历年中考数学易错题汇编-锐角三角函数练习题及详细答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG =FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为_______分米;当OB从水平状态旋转到OB′(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处,则B′E′﹣BE为_________分米.
【答案】553
【解析】
【分析】
如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM,再分别求出BE,B′E′即可.
【详解】
解:如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.
∵AM⊥CD,
∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°,
∴四边形OQMP是矩形,
∴QM=OP,
∵OC=OD=10,∠COD=60°,
∴△COD是等边三角形,
∵OP⊥CD,
∠COD=30°,
∴∠COP=1
2
∴QM=OP=OC?cos30°=3
∵∠AOC=∠QOP=90°,
∴∠AOQ=∠COP=30°,
∴AQ=1
OA=5(分米),
2
∴AM=AQ+MQ=5+3
∵OB∥CD,
∴∠BOD=∠ODC=60°
在Rt△OFK中,KO=OF?cos60°=2(分米),FK=OF?sin60°=23(分米),
在Rt△PKE中,EK=22
-=26(分米),
EF FK
∴BE=10?2?26=(8?26)(分米),
在Rt△OFJ中,OJ=OF?cos60°=2(分米),FJ=23(分米),
在Rt△FJE′中,E′J=22
-(2)=26,
63
∴B′E′=10?(26?2)=12?26,
∴B′E′?BE=4.
故答案为:5+53,4.
【点睛】
本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型.
2.小红将笔记本电脑水平放置在桌子上,显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时,感觉最舒适(如图1),侧面示意图为图2;使用时为了散热,她在底板下面垫入散热架ACO'后,电脑转到AO'B'位置(如图3),侧面示意图为图4.已知OA=OB=24cm,O'C⊥OA于点C,O'C=12cm.
(1)求∠CAO'的度数.
(2)显示屏的顶部B'比原来升高了多少?
(3)如图4,垫入散热架后,要使显示屏O'B'与水平线的夹角仍保持120°,则显示屏O'B'应绕点O'按顺时针方向旋转多少度?
【答案】(1)∠CAO′=30°;(2)(36﹣12)cm;(3)显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.
【解析】
试题分析:(1)通过解直角三角形即可得到结果;
(2)过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D,通过解直角三角形求得
BD=OBsin∠BOD=24×=12,由C、O′、B′三点共线可得结果;
(3)显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°,求得∠EO′B′=∠FO′A=30°,既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.
试题解析:(1)∵O′C⊥OA于C,OA=OB=24cm,
∴sin∠CAO′=,
∴∠CAO′=30°;
(2)过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D,∵sin∠BOD=,∴BD=OBsin∠BOD,∵∠AOB=120°,∴∠BOD=60°,∴BD=OBsin∠BOD=24×=12,∵O′C⊥OA,
∠CAO′=30°,
∴∠AO′C=60°,∵∠AO′B′=120°,∴∠AO′B′+∠AO′C=180°,
∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12,
∴显示屏的顶部B′比原来升高了(36﹣12)cm;
(3)显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°,
理由:∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°,
∴∠EO′F=120°,
∴∠FO′A=∠CAO′=30°,
∵∠AO′B′=120°,
∴∠EO′B′=∠FO′A=30°,
∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.
考点:解直角三角形的应用;旋转的性质.
3.如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BC=1,点D在边AC上且BD平分∠ABC,设CD=x.
(1)求证:△ABC∽△BCD;
(2)求x的值;
(3)求cos36°-cos72°的值.
【答案】(1)证明见解析;(215
-+;(3758+
【解析】
试题分析:(1)由等腰三角形ABC 中,顶角的度数求出两底角度数,再由BD 为角平分线求出∠DBC 的度数,得到∠DBC=∠A ,再由∠C 为公共角,利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC 与三角形BCD 相似;
(2)根据(1)结论得到AD=BD=BC ,根据AD+DC 表示出AC ,由(1)两三角形相似得比例求出x 的值即可;
(3)过B 作BE 垂直于AC ,交AC 于点E ,在直角三角形ABE 和直角三角形BCE 中,利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值,代入原式计算即可得到结果. 试题解析:(1)∵等腰△ABC 中,AB=AC ,∠BAC=36°, ∴∠ABC=∠C=72°, ∵BD 平分∠ABC , ∴∠ABD=∠CBD=36°, ∵∠CBD=∠A=36°,∠C=∠C , ∴△ABC ∽△BCD ; (2)∵∠A=∠ABD=36°, ∴AD=BD , ∵BD=BC , ∴AD=BD=CD=1,
设CD=x ,则有AB=AC=x+1, ∵△ABC ∽△BCD ,
∴AB BC BD CD =,即11
1x x +=, 整理得:x 2+x-1=0,
解得:x 1=15
2
-+,x 2=152-(负值,舍去),
则15
-+; (3)过B 作BE ⊥AC ,交AC 于点E ,
∵BD=CD,
∴E为CD中点,即15
-+
在Rt△ABE中,cosA=cos36°=
15
151
4
15
1
AE
AB
-+
++ ==
-+
+
在Rt△BCE中,cosC=cos72°=
15
15
4
14
EC
BC
-+
-+
==,
则cos36°-cos72°=
51
+
=
15
4
-+
=
1
2
.
