {(1),( 1 2),( 1 3),( 2 3),( 1 2 3),( 1 3 2)} ,则 S 3 中与元素( 1 2)能交换的元的个数是 ( B )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 12. 在剩余类环 Z 8 中,其可逆元的个数是 ( D ) 。 A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 13. 设( , +,·)是环 ,则下面结论不正确的有 ( C ) 。 R A. R 的零元惟一 B. 若 x a 0 ,则 x a C. 对 a R , a 的负元不惟一 D. 若 a b a c ,则 b c 14. 设 G 是群, a G, 且 a 的阶 |a|=12, 则 G 中元素 a 32 的阶为 ( B )

近世代数初步_习题解答(抽象代数)

《近世代数初步》 习题答案与解答

引 论 章 一、知识摘要 1.A 是非空集合,集合积A A b a b a A A 到},:),{(∈=?的一个映射就称为A 的一个代数运算(二元运算或运算). 2. 设G 非空集合,在G 上有一个代数运算,称作乘法,即对G 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的积,记为c=ab.若这个运算还满足:,,,G c b a ∈? (1),ba ab = (2)),()(bc a c ab = (3)存在单位元e 满足,a ae ea == (4)存在,'G a ∈使得.''e a a aa =='a 称为a 的一个逆元素. 则称G 为一个交换群. (i)若G 只满足上述第2、3和4条,则称G 为一个群. (ii) 若G 只满足上述第2和3条,则称G 为一个幺半群. (iii) 若G 只满足上述第2条,则称G 为一个半群. 3.设F 是至少包含两个元素的集合,在F 上有一个代数运算,称作加法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素c 与之对应,c 称为a 与b 的和,记为c=a+b.在F 上有另一个代数运算,称作乘法,即对F 中任意两个元素a,b,有唯一确定的元素d 与之对应,d 称为a 与b 的积,记为d=ab.若这两个运算还满足: I. F 对加法构成交换群. II. F*=F\{0}对乘法构成交换群. III..)(,,,ac ab c b a F c b a +=+∈? 就称F 为一个域. 4.设R 是至少包含两个元素的集合,在R 上有加法和乘法运算且满足: I. R 对加法构成交换群(加法单位元称为零元,记为0;加法单位逆元称为负元). II. R *=R\{0}对乘法构成幺半群(乘法单位元常记为1). III. .)(,)(,,,ca ba a c b ac ab c b a R c b a +=++=+∈? 就称R 为一个环. 5.群G 中满足消去律:.,,,c b ca ba c b ac ab G c b a =?==?=∈?且 6.R 是环,),0(00,,0,==≠∈≠∈ba ab b R b a R a 或且若有则称a 是R 中的一个左(右)零因子. 7.广义结合律:半群S 中任意n 个元a 1,a 2,…,a n 的乘积a 1a 2…a n 在次序不变的情况下可以将它们任意结合. 8.群G 中的任意元素a 及任意正整数n,定义: 个 n n a aa a ...=, 个 n n a a a a e a 1 110...,----==. 则由广义结合律知,,,Z n m G a ∈?∈?有 .)(,)(,1m m mn n m n m n m a a a a a a a --+=== (在加法群中可写出相应的形式.)

最新抽象代数练习题

抽象代数练习题 一.设A 是一个非空集合,S 是由A 的所有子集构成的集合.则集合的并 ”“ 是S 上的一个代数运算.证明:),( S 是一个半群.(10分) 二.令?? ????????∈???? ??=Z ,,,d c b a d c b a S .证明S 关于矩阵的乘法构成一个半群.(10分)- 三.设G 是一个群,证明:111)(---=a b ab ,G b a ∈?,.(10分) 四.设G 是一个群,证明:G 是交换群的充要条件是 222)(b a ab =,G b a ∈?,.(10分) 五.求证:循环群的商群也是循环群. (10分) 六.设G 是群,H 和K 是G 的子群, (1)证明:HK 是G 的子群KH HK =?. (2)假设H 是G 的正规子群,证明:HK 是G 的子群. (3)假设H 和K 都是G 的正规子群,证明:HK 是G 的正规子群.(20分) 七.设H 是群G 的子群,1-aHa 是H 的共轭子群,证明:1-aHa 与H 同构.(10分) 八.设f 是群G 到群'G 的满同态,'H 是'G 的正规子群,证明:'/')'(/1H G H f G ?-.(20分)

