定积分的概念教案2

：如何用数学的形式表达分割的几何图形越来越多？（取

n-个点，将区

上等间隔地插入1

lim 3n n →∞= ?0y =所围成的平面图形的面积

个小区间，在每个小区间[]1,i i x x -上取一点

→+∞）时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函

定积分的基本概念

定积分的基本概念摘要：定积分的概念,原理,思想方法。关键词：分割,求和,取极限。通过了一个学期的学习，我们的专业课数学分分析从开始接触时的一窍不通到现在的马马虎虎。使我迷茫的学习慢慢的清晰起来，其中给我学以致用的就是定积分了。可以用来做很多方面的问题。下面来和大家分享一下我学习定积分的感悟。定积分的概念 1)定积分概念的引入 2）“分割、近似求和、取极限”数学思想的建立 3)定积分的数学定义重点：定积分的数学定义难点：“分割、近似求和、取极限”变量数学思想的建立定积分概念的引入在熟悉定积分的概念的同时我们应该明确定积分的基础思想。在灵活运动定积分可以求曲边梯形的面积和变力所做的功，下面来分别的求它们的面积。我们可以从中比较一下，以给我们带来启发。 1曲边梯形的面积中学里我们已经学会了正方形，三角形，梯形等面积的计算，这些图形有一个共同的特征：每条边都是直线段。但我们生活与工程实际中经常接触的大都是曲边图形,他们的面积怎么计算呢？我们通常用一些小矩形面积的和来近似它。

近似看成多边形面积来计算。现在我们来计算一下溢流坝上部断面面积。我们分别取n=10, 50, 100用计算机把它的图像画出来，并计算出面积的近似值： 1.当n=10时，用10个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积时，则S10 0.7510。（见下图）

2.当n=50时，用50个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积时，则S50≈0.6766。 3.当n=100时，用100个小矩形的面积之和作为曲边梯形的面积时，则S100≈0.6717。由此可知，分割越细，越接近面积准确值，而这个和求极限也是同出一则。把它这样简化来理解也就不再那么的难了。再看一个变力做功的问题。设质点m受力F（x）的作用，沿直线由A点运动到B点，求力 F（x）的做的功。 F虽然是变力，但在很短一段时间内△x，F的变化不大，可近似看着是常

§1.5.3定积分的概念教案

1.5.3定积分的概念教学目标能用定积分的定义求简单的定积分；理解掌握定积分的几何意义；重点定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义难点定积分的概念、定积分的几何意义复习： 1．回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤 2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点．新课讲授 1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<= 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ= ，作和式： 1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-= ?= ∑ ∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数 S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为： ()b a S f x dx = ? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。说明：（1）定积分()b a f x dx ?是一个常数，即n S 无限趋近的常数S

（n →+∞时）称为()b a f x dx ? ，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是： ①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1()n i i b a f n ξ=-∑ ； ④取极限：() 1 ()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞ =-=∑ ? （3）曲边图形面积：()b a S f x dx =?；变速运动路程2 1 ()t t S v t dt =?；变力做功 ()b a W F r dr = ? 2．定积分的几何意义如果在区间[,]a b 上函数连续且恒有 ()0 f x ≥，那么定积分 ()b a f x dx ? 表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线() y f x = 所围成的曲边梯形的面积。例1．计算定积分2 1 (1)x dx +? 分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为5 2 。即：2 1 5(1)2 x dx += ? 思考：若改为计算定积分 22 (1)x dx -+? 呢？改变了积分上、下限，被积函数在 [2,2]-上出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题）练习计算下列定积分 1．50(24)x dx -? 解：5 0(24)945x dx -=-=? 2．1 1x dx -? 解：11 111111122 x dx -= ??+ ??=?