【考点】1.相似三角形的判定与性质;2.等腰三角形的性质;3.黄金分割;4.解直角三角形.
4.在Rt△ACB和△AEF中,∠ACB=∠AEF=90°,若点P是BF的中点,连接PC,PE.
特殊发现:
如图1,若点E、F分别落在边AB,AC上,则结论:PC=PE成立(不要求证明).
问题探究:
把图1中的△AEF绕点A顺时针旋转.
(1)如图2,若点E落在边CA的延长线上,则上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(2)如图3,若点F落在边AB上,则上述结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请说明理由;
(3)记AC
BC
=k,当k为何值时,△CPE总是等边三角形?(请直接写出后的值,不必说)
【答案】()1 PC PE =成立 ()2 ,PC PE =成立 ()3当k 为3
3
时,CPE 总是等边三角形 【解析】 【分析】
(1)过点P 作PM ⊥CE 于点M ,由EF ⊥AE ,BC ⊥AC ,得到EF ∥MP ∥CB ,从而有
EM FP
MC PB
=,再根据点P 是BF 的中点,可得EM=MC ,据此得到PC=PE . (2)过点F 作FD ⊥AC 于点D ,过点P 作PM ⊥AC 于点M ,连接PD ,先证△DAF ≌△EAF ,即可得出AD=AE ;再证△DAP ≌△EAP ,即可得出PD=PE ;最后根据FD ⊥AC ,BC ⊥AC ,PM ⊥AC ,可得FD ∥BC ∥PM ,再根据点P 是BF 的中点,推得PC=PD ,再根据PD=PE ,即可得到结论.
(3)因为△CPE 总是等边三角形,可得∠CEP=60°,∠CAB=60°;由∠ACB=90°,求出∠CBA=30°;最后根据AC k BC =,AC
BC
=tan30°,求出当△CPE 总是等边三角形时,k 的值是多少即可. 【详解】
解:(1)PC=PE 成立,理由如下:
如图2,过点P 作PM ⊥CE 于点M ,∵EF ⊥AE ,BC ⊥AC ,∴EF ∥MP ∥CB ,∴
EM FP
MC PB
=,∵点P 是BF 的中点,∴EM=MC ,又∵PM ⊥CE ,∴PC=PE ;
(2)PC=PE 成立,理由如下:
如图3,过点F 作FD ⊥AC 于点D ,过点P 作PM ⊥AC 于点M ,连接PD ,∵∠DAF=∠EAF ,∠FDA=∠FEA=90°,在△DAF 和△EAF 中
,∵∠DAF=∠EAF ,∠FDA=∠FEA ,AF=AF , ∴△DAF ≌△EAF (AAS ), ∴AD=AE ,在△DAP 和△EAP 中, ∵AD=AE ,∠DAP=∠EAP ,AP=AP , ∴△DAP ≌△EAP (SAS ), ∴PD=PE ,
∵FD ⊥AC ,BC ⊥AC ,PM ⊥AC , ∴FD ∥BC ∥PM , ∴
DM FP
MC PB
=, ∵点P 是BF 的中点, ∴DM=MC ,又∵PM ⊥AC , ∴PC=PD ,又∵PD=PE , ∴PC=PE ;
(3)如图4,∵△CPE 总是等边三角形, ∴∠CEP=60°, ∴∠CAB=60°, ∵∠ACB=90°,
∴∠CBA=90°﹣∠ACB=90°﹣60°=30°, ∵
AC k BC =,AC
BC
=tan30°, ∴k=tan30°=3
∴当k 为
3
3
时,△CPE 总是等边三角形.
【点睛】
考点:1.几何变换综合题;2.探究型;3.压轴题;4.三角形综合题;5.全等三角形的判定与性质;6.平行线分线段成比例.
5.如图,直线y =
12x +2与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,抛物线y =﹣1
2
x 2+bx +c 经过A 、B 两点,与x 轴的另一个交点为 C . (1)求抛物线的解析式;
(2)根据图象,直接写出满足
12x +2≥﹣1
2
x 2+bx +c 的x 的取值范围; (3)设点D 为该抛物线上的一点、连结AD ,若∠DAC =∠CBO ,求点D 的坐标.
【答案】(1)213
222
y x x =--+;(2)当x ≥0或x ≤﹣4;(3)D 点坐标为(0,2)或(2,﹣3). 【解析】 【分析】 (1)由直线y =1
2
x +2求得A 、B 的坐标,然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式;
(2)观察图象,找出直线在抛物线上方的x 的取值范围;
(3)如图,过D 点作x 轴的垂线,交x 轴于点E ,先求出CO =1,AO =4,再由∠DAC =∠CBO ,得出tan ∠DAC =tan ∠CBO ,从而有,DE CO
AE BO
=,最后分类讨论确定点D 的坐标. 【详解】
解:(1)由y =
1
2
x +2可得: 当x =0时,y =2;当y =0时,x
=﹣4, ∴A (﹣4,0),B (0,2),
把A 、B 的坐标代入y =﹣12x 2+bx +c 得: 322
b c ?