参考答案: 一.证明 众所周知,对于任意的S Z Y X ∈,,,总有 )()(Z Y X Z Y X =. 这就是说,S 上的代数运算”“ 适合结合律,所以),( S 是一个半群. 二.证明 众所周知,对于任意的S C B A ∈,,,总有 S AB ∈,)()(BC A C AB =. 这就是说,矩阵的乘法是S 上的一个代数运算,并且适合结合律,所以S 关于矩阵的乘法构成一个半群. 三.证明 对于任意的G b a ∈,,我们有 e aa aea a bb a a b ab ====------111111)())((, e b b eb b b a a b ab a b ====------111111)())((. 所以 111)(---=a b ab ,G b a ∈?,. 四.证明 必要性是显然的.现在假设G 满足该条件.于是,对于任意的G b a ∈,,我们有222)(b a ab =,即aabb abab =.运用消去律(第5题)立即可得ba ab =.所以G 是交换群. 五.证明 设??=a G 是循环群,H 是G 的子群.于是,我们有 ??=∈=∈=aH n aH n H a H G n n }Z |){(}Z |{/. 这就表明,H G /是循环群. 六.证明 (1)假设HK 是G 的子群.于是,对于任意的G a ∈,我们有 HK a ∈HK a ∈?-1 ?存在H h ∈和K k ∈,使得hk a =-1 ?存在H h ∈和K k ∈,11--=h k a KH a ∈?. 所以KH HK =. 假设KH HK =.为了证明HK 是G 的子群,任意给定HK b a ∈,.于是,存在H h h ∈21,和K k k ∈21,,使得11k h a =,22k h b =.因此 1 21211122111))(())((----==h k k h k h k h ab . 由于KH HK k k h =∈-)(1211,因此存在H h ∈3和K k ∈3,使得331211)(h k k k h =-,从而, HK KH h h k h h k h k k h ab =∈===-=---)()())((1 23312331212111.

2019年暨南大学抽象代数考研试题

2019年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 ******************************************************************************************** 招生专业与代码:网络空间安全083900

(1)到的不同映射共有多少个?(8分) A B (2)到的单射有多少个?(7分) A B 四、(10分)设是正整数,试证:满足方程的复数解的全体在通常乘法运算下n 10n x -=是一个阶循环群。 n 五、(20分)设是两个群。 ,G H (1)设是群同态,。试证:,这里 :f G H →M G ≤1(())f f M K M -=。 (10分) ()K K er f =(2)设是群同态,若是的一个有限阶元,证明的阶整除的阶。:f G H →g G ()f g g (10 分) 六、(20分)设为正整数,求证: 2n ≥(1)模剩余类环中元可逆当且仅当。(10分) n n Z a gcd(,)1n a =(2)若为素数,则是元有限域;若不是素数,则不是整环。(10分) p p Z p n n Z 七、(15分)设是多项式的一个实根。 u 32693[]x x x Q x -++∈(1)求证。(5分) [(): ]3Q u Q =(2)将, 分别表示成的-线性组合。(10分) 4u 1(1)u -+ 21,,u u Q 八、(15分)(1)设是含幺环,为环的理想。并且当时,。R 1,,n I I R i j ≠ i j I I R +=证明有环同构。 (10分) 11/()(/)n n i i R I I R I =?∏ (2)解同余方程组,求出最小正整数解。 (5分) ?? ???≡≡≡)7(mod 2)5(mod 3)3(mod 2x x x 九、(10分)设是群的两个元。满足,,。试证,a b G 2aba ba b =31a =211n b -=。 1b = 考试科目:抽象代数 共 2 页,第 2 页