新概念英语第二册课文25-36课

Book II Lesson 25 Do the English speak English? I arrived in London at last. The railway station was big, black and dark. I did not know the way to my hotel, so I asked a porter. I not only spoke English very carefully, but very clearly as well. The porter, however, could not understand me; I repeated my question several times and at last he understood. He answered me, but he spoke neither slowly nor clearly. 'I am a foreigner,' I said. Then he spoke slowly, but I could not understand him. My teacher never spoke English like that! The porter and I looked at each other and smiled. Then he said something and I understood it. 'You'll soon learn English!' he said.I wonder. In England, each man speaks a different language. The English understand each other, but I don't understand them ! Do they speak English ? Book II Lesson 26 The best art critics ?I am an art student and I paint a lot of pictures. Many people pretend that they understand modern art. They always tell you what a picture is 'about'. Of course, many pictures arc not 'about' anything. They are just pretty patterns. We like them in the same way that we like pretty curtain material. I think that young children often appreciate modern pictures better than anyone else. They notice more. My sister is only seven, but she always tells me whether my pictures are good or not. She came into my room yesterday.' What are you doing ?' she asked.' I'm hanging this picture on the wall,' I answered. 'It's a new one. Do you like it ?' She looked at it critically for a moment.' It's all right,' she said, 'but isn't it upside-down ?' I looked at it again. She was right! It was! Book II Lesson 27 A wet night Late in the afternoon, the boys put up their tent in the middle of a field. As soon as this was done, they cooked a meal over an open fire.

数学：1.5.3《定积分的概念》教案(新人教A版选修2-2)

1.5.3 定积分的概念教学目标： 1.了解曲边梯形面积与变速直线运动的共同特征. 2.理解定积分及几何意义. 3.掌握定积分的基本性质及其计算教学重点与难点： 1.定积分的概念及几何意义 2.定积分的基本性质及运算教学过程： 1.定积分的定义： 2.怎样用定积分表示： x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？ t =0，t =1，v =0及v =-t 2-1所围成图形的面积？ 31)(102101??===dx x dx x f S 3 5)2()(102102??=+-==dt t dt t v S 3.你能说说定积分的几何意义吗？例如 ?b a dx x f )(的几何意义是什么? 梯形的面积所围成的曲边和曲线，，是直线定积分)(0)()(x f y y b a b x a x dx x f b a ==≠==? 4.4. 根据定积分的几何意义，你能用定积分表示下图中阴影部分的面积吗？思考：试用定积分的几何意义说明 1.?-2024dx x 的大小由直线x =0，x =2，y =0及24x y -= 所围成的曲边梯形的面积，即圆x2+y2=22的面积的4 1，.4202π=-∴?dx x 2. 0 1 13=?-dx x 5. 例：利用定积分的定义，计算01 03=?dx x 的值.

6.由定积分的定义可得到哪些性质？常数与积分的关系 ??=b a b a dx x f k dx x kf )()( 推广到有限个也成立 ???±=±b a b a b a dx x f dx x f dx x f x f )()()]()([2121区间和的积分等于各段积分和 )()()()(b c a dx x f dx x f dx x f b c c a b a <<+=???其中7练习：计算下列定积分?-3 12)2(dx x x

高等数学(上册)教案22定积分的概念与性质

高等数学(上册)教案22定积分的概念与性质 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第5章定积分及其应用定积分的概念与性质【教学目的】： 1. 理解曲边梯形的面积求法的思维方法； 2. 理解定积分的概念及其性质； 3. 掌握定积分的几何意义；【教学重点】： 1. 定积分的概念及其性质；【教学难点】： 1. 曲边梯形面积求法的思维方法；【教学时数】：2学时【教学过程】：案例研究引例5.1.1 曲边梯形的面积问题所谓曲边梯形是指由连续曲线)(x f y =(设0)(≥x f )，直线a x =，b x =和 0=y (即x 轴)所围成的此类型的平面图形（如图5-1所示）．下面来求该曲边梯形的面积．分析由于“矩形面积=底?高”，而曲边梯形在底边上各点处的高()f x 在区间 [,]a b 上是变动的，故它的面积不能按矩形面积公式计算. 另一方面，由于曲线()y f x =在[,]a b 上是连续变化的，所以当点x 在区间 [,]a b 上某处变化很小时，相应的()f x 也就变化不大.于是，考虑用一组平行于 y 轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，当分割得较细，每个小曲边图5-1 图5-2