=-
???=?,,
∴抛物线的解析式为:213
222y x x =-
-+ (2)当x ≥0或x ≤﹣4时,12x +2≥﹣1
2
x 2+bx +c
(3)如图,过D 点作x 轴的垂线,交x 轴于点E ,
由213
222
y x x =
-+令y =0, 解得:x 1=1,x 2=﹣4, ∴CO =1,AO =4,
设点D 的坐标为(m ,213
222
m m --+),
∵∠DAC =∠CBO ,
∴tan ∠DAC =tan ∠CBO ,
∴在Rt △ADE 和Rt △BOC 中有DE CO
AE BO
=, 当D 在x 轴上方时,213
2
12242
--+=
+m m m 解得:m 1=0,m 2=﹣4(不合题意,舍去), ∴点D 的坐标为(0,2).
当D 在x 轴下方时,213
(2)
12242
---+=
+m m m 解得:m 1=2,m 2=﹣4(不合题意,舍去), ∴点D 的坐标为(2,﹣3),
故满足条件的D 点坐标为(0,2)或(2,﹣3).
【点睛】
本题是二次函数综合题型,主要考查了一次函数图象上点的坐标特征,待定系数法求二次函数解析式.解题的关键是能够熟练掌握一次函数和二次函数的有关知识解决问题,分类讨论是第(3)题的难点.
6.如图,在平面直角坐标系中,直线DE交x轴于点E(30,0),交y轴于点D(0,
40),直线AB:y=1
3
x+5交x轴于点A,交y轴于点B,交直线DE于点P,过点E作
EF⊥x轴交直线AB于点F,以EF为一边向右作正方形EFGH.
(1)求边EF的长;
(2)将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒10个单位的速度匀速平移,得到正方形E1F1G1H1,在平移过程中边F1G1始终与y轴垂直,设平移的时间为t秒(t>0).
①当点F1移动到点B时,求t的值;
②当G1,H1两点中有一点移动到直线DE上时,请直接写出此时正方形E1F1G1H1与△APE 重叠部分的面积.
【答案】(1)EF=15;(2)①10;②120;
【解析】
【分析】
(1)根据已知点E(30,0),点D(0,40),求出直线DE的直线解析式y=-4
3
x+40,可
求出P点坐标,进而求出F点坐标即可;
(2)①易求B(0,5),当点F1移动到点B时,1010=10;
②F点移动到F'10t,F垂直x轴方向移动的距离是t,当点H运动到直线DE
上时,在Rt△F'NF中,NF
NF'
=
1
3
,EM=NG'=15-F'N=15-3t,在Rt△DMH'中,
4
3
MH
EM
'
=,
t=4,S=1
2
×(12+
45
4
)×11=
1023
8
;当点G运动到直线DE上时,在Rt△F'PK中,
PK
F K'
=
1
3
,
PK=t-3,F'K=3t-9,在Rt△PKG'中,PK
KG'
=
3
1539
t
t
-
-+
=
4
3
,t=7,S=15×(15-7)=120.
【详解】
(1)设直线DE的直线解析式y=kx+b,
将点E(30,0),点D(0,40),
∴
300
40
k b
b
+=
?
?
=
?
,
∴
4
3
40 k
b
?
=-
?
?
?=
?
,
∴y=﹣4
3
x+40,
直线AB与直线DE的交点P(21,12),
由题意知F(30,15),
∴EF=15;
(2)①易求B(0,5),
∴BF=1010,
∴当点F1移动到点B时,t=101010
÷=10;
②当点H运动到直线DE上时,
F点移动到F'10,
在Rt△F'NF中,
NF
NF'
=
1
3
,
∴FN=t,F'N=3t,
∵MH'=FN=t,
EM=NG'=15﹣F'N=15﹣3t,
在Rt△DMH'中,
4
3
MH
EM
'
=,
∴4
1533
t
t
=
-
,
∴t=4,
∴EM=3,MH'=4,
∴S=1451023
(12)11
248
?+?=;
当点G 运动到直线DE 上时,
F 点移动到F'的距离是10t , ∵PF =310, ∴PF'=10t ﹣310, 在Rt △F'PK 中,
1
3
PK F K =', ∴PK =t ﹣3,F'K =3t ﹣9, 在Rt △PKG'中,PK KG '=31539t t --+=4
3
, ∴t =7,
∴S =15×(15﹣7)=120. 【点睛】
本题考查一次函数图象及性质,正方形的性质;掌握待定系数法求函数解析式,利用三角形的正切值求边的关系,利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系,准确确定阴影部分的面积是解题的关键.
7.如图,已知二次函数2
12
y x bx c =
++的图象经过点A (-3,6),并与x 轴交于点B (-1,0)和点C ,顶点为点P . (1)求这个二次函数解析式;
(2)设D 为x 轴上一点,满足∠DPC =∠BAC ,求点D 的坐标;
(3)作直线AP ,在抛物线的对称轴上是否存在一点M ,在直线AP 上是否存在点N ,使AM +MN 的值最小?若存在,求出M 、N 的坐标:若不存在,请说明理由.
