实变函数论课后答案第二章2

实变函数论课后答案第二章2

第二章第二节习题

1.证明点集F 为闭集的充要条件是F F =. 证明：因为'

F F F = ，若F 为闭集，则'F F ? 所以'

F F F F F F F =?=? 故F F =

反过来，若'

F F F F =? ，则必有'F F ? 从而F 为闭集.

2.设()f x 是(),-∞∞上的实值连续函数，证明对于任意常数a ，(){};x f x a >都是开集，

(){};x f x a ≥都是闭集.

证明：任取常数a ，若 (){}0;x x f x a ∈>，则()0f x a >，由于()f x 连续，0

,0a x δ?>，

使()(){}0

0,,;a x

x N x x f x a δ∈?≥.

这表明(){};x f x a >是开集.

任取常数a ，若{}(){};n x x f x a ∈≥，且0n x x →，则从()n f x a ≥和()f x 连续知 ()()0lim n n f x f x a →∞

=≥

故(){}0;x x f x a ∈≥

这表明(){}(){}'

;;x f x a x f x a ≥?≥. 故(){};x f x a ≥是闭集.

3.证明任何邻域(),N p δ都是开集，而且()(){}

'

'

,;,N p p p p δρδ=<（N 通常称为一闭

邻域）

证明：()0,p N p δ?∈，则()00,p p ηρδ≤<

()0,Q N p δη?∈-，()()()00,,,Q p Q p p p ρρρηδηδ≤+<+-=

故()()0,,N p N p δηδ-?. 故(),N p δ是开集得证.

(){}(){}

''''

;,,;,n p p p p p p p p ρδρδ?∈≤∈≤且 n p p → 则 ()

(),0,,n n p p p p ρρδ→≤

() ()() ()

,,,,n n n p p p p p p p p ρρρρδ≤+≤+. 令n →∞得 ()

,0p p ρδ≤+. 故(){}(){}'

'

'

'

'

;,;,p p p p p p ρδ

ρδ≤?≤.

表明(){}

'

';,p p p ρδ≤是闭集.

又 (){}

'

';,p p p p ρδ?∈≤

令 11k p

x p k k ?

?=

+- ???

， 则() ()

111,1,1,1k p

x p p p p p k k k k ρρρδδ???????

?=+-=-≤-< ? ? ? ????

?????.

()

()

1,,0k x p p p k

ρρ=

→

故()

,,k k x N p x p δ∈→ 这表明(){}

()

()'

'

';,,,p p p N p N

p ρδδ

δ≤??

而()(){}

'

',;,N p p p p δρδ?≤

故()(){}(){}

()'

'

'

',;,;,,N p p p p p p p N p δρδρδδ?≤=≤?

这表明()(){}

'

',;,N p p p p δρδ=≤.

4.设?是一有限闭区间，()1,2,3,n F n = 都是?的闭子集，证明如果1

n n F ∞

==? ，则必有

正整数N ，使1N

n n F ==? .

证明：令1

n n i i S F == ，则显知1

1

n n n n F S ∞∞=== ，且12n S S S ???? (),1i n F i n ?≤≤为闭集，故n S 也为闭集.

下证 N ?，使1

N

n N n F S ===? .

反证，设,n n S ?≠?，则n n x S ?∈??，

由于?是有限闭区间，{}n x 是有界点列，

若{},1,2,3,n x n = 为无限集合，则由聚点原理{}n x ?的子列{}00,,k

k

n n x x

x x →∈?

由于12n S S S ????

故任取,m N k ∈充分大时k

k

n n m x S S ∈?，又m S 为闭集，且0k

n m x x S →∈

由m 的任意性知，01

1

m n m m x S F ∞∞==∈==? 得矛盾. 若{},1,2,3,n x n = 为有限集合，则

0n ?，当()00max ,n n m ≥时，0n n m x x S S =∈?，

故 01

1

m n m m x S F ∞∞==∈==? 得矛盾.

所以? N ，使得1

N

N n n S F ===? .

证毕.

设,n E R μ?是一族完全覆盖E 的开邻域，则有μ中的(或有限)多个邻域

12,,,m N N N ，它们也完全覆盖了E （ Lindelof 定理）

证明：设{};,I αμα=∈ΛΛ为某指标集，则E I αα∈Λ

? .

,x E ?∈? x α∈Λ，使得x x I α∈.

由于I Λ是开集，0x δ?>使(),x N x I δΛ?.

由有理点在n R 的稠密性易知，存在有理点n

x a Q ∈和有理数0x r >，使

()(),,x x x x N a r N x I δΛ∈??，而n R 中全体以有理点为心，有理数为半径的球作成集合

与n

Q Q ?的一个子集对等，故这些(){},;x x N a r x E ∈至多是一个可数集，从而相应的

{}

;x

I

x E α∈也是至多可数集.

