数列数学归纳法测试题
数列 数学归纳法测试题
班级 姓名 得分 .
一、选择题：
1、等差数列{n a }中，a 3＋a 7－a 10=8，a 11－a 4=4，则S 13=…………………………………………( )
(A )168 (B ) 156 (C )78 (D ) 152
2、数列{n a }、{n b }都是等差数列，a 1=25，b 1=75，a 100＋b 100=100，则{n a ＋n b }的前100项和为( )
(A )0 (B )100 (C )10000 (D )102400
3、等差数列5，244,3,77 ，第n 项到第n ＋6项的和为T ，则|T|最小时，n=…………………( )
(A )6 (B )5 (C ）4 （D ）3
4、等差数列{n a }满足123101a a a a ++++ =0，则有……………………………………………( )
(A )11010a a +> （B ）21000a a +< （C ）3990a a += （D ）5151a =
5、一个首项为正数的等差数列中，S 3=S 11，则当S n 最大知，n=……………………………………（ ）
(A )5 (B ) 6 (C )7 (D ) 8
6、{n a }为等比数列，{n b }是等差数列，b 1=0，n c =n a ＋n b ，如果数列{n c }是1，1，2，…，则{n c }的前10项和为……………………………………………………………………………………（ ）
(A ) 978 (B ) 557 (C ) 467 (D )以上都不对
7、若相异三数(),(),()a b c b c a c a b ---组成公比为q 的等比数列，则…………………………（ ）
(A )210q q ++= (B ) 210q q -+= (C ) 210q q +-= (D ) 210q q --=
8、{n a }的前n 项和为S n =232n n -，当n ≥2时，有…………………………………………………（ ）
(A )n S >n na >1na (B ) n S 9、{n a }是等差数列，则下列各不等式中正确的是…………………………………………………（ ） (A )36a a <45a a (B ) 36a a ≤45a a (C ) 36a a >45a a (D ) 36a a ≥45a a 10、一个等比数列前n 项和为21n -，则它的前n 项的各项平方和为……………………………（ ） (A )2(21)n - (B ) 122(21)n - (C )41n - (D )1(41)3 n - 11、据市场调查，预测某种商品从2004年初开始的几个月内累计需求量n S （万件）近似满足n S =2(215)90 n n n --，则本年度内需求量超过1.5万件的月份是……………………………（ ） (A )5、6 (B ) 6、7 (C ) 7、8 (D ) 8、9 12、实数12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则2 1212 ()a a b b +的取值范围是…………（ ） (A )[4，＋∞） (B ) （－∞，－4]∪[4，＋∞） (C ) （－∞，0]∪[4，＋∞） (D )不能确定 二、填空题： 13、各项都是正数的等比数列{n a }中，56a a =9，则3132310l o g l o g l o g a a a +++ = 。 14、{n a }是首项为1的正数数列，2211(1)n n n n n a na a a +++-+=0，则通项公式n a = 。 15、数列{n a }的前n 项和n S =12n +n b ，其中{n b }是公差为2的等差数列，b 1≠0，则l i m n n n b a →∞= 。 16、1999年上海市完成GDP 计4035亿元，2000年预期增长9%，市委提出本市人口自然增长率将控制在0.08%，若GDP 和人口均按照这样的速度增长，则要使人均GDP 达到或者超过1999年的2倍，至少需要 年.（1999年人口1300万，lg2=0.3010,lg1.089=0.0371） 三、解答题： 17、在等比数列{n a }的前n 项中，a 1最小，并且12166,128n n a a a a -+==，前n 项和为126。 ⑴求a 1； ⑵求公比q ； 18、{n a }是正数数列，前n 项和为n S ，并且满足关系n S = 1(1)(3)4n n a a -+。 ⑴求此数列的通项公式（写出推证过程）； ⑵若12111n n T S S S = +++ ，求lim n n T →∞。 第4讲用数学归纳法证明数列问题 选题明细表 知识点·方法巩固提高A 巩固提高B 数学归纳法的理解1,2,5 1 数学归纳法的第一步3,7 2,7 3,4,5,6,8, 数学归纳法的第二步4,6,10,12 9,12 类比归纳8,9,11 10,11 数学归纳法的应用13,14,15 13,14,15 巩固提高A 一、选择题 1.如果命题P(n)对n=k成立,则它对n=k+2也成立,若P(n)对n=2也成立,则下列结论正确的是( B ) (A)P(n)对所有正整数n都成立 (B)P(n)对所有正偶数n都成立 (C)P(n)对所有正奇数n都成立 (D)P(n)对所有正整数n都成立 解析:由题意n=k时成立,则n=k+2时也成立,又n=2时成立,则P(n)对所有正偶数都成立.