【答案】(1)点C坐标为(3,0),点P(1,-2);(2)点P(7,0);(3)点N(-
7 5,
14
5
).
【解析】【分析】
(1)将点A、
B坐标代入二次函数表达式,即可求解;
(2)利用S△ABC= 1
2
×AC×BH=
1
2
×BC×y A,求出sinα=
22
2105
BH
AB
==,则tanα=
1
2
,在
△PMD中,tanα= MD
PM
=
1
2
22
x
=
+
,即可求解;
(3)作点A关于对称轴的对称点A′(5,6),过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N,此时AM+MN最小,即可求解.
【详解】
(1)将点A、B坐标代入二次函数表达式得:
9
633
2
1
2
b
b c
?
=-+
??
?
?=--+
??
,解得:
1
3
2
b
c
=-
?
?
?
=-
??
,
故:抛物线的表达式为:y=1
2
x2-x-
3
2
,
令y=0,则x=-1或3,令x=0,则y=-3
2
,
故点C坐标为(3,0),点P(1,-2);
(2)过点B作BH⊥AC交于点H,过点P作PG⊥x轴交于点G,
设:∠DPC=∠BAC=α,
由题意得:AB10,AC2BC=4,PC2,
S△ABC=1
2
×AC×BH=
1
2
×BC×y A,
解得:BH2
sinα=BH
AB
22
210
=
5
,则tanα=
1
2
,
由题意得:GC=2=PG,故∠PCB=45°,
延长PC,过点D作DM⊥PC交于点M,则MD=MC=x,
在△PMD中,tanα=MD
PM
=
22
x+
=
1
2
,
解得:x=22,则CD=2x=4,
故点P(7,0);
(3)作点A关于对称轴的对称点A′(5,6),
过点A′作A′N⊥AP分别交对称轴与点M、交AP于点N,此时AM+MN最小,
直线AP表达式中的k值为:8
4-
=-2,则直线A′N表达式中的k值为
1
2
,
设直线A′N的表达式为:y=1
2
x+b,
将点A′坐标代入上式并求解得:b=7
2
,
故直线A′N的表达式为:y=1
2
x+
7
2
…①,
当x=1时,y=4,
故点M(1,4),
同理直线AP的表达式为:y=-2x…②,
联立①②两个方程并求解得:x=-7
5
,
故点N(-7
5
,
14
5
).
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、解直角三角形等知识,其中(3),利用对称点求解最小值,是此类题目的一般方法.
8.如图,AB为⊙O的直径,P是BA延长线上一点,CG是⊙O的弦∠PCA=∠ABC,
CG⊥AB,垂足为D
(1)求证:PC是⊙O的切线;
(2)求证:PA AD PC CD
;
(3)过点A作AE∥PC交⊙O于点E,交CD于点F,连接BE,若sin∠P=3
5
,CF=5,求BE
的长.
【答案】(1)见解析;(2)BE=12.
【解析】
【分析】
(1)连接OC,由PC切⊙O于点C,得到OC⊥PC,于是得到∠PCA+∠OCA=90°,由AB为⊙O的直径,得到∠ABC+∠OAC=90°,由于OC=OA,证得∠OCA=∠OAC,于是得到结论;(2)由AE∥PC,得到∠PCA=∠CAF根据垂径定理得到弧AC=弧AG,于是得到
∠ACF=∠ABC,由于∠PCA=∠ABC,推出∠ACF=∠CAF,根据等腰三角形的性质得到
CF=AF,在R t△AFD中,AF=5,sin∠FAD=3
5
,求得FD=3,AD=4,CD=8,在R t△OCD中,
设OC=r,根据勾股定理得到方程r2=(r-4)2+82,解得r=10,得到AB=2r=20,由于AB为
⊙O的直径,得到∠AEB=90°,在R t△ABE中,由sin∠EAD=3
5,得到
BE
AB
=
3
5
,于是求得
结论.
【详解】
(1)证明:连接OC,
∵PC切⊙O于点C,∴OC⊥PC,
∴∠PCO=90°,
∴∠PCA+∠OCA=90°,∵AB为⊙O的直径,∴∠ACB=90°,
∴∠ABC+∠OAC=90°,∵OC=OA,
∴∠OCA=∠OAC,
∴∠PCA=∠ABC;(2)解:∵AE∥PC,∴∠PCA=∠CAF,
∵AB⊥CG,
∴弧AC=弧AG,
∴∠ACF=∠ABC,
∵∠PCA=∠ABC,
∴∠ACF=∠CAF,
∴CF=AF,
∵CF=5,
∴AF=5,
∵AE∥PC,
∴∠FAD=∠P,
∵sin∠P=3
5
,
∴sin∠FAD=3
5
,
在R t△AFD中,AF=5,sin∠FAD=3
5
,
∴FD=3,AD=4,∴CD=8,
在R t△OCD中,设OC=r,
∴r2=(r﹣4)2+82,
∴r=10,
∴AB=2r=20,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠AEB=90°,在R t△ABE中,
∵sin∠EAD=3
5,∴
3
5
BE
AB
,
∵AB=20,
∴BE=12.