而这些{};x

I x E α∈显然为E 的一个开覆盖，因为(),x

x x x E x E

E N a r I α∈∈??

因为每一个上述(),x x N a r 包含在某个I α中，故存在至多可数个i I M ∈，使

{};i I i ∈Λ成为E 的一个开覆盖.

1. 证明n

R 中任何开集G 可表成()1

n

i i G I ∞

== 的形式，其中

()

()()

()

{}

1

2

;,,,,,1,2,3,,n i i i

n j j j I p p x x

x c x d j n =

=<<=

证明：（注意这里并为要求()n

i I 互不相交）

设G 为n R 中的任意开集，则0x G ?∈，由开集的定义，?一个球形邻域

()()

000,0x x N x G δδ?>，令()00001200,,,;x x x n j x j I x x x x x x n n δδδ?

?==-<<+???

?

则显然()0

00,x x

x I N x G δ∈??，且x x G

G I G ∈?

? .

故x x G

G I ∈= ，x I 显然是开区间，也是开集，

{},x I x G μ=∈为G 的一个开覆盖.

由本节习题5，μ中的至多可数个123,,,,,n I I I I 完全覆盖了G

所以1i i G I G ∞

=?? .

所以1

i i G I ∞

== ，i I 都是开区间.

故本题结论得证.

2. 试根据B orel 有限覆盖定理证明Bolzano-Weierstrass 定理.

证明：反证，设E 为有限无穷点集而无聚点，则'

E =?，从而'

E E =??， 故E 为有界闭集，且任意p E ∈，都是E 的孤立点.故0p δ?>使

(){},p N

p E p δ= ，所以(),p p E

E N p δ∈?

.

(){},p

N p δ形成E 的一个开覆盖，由于E 为有界闭集，由Borel 有界覆盖定理，

?有限个()()

1

1

,,,,,m p m

p N

p N p

δδ ，使()1,i

m

i

p i E N

p δ=?

()(){}1

1

1

,,i

i

m

m

m

i

p i

p i

i i i E E N

p E N p p δδ====== .

前已知(){},i

i p i N p E p δ= .

故{}1m

i i E p == 为一有限集合，这与E 为有界无穷集矛盾.

8. 证明n

R 中任意非空开集的基数都是c .

证明：?开集n U R ?，显从n U R ?知n U R c ≤=.

又存在一个点()00,0,,p U N x U δδ∈?>?，()0,N x c δ=， 故()0,U N x c δ≥≥. 所以Berrstein 定理知U c =. 证毕

9. 证明对任意n E R ?，E 都是n R 中包含E 的最小闭集.

证明：任取n E R ?，设F 是包含E 的人一闭集，则E F ?，''E F ?? 所以''

E E E

F F F =?= ，因为F 为闭集 所以''E F F ?=，所以E 是n R 中包含E 的最小闭集. 10. 对于1R 定义的实函数()f x ，令(

)()()'

'

'

'

,lim sup lim

inf

x x x x W f x f

x f

x δδδ

δ

++

→→-<-<=-.

证明：对任意的(){}0,;,x W f x εε>≥都是闭集.进而证明()f x 的全体不连续点作成一F δ

集.

证明：首先 ，当δ单调下降趋于0时，()'

'sup x x f x δ

-<也单调下降趋于某极限（有限或无限）

而()''

inf x x f x δ

-<单调上升地趋于某极限.

故(

)()()'

'

'

'

,lim sup lim

inf

x x x x W

f x f

x f

x δδδ

δ

++

→→-<-<=-是有确切定义的（可为无限值）

先证明：()f x 在0x x =连续()0,0W f x ?=.

证：先设()0,0W

f x =，则()00,0ε

δε?>?>使00δδ<<时

()()'

'

'

'

sup inf

x x x x f

x f

x δ

δ

ε-<-<-

<

所以y ?满足0y x δ-<时

()()

()()'

'

'

'

0sup inf

x x x x f

y f x f

x f

x δ

δ

ε-<-<-≤-

<

故f 在0x 处连续.

反过来，若()f x 在0x x =处连续，则()0000,,0x εδδε?>?=>， 当00y x δδ-<<时，()()0f

y f x εε

-<-<

又()000,x δδδε?<=，''''''00,,,y y y x y x δδδδδδ?-<-< 且()()()()'

'

''

''

'

sup ,inf

x x x x f x f

y f y f

x δδ

δ

δ

εε

-<-<-≤≤

+

所以()()()()'

''

00

sup x x f x f x f

y f x δδ

εε-<--≤-<

()()()()'

'

''

inf

x x f x

f x f x f y δ

δ

εε-<--+≤-<

不等式相加得

()()()()'

'

'

'

''

'

'

sup inf

220lim sup lim

inf

4x x x x x x x x f

x f

x f

x f

x δ

δ

δδδ

δ

ε

εε

++

-<-<→→-<-<-

-≤≤-≤

即()00,4,0W f x εε

≤≤<任意.