抽象代数期末考试试卷及答案

抽象代数试题 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、6阶有限群的任何子群一定不是( )。 A、2阶 B、3阶 C、4阶D6阶 2、设G是群,6有()个兀素,则不能肯定G是交换群。 A 4个 B 、5个 C 、6个 D 、7个 3、有限布尔代数的元素的个数一定等于( )。 A、偶数B奇数C、4的倍数D、2的正整数次幕 4、下列哪个偏序集构成有界格( ) A、(N, ) B 、(乙) C、({2,3,4,6,12},| (整除关系)) D (P(A),) 5、设S3= {(1) , (12),(13),(23),(123),(132)},那么,在S3 中可以与(123) 交换的所有元素有() A (1),(123),(132) B 、12),(13),(23) C、⑴,(123) D 、S3中的所有元素 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、群的单位元是---- 的,每个元素的逆元素是-------- 的。 2、如果f是A与A间的一一映射,a是A的一个元,贝卩f1fa ----------------------- , 3、区间[1,2]上的运算a b {min a,b}的单位元是 ------- 。 4、可换群G 中|a|=6,|x|=8, 则|ax|= ------------------------------ 。 5、环Z8的零因子有 -------------- 。 &一个子群H的右、左陪集的个数 -------- 。 7、从同构的观点,每个群只能同构于他/它自己的-------- 。 8、无零因子环R中所有非零元的共同的加法阶数称为R的 -------- 。

近世代数_杨子胥_第二版课后习题答案

近世代数题解 第一章基本概念 §1. 1 1. 4. 5. 近世代数题解§1. 2 2. 3. 近世代数题解§1. 3 1. 解 1)与3)是代数运算,2)不是代数运算. 2. 解这实际上就是M中n个元素可重复的全排列数n n. 3. 解例如AοB=E与AοB=AB—A—B. 4. 5. 近世代数题解§1. 4 1. 2. 3.解 1)略 2)例如规定 4.

近世代数题解§1. 5 1. 解 1)是自同态映射,但非满射和单射;2)是双射,但不是自同构映射3)是自同态映射,但非满射和单射.4)是双射,但非自同构映射. 2.略 3. 4. 5. §1. 6 1. 2. 解 1)不是.因为不满足对称性;2)不是.因为不满足传递性; 3)是等价关系;4)是等价关系. 3. 解 3)每个元素是一个类,4)整个实数集作成一个类. 4. 则易知此关系不满足反身性,但是却满足对称性和传递性(若把Q换成实数域的任一子域均可;实际上这个例子只有数0和0符合关系,此外任何二有理数都不符合关系).5. 6.证 1)略2) 7. 8.

9. 10. 11. 12. 第二章群 §2. 1 群的定义和初步性质 一、主要内容 1.群和半群的定义和例子特别是一船线性群、n次单位根群和四元数群等例子. 2.群的初步性质 1)群中左单位元也是右单位元且惟一; 2)群中每个元素的左逆元也是右逆元且惟一: 3)半群G是群?方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G). 4)有限半群作成群?两个消去律成立. 二、释疑解难 有资料指出,群有50多种不同的定义方法.但最常用的有以下四种: 1)教材中的定义方法.简称为“左左定义法”; 2)把左单位元换成有单位元,把左逆元换成右逆元(其余不动〕.简称为“右右定义法”; 3)不分左右,把单位元和逆元都规定成双边的,此简称为“双边定义法”; 4)半群G再加上方程a x=b与y a=b在G中有解(?a ,b∈G).此简称为“方程定义法”. “左左定义法”与“右右定义法”无甚差异,不再多说.“双边定\义法”缺点是定义中条件不完全独立,而且在验算一个群的实例时必须验证单位元和逆元都是双边的,多了一层手续

