数学建模试题数学建模队员的选拔.doc

数学建模竞赛队员的选拔和组队问题

摘要

该模型解决了选拔参赛队员及确定最佳组队的问题。该问题涉及面很广，是我们身边经常会遇到的。本文主要采用了层次分析法，综合考虑个人的指标以及整队的技术水平，最终从15名队员中选出9名优秀队员组成三队，并建立了最佳组队的方案。

问题二：在选拔队员时，我们全面考察了队员的七项指标，并按照相应的权重 得到15名队员的综合排名，最后淘汰掉排名靠后的6 名队员,依次为：9S ， 13S ，15S ， 12S ，5S ，3S 。为了组成3个队，使得这三个队整体技术水平最高,我们首先引入了刻画每个队竞赛技术水平的函数：

(),,v x y z M =1ω本问题就可以转化为寻找该函数的最大值。根据题目要求，

为使三名队员的技术水平可以互补，参赛学生最好来自不同专业，我们算得此种情况下有

11S 和13S 。比较分析前面的综合排名，11S 的综合能力排第七，而13S 的综合能力排第十一。可见这种选拔方式，有可能影响队伍的总体水平，所以不可取。

问题四：根据有违规记录的学生X 所在的位置来确定其对组队后整体技术水平的影响。经分析可得：如果X 被选入组队，对组队后三队整体水平有影响，三队整体水平降低。

关键词：层次分析法；技术水平指标；最佳组队

一、问题重述

一年一度的全国大学生数学建模竞赛是全国所有高校的重要赛事，如何选拔最优秀的队员和科学合理组队问题是一个首先需要解决的数学模型问题。

由于竞赛场地、后勤服务、经费设施等原因，需要选拔出优秀的同学代表学校参加全国大学生数学建模竞赛，以减少参赛成员因放弃、不遵守规则、合作不默契等造成的数学建模成绩的影响和学院资源的浪费。

以数学建模选修课的笔试成绩，数学竞赛获奖记录，数学建模培训课签到记录，成绩的班级排名，上机操作与软件编程能力，思维敏捷程度以及知识面宽广为依据从15名学生中选拔出9名学生，分为3小组，每个学生的基本条件如表（见附录）

需要解决的问题如下：

1．根据所了解的数学建模知识，明确选拔数学建模队员主要考察的相应素质以及考察方法。

2．根据基本条件表的信息，建立建模队员选拔的数学模型，从中选出9位同学，并组成3个队，使得这三个队具有良好的知识机构。

3．判断直接录用一个计算机编程高手，而不再考察其它情况这种选拔方式是否可取。

4．建立有一个学生有违规记录（如晚提交论文或引用他人文献没有给出出处等）的危害模型。

二、问题分析

2.1问题一分析

根据我们所了解的数学建模知识，在选拔数学建模队员时应考察学生的数学基础以及必要的数学建模的知识、良好的编程能力以及熟练地使用数学软件的能力、较强的语言表述能力和写作能力、良好的团队合作精神。同时还要求队员思维敏捷、不怕苦不怕累、对数学模型有较好的悟性。

数学和计算机能力是建模的关键，组队时，我们应该优先考虑有这方面才能的人。数学以及数学建模的知识可以通过学生的数学建模笔试成绩和数学竞赛获奖情况来考察，而计算机能力主要通过上机测试成绩来考察。

2.2问题二分析

问题二就是在15名学生中剔除6名实力最弱的。由题意可知，该问题是半定量半定性、多因素的综合选优排序问题，是一个多目标决策问题，我们主要利用层次分析法，分别算出各指标对选择队员的权重，以及各队员对各指标的权重，然后综合考察每个队员的权重进行排名，最后剔除排名落后的六名学生。

2.3问题三分析

问题三我们在前一问的基础上进行假设，假设计算机是队员选拔的关键因素，选拔出几名队员，与问题二的综合排名进行对比。通过结果确定直接录取而不考虑其他方面的做法是否可取。

2.4问题四分析

画出有违规记录学生X所在的位置，分析他对组队后三队整体水平的影响。

三、模型假设

1、假设参赛队员的外部环境相同，竞赛中不考虑其它的随机因素。在正式比赛对过程中队员都能正常的发挥自己的水平。

2、假设竞赛水平的发挥只取决于表中所给的各项条件,且认为表中测量的数据都是客观公正的。

3、假设数学建模选修成绩，机试成绩，数学竞赛获奖情况，思维敏捷程度，知识面宽广程度，数学建模选修课听课次数以及其他计算机应用情况，这7项对学生数学建模综合能力的影响占主要地位，且影响程度是依次递减的。

4、假设在组队后各队的发挥是相互独立对，不受其他组的影响。

5、假设组队后的整体水平由该队每项的最佳队员的指标表征。

四、符号说明

五、模型的建立与求解

5.1问题二模型的建立及求解

5.1.1参赛队员的选取：

由每个学生的基本条件表可知，该问题是半定量半定性、多因素的综合选优排序问题，是一个多目标决策问题。为了从15名队员中选出9名参赛者，我们主要利用层次分析法，分别算出各指标对选择队员的权重，以及各队员对各指标的权重，然后综合考察每个队员的权重进行排名。