故选B. 2.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≤k2成立时,总可推出f(k+1)≤(k+1)2成立.”那么,下列命题总成立的是( D ) (A)若f(2)≤4成立,则当k≥1时,均有f(k)≤k2成立 (B)若f(4)≤16成立,则当k≤4时,均有f(k)≤k2成立 (C)若f(6)>36成立,则当k≥7时,均有f(k)>k2成立 (D)若f(7)=50成立,则当k≤7时,均有f(k)>k2成立 解析:若f(2)≤4成立,依题意则应有当k≥2时,均有f(k)≤k2成立,故A不成立; 若f(4)≤16成立,依题意则应有当k≥4时,均有f(k)≤k2成立,故B不成立; 因命题“当f(k)≤k2成立时,总可推出f(k+1)≤(k+1)2成立”?“当f(k+1)>(k+1)2成立时,总可推出f(k)>k2成立”;因而若f(6)>36成立,则当k≤6时,均有f(k)>k2成立 ,故C也不成立; 对于D,事实上f(7)=50>49,依题意知当k≤7时,均有f(k)>k2成立,故D成立. 3.若f(n)=1+++…+(n∈N*),则f(1)为( C ) (A)1 (B) (C)1++++(D)非以上答案 解析:注意f(n)的项的构成规律,各项分子都是1,分母是从1到6n-1的正整数, 故f(1)=1++++.故选C. 4.用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)(n∈N*),从k到k+1时,左端需增乘的代数式为( B ) (A)2k+1 (B)2(2k+1) (C)(D) 解析:n=k时左边为(k+1)(k+2)…(k+k),n=k+1时左边为(k+2)(k+3)…(k+k+2), 1 mn 4(m n) mn 2(m n) 【综合能力训练】 一、选择题 1?数列｛a n ｝是等比数列，下列结论中正确的是（ ） A. a n ? a n+1 >0 B. a n ? a n+1 ? a n+2>0 C. a n ? a n+2 >0 D. a n ? a n+2 ? a n+4>0 2.在等比数列｛a n ｝中，a 1=sec 0 （ B 为锐角），且前n 项和S n 满足lim S n = ，那么B 的 n a 1 取值范围是（ ） A. （0, ） B. （0, ） C. （0, ） D. （0, 2 3 6 4 3.已知数列｛a n ｝中，a n =p^ （n € N ），则数列｛a n ｝的最大项是（ ） n 156 A.第12项 B.第13项 C.第 项或13 . D.不存在 4.三个数成等差数列，如果将最小数乘 2，最大数加上 7,所得三数之积为 1000,且成 等比数列，则原等差数列的公差一定是（ ) A.8 B.8 或—15 C. ± 8 D. ± 15 112 1 2 3 1 2 9 1 5.已知数列｛a n ｝： , + , + +-, + + …+ ” , ... 那么数列｛ 2 3 3 4 4 4 10 10 10 a n ?a n 1 的所有项的和为（ ) A.2 B.4 C.3 D.5 n 1 | n n 1 . n 6.已知a 、b € —?a -> lim n ，贝V a 的取值范围是（ ） n a n a A. a>1 B. — 1 数学归纳法（填空题：一般） 1、已知数列{a n}满足a1＝2，a n＋1＝ (n∈N*)，则a3＝________，a1·a2·a3·…·a2014＝________. 2、设，则 _____．（不用化简） 3、用数学归纳法证明：，则当时，左端在时的左端加上了 ________ 4、用数学归纳法证明:,在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是__________（用含有的式子作答). 5、用数学归纳法证明不等式成立，起始值应取为__________． 6、已知，用数学归纳法证明时，等于_____________。 7、用数学归纳法证明，从到，左边需要增乘的代数式为___________. 8、用数学归纳法证明（是非负实数，）时，假设命题成立之后，证明命题也成立的关键是________． 9、用数学归纳法证明“对于的自然数都成立”时，第一步证明中的起始值应取 _____________． 10、用数学归纳法证明：（）时，从 “”时，左边应增添的代数式为_______________. 11、用数学归纳法证明（）时，从“n=”到“n=”的证明，左边需增添的代数式是___________. 12、用数学归纳法证明1＋＋＋…＋(,)，在验证成立时，左式是____． 13、n为正奇数时，求证：x n＋y n被x＋y整除，当第二步假设n＝2k－1命题为真时，进而需证n＝ ________，命题为真． 14、若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推关系式是________． 15、用数学归纳法证明: 的第二步中，当时等式左边与时的等式左边的差等于. 