梯形很窄时，其高()f x 的变化就很小.这样，可以在每个小曲边梯形上作一个与它同底、以底上某点函数值为高的小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，进而用所有小曲边梯形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积（如图5-2所示）.显然，分割越细，近似程度越高，当无限细分时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值. 根据以上分析，可按以下四步计算曲边梯形的面积A . （1）分割在闭区间],[b a 上任意插入1n -个分点， 01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=，将闭区间[,]a b 分成n 个小区间 ],[,],,[,],[],,[112110n n i i x x x x x x x x -- ，它们的长度依次为 11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-，过每一个分点作平行于y 轴的直线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形；（2）取近似在每个小区间1[,]i i x x -(1,2,...,)i n =上任取一点 1()i i i i x x ξξ-≤≤，以小区间1i i i x x x -?=-为底，()i f ξ为高作小矩形，用小矩形的面积()i i f x ξ?近似代替相应的小曲边梯形的面积A ?，即 ()(1,2,...,)i i A f x i n ξ?=?=，（3）求和把这样得到的n 个小矩形的面积加起来，得和式∑=?n i i i x f 1)(ξ，将其作为曲边梯形面积的近似值，即 11()n n i i i i i A A f x ξ===?≈?∑∑；（4）取极限当分点个数n 无限增加，且小区间长度的最大值λ （max{}i x λ=?）趋于零时，上述和式的极限值就是曲边梯形面积的精确值，即 01lim ()n i i i A f x λξ→==?∑. 5.1.1 定积分的定义定义1 设函数()y f x =在闭区间[,]a b 上有界，在闭区间[,]a b 中任意插入1n -个分点 01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=，将区间[,]a b 分成n 个小区间 011211[,],[,],...,[,],...,[,]i i n n x x x x x x x x --，各小区间的长度依次为 11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-，在每个小区间上任取一点)(1i i i i x x ≤≤-ξξ，作函数值)(i f ξ与小区间长度i x ?的乘积),,2,1()(n i x f i i =?ξ，并作和∑=?n i i i x f 1)(ξ，记 }max {i x ?=λ， ),,2,1(n i =，当n 无限增大且0→λ时，若上述和式的极限存在，则称函数()y f x =在区

定积分的概念教案知识讲解

定积分的概念教案

人教A版必修一教材教材内容分析微积分的出现和发展，极大的推动了数学的发展，同时也推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。本节课是定积分概念的第一节课，教材借助求曲边梯形的面积和物理中变速直线运动的路程，通过直观具体的实例引入到定积分的学习中，为定积分概念构建认知基础，为理解定积分概念及几何意义起到了铺垫作用，同时也为今后进一步学习微积分打下基础。学生情况分析本节课的教学对象是本校实验班学生，学生思维比较活跃，理解能力、运算能力和学习交流能力较强。学生前面已经学习了导数，并利用导数研究函数的单调性、极值及生活中的优化问题等，渗透了微分思想。从学生的思维特点看，比较容易把刘徽的“割圆术”与本节课知识联系到一起，能够初步了解到“以直代曲”和“无限逼近”的重要数学思想，但是在具体的“以直代曲”过程中，如何选择适当的直边图形来代替曲边梯形会有一些困难。在对“极限”和“无限逼近”的理解，即理解为什么将直边图形面积和取极限正好是曲边梯形面积的精确值及在对定积分定义的归纳中符号的理解上也会有一些困难。教学目标 1．从物理问题情境中了解定积分概念的实际背景，初步掌握求曲边梯形的面积的方法和步骤：分割、近似代替、求和、取极限； 2．经历求曲变梯形面积的过程，借助几何直观体会“以直代曲”和“逼近”的思想，学习归纳、类比的推理方式，体验从特殊到一般、从具体到抽象、化归与转化的数学思想； 3．认同“有限与无限的对立统一”的辩证观点,感受数学的简单、简洁之美．教学重点直观体会定积分的基本思想方法：“以直代曲”、“无限逼近”的思想；初步掌握求曲边梯形面积的方法步骤——“四步曲”（即：分割、近似代替、求和、取极限）教学难点对“以直代曲”、“逼近” 思想的形成过程的理解．教学方式教师适时引导和学生自主探究发现相结合．辅助工具投影展台，几何画板．教学过程引入新课问题：汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为 S vt =．如果汽车作变速直线运动，在时刻t的速度为()2 v t t=（单位：km/h），那么它在0≤t≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程S （单位：km）是多少？创设情境，引入这节课所要研究的问题. 类比探究，形成方法如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线() y f x =的一段，我们把由直线,(),0 x a x b a b y ==≠=和曲线() y f x =所围成的图形称为曲边梯形．如何计算这个曲边梯形的面积？（1）温故知新，铺垫思想问题1：我们在以前的学习经历中有没有用直边图形的面积计算曲边图形面积这样的例子？问题2：在割圆术中为什么用正多边形的面积计算圆的面积？为什么要逐次加倍正多边形的边数？（2）类比迁移，分组探究问题3：能不能类比割圆术的思想和操作方法把曲边梯形的面积问题转化为直边图形的面积问题？学生活动：学生进行分组讨论、探究。（3）汇报比较，形成方法学生需要用原有的知识与经验去同化或顺应当前要学习的新知识，所以问题1引导学生回忆割圆术的作法，通过问题2引导学生思考割圆术中的思想方法----“以直代曲”，和“无限逼近”。通过问题3激发学生探索的愿望，明确解决问题的方向。