自考《数学教育》专业-近世代数习题指导

自考《数学教育》专业-近世代数习题指导

自考《近世代数》练习1及答案 一、判断题(下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分) 1、设A 、B 、D 都是非空集合,则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。 ( ) 2、设A 与B 都是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且( ) 3、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的,则G 与整数加群同构。 ( ) 4、只要f 是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f 。( ) 5、如果群G 的子群H 是循环群,那么G 也是循环群。 ( ) 6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 ( ) 7、如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠。 ( ) 8、若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子。 ( ) 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 ( ) 10、若域E 的特征是无限大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 是整数环,()p 是由素数p 生成的主理想。 ( ) 二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分) 1、设n A A A ,,,21Λ和D 都是非空集合,而f 是n A A A ???Λ21到D 的一个映射,那么( ) ①集合D A A A n ,,,,21Λ中两两都不相同; ②n A A A ,,,21Λ的次序不能调换; ③n A A A ???Λ21中不同的元对应的象必不相同; ④一个元()n a a a ,,,21Λ的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算( ) ①在整数集Z 上,ab b a b a +=ο; ②在有理数集Q 上,ab b a =ο; ③在正实数集+R 上,b a b a ln =ο;④在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -=ο。 3、设ο是整数集Z 上的二元运算,其中{}b a b a ,m ax =ο(即取a 与b 中的最大者),

近世代数期末试题

近 世 代 数 试 卷 一、判断题(下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分) 1、设A 与B 都是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 ( ) 2、设A 、B 、D 都是非空集合,则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。( ) 3、只要f 是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1 -f 。 ( ) 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的,则G 与整数加群同构。 ( ) 5、如果群G 的子群H 是循环群,那么G 也是循环群。 ( ) 6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 ( ) 7、如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠。 ( ) 8、若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子。 ( ) 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 ( ) 10、若域E 的特征是无限大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 是整 数环,()p 是由素数p 生成的主理想。 ( ) 二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分) 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合,而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射,那么( ) ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同;②n A A A ,,,21 的次序不能调换; ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同; ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算( ) ①在整数集Z 上,ab b a b a += ; ②在有理数集Q 上,ab b a = ; ③在正实数集+R 上,b a b a ln = ;④在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -= 。 3、设 是整数集Z 上的二元运算,其中{}b a b a ,max = (即取a 与b 中的最大者),那么 在Z 中( ) ①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。

近世代数课后习题参考答案(张禾瑞)-1(新)

近世代数课后习题参考答案 第一章 基本概念 1 集合 1.A B ?,但B 不是A 的真子集,这个情况什么时候才能出现? 解 ?只有在B A =时, 才能出现题中说述情况.证明 如下 当B A =,但B 不是A 的真子集,可知凡是属于A 而B a ?,显然矛盾; 若A B ?,但B 不是A 的真子集,可知凡属于A 的元不可能属于B ,故B A = 2.假定B A ?,?=B A ,A ∩B=? 解? 此时, A ∩B=A, 这是因为A ∩B=A 及由B A ?得A ?A ∩B=A,故A B A = ,B B A ? , 及由B A ?得B B A ? ,故B B A = , 2 映射 1.A =}{ 100,3,2,1,??,找一个A A ?到A 的映射. 解? 此时1),(211=a a φ A a a ∈21, 1212),(a a a =φ 易证21,φφ都是A A ?到A 的映射. 2.在你为习题1所找到的映射之下,是不是A 的每一个元都是A A ?到A 的一个元的的象? 解?容易说明在1φ之下,有A 的元不是A A ?的任何元的象;容易验证在2φ之下,A 的每个元都是A A ?的象. 3 代数运算 1.A ={所有不等于零的偶数}.找到一个集合D ,使得普通除法 是A A ?到D 的代数运算;是不是找的到这样的D ? 解?取D 为全体有理数集,易见普通除法是A A ?到D 的代数运算;同时说明这样的D 不 只一个. 2.=A }{c b a ,,.规定A 的两个不同的代数运算. 解? a b c a a b c a b c

