人教版九年级上册数学培优体系讲义
第二十一章 一元二次方程
1.一元二次方程
预习归纳
1.等号两边都是整式,只含有一个 ,并且未知数的最高次数是 的方程,叫一元二次方程.
2.一元二次方程的解也叫做一元二次方程的 . 3.一元二次方程的一般形式是 .
例题讲解
【例】把方程(3x -2)(2x -3)=x 2-5化成一元二次方程的一般形式,并写出方程的二次项,一次项及常数项和二次项系数,一次项系数.
基础训练
1.下列方程是一元二次方程的是( )
A .21
10x x =++ B .2110x x
=++ C .210xy -= D .22
0x xy y =-+ 2.方程()45x x -=化为一般形式为( )
A .2450x x =-+
B .2450x x =++
C .2450x x =--
D .2
450x x =+- 3.方程23740x x =-+中二次项的系数,一次项的系数及常数项分别是( )
A .3、7、4
B .3、7、﹣4
C .3、﹣7、4
D .3、﹣7、﹣4 4.(2014菏泽)已知关于x 的一元二次方程x 2
+ax +b =0有一个非零根-b ,则a -b 的值为( )
A .1
B .-1
C .0
D .-2
5.(2014哈尔滨)若x =-1是关于x 的一元二次方程x 2+3x +m +1=0的一个解,则m 的值为 .
6.把一元二次方程2(x 2+7)=x +2化成一般形式是 .
7.下列数中-1,2,-3,-2,3是一元二次方程x 2-2x =3的根是 . 8.若方程x 2-2x +m =0的一个根是-1,求m 的值.
9.(2013牡丹江)若关于x 的一元二次方程为ax 2+bx +5=0(a ≠0)的解是x =1,求2013-a -b 的值.
中档题训练:
10.将一元二次方程2514x x =-化成一般形式后,二次项系数和一次项系数分别为( ) A .5、-4 B .5、4 C .5x 2、4x D .5x 2、-4x 11.若0是一元二次方程22610x x m ++-=的一个根,则m 的取值为( ) A .1 B .-1 C .±1 D .以上都不是 12.已知关于x 的方程20x bx a =++有一个根是-a (a ≠0),则a -b 的值为( ) A .-1 B .0 C .1 D .2 13.若()1
160m m x
mx -+++2=是关于x 的一元二次方程,则m = .
14.已知m 是方程x 2-x -2=0的一个根,求代数式4m 2-4m -2的值.
15. 在一次同学聚会时,同学见面后每两人握一次手,共握手28次,求有多少同学参加了
这次聚会?学习以下解答过程,并完成填空.
解:设参加聚会的同学有x 人,每人共握手 次,
握手的总次数用含x 的式子表示为 . 根据题意,可列出方程 . 整理,得 . 化为一般式,得 .
二次项系数、一次项系数、常数项分别为 .
综合训练题
16.已知关于x 的方程(t 2—9)x 2+(t 十3)x -5=0.
(1)当t 为何值时,此方程是一元一次方程?并求出此时方程的解.
(2)当t 为何值时,此方程是一元二次方程?并写出这个方程的二次项系数、一次项系
数及常数项.
2.配方法——解一元二次方程(一)——直接开平方
预习归纳
1.若x 2=p (p ≥0),则x 1= ,x 2= .
例题讲解
【例】用直接开方法解方程.
⑴9x 2=25 ⑵2x 2-98=0
基础题训练
1.16的平方根是( )
A .4
B .-4
C .±4
D .±8 2.方程x 2=9的解是( )
A .x 1=x 2=3
B .x 1=x 2=-3
C .x 1=3,x 2=-3
D .x =3
3.方程x 2=3的解是( )
A .12x x ==
B .12x x ==
C .1x 2x =
D .x =3 4.方程()2
10x -=的解是( )
A .x 1=1,x 2=-1
B .x 1=x 2=1
C .x 1=x 2=-1
D .x 1=1,x 2=-2 5.方程()2
19x -=的解是( )
A .x 1=1,x 2=-3
B .x 1=4,x 2=-4
C .x 1=4,x 2=-2
D .x =3 6.(2014济宁)若一元二次方程ax 2
=b (ab >0)的两个根分别是m +l 与2m -4,则
b a
= . 7.用直接开方法解方程.