【点睛】
本题考查切线的性质,锐角三角函数,圆周角定理,等腰三角形的性质,解题关键是连接OC构造直角三角形.
9.如图,在航线l的两侧分别有观测点A和B,点B到航线l的距离BD为4km,点A位于点B北偏西60°方向且与B相距20km处.现有一艘轮船从位于点A南偏东74°方向的C 处,沿该航线自东向西航行至观测点A的正南方向E处.求这艘轮船的航行路程CE的长
度.(结果精确到0.1km,sin74°≈0.96,cos74°≈0.28,
tan74°≈3.49)
【答案】20.9km 【解析】
分析:根据题意,构造直角三角和相似三角形的数学模型,利用相似三角形的判定与性质和解直角三角形即可. 详解:如图,
在Rt △BDF 中,∵∠DBF=60°,BD=4km ,
∴BF=
cos 60BD
=8km ,
∵AB=20km , ∴AF=12km ,
∵∠AEB=∠BDF ,∠AFE=∠BFD , ∴△AEF ∽△BDF ,
∴
AE BD
AF BF =, ∴AE=6km ,
在Rt △AEF 中,CE=AE?tan74°≈20.9km . 故这艘轮船的航行路程CE 的长度是20.9km .
点睛:本题考查相似三角形,掌握相似三角形的概念,会根据条件判断两个三角形相似.
10.如图,公路AB 为东西走向,在点A 北偏东36.5?方向上,距离5千米处是村庄M ,在点A 北偏东53.5?方向上,距离10千米处是村庄N ;要在公路AB 旁修建一个土特产收购站P (取点P 在AB 上),使得M ,N 两村庄到P 站的距离之和最短,请在图中作出
P 的位置(不写作法)并计算:
(1)M ,N 两村庄之间的距离;
(2)P 到M 、N 距离之和的最小值.(参考数据:sin36.5°=0.6,cos36.5°=0.8,tan36.5°=0.75计算结果保留根号.)
【答案】(1) M,N两村庄之间的距离为29千米;(2) 村庄M、N到P站的最短距离和是55千米.
【解析】
【分析】
(1)作N关于AB的对称点N'与AB交于E,连结MN’与AB交于P,则P为土特产收购站的位置.求出DN,DM,利用勾股定理即可解决问题.
(2)由题意可知,M、N到AB上点P的距离之和最短长度就是MN′的长.
【详解】
解:作N关于AB的对称点N'与AB交于E,连结MN’与AB交于P,则P为土特产收购站的位置.
(1)在Rt△ANE中,AN=10,∠NAB=36.5°
∴NE=AN?sin∠NAB=10?sin36.5°=6,
AE=AN?cos∠NAB=10?cos36.5°=8,
过M作MC⊥AB于点C,
在Rt△MAC中,AM=5,∠MAB=53.5°
∴AC=MA?sin∠AMB=MA?sin36.5°=3,
MC=MA?cos∠AMC=MA?cos36.5°=4,
过点M作MD⊥NE于点D,
在Rt△MND中,MD=AE-AC=5,
ND=NE-MC=2,
∴MN22
29
52
即M,N29
(2)由题意可知,M、N到AB上点P的距离之和最短长度就是MN′的长.
DN′=10,MD=5,在Rt△MDN′中,由勾股定理,得
MN
∴村庄M、N到P站的最短距离和是
【点睛】
本题考查解直角三角形,轴对称变换等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.
培优锐角三角函数辅导专题训练含详细答案
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时,该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示,两支脚OC=OD=10分米,展开角∠COD=60°,晾衣臂OA=OB=10分米,晾衣臂支架HG =FE=6分米,且HO=FO=4分米.当∠AOC=90°时,点A离地面的距离AM为_______分米;当OB从水平状态旋转到OB′(在CO延长线上)时,点E绕点F随之旋转至OB′上的点E′处,则B′E′﹣BE为_________分米. 【答案】553 【解析】 【分析】 如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出AM,再分别求出BE,B′E′即可. 【详解】 解:如图,作OP⊥CD于P,OQ⊥AM于Q,FK⊥OB于K,FJ⊥OC于J. ∵AM⊥CD, ∴∠QMP=∠MPO=∠OQM=90°, ∴四边形OQMP是矩形, ∴QM=OP, ∵OC=OD=10,∠COD=60°, ∴△COD是等边三角形, ∵OP⊥CD, ∠COD=30°, ∴∠COP=1 2 ∴QM=OP=OC?cos30°=3 ∵∠AOC=∠QOP=90°, ∴∠AOQ=∠COP=30°, ∴AQ=1 OA=5(分米), 2 ∴AM=AQ+MQ=5+3 ∵OB∥CD, ∴∠BOD=∠ODC=60°
在Rt△OFK中,KO=OF?cos60°=2(分米),FK=OF?sin60°=23(分米), 在Rt△PKE中,EK=22 -=26(分米), EF FK ∴BE=10?2?26=(8?26)(分米), 在Rt△OFJ中,OJ=OF?cos60°=2(分米),FJ=23(分米), 在Rt△FJE′中,E′J=22 -(2)=26, 63 ∴B′E′=10?(26?2)=12?26, ∴B′E′?BE=4. 故答案为:5+53,4. 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型. 2.在△ABC中,AB=BC,点O是AC的中点,点P是AC上的一个动点(点P不与点A,O,C重合).过点A,点C作直线BP的垂线,垂足分别为点E和点F,连接OE,OF.(1)如图1,请直接写出线段OE与OF的数量关系; (2)如图2,当∠ABC=90°时,请判断线段OE与OF之间的数量关系和位置关系,并说明理由 (3)若|CF﹣AE|=2,EF=23,当△POF为等腰三角形时,请直接写出线段OP的长. 【答案】(1)OF =OE;(2)OF⊥EK,OF=OE,理由见解析;(3)OP62 23 . 【解析】 【分析】(1)如图1中,延长EO交CF于K,证明△AOE≌△COK,从而可得OE=OK,再