根据题目给出的八项指标，我们首先将各指标量化，为了区分各项条件中的档次差异，确定量化原则如下：

选修笔试成绩按照满分10分计；思维敏捷、机试和知识面的A、B、C、D 等级分别按4分、3分、2分、1分计算；数学竞赛没获奖按1分来计算，获三等奖1次为2分，获三等奖2次为3分，获二等奖2次为5分，获一等奖1次为6分，获一等奖2次为7分；听课次数按一次1分计；其他情况如考过程序员，学过MATLAB的各加1分，过计算机三级的加2分；班级排名情况由于统计的不是很全，所以不好进行量化，因此这项指标可以不用考虑。

运用层次分析法：

将从15名学生中选拔9名优秀队员看作一个目标，作为目标层。将刻画队员的7个指标作为标准层。将15名学生作为方案层。如图（1）

图（1）：层次结构图

由题目已知及假设可得，准则层的七项指标依次递减，并认为相邻两项的差距不大，且都假设是相等的，这里都认为相差为1，于是两两对比得如下比较矩阵：

1 2 3 4 5 6 71/2 1 2 3 4 5 61/3 1/2 1 2 3 4 51/4 1/3 1/2 1 2 3 41/5 1/4 1/3 1/2 1 2 31/6 1/5 1/4 1/3 1/2 1 21/7 1/6 1/5 1/4 1/3 1/2 1??A =???????????

?????????

这里我们用和法来计算，以下为步骤： ①将A 的每一列向量归一化得1

/(1,2,...,);n

ij ij ij

i a a

j n ω===∑

②将ij ω按行求和得1

(1,2,...,);n

i ij j i n ωω===∑

③将i ω归一化得1

/,n

i

i i i ωωω==∑ 112(,,...,)T n ωωω=ω为近似特征向量；

④计算最大特征值1max

1()1n i i i

n λω==∑A ω；

由以上公式计算可得最大特征值max

7.1973λ≈。

特征向量[]

1

0.3504,0.2375,0.1590,0.1056,0.0696,0.0462,0.0318T

=ω

根据一致性指标公式max (1)1

n

CI n λ-=

- 可得：一致性指标(1)0.0329CI = 随机一致性指标可根据表（2）查得：(1) 1.3200RI =。

根据公式得到随机一致性比率：(1)0.02490.1(1)

CR RI =

=<，我们认为成对比较矩阵A 具有满意的一致性，所以通过一致性检验。 我们也可以用MATLAB 编程计算得到（见附录程序1）。

根据问题的条件和模型的假设，对每个人各项条件的量化指标能够充分反映出每个人的综合实力。

由此可以分别构造P 层对准则K C 的比较矩阵： ()

,()k i j N N b ?=K B

其中， ()(),()(,1,2,...,7)k k i

i j k j

T b i j T == 。

显然，所有的 (1,2,...,7)k =k B 均为一致阵。 由一致阵的性质可知：k B 的最大特征值()

max

k N λ=，2

0k CR =，

其任一列向量都是()max k λ的特征向量。将其归一化可得P 对k C 的权重向

量。

记作()()()12(,,...,)k k k T

N ωωω=k ω

(1,2,...,7)k =，

记

2(1)(2)(7)7(,,...,)N ωωω?=ω

为P 层对C 层的权重，

且一致性比率指标为7

()

21

(2)0k k CR CR

===∑，表（3）为P C -层的特征

向量：

表（3）：P C -层的特征向量

由于标准层C 对目标层O 的权重为1ω，方案层P 对标准层C 权重为2ω，

则P 对O 的权重为：

(1)(2)(7)()()()12(,,...,)(,,...,)k k k T

N ωωωωωω===211ωωωωg g

其组合一致性比率指标为：

(2)(1)00.02490.02490.1CR CR CR =+=+=<

因此，组合权重ω可作为目标决策的依据。根据权重，得到15人的排序结果见表（4）。

由表可以作队员的权重图 见图(2)：

图（2）15名队员权重图

根据题目要求，在15名学生中选取9名参赛队员，即选取权重排前9名的学生。由图表可知，依次为：S1, S6, S7, S4, S2, S8, S11, S10, S14。 5.1.2最佳组队方案的确定：

第二小问是确定最佳的组队，使竞赛技术水平最高。显然是要考虑队员之间各项指标的互补性，找到三人让其各项权重达到最大值。

组队原则：三名队员的技术水平可以互补（最好来自不同专业），技术水平最高则为该队的水平指标。任取3名队员组合，求出相应的技术水平指标之和的最佳组队方案

对分组的影响主要取决于前四项指标：数学建模选修成绩，机试成绩，数学竞赛获奖情况，思维敏捷程度。9名学生分为3组，总共有3984C =种组队方式。按照不同专业学生分在不同组的原则，有36种组队方式。

(),,x y z ：,,x y z 三名队员组成的一个队。 ()i m x ：队员x 的第i 项水平指标。

(),,i M x y z ：队员,,x y z 组队(),,x y z 的第i

项水平指标

(),,v x y z ：技术水平指标

()()()127[,,,,,,...,,,]M M x y z M x y z M x y z ====

(),,max{(),(),()},1,2,...,7i i i i M x y z m x m y m z i ==

(),,v x y z M =1ω。

经计算得出组队结果：