b b c a a a a a c c a b b d a a c a a a 4 结合律 1.A ={所有不等于零的实数}. 是普通除法:b a b a = .这个代数运算适合不适合结合律? 解? 这个代数运算不适合结合律: 2 1 2)11(= , 2)21(1= ,从而 )21(12)11( ≠. 2.A ={所有实数}. : b a b a b a =+→2),(这个代数运算适合不适合结合律? 解? 这个代数运算不适合结合律 c b a c b a 22)(++= ,c b a c b a 42)(++= )()(c b a c b a ≠ 除非0=c . 3.A ={c b a ,,},由表 所给的代数运算适合不适合结合律? 解? 经过27个结合等式后可以得出所给的代数运算适合结合律. 5 交换律 1.A ={所有实数}. 是普通减法:b a b a -= .这个代数运算适合不适合交换律? 解? 一般地a b b a -≠- 除非b a =. 2.},,,{d c b a A =,由表 a b c d a a b c d b b d a c c c a b d d d c a b 所给出代数运算适合不适合交换律? a b c a a b c b b c a c c a b

Assignment-I 北京师范大学研究生抽象代数习题一

Assignment I(Abstract Algebra,Sep.21,2012) 1.1.Let G be a group and H be a nonempty?nite subset of G.Prove that H is a subgroup if and only if H is closed under the product of G. 1.2.Prove that each cyclic group is either isomorphic to Z or isomorphic to Z n for some n≥1. 1.3.Let G be the subgroup of GL2(C)generated by A= 01?10 and B= 0i i0 . Prove that G~=Q8,where Q8denotes the quaternion group. 1.4.If G/C(G)is cyclic,then G is abelian,i.e.,C(G)=G. 1.5.Let G be an abelian group of order pq with(p,q)=1.Assume there exist a,b∈G such that|a|=p and|b|=q.Show that G is cyclic. 1.6.A group that has only a?nite number of subgroups must be?nite. 1.7.(Euler–Fermat)Let a be an integer and p a prime such that p?a.Then a p?1≡1(mod p).It follows that a p≡a(mod p)for any integer a. 1.8.If a group contains an element a having exactly two conjugates,then G is not simple. 1.9.Let C×denote the multiplicative group of nonzero complex numbers.Prove that for each n≥1, C×/C n~=C×, where C n={z∈C|z n=1}. 1

近世代数期末考试题库

近世代数模拟试题一 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A =B =R(实数集),如果A 到B 的映射?:x →x +2,?x ∈R ,则?是从A 到B 的( ) A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 2、设集合A 中含有5个元素,集合B 中含有2个元素,那么,A 与B 的积集合A ×B 中含有( )个元素。 A 、2 B 、5 C 、7 D 、10 3、在群G 中方程ax=b ,ya=b , a,b ∈G 都有解,这个解是( )乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样) - 4、当G 为有限群,子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数( ) A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。 5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的( ) A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合{}1,0,1-=A ;{}2,1=B ,则有=?A B ---------。 2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ,都有ae=ea=a ,则e 称为环R 的--------。 3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换,则称R 是一个------。 4、偶数环是---------的子环。 5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。 ~ 6、每一个有限群都有与一个置换群--------。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是---,元a 的逆元是-------。 8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??,如果I 是R 的最大理想,那么---------。 9、一个除环的中心是一个-------。 三、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分) 1、设置换σ和τ分别为:? ? ????=6417352812345678σ,??? ???=2318765412345678τ,判断σ和τ的奇偶性,并把σ和τ写成对换的乘积。 , 2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