所以()0,0W

f x =

为证(){}0;,x W

f x ε≥为闭集，只用证(){}0;,x W f x ε<为开集. (){}00;,x x W

f x ε?∈<

必有()0,W

f x ε

<

所以存在()00,0x δδε=>使()00,δδ?∈时， ()

()

()()000sup inf ,2

N x N x f f W N x δδδεδ-<

()02

y N x δ

?∈，由三角不等式，则()()02

N y N x δδ?

.

故()()()0

2,,W f N y W

f N x δδε??≤< ???

所以(

)()0

2,lim ,W

f y W f N y δδε+→??

=< ???

这说明()(){}02

;,N x x W

f x δε?<

故(){};,x W

f x ε<是开集，从而(){};,x W f x ε≥是闭集.

由于()f x 在x 不连续的充要条件是(),0W

f x ≥.

所以使x 不连续的点集为表为()1

1;,k F x W

f x k ∞

=??=≥

???

?

. 由于()1,;,k x W

f x k ?

?

?≥

???

?

是闭集，故F 为一F δ集. 同时我们看出，全体使f 连续的点集是()1

1;,c

k F x W

f x k ∞=?

?=<

???

?

这是一个G δ集合.

推广：（1）对1:n f R R →有一样的结论，只不过在定义(),W

f x 时，'

x x -理解为n R 中的

距离()';x x ρ，其它完全一样，因为三角不等式对().,.ρ成立， （2）若f 是n R 中的开集，G 到1R 的函数，则同样可定义()(),W f x x G ?∈，因为当

(){}0,;,,x x G W f x εε?>∈<为开集，(){};,x G W

f x ε∈≥为闭集.

f 的不连续点集为()1

1;,k x G W

f x k ∞=?

?

∈≥

???

?

而f 的不连续点集为()1

1;,k x W

f x k ∞=?

?<

???

?

. 11. 于n E R ?及实数α，定义()(){}1212,,;,,,n n E x x x x x x E αααα=∈ .证明当E 为

开集，00,p E αα≠?∈，则? 0E X ∈，使00p α=X

E 开集，0E X ∈，故0δ?>，使()0,N E δ

X ?

.

则?()0,y N αδ∈X ，则y

y αα

=

而

0001

y y y αδααδα

α

α

α

α

X -X -

-

=

-X <

=.

故

()0,y

N E δ

α

∈X ?

从而y

y E α

αα

=∈

这表明()0,N E αδαX ∈，故E α为开集.

若E 为闭集，0α=，则(){}0,0,0E α= 为单点集.当然是闭集，若0α≠，则

0,n n p E p p α∈→，则0,,,n

n n n n n p p E p p αα

=X X ∈=X →表明

n

n p p αα

=X →

，而E 为闭集，0

n p α

X →

，故

n

p E α

∈，从而

0p p E α

αα

=∈.这说明()'

E E αα?.

从而得知E α为闭集.

12. 设()f

p 是定义于n R 上的实函数，

证明()f p 在n R 上连续的充要条件是对于1R 中任何开集G .()(){}1

;f

G p f p G -∈ 都是

1

R 中的开集.

证明：设1:n f R R →连续，G 为任一1R 中开集. ()1

0p f

G -?∈，则()0f p G ∈，由G

为开集知，0δ?>，使()()0

,N

f p G ε?

对上述()00,,0p εδδε>?=>，使当()0,y N p δ∈时

()()

0f

y f p ε-<

故()()()0,f

y N f p G ε∈?

即()1

y f

G -∈.

这说明()()1

0,N p f G δ-?

故()1

f

G -为开集.

现设对1R 中任意开集，()1

,G f

G -为开集，0,ε

?>()()0

,N

f p ε是1

R

中的开集.故

()()()1

,f

N f p

ε-是开集，而()()()1

00

,p f

N f p

ε-∈

.

故()()()()00

,,f N p N

f p δ

ε?

所以()()()()00,,,y N p f

y N f p δε?∈∈.

()()

0f

y f p ε-<

这说明f 在0p 连续 证毕

13. n

R 上的实函数()f P 称为是下半连续的，若对任意n P R ∈，都有

()()()()()0

,lim inf lim inf Q P

P Q f P f Q f Q δρδ

→→<≤ ，证明()f P 下半连续等价于对任意的实数

(){},;P f P αα≤都是n R 中的闭集，也等价于(){};P f P α≤是n R 中的开集.

现若f 下半连续，1R α?∈，若(){}0;P P f P α∈>. 则()()()()

000

lim inf N P f P f Q δδα→<≤

?()0002

2

f P α

εε-<<

，()0,0p δδε?=>使()()()

00inf N P f P f Q δαε<-<

所以()0,y N P δ?∈，有()()()

()00inf N P f P f Q f

y δαε<-<≤.