定积分的概念(教案)

1.5.3．定积分的概念一、复习回顾： 1．回忆前面曲边梯形的面积，汽车行驶的路程等问题的解决方法，解决步骤： 2．上述两个问题的共性是什么？二、新知探究 1．定积分的概念注：说明：（1）定积分()b a f x dx ?是一个，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）记为 ()b a f x dx ?，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：（3）曲边图形面积：变速运动路程：变力做功：例1：利用定积分的定义,计算 dx x ?102 、 dx x ?1 03 的值.

2．定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1 ?b a dx x kf )(= ；性质2 dx x g x f b a ?±)]()([= 性质3 ??=c a b a dx x f dx x f )()( + 3．定积分的几何意义从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()b a f x dx ?表示由直线和曲线所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分 ()b a f x dx ?的几何意义。思考：（1）在[,]a b 上0)(≥x f ，()b a f x dx ?= （2）在[,]a b 上0)(≤x f ，()b a f x dx ?= （3）在[,]a b 上)(x f 变号，()b a f x dx ?=

⑤ 练习： 1、利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号。（1） dx x ?20sin π （2）dx x ?-212 （3）dx x ?-1 23 2、利用定积分的几何意义，说明下列各式成立（1） 0sin 22=?-dx x π π ， 0sin 20=?dx x π （2）dx x dx x ??=200sin 2sin π π 3、计算下列定积分（1）dx b a ?1 （2）11x dx -?．（3） 5 0(24)x dx -? （4） dx x ?-1021 （5）120(2)x x dx -? 三、课堂小结： ①定积分的概念及性质②用定义法求简单的定积分③定积分的几何意义

定积分的基本概念

教学内容方法与手段定积分的概念大家好，这节课我们开始学习定积分的概念，主要分为三个内容：定积分概念引入定积分的定义定积分的几何性质首先我们来看第一部分一、定积分概念引入说起定积分的思想，其萌芽是特别早的，可以追溯至古代，最具有代表人物就是阿基米德（公元前287年—公元前212年），我们比较熟悉的就是他的浮力原理，其实阿基米德还和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，是个非常牛的牛人，有兴趣的可以找找这个人的一些资料，当时他就开始思考定积分问题。那么到底定积分问题是什么样子的呢我们先看一个例子。 1曲边梯形的面积问题：我们知道矩形面积：S ah = 梯形的面积：() 2 a b S h += 曲边梯形的面积：设()y f x =在区间[a,b]上非负连续，由直线x=a,x=b,y=0及曲线()y f x =所围成的面积。导入幻灯幻灯幻灯幻灯详讲详讲详讲幻灯

那么这样的问题怎么求呢首先，我们考虑用一个矩形去近似计算其面积。a,b 的区间长度代表其宽，b点的函数值代表其高。我们可以得到一个近似的面积值。好，现在我们将[a,b] 区间分为两个，同样我们用这两个区间的长度代表其宽，两个区间的右端点代表其高，然后计算这两个矩形的面积求和，作为曲边梯形的面积，可以发现，通过切分，其面积更接近曲边梯形的面积。我们就有这样的思考，是不是切分的越多，其面积越近似我们再将其分为四份，我们发现好像面积越来越接近真实面积。下面就是根据这个思想用计算机对其划分过程进行了模拟，通过观察我们可以发现其面积在分割份数特别多的时候已经非常的接近我们的曲边梯形面积了。事实上我们如果对其切割的份数取极限，让切割的份数趋于无穷，这个极限值就是我们要求的曲边梯形的面积值。好，下面，我们把曲边梯形的求解过程用数学的方法描述一下。解决步骤：大化小：在区间中任意插入个分点，用直线将一个曲边梯形分成个小的曲边梯形；详讲总结