《近世代数》模拟试题1及答案

近世代数模拟试题 一. 单项选择题(每题5分,共25分) 1、在整数加群(Z,+)中,下列那个是单位元(). A. 0 B. 1 C. -1 D. 1/n,n是整数 2、下列说法不正确的是(). A . G只包含一个元g,乘法是gg=g。G对这个乘法来说作成一个群; B . G是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群; C . G是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群; D. G是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群. 3. 如果集合M的一个关系是等价关系,则不一定具备的是( ). A . 反身性 B. 对称性 C. 传递性 D. 封闭性 4. 对整数加群Z来说,下列不正确的是(). A. Z没有生成元. B. 1是其生成元. C. -1是其生成元. D. Z是无限循环群. 5. 下列叙述正确的是()。 A. 群G是指一个集合. B. 环R是指一个集合. C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律,并且单位元, 逆元存在. D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律,并且单位元,

逆元存在. 二. 计算题(每题10分,共30分) 1. 设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成 的群,试求中G 中下列各个元素1213,,0101c d cd ???? == ? ?-????, 的阶. 2. 试求出三次对称群 {}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群.

3. 若e是环R的惟一左单位元,那么e是R的单位元吗?若是,请给予证明. 三. 证明题(第1小题10分,第2小题15分,第3小题20分,共45分). 1. 证明: 在群中只有单位元满足方程

近世代数期末考试试题和答案解析

一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a 是生成元,则G 的子集( )是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统(G ,*)中,( )不是群 A 、G 为整数集合,*为加法 B 、G 为偶数集合,*为加法 C 、G 为有理数集合,*为加法 D 、G 为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算是可结合的?( ) A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、 是交换群 二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ,那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既是单射又是满射,则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。

抽象代数复习题及答案

《抽象代数》试题及答案 本科 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确答案, 并将正确答案的序号填在题干的括号内。每小题3分) 1. 设Q 是有理数集,规定f(x)= x +2;g(x)=2 x +1,则(fg )(x)等于( B ) A. 2 21x x ++ B. 2 3x + C. 2 45x x ++ D. 2 3x x ++ 2. 设f 是A 到B 的单射,g 是B 到C 的单射,则gf 是A 到C 的 ( A ) A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 3. 设 S 3 = {(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)},则S 3中与元素(1 32)不能交换的元的个数是( C )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 在整数环Z 中,可逆元的个数是( B )。 \ A. 1个 B. 2个 C. 4个 D. 无限个 5. 剩余类环Z 10的子环有( B )。 A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6. 设G 是有限群,a ∈G, 且a 的阶|a|=12, 则G 中元素8 a 的阶为( B ) A . 2 B. 3 C. 6 D. 9 7.设G 是有限群,对任意a,b ∈G ,以下结论正确的是( A ) A. 111 ) (---=a b ab B. b 的阶不一定整除G 的阶 C. G 的单位元不唯一 D. G 中消去律不成立 8. 设G 是循环群,则以下结论不正确...的是( A ) A. G 的商群不是循环群 B. G 的任何子群都是正规子群 [ C. G 是交换群 D. G 的任何子群都是循环群 9. 设集合 A={a,b,c}, 以下A ?A 的子集为等价关系的是( C ) A. 1R = {(a,a),(a,b),(a,c),(b,b)} B. 2R = {(a,a),(a,b),(b,b),(c,b),(c,c)} C. 3R = {(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)} D. 4R = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),(b,c),(c,b)} 10. 设f 是A 到B 的满射,g 是B 到C 的满射,则gf 是A 到C 的 ( B ) A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 可逆映射 11. 设 S 3 = {(1),(1 2),(1 3),(2 3),(1 2 3),(1 3 2)},则S 3中与元素(1 2)能交换的元的个数是( B )。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 … 12. 在剩余类环8Z 中,其可逆元的个数是( D )。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 13. 设(R ,+,·)是环 ,则下面结论不正确的有( C )。 A. R 的零元惟一 B. 若0x a +=,则x a =-