所以()(){}0,;N P P f P δα?>.

故(){};P f P α>为开集.（从而(){};P f P α>为闭集）

f 在n

R 上下半连续，0,0n

P R ε??∈?>，()0,0p δδε?=>.

当()0,P N P δ∈时，()()0f P f P ε-<-. 反过来，若(){}1

,;R x f x αα?∈>为开集.

则()(){}000,0,;n

P R P x f x f P εε?∈?>∈>-

由于()(){}0;P f P f P ε>-是开集.

所以()0,0P δε?>使()()(){}00,;P N P P f P f P δε∈?>-

()0,Q N P δ?∈有()()0f P f P ε>-，即f 在n R 上下连续，故一个等价性得证.

而f 在n R 上下连续(){}1

,;R P f P αα??∈≤是闭集(){};P f P α?>是开集.

下证(){}1

,;R P f P αα?∈≤()(){},;,n

P y P R

f P y ?

∈≤为闭集.

先设(){};P f P α≤为闭集，α任意.

所以()()(){},,;;n n n n n P y P y P R f P y ?∈∈≤，00,n n P P y y →→. 所以0,,N ε?>?当n N ≥时0n y y ε≤+. 故(){}0;n P P f P y ε∈≤+，这是闭集. 而(){}00;n P P P f P y ε→?≤+ 所以()00f P y ε≤+，()0ε?>

故()00f P y ≤.

这表明()()(){}00,,;;n P y P y P R f P y ∈∈≤是闭集.

若()(){},;;n P y P R f P y ∈≤是闭集，而(){}0;,n n P P f P P P α∈≤→ 则()()(){},,;;n

n P P y P R

f P y α→

∈≤，()()0,,n P P αα→.

因为()(){},;;n P y P R f P y ∈≤为闭集，故()()(){}0,,;;n P P y P R f P y α∈∈≤ 所以()0f P α≤.

这说明(){}0;P P f P α∈≤ 故(){};P f P α≤为闭集. 得证.

14. 设,A B 是n R 中的有界闭集，01λ<<，证明()(){}121;,,,n A B x x x x λλ+- 有

()()1212,,,,,,,n n y y y A z z z B ∈∈ ，使()1,1,2,i i i x y z i λλ=+-= 为有界闭集.举例

说明当,A B 无界时，()1A B λλ+-可以不是闭集. 证明：,A B 有界，故存在 M 使

()222

12,,n x A B x x x x x x M ρ?∈=

=

+++≤

特别地 i x M ≤.

()1x A B λλ?∈+-，有()1x A B λλ?∈+-使 ()1i i i x y z λλ=+-，故()1x y z λλ=+-.

故()()()111x y z y z M M M λλλλλλ∈+-≤+-≤+-=. 所以01λ≤≤时，()1A B λλ+-也有界.

为证()1A B λλ+-为闭集，设()1n x A B λλ∈+-，0n x x →， 则,n n y A z B ?∈∈使()1n n n x y z λλ=+-.

由,A B 有界，()1n x A B λλ∈+-， ,n n y A z B ∈∈，由聚点原理，

n y ?的子列k n y 使0k n y y →，{}

k n z 有子列{}k l

n

z 使0k

l

n z

z →，{}k

l

n x 有子列{}k

li

n x

使()0k li

n x x i →→∞ 从()1k k k li

li

li

n

n n x y z λλ=+-

所以()0001x y z λλ=+-，而,A B 为闭集，故00,y A z B ∈∈.从而有()01x A B λλ=+- 这说明()1A B λλ+-是闭集.

若,A B 不全是有界闭集时，()1A B λλ+-可不为闭集，在2R 上考虑 ()()(){}

1

1,;,0,,,0;1,2,A x y y R x y x B n n ??=∈∈∞=??

??=-= B 是全由孤立点组成的集合，显然为闭集，但无界.

任取(),n n x y A ∈，若()()1

00,,n n x y x y R →∈，

则00,x y 为有限数，故从01n n

y y x =

→知00x ≠

所以000

10,x y x >=

这说明()00,x y A ∈，故A 为闭集合，显然

0x +→时，1y x

=

→∞，故A 无界.

但

112

2

A B +

都不是闭集.

取()1,0,,

n B n A n ?

?

-∈∈ ??

?

则()11111

1,0,0,2

2222n p n n A B n n

????=

-+

=∈+ ?

?

????. 显然()0,0n p →，但()110,022

A B ?+

.

因为若()11

0,022A B ∈

+

，则()0001,0,,n B x A x ??

?-∈∈ ??

?使 ()()000111

0,0,,022

x n x ??=+- ???

故000

11,0x n x =≥=得矛盾

所以112

2

A B +不是闭集.