中考数学易错题专题训练-二次函数练习题及答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5) (1)求该函数的关系式; (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标; (3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积. 【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15. 【解析】 【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式; (2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标; (3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积. 【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4, 将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1, ∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3; (2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3), 令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1, 即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0); (3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧), 由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0), 当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位, 故A'(2,4),B'(5,﹣5), ∴S△OA′B′=1 2 ×(2+5)×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15. 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的
安徽省中考数学易错题分类汇编
初中数学易错题分类汇编 一、数与式: 1 (A )2,(B (C )2±,(D ) 2例题:等式成立的是.(A )1c ab abc =,(B )632x x x =,(C )1 12112a a a a + +=--,(D )22a x a bx b =. 二、方程与不等式 ⑴字母系数 1例题:关于x 的方程2(2)2(1)10k x k x k ---++=,且3k ≤.求证:方程总有实数根. 2例题:不等式组2,.x x a >-??>? 的解集是x a >,则a 的取值范围是. (A )2a <-,(B )2a =-,(C )2a >-,(D )2a ≥-. ⑵判别式 例题:已知一元二次方程222310x x m -+-=有两个实数根1x ,2x ,且满足不等式 121214 x x x x <+-,求实数的范围. ⑶解的定义 例题:已知实数a 、b 满足条件2720a a -+=,2720b b -+=,则 a b b a +=____________. ⑷增根 例题:m 为何值时,22111 x m x x x x --=+--无实数解. ⑸应用背景 例题:某人乘船由A 地顺流而下到B 地,然后又逆流而上到C 地,共乘船3小时,已知船在静水中的速度为8千米/时,水流速度为2千米/时,若A 、C 两地间距离为2千米,求A 、B 两地间的距离. ⑹失根
例题:解方程(1)1 -=-. x x x 三、函数 ⑴自变量 例题:函数y=中,自变量x的取值范围是_______________. ⑵字母系数 例题:若二次函数22 =-+-的图像过原点,则m=______________. y mx x m m 32 ⑶函数图像 例题:如果一次函数y kx b =+的自变量的取值范围是26 -≤≤,相应的函数值的范围是 x -≤≤,求此函数解析式. y 119 ⑷应用背景 例题:某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,客床可全部租出.若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次这种提高2元的方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚应提高_________元. 四、直线型 ⑴指代不明 ,则斜边上的高等于________. ⑵相似三角形对应性问题 例题:在ABC BC=,D为AC上一点,:2:3 DC AC=,在AB AB=,12 AC=18 △中,9 上取点E,得到ADE △,若两个三角形相似,求DE的长. ⑶等腰三角形底边问题 例题:等腰三角形的一条边为4,周长为10,则它的面积为________. ⑷三角形高的问题 例题:等腰三角形的一边长为10,面积为25,则该三角形的顶角等于多少度? ⑸矩形问题 例题:有一块三角形ABC铁片,已知最长边BC=12cm,高AD=8cm,要把它加工成一
中考数学—分式的易错题汇编含解析
一、选择题 1.PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm (1μm =0.000001m )的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,它们还有一定量的有毒、有害物质,对人体健康和大气环境质量有很大影响.2.3μm 用科学记数法可表示为( ) A .23×10﹣5m B .2.3×10﹣5m C .2.3×10﹣6m D .0.23×10﹣7m 2.计算1÷ 11m m +-(m 2 -1)的结果是( ) A .-m 2-2m -1 B .-m 2+2m -1 C .m 2-2m -1 D .m 2-1 3.如图,设k= 甲图中阴影部分面积 乙图中阴影部分面积 (a >b >0),则有 ( ) 甲 乙 甲
(A )k >2 (B )1<k <2 (C )121< 10.若分式 的值为零,则x 的值为( ) A .0 B .﹣2 C .2 D .﹣2或2 11.分式 (a 、b 均为正数),字母的值都扩大为原来的2倍,则分式的值( ) A .扩大为原来的2倍 B .缩小为原来的 C .不变 D .缩小为原来的 12.在 2x ,1()3x y +,3ππ-,5a x -,24x y -中,分式的个数为( ) A .1 B.2 C.3 D .4 13.若a =-0.3-2 ,b =-3-2 ,c =(- 13)-2,d =(-13 )0 ,则( ) A .a <d <c <b B .b <a <d <c C .a <d <c <b D .a <b <d <c 14.如果为整数,那么使分式 2 22 21 m m m +++的值为整数的的值有( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 15.下列代数式y 2、x 、13π、11 a -中,是分式的是 A . y 2 B . 11 a - C .x D . 13π 16.把分式2n m n +中的m 与n 都扩大3倍,那么这个代数式的值 A .不变 B .扩大3倍 C .扩大6倍 D .缩小到原来的 13 17.已知空气的单位体积质量是0.001239g /cm 3,则用科学记数法表示该数为( )g /cm 3. A .1.239×10﹣3 B .1.2×10﹣3 C .1.239×10﹣2 D .1.239×10﹣4 18.无论a 取何值,下列分式总有意义的是( ) A . 2 1 a a + B . 21 1 a a -+ C . 21 1 a - D . 11 a + 19.