定积分的概念教案

定积分的概念教学目标：知识目标：掌握定积分的含义，理解定积分的几何意义。能力目标： 1、理解定积分概念中归纳思维的运用； 2、掌握例题求解过程中对比思维的运用。素质目标：提升分析与解决问题的能力教学重点和难点：教学重点：定积分的概念和思想教学难点：理解定积分的概念，领会定积分的思想教学方法： 1、直观法：让抽象的数学与具体的生活结合。 2、归纳法：让严整的数学定义与休闲的娱乐生活结合。 3、类比法：让例题求解过程与社会事例结合。 4、总结法：数学学习中培养的能力贯穿生活、社会、科学等各方面。教学过程：一、引入新课我们已经学过规则平面图形的面积：三角形四边形梯形圆等，那么不规则平面图形的面积该怎么求呢？二、讲解新课实例1曲边梯形的面积曲边梯形:若图形的三条边是直线段，其中有两条垂直于第三条底边，而其第四条边是曲线，这样的图形称为曲边梯形，如左下图所示. 曲边梯形面积的确定步骤：推广为 y O M P Q N B x C A A 曲边梯形面积的确定方法：把该曲边梯形沿着 y 轴方向切割成许多窄窄的长条，把每个长条近似看作一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积，加起来就是曲边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当所有的长条宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了.如下图所示： O x y y = f (x )

(1)分割任取分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 ,把底边[a ,b ]分成n 个小区间 []21,x x ,(),,2,1n i =.小区间长度记为 ); ,,2,1(1n i x x x i i i =-=?- (2) 取近似在每个小区间[i i x x ,1-]上任取一点i ξ竖起高线)(i f ξ,则得小长条面积 i A ?的近似值为 i i i x f A ?≈?)(ξ (n i ,,2,1 =); (3) 求和把n 个小矩形面积相加(即阶梯形面积)就得到曲边梯形面积A 的近似值 i n i i n n x f x f x f x f ?=?++?+?∑=)()()()(1 2211ξξξξ ; (4) 取极限令小区间长度的最大值{}i n i x ?=≤≤1max λ 趋于零,则和式 i n i i x f ?∑=)(1ξ的极限就是曲边梯形面积A 的精确值，即 i n i i x f A ?=∑=→1 )(lim ξλ 实例2 路程问题解决变速运动的路程的基本思路：把整段时间分割成若干小时间段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程的近似值,再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．（1）分割（2）近似（3）求和（4）取极限路程的精确值 2、归纳总结曲边梯形的面积和变速运动的路程得出定积分的概念。 3、定积分的概念定义 3.1 设函数)(x f y =在[b a ,]上有定义，任取分点 <<<=321x x x a n n x x <<-1b =,分],[b a 为n 个小区间],[1i i x x -),,2,1(n i =. 记 {}i n i i i i x n i x x x ?==-=?≤≤-11max ),,,2,1(λ , 212101T t t t t t T n n =<<<<<=- 1--=?i i i t t t i i i t v s ?≈?)(τi i n i t v s ?≈∑ =)(1τ0},,,m ax {21→???=n t t t λi n i i t v s ?=∑=→)(lim 1 0τλ