16、用数学归纳法证明“12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)(n∈N*)”，当n＝k＋1时，应在n＝k时的等式左边添加的项是________． 17、用数学归纳法证明≥n(a，b是非负实数，n∈N＋)时，假设n ＝k命题成立之后，证明n＝k＋1命题也成立的关键是________________． §数学归纳法 1．数学归纳法的概念及基本步骤 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)验证：n＝n0 时，命题成立； (2)在假设当n＝k(k≥n0)时命题成立的前提下，推出当n＝k＋1时，命题成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切正整数n都成立． 2．归纳推理与数学归纳法的关系 数学上，在归纳出结论后，还需给出严格证明．在学习和使用数学归纳法时， 需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 1．用数学归纳法证明命题的第一步时，是验证使命题成立的最小正整数n，注意n不一定是1. 2．当证明从k到k＋1时，所证明的式子不一定只增加一项；其次，在证明命题对n＝k＋1成立时，必须运用命题对n＝k成立的归纳假设．步骤二中，在 由k到k＋1的递推过程中，突出两个“凑”：一“凑”假设，二“凑”结论．关键是明确n＝k＋1时证明的目标，充分考虑由n＝k到n＝k＋1时命题 形式之间的区别与联系，若实在凑不出结论，特别是不等式的证明，还可以应用比较法、分析法、综合法、放缩法等来证明当n＝k＋1时命题也成立，这也是证题的常用方法． 3．用数学归纳法证命题的两个步骤相辅相成，缺一不可．尽管部分与正整数 有关的命题用其他方法也可以解决，但题目若要求用数学归纳法证明，则必须 依题目的要求严格按照数学归纳法的步骤进行，否则不正确． 4．要注意“观察——归纳——猜想——证明”的思维模式，和由特殊到一般的数学思想的应用，加强合情推理与演绎推理相结合的数学应用能力． 5．数学归纳法与归纳推理不同．(1)归纳推理是根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个都有这种属性．结果不一定正确，需要进行严格的证明．(2)数学归纳法是一种证明数学命题的方法，结果一定正确． 6．在学习和使用数学归纳法时，需要特别注意： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n 有关的命题，要求这个命题对所有的正整数n 都成立； (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可． 数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递的保证，即只要命题对某个正整数成立，就能保证该命题对后继正整数都成立，两步合在一起为完全归纳步骤，称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可．特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性．如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题． 证明：12＋122＋123＋…＋12 n －1＋12n ＝1－1 2n (其中n ∈N ＋)． [证明] (1)当n ＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝1 2，等式成立． (2)假设当n ＝k (k ≥1)时，等式成立，即 12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＝1－12k ， 那么当n ＝k ＋1时， 左边＝12＋122＋123＋…＋12k －1＋12k ＋1 2k ＋1 ＝1－12k ＋12k ＋1＝1－2－12k ＋1＝1－1 2k ＋1＝右边． 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立． 根据(1)和(2)，可知等式对任何n ∈N ＋都成立． 用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－ 1 2n 数列 数学归纳法测试题 班级 姓名 得分 . 