⑴3(x -2)2=0 ⑵3(x -1)2=27
8.如果12
x =是关于x 的方程22320x ax a -=+的根,求关于y 的方程2
3y a -=的解.
中档题训练:
9.(2013鞍山)已知b <0,关于x 的一元二次方程(x -1)2=6的根的情况是( ). A .有两个不相等的实数根 B .有两个相等的实数根 C .没有实数根 D .有两个实数根
10.(2013丽水)一元二次方程(x +6)2=16可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x +6=4,则另一个一元一次方程是( ).
A .x +6=-4
B .x -6=4
C .x +6=4
D .x +6=-4 11.一元二次方程2+2990x x -=变形正确的是( )
A .()2
+1100x = B .()2
1100x =﹣ C .()2
+2100x = D .()2
2100x -= 12.方程3x 2=2的根是___________. 13.解下列方程:
⑴()2
2510x +-= ⑵()()11x x -+1=
⑶()2
531250x --= ⑷24415x x -+=
综合题训练:
14.已知x 、y 、z 满足
2246130
x x y y -=++,求关于m的方程
2
104
m x y z -+-=的根.
3.配方法——解一元二次方程(二)
预习归纳
1.通过配成 解一元二次方程的方法,叫配方法.
例题讲解
【例】用配方法解方程:
⑴ x 2+2x -3=0 ⑵ x 2-2x -8=0
基础题训练
1.填空: (1) x 2-20x + = (x - )
2 (2) x 2+ x +81= (x + ) 2 (3) x 2+5x + = (x + ) 2
2.用配方法解一元二次方程x 2-4x =1,配方后得到的方程是( )
A .(x -2)2=1
B .(x -2)2=4
C .(x -2)2=5
D .(x -2)2=3 3.(2013兰州)用配方法解方程x 2-2x -1=0时,配方后得到的方程为( ) A .(x +1)2=0 B .(x -1)2=0 C .(x +1)2=2 D .(x -1)2=2 4.(2014宁夏)一元二次方程x 2-2x -1=0的解是( )
A .x
1=x 2=1 B .x 1=1+,x 2=1-C .x
1=1+x 2=1D .x 1=1-x 2=1--5.用配方法解方程2
4
2203
x x -
-=变形正确的是( ) A .2
1839x ??- ???= B .2
203x ??- ???= C .211039x ?? ???+= D .2
11039x ??- ??
?= 6.填空:
(1) x 2-4x + = (x - )
2 (2) x 2+6x + = (x + )
2 (3) x 2-
43
x + = (x - ) 2 (4) x 2-3ax + = (x - ) 2 7.用配方法解下列方程:
⑴2m2-6m+3=0 ⑵6x 2-x -12=0
中档题训练:
8.已知方程260x x q -=+可以配方成()2
7x p -=的形式,那么2
62x x q -=+可以配方
成下列的( ) A .
()
2
5
x p -= B .
()
2
9
x p -= C .
()
2
29
x p -+=
D .
()2
25
x p -+=
9.关于x 的一元二次方程
()21
1420m m x
x =++++的解为( )
A .x 1=1,x 2=-1
B .x 1=x 2=1
C . x 1=x 2=-1
D .无解 10.添上适当的数,使下列等式成立:
⑴22x x ++_____ =2(x + )2 ⑵2323x x -+2=(x +____)2 -
11.如果(x -y )2
-2(x -y )+1=0,那么x 与y 的关系是 . 12.用配方法解下列方程:
⑴x 2-2x =5; ⑵2
244y y -=
13.已知实数x ,y 满足x 2+y 2+4x -6y +13=0,求y x 的值.
综合题训练:
14.试证明:不论x ,y 为何值,221x y x y -+++的值都为正数.
专题 配方法的应用
一、配方法解方程
⑴x 2-3x -2=0 ⑵3x 2-6x -1=0
二、已知a 2、b 2配方求2ab .
2.若代数式9x 2+kx y +y 2是完全平方式,则k 的值为( ) A .6 B .±6 C .±12 D .12
三、已知a 2、2ab 配方求b 2
3.若代数式x 2-5x +k 是完全平方式,则k = .
四、配方法求最值
4.求多项式x 2+3x -1的最小值.
5.求多项式-2x 2+5x +3的最大值.
五、配方法比较大小
6.求证:不论x 为何值,多项式2x 2-4x -1的值总比x 2-6x -6的值大.