2定积分概念

定积分的概念同步练习一、填空题（每小题4分，共44分） 1．在计算由曲线y ＝－x 2以及直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的图形的面积时，若将区间[－1,1]n 等分，则每个小区间的长度为( ) A.1n B.2n C.2n －1 D.2n ＋1 2．函数f (x )＝x 2在区间[ i －1n ，i n ]上( ) A ．f (x )的值变化很小 B ．f (x )的值变化很大 C ．f (x )的值不变化 D ．当n 很大时，f (x )的值变化很小 3．在“近似代替”中，函数f (x )在区间[]1,+i i x x 上近似值等于( ) A ．只能是左端点的函数值f (x i ) B ．只能是右端点的函数值f (x i ＋1) C ．可以是该区间内任一点的函数值f (ξi )([]1,+∈i i i x x ξ） D ．以上均不对 4．当n 很大时，函数f (x )＝x 2在区间[i －1n ，i n ]上的值，可以用哪个值近似代替( ) A ．f (1n ) B ．f (2n ) C ．f (i n ) D ．f (0) 5．求曲边梯形面积主要运用的数学思想是( ) A ．函数方程 B ．数形结合 C ．分类讨论 D ．以直代曲 6.定积分的?b a dx x f )(的大小（）

A 与)(x f 和积分区间[]b a ,有关,与i ξ的取法无关. B 与)(x f 有关,与区间[]b a ,以及i ξ的取法无关 C.与)(x f 以及i ξ的取法有关,与区间[]b a ,无关 D.与)(x f 以及i ξ的取法和区间[]b a ,都有关 7.设连续函数0)(>x f ,则当b a <时,定积分?b a dx x f )(的符号（） A.一定是正的 B.一定是负的 C.当b a <<0时是正的 D.以上都不对 8.与定积分dx x ?π230 sin 相等的是（） A. ? π230 sin xdx B.? π230 sin xdx C.?π sin xdx - ?ππ 2 3sin xdx D.??+2 32 20 sin sin πππ xdx xdx 9.已知,3)(2 =?dx x f 则[]=+?dx x f 2 6)(___________ 10．已知某物体运动的速度v ＝2t －1，t ∈[0,10]，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程的近似值为________． 11．在区间[0,8]上插入9个等分点，则所分的小区间长度Δx ＝________，第5个小区间是________．姓名

新概念英语第二册课堂笔记：第36课

新概念英语第二册课堂笔记：第36课Lesson 36 record n. 记录 strong adj 强壮的 swimmer n 游泳运动员，游泳者 succeed v 成功 train v 训练 anxiously adv 焦急 intend v 打算 solid adj 固体的，硬的如果同一词音节落在第一个音节的重音，肯定是名词，重音落在第二个音节肯定是动词 recorder 录音机如present/desert break the recorder破记录 set up a new recorder创记录 hold the recorder保持记录 keep the recorder保持记录 equal等号，等于 equalize the recorder 平记录 as strong as horse想牛一样壮

strong wind 大风 heavy rain 大雨 strong girl（隐示不是很瘦，结实） strong mind意志坚强 out of sight out of mind sturdy ：结实的 robust ：身体结实 strong swimmer： strong ＋运动员：获胜把握比较大，强有力的athlete：运动员（运动会上常说的运动员）swimming athlete游泳运动员 success n 成功，成功的人 successful adj 成功的 succeeding in doing sth be successful in doing sth fail v failure n train sb to do sth（教，而且有让人形成某种技能）teach sb to do sth trainer教练 be to/be about to/be going to：表将来 intend to do sth＝be going to do sth打算做某事

(完整版)定积分教案

《数学分析》之九第九章定积分（14+4学时）教学大纲教学要求： 1．理解Riemann定积分的定义及其几何意义 2．了解上和与下和及其有关性质 3．理解函数可积的充要条件，了解Riemann可积函数类 4．熟练掌握定积分的主要运算性质以及相关的不等式 5．了解积分第一中值定理 6．掌握变上限积分及其性质 7．熟练掌握Newton-Leibniz公式，定积分换元法，分部积分法教学内容：问题的引入（曲边梯形的面积及变速直线运动的路程），定积分定义，几何意义，可积的必要条件，上和、下和及其性质，可积的充分条件，可积函数类，定积分的性质，积分中值定理，微积分学基本定理，牛顿一莱布尼兹公式，定积分的换元法及分部法。第页