下列式子:2222 2213,, ,,,x y a x x a b a xy y π----其中是分式的个数( ). A .2 B .3 C .4 D .5 20.若分式 的值为0,则x 的值是( ) A .3 B -3 C .4 D .-4 21.已知实数 a , b ,c 均不为零,且满足 a + b +c=0,则 锐角三角函数 欧阳光明(2021.03.07) 题型:锐角三角函数基本概念(1) 例:已知α为锐角,下列结论: (1)sin α+cos α=1;(2)若α>45°,则sin α>cos α;(3)若 cos α>21,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有()A.(1)(2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式: 1、下列各式中,不正确的是() A.160cos 60sin 0202=+ B .130cos 30sin 00=+ C.0055cos 35sin = D.tan45°>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-,那么∠A 的取值范围是() A.0°<∠A ≤90° B.90°<∠A<180° C.0°≤∠A<90° D.0°≤∠A ≤90° 3.α是锐角,若sin α=cos150,则α= 4。若sin53018\=0.8018,则cos36042\= 题型:锐角三角函数基本概念(2) 例:已知 sin α·cos α=81,且45°<α<90°,则COS α-sin α的值为() A.23B.2 3- C.43D.23± 变式: 1、已知△ABC 中,∠C=90°,下列各式中正确的是() A.sinA+cosB=sinC B.sinA+sinB=sinC C.2cos 2sin C B A += D.2tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ,则m,n 的关系式() A.m=n B.m=2n+1 C.122+=n m D.n m 212 -= 题型:求三角函数值 例:如图,菱形的边长为5,AC 、BD 相交于点O , AC=6,若a ABD =∠,则下列式子正确的是() A.sin α=54 B.cos α=53 C.tan α=34 D.cot α=34 变式:1、设0°<α<45°,sin αcos α=167 3,则sin α= 2、已知sin α-cos α=5 1,0°<α<180°,则tan α的值是( )43B.43- C.34D.34- 3、如图,在正方形ABCD 中,M 为AD 的中点,E 为AB 上一点,且BE=3AE ,求sin ∠ECM 。 4、如图,在矩形ABCD 中,E 是BC 边上的点,AE BC =,DF AE ⊥,垂足为F ,连接DE 。 (1)求证:ABE △DFA ≌△;(2)如果10AD AB =,=6,求sin EDF ∠的值。 题型:三角函数值的计算(1) 例:计算:000020246tan 45tan 44tan 42sin 48sin ??-+= 变式:1、计算: 2002020010)60cot 4()60tan 25.0(?= 2、计算:0 000002000027tan 63tan 60cot 360sin 60cot 45cos )45sin 30)(cos 45cos 60(sin -++- 题型:三角函数值的计算(2) 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈) 【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解:作BF CE ⊥于F , 在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=, 3.85CF BC cos BCF ?∠≈=, 在Rt ADE ?E 中,3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣= 由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m . 【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC. (1)求证:∠AEC=90°; (2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由; (3)若DC=2,求DH的长. 【答案】(1)证明见解析; (2)四边形AOCD为菱形; (3)DH=2. 【解析】 试题分析:(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得 ,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出 ∠AEC=90°; (2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形); (3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由 DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长. 试题解析:(1)连接OC, 数形结合部分 1.如图,矩形ABCD 中,3AB =cm ,6AD =cm , 点E 为AB 边上的任意一点,四边形EFGB 也是矩形,且2EF BE =,则AFC S =△ 2cm . 2 .5月23日8时40分,哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发,途中除3次因更换车头等原因必须停车外,一路快速行驶,经过80小时到达成都.描述上述过程的大致图象是( ) 3 如图,将ABC △沿DE 折叠,使点A 与BC 边的中点F 重合,下列结论中:①EF AB ∥且1 2EF AB =;②BAF CAF ∠=∠; ③1 2ADFE S AF DE =四边形; ④2BDF FEC BAC ∠+ ∠=∠,正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4 如图,在四边形ABCD 中,动点 P 从点A 开始沿A B C D 的路径匀速前进到D 为止。在这个过程中,△APD 的面积S 随时间t 的变 化关系用图象表示正确的是( ) 5如图,在正方形纸片ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,折叠正方形纸片ABCD ,使AD 落在BD 上,点A 恰好与BD 上的点F 重合.展开后,折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论:①∠AGD=112.5°;②tan ∠AED=2;③S △AGD=S △OGD ;④四边形AEFG 是菱形;⑤BE=2OG.其中正确结论的序号是 . A D C E F G B t t A . B. C . D . F 第20题图 6 福娃们在一起探讨研究下面的题目: 参考下面福娃们的讨论,请你解该题, 你选择的答案是( ) 贝贝:我注意到当 0x =时,0y m =>. 