一、选择题： 1、等差数列{n a }中，a 3＋a 7－a 10=8，a 11－a 4=4，则S 13=…………………………………………( ) (A )168 (B ) 156 (C )78 (D ) 152 2、数列{n a }、{n b }都是等差数列，a 1=25，b 1=75，a 100＋b 100=100，则{n a ＋n b }的前100项和为( ) (A )0 (B )100 (C )10000 (D )102400 3、等差数列5，244,3,77 ，第n 项到第n ＋6项的和为T ，则|T|最小时，n=…………………( ) (A )6 (B )5 (C ）4 （D ）3 4、等差数列{n a }满足123101a a a a ++++ =0，则有……………………………………………( ) (A )11010a a +> （B ）21000a a +< （C ）3990a a += （D ）5151a = 5、一个首项为正数的等差数列中，S 3=S 11，则当S n 最大知，n=……………………………………（ ） (A )5 (B ) 6 (C )7 (D ) 8 6、{n a }为等比数列，{n b }是等差数列，b 1=0，n c =n a ＋n b ，如果数列{n c }是1，1，2，…，则{n c }的前10项和为……………………………………………………………………………………（ ） (A ) 978 (B ) 557 (C ) 467 (D )以上都不对 7、若相异三数(),(),()a b c b c a c a b ---组成公比为q 的等比数列，则…………………………（ ） (A )210q q ++= (B ) 210q q -+= (C ) 210q q +-= (D ) 210q q --= 8、{n a }的前n 项和为S n =232n n -，当n ≥2时，有…………………………………………………（ ） (A )n S >n na >1na (B ) n S 数列、极限、数学归纳法·归纳、猜想、证明·教案 张毅 教学目标 1．对数学归纳法的认识不断深化． 2．帮助学生掌握用不完全归纳法发现规律，再用数学归纳法证明规律的科学思维方法． 3．培养学生在观察的基础上进行归纳猜想和发现的能力，进而引导学生去探求事物的内在的本质的联系．教学重点和难点 用不完全归纳法猜想出问题的结论，并用数学归纳法加以证明． 教学过程设计 （一）复习引入 师：我们已学习了数学归纳法，知道它是一种证明方法．请问：它适用于哪些问题的证明？ 生：与连续自然数n有关的命题． 师：用数学归纳法证明的一般步骤是什么？ 生：共有两个步骤： （1）证明当n取第一个值n0时结论正确； （2）假设当n=k（k∈N，且k≥n0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确． 师：这两个步骤的作用是什么？ 生：第（1）步是一次验证，第（2）步是用一次逻辑推理代替了无数次验证过程． 师：这实质上是在说明这个证明具有递推性．第（1）步是递推的始点；第（2）步是递推的依据．递推是数学归纳法的核心．用数学归纳法证题时应注意什么？ 生：两个步骤缺一不可．证第（2）步时，必须用归纳假设．即在n=k成立的前提下推出n=k+1成立．师：只有这样，才能保证递推关系的存在，才真正是用数学归纳法证题． 今天，我们一起继续研究解决一些与连续自然数有关的命题．请看例1． （二）归纳、猜想、证明 1．问题的提出 a3，a4，由此推测计算an的公式，然后用数学归纳法证明这个公式． 师：这个题目看起来庞大，其实它包括了计算、推测、证明三部分，我们可以先一部分、一部分地处理．（学生很快活跃起来，计算工作迅速完成，请一位同学口述他的计算过程，教师板演到黑板上） 师：正确．怎么推测an的计算公式呢？可以相互讨论一下． 选修2-2 2. 3 数学归纳法 一、选择题 1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1 1 专题6.数列与数学归纳法 数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显，小题难度加大趋势明显；解答题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难题（压轴题），有所降温，难度趋减，将稳定在中等变难程度.往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．关于数学归纳法的考查，主要与数列、不等式相结合. 预测2021年将保持稳定，主观题将与不等式、函数、数学归纳法等相结合 . 1．（2020·浙江省高考真题）已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0， 11a d ≤．记b 1=S 2，b n+1=S 2n+2–S 2n ，n *∈N ，下列等式不可能．．． 成立的是（ ） A ．2a 4=a 2+a 6 B ．2b 4=b 2+b 6 C ．2428a a a = D ．2428b b b = 2．（2020·浙江省高考真题）我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列(1)2n n +??????就是二阶等差数列，数列(1)2n n +?????? (N )n *∈ 的前3项和是________． 3．（2020·浙江省高考真题）已知数列{a n }，{b n }，{c n }中，111112 1,,()n n n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-= ?∈*N ． （Ⅰ）若数列{b n }为等比数列，且公比0q >，且1236b b b +=，求q 与{a n }的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }为等差数列，且公差0d >，证明：1211n c c c d +++<+．