此表2学时填写一份，“教学过程”不足时可续页第页

=i 1 。则称函数)(x f 在[b a .]上可积或黎曼可积。数J 称为函数)(x f 在[b a .]上的定积分或黎曼积分，记作： ?=b a dx x f J )( 其中)(x f 称为被积函数，x 称为积分变量，[b a .]称为积分区间，dx x f )(称为被积式，b a ,分别称为积分的下限和上限。定积分的几何意义；连续函数定积分存在（见定理9.3）三、举例: 例1 已知函数在区间上可积 .用定义求积分 . 解取等分区间作为分法 n b x T i = ?, 取 .= . 由函数)(x f 在区间],0[b 上可积 ,每个特殊积分和之极限均为该积分值 . 例2 已知函数2 11 )(x x f += 在区间]1,0[上可积 ,用定义求积分 . 解分法与介点集选法如例1 , 有 . 上式最后的极限求不出来 , 但却表明该极限值就是积分

新概念英语第二册Lesson36~40课文注释

新概念英语第二册Lesson36~40课文注释新概念英语作为家喻户晓的经典之作，它有着全新的教学理念,下面就和大家分享新概念英语第二册Lesson36~40课文注释，希望有了这些内容的帮助，可以为大家学习新概念英语提供帮助! 1.…she hopes to set up a new world record.……她希望创一项新的世界纪录。 set up 是个固定短语，它的含义之一为“创立”、“建立”，可以指某个具体的事物，如set up a school(创建一所学校)，也可以指抽象的，如某个机构、组织等。 a world record 常用于指体育方面的世界纪录。 2.…many people fee that she is sure to sueed.……很多人认为她一定能成功。 (1) feel在此处为及物动词，表示“认为”、“相信”等： Tom feels that he can pass the examination. 汤姆认为他能通过这次考试。

My parents feel that they can believe in you. 我父母认为他们可以信赖你。 (2) sure在这里表示“一定会”、“必定会”，后面通常跟带to的不定式： Billy is sure to win the race. 比利一定会赢得这场比赛。 If you don't work hard, you are sure to fail in the next exam. 你如果不用功学习，下次考试肯定会不及格。 3.Tomorrow he will be watching her anxiously as she swims the long distance to England. 明天他将焦急地注视着女儿游过这段漫长的距离到达英国。

人教课标版高中数学选修2-2：《定积分的概念》教案-新版

1.5.3 定积分的概念一、教学目标 1．核心素养通过定积分的概念的学习，提升分析问题、解决问题的能力、抽象概括能力和逻辑思维能力. 2．学习目标（1）借助几何直观体会定积分的基本思想；（2）初步了解定积分的概念. 3．学习重点定积分的概念与定积分的几何意义 4．学习难点定积分的概念二、教学设计（一）课前设计 1．预习任务任务:预习教材P 45—P 48,完成相应练习题 2．预习自测 1.设 f (x )＝????? x 2(x ≥0)，2x (x <0)，则??－1 1f (x )dx 等于（） A ．??－11x 2dx B ．??－1 12x d C ．??－10x 2dx ＋??012x dx D ．??－102x dx ＋??01x 2dx 答案：D 2.定积分?1 3 (－3)dx 等（）

A ．－6 B ．6 C ．－3 D ．3 答案：A 3.已知t >0，若??0t (2x －2)dx ＝8，则t ＝（） A ．1 B ．－2 C ．－2或4 D ．4 答案：D （二）课堂设计 1．知识回顾求曲边梯形面积的步骤 ①分割：把区间[a ，b ]等分成n 个小区间； ②近似代替：对每个小曲边梯形“以直代曲”，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值； ③求和：计算出n 个小矩形的面积之和n S ，n S 即为曲边梯形面积的近似值； ④取极限：求lim n n S S →+∞ =（S 即为曲边梯形的面积） 2．问题探究问题探究一什么是定积分？学生活动：阅读课本相应内容，找到定积分的定义，并概括出求定积分的基本步骤：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点0121i i n a x x x x x x b -=<<< <<< <=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点()12i i ,,...,n ξ=，作和式1 1 ()()n n i i i i b a f x f n ξξ==-?=∑∑ ，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记做()b a f x dx ?.