晶晶:我发现图象的对 称轴为1 2 x = . 欢欢:我判断出12x a x <<. 迎迎:我认为关键要判断1a -的符号. 妮妮:m 可以取一个特殊的值. 7 正方形ABCD 中,E 是BC 边上一点,以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心,AB 为半径的圆弧外切,则sin EAB ∠的值为( ) A . 43 B . 34 C .45 D . 3 5 8 一个函数的图象如图,给出以下结论: ①当0x =时,函数值最大; ②当02x <<时,函数y 随x 的增大而减小; ③存在001x <<,当0x x =时,函数值为0. 其中正确的结论是( )A .①② B .①③ C .②③ D .①②③ 9.函数2 y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是 ( ) 10 如图,水平地面上有一面积为2 30cm π的扇形AOB ,半径OA=6cm ,且OA 与地面垂直.在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止,则O 点移动的距离为( )A 、20cm B 、24cm C 、10cm π D 、30cm π 11 在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形,则,,a b c 满足的关系式是( ) A 、b a c =+ B 、b ac =C 、2 2 2 b a c =+ D 、22b a c == 一、旋转真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.(1)发现:如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.填空: 当点A位于时,线段AC的长取得最大值,且最大值为(用含a,b的式子表示) (2)应用:点A为线段BC外一动点,且BC=4,AB=1,如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE. ①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;②直接写出线段BE长的最大值. (3)拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),点P 为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标. 【答案】(1)CB的延长线上, a+b;(2)①CD=BE,理由见解析;②BE长的最大值为5;(3)满足条件的点P坐标(222)或(222),AM的最大值为2+4. 【解析】 【分析】 (1)根据点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,即可得到结论;(2) ①根据已知条件易证△CAD≌△EAB,根据全等三角形的性质即可得CD=BE;②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值,根据(1)中的结论即可得到结果;(3)连接BM,将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,得到△APN是等腰直角三角形,根据全等三角形的性质得到PN=PA=2,BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,即可得到最大值为2+4;如图2,过P作PE⊥x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标.如图3中,根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件,由此求得符合条件的点P另一个的坐标. 【详解】 (1)∵点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b, ∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b, 故答案为CB的延长线上,a+b; (2)①CD=BE, 理由:∵△ABD与△ACE是等边三角形, ∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°, ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, 即∠CAD=∠EAB, 锐角三角函数 题型:锐角三角函数基本概念(1) 例:已知α为锐角,下列结论: (1)sin α+cos α=1;(2)若α>45°,则sin α>cos α;(3)若cos α> 2 1 ,则α<60°;(4)ααsin 1)1(sin 2-=-。正确的有( )A.(1) (2)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(1)(3)(4) D.(1)(2)(3) 变式: 1、下列各式中,不正确的是( ) A.160cos 60sin 0 2 2 =+ B .130cos 30sin 0 =+ C.0 55cos 35sin = °>sin45° 2、已知∠A 满足等式A A cos sin 12=-,那么∠A 的取值范围是( ) °<∠A ≤90° °<∠A<180° °≤∠A<90° °≤∠A ≤90° 3.α是锐角,若sin α=cos150,则α= 4。若sin53018\=,则cos36042\= 题型:锐角三角函数基本概念(2) 例:已知sin α·cos α= 8 1 ,且45°<α<90°,则COS α-sin α的值为( ) A. 23 B.23- C.4 3 D.23± 变式: 1、已知△ABC 中,∠C=90°,下列各式中正确的是( ) A.sinA+cosB=sinC +sinB=sinC C.2cos 2sin C B A += D.2 tan 2tan C B A += 2、已知sin α+cos α=m,sin α×cos α=n ,则m,n 的关系式( ) A.m=n =2n+1 C.122 +=n m D.n m 212 -= 题型:求三角函数值 例:如图,菱形的边长为5,AC 、BD 相交于点O ,AC=6,若a ABD =∠,则 下列式子正确的是( ) A.sin α= 54 α=53 α=34 α=3 4 变式:1、设0°<α<45°,sin αcos α= 16 7 3,则sin α= 2、已知sin α-cos α= 51,0°<α<180°,则tan α的值是( )43 B.43- C.34 D.3 4- 3、如图,在正方形ABCD 中,M 为AD 的中点,E 为AB 上一点,且BE=3AE ,求sin ∠ECM 。培优锐角三角函数之欧阳光明创编
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