《近世代数》习题及答案

《近世代数》作业 一.概念解释 1.代数运算 2.群的第一定义 3.域的定义 4.满射 5.群的第二定义 6.理想 7.单射 8.置换 9.除环 10.一一映射 11.群的指数 12.环的单位元 二.判断题 1.Φ是集合n A A A ??? 21列集合D 的映射,则),2,1(n i A i =不能相同。 2.在环R 到环R 的同态满射下,则R 的一个子环S 的象S 不一定是R 的一个子环。 3.设N 为正整数集,并定义ab b a b a ++= ),(N b a ∈,那么N 对所给运算 能作成一个群。 4.假如一个集合A 的代数运算 适合交换率,那么在n a a a a 321里)(A a i ∈,元的次序可以交换。 5.在环R 到R 的同态满射下,R 得一个理想N 的逆象N 一定是R 的理想。 6.环R 的非空子集S 作成子环的充要条件是: 1)若,,S b a ∈则S b a ∈-; 2),,S b a ∈,则S ab ∈。 7.若Φ是A 与A 间的一一映射,则1-Φ是A 与A 间的一一映射。 8.若ε是整环I 的一个元,且ε有逆元,则称ε是整环I 的一个单位。 9.设σ与τ分别为集合A 到B 和B 到C 的映射,如果σ,τ都是单射,则τσ是A 到C 的映射。 10.若对于代数运算 ,,A 与A 同态,那么若A 的代数运算 适合结合律,则A 的代数运算也适合结合律。 11.整环中一个不等于零的元a ,有真因子的冲要条件是bc a =。 12.设F 是任意一个域,*F 是F 的全体非零元素作成的裙,那么* F 的任何有限子群 G 必为循环群。 13. 集合A 的一个分类决定A 的一个等价关系。 ( ) 14. 设1H ,2H 均为群G 的子群,则21H H ?也为G 的子群。 ( ) 15. 群G 的不变子群N 的不变子群M 未必是G 的不变子群。 ( ) 三.证明题 1. 设G 是整数环Z 上行列式等于1或-1的全体n 阶方阵作成集合,证明:对于方阵的普通乘法G 作成一个 群。 2.设G=(a )是循环群,证明:当∞=a 时,G=(a )与整数加群同构。

近世代数期末试题

近 世 代 数 试 卷 一、判断题(下列命题您认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分) 1、设A 与B 都就是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 ( ) 2、设A 、B 、D 都就是非空集合,则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。( ) 3、只要f 就是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f 。 ( ) 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶就是无限的,则G 与整数加群同构。 ( ) 5、如果群G 的子群H 就是循环群,那么G 也就是循环群。 ( ) 6、群G 的子群H 就是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 ( ) 7、如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠。 ( ) 8、若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子。 ( ) 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 ( ) 10、若域E 的特征就是无限大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 就是整数环,()p 就是由素数p 生成的主理想。 ( ) 二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分) 1、设n A A A ,,,21Λ与D 都就是非空集合,而f 就是n A A A ???Λ21到D 的一个映射,那么( ) ①集合D A A A n ,,,,21Λ中两两都不相同;②n A A A ,,,21Λ的次序不能调换; ③n A A A ???Λ21中不同的元对应的象必不相同; ④一个元()n a a a ,,,21Λ的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算就是二元运算( ) ①在整数集Z 上,ab b a b a +=ο; ②在有理数集Q 上,ab b a =ο; ③在正实数集+R 上,b a b a ln =ο;④在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -=ο。 3、设ο就是整数集Z 上的二元运算,其中{}b a b a ,m ax =ο(即取a 与b 中的最大者),那么ο在Z 中( ) ①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。 4、设()ο,G 为群,其中G 就是实数集,而乘法k b a b a ++=οο:,这里k 为G 中固定

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