定积分的概念

定积分与微积分定理 1．定积分的概念一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?=），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ=L ，作和式：1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx = ? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。说明：（1）定积分()b a f x dx ? 是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）称为()b a f x dx ?，而不是n S ．（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间 [],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1 ()n i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑? （3）曲边图形面积：()b a S f x dx =?；变速运动路程2 1 ()t t S v t dt =?；变力做功 ()b a W F r dr =? 2．定积分的几何意义说明：一般情况下，定积分 ()b a f x dx ? 的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积去负号．（可以先不给学生讲）．分析：一般的，设被积函数()y f x =，若()y f x =在[,]a b 上可取负值。考察和式 ()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ?+?++?++?L L

高等数学教案22定积分的概念与性质

第5章定积分及其应用定积分的概念与性质【教学目的】： 1. 理解曲边梯形的面积求法的思维方法； 2. 理解定积分的概念及其性质； 3. 掌握定积分的几何意义；【教学重点】： 1. 定积分的概念及其性质；【教学难点】： 1. 曲边梯形面积求法的思维方法；【教学时数】：2学时【教学过程】：案例研究引例曲边梯形的面积问题所谓曲边梯形是指由连续曲线)(x f y =(设0)(≥x f )，直线a x =，b x =和 0=y (即x 轴)所围成的此类型的平面图形（如图5-1所示）．下面来求该曲边梯形的面积．分析由于“矩形面积=底?高”，而曲边梯形在底边上各点处的高()f x 在区间[,]a b 上是变动的，故它的面积不能按矩形面积公式计算. 另一方面，由于曲线()y f x =在[,]a b 上是连续变化的，所以当点x 在区间[,]a b 上某处变化很小时，相应的()f x 也就变化不大.于是，考虑用一组平行于y 轴的直线把曲边梯形分割成若干个小曲边梯形，当分割得较细，每个小曲边梯形很窄时，其高()f x 的变化就很小.这样，可以在每个小曲边梯形上作一个与它同底、以底上某点函数值为高的小矩形，用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，进而用所有小曲边梯形的面积之和近似代替整个曲边梯形的面积（如图5-2所示）.显然，分割越细，近似程度越高，当无限细分时，所有小矩形面积之和的极限就是曲边梯形面积的精确值. 根据以上分析，可按以下四步计算曲边梯形的面积A . 图5-1 图5-2

（1）分割在闭区间],[b a 上任意插入1n -个分点， 01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=，将闭区间[,]a b 分成n 个小区间 ],[,],,[,],[],,[112110n n i i x x x x x x x x --ΛΛ，它们的长度依次为 11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-，过每一个分点作平行于y 轴的直线，把曲边梯形分成n 个小曲边梯形；（2）取近似在每个小区间1[,]i i x x -(1,2,...,)i n =上任取一点1()i i i i x x ξξ-≤≤，以小区间1i i i x x x -?=-为底，()i f ξ为高作小矩形，用小矩形的面积()i i f x ξ?近似代替相应的小曲边梯形的面积A ?，即 ()(1,2,...,)i i A f x i n ξ?=?=，（3）求和把这样得到的n 个小矩形的面积加起来，得和式∑=?n i i i x f 1)(ξ，将其作为曲边梯形面积的近似值，即 1 1 ()n n i i i i i A A f x ξ===?≈?∑∑；（4）取极限当分点个数n 无限增加，且小区间长度的最大值λ（max{}i x λ=?）趋于零时，上述和式的极限值就是曲边梯形面积的精确值，即 0 1lim ()n i i i A f x λξ→==?∑. 定积分的定义定义1 设函数()y f x =在闭区间[,]a b 上有界，在闭区间[,]a b 中任意插入1n -个分点 01211......i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=，将区间[,]a b 分成n 个小区间 011211[,],[,],...,[,],...,[,]i i n n x x x x x x x x --，各小区间的长度依次为 11022111,,...,,...,i i i n n n x x x x x x x x x x x x --?=-?=-?=-?=-，在每个小区间上任取一点)(1i i i i x x ≤≤-ξξ，作函数值)(i f ξ与小区间长度i x ?的乘积),,2,1()(n i x f i i Λ=?ξ，并作和∑=?n i i i x f 1)(ξ，记 }max {i x ?=λ， ),,2,1(n i Λ=，当n 无限增大且0→λ时，若上述和式的极限存在，则称函数()y f x =在区间[,]a b 上可积，并将此极限值称为函数()y f x =在[,]a b 上的定积分，记为 ?b a dx x f )(. 即 ∑?=→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ，其中x 称为积分变量，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式， a 称为积分下限，b 称为积分上限，[,]a b 称为积分区间，符号?b a dx x f )(读作函数()f x 从