六、配方法与非负数
7.m 2+n 2+4m -2n +5=0,求3m 2+5n 2-4的值.
8244410y x x -+++=.求x -y+z的值.
4.公式法——解一元二次方程(一)——根的判别式
预习归纳
1.式子叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式,常用希腊字母“△”来表示.
2.一元二次方程:ax2+bx+c=0,当____时,它有两个不等的实数根,当时,它有两个相等的实数根,当时,它无实数根.
例题讲解
【例】不解方程,判断下列一元二次方程的根的情况.
(1) 3x2-2x-1=0; (2) 2x2-x+1=0.
基础题训练
1.(2013成都)一元二次方程x2+x-2=0的根的情况是( ).
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根D.没有实数根
2.方程x2+16=8x的根的情况为( ).
A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根.
C.有一个实数根D.没有实数根.
3.(2014益阳)一元二次方程x2-2x+m=0总有实数根,则m应满足的条件是( ).A.m>1B.m=1C.m<1D.m≤1
4.(2014宁波)已知命题“关于x的一元二次方程x2+bx+1=0,当b<0时必有实数解”,能说明这个命题是假命题的一个反例可以是( ).
A.b=-1B.b=2C.b=-2D.b=0
5.已知关于x的一元二次方程x2+kx+1=0有两个相等的实数根,则k=.6.(2014广东)关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围为( ).
A.m>9
4
B.m<
9
4
C.m=
9
4
D.m<-
9
4
7.不解方程,判断下列一元二次方程的根的情况.
(1) 4x-x2=x2+2⑵3x-1=2x2
8.当m为何值时,方程2x2-(4m+1) x+2m2-1=0
⑴有两个不相等的实数根?
⑵有两个相等的实数根?
⑶没有实数根?
中档题训练:
9.已知关于x的一元二次方程x2+bx+b=0有两个相等的实数根,则b的值是.10.已知关于x的一元二次方程(a-1)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则a的取值范围是( )
A.a<2B.a>2C.a<2且a≠1D.a<-2 11.一元二次方程ax2+b x+c=0中a、c异号,则方程根的情况是( )
A.有两个不相等实数根B.两个相等实数根
C.没有实数根D.无法确定
12.(2013潍坊)已知关于x的方程k x2+(1-k)x-1=0,下列说法正确的是( ).A.当k=0时,方程无解B.当k=1时,方程有一个实数解C.当k=-1时,方程有两个相等的实数解D.当k≠0时,方程总有两个不相等的实数解
13.若关于x的一元二次方程mx2-(2m-2) x+m=0有实数根,则m的取值范围是.14.已知关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围.
15.已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+1=0有实数根,求m的取值范围.
综合题训练:
16.已知关于x的一元二次方程(a+c) x2-2bx-a+c=0有两个相等的实数根,试求以a、b、c为边能否构成三角形?若能,请判断三角形的形状.
专题 一元二次方程根的判别式
一、已知常数系数直接判断方程根的情况
1.不解方程直接判别下列方程根的情况.
(1
)21
04
x -
= (2)3x 2-6x +3=0 (3) x (2x -4)=-5-8x 二、含字母系数时将△配方成a 2,-a 2,a 2+正数,-a 2-正数,来判断方程根
的情况
2.判别下列关于x 的一元二次方程的根的情况.
(1)
2
2125104x mx m -++= (2) x 2-4mx +4m 2= 0 (3) 211022x mx m -+-= (4) 21
402x mx m -+-=
三、“结合a ≠0”确定字母的取值范围
3.关于x 的一元二次方程(a -5)x 2-4x -1=0有实数根,则a 满足( . A .a ≥1 B .a >1且a ≠5 C .a ≥1且a ≠5 D .a ≠5
4.当m 为何值时,关于x 的一元二次方程(m2-1)x 2+2(m-1)x +1=0,有两个不相等的实数根.
四、判别式与隐含条件相结合
5.已知关于x 的一元二次方程(1-k )x 2-2x -1=0有两个不相等的实数根,则k 的最大整数值是( ).
A .2
B .1
C .0
D .-1
6.已知关于x 的一元二次方程kx 2-4kx +k -5=0有两个相等的实数根,求k 的值.
7.(2013西宁)函数y=kx+b 的图象如图所示,试判断关于x 的方程x 2+x +k -1=0根的情况.