*()n N ∈ 4．（2020·天津高考真题）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列， ()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ； 欢迎阅读数学归纳法典型例题 一. 教学内容： 高三复习专题：数学归纳法 二. 教学目的 掌握数学归纳法的原理及应用 三. 教学重点、难点 四. ??? ??? （1 ??? （2（）时命题成立，证明当时命题也成立。??? 开始的所有正整数 ??? 即只 称为数学归纳法，这两步各司其职，缺一不可，特别指出的是，第二步不是判断命题的真伪，而是证明命题是否具有传递性，如果没有第一步，而仅有第二步成立，命题也可能是假命题。 【要点解析】 ? 1、用数学归纳法证明有关问题的关键在第二步，即n＝k＋1时为什么成立，n＝k＋1时成立是利用假设n＝k时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n＝k＋1时成立，而不是直接代入，否则n＝k＋1时也成假设了，命题并没有得到证明。 ??? 用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明的，学习时要具体问题具体分析。 ? 2、运用数学归纳法时易犯的错误 ??? （1）对项数估算的错误，特别是寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，项数发生什么变化被弄错。 ??? （2）没有利用归纳假设：归纳假设是必须要用的，假设是起桥梁作用的，桥梁断了就通不过去了。 ??? （3）关键步骤含糊不清，“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，对推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性。 ? 例1. 时，。 ，右边，左边 时等式成立，即有，则当时， 由①，②可知，对一切等式都成立。 的取值是否有关，由到时 （2 到 本题证明时若利用数列求和中的拆项相消法，即 ，则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的一种伪证。 （3）在步骤②的证明过程中，突出了两个凑字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确 时证明的目标，充分考虑由到时，命题形式之间的区别和联系。 43 / 1843 / 18 第三章 数列及数学归纳法 知识结构 高考能力要求 1、理解数列的概念，了解数列通项公式的意义．了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项． 2、理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式及前n 项和的公式，并能解决简单的实际问题． 3、理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及前n 项和公式，并能解决简单的实际问题． 4、理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 高考热点分析 纵观近几年高考试题，对数列的考查已从最低谷走出，估计以后几年对数列的考查的比重仍不会减小，等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n 项和公式的应用是必考内容，数列及函数、三角、解析几何、组合数的综合应用问题是命题热点． 从解题思想方法的规律着眼，主要有：① 方程思想的应用，利用公式列方程(组)，例如等差、等比数列中的 “知三求二”问题；② 函数思想方法的应用、图像、单调性、最值等问题；③ 待定系数法、分类讨论等方法的应用． 高考复习建议 数列部分的复习分三个方面：① 重视函数及数列的联系，重视方程思想在数列中的应用．② 掌握等差数列、等比数列的基础知识以及可化为等差、等比数列的简单问题，同时要重视等差、等比数列性质的灵活运用．③ 要设计一些新颖题目，尤其是通过探索性题目，挖掘学生的潜能，培养学生的创新意识和创新精神，数列综合能力题涉及的问题背景新颖，解法灵活，解这类题时，要引导学生科学合理地思维，全面灵活地运用数学思想方法． 数列部分重点是等差、等比数列，而二者在内容上是完全平行的，因此，复习时应将它们对比起来复习；由于数列方面的题目的解法的灵活性和多样性，建议在复习这部分内容时，要启发学生从多角度思考问题，提倡一题多解，培养学生思维的广阔性，养成良好的思维品质． 3．1 数列的概念 知识要点 1．数列的概念 数列是按一定的顺序排列的一列数，在函数意义下，数列是定义域为正整数N *或其子集{1，2，3，……n }的函数f (n )．数列的一般形式为a 1，a 2，…，a n …，简记为{a n }，其中a n 是数列{a n }的第 项． 2．数列的通项公式 一个数列{a n }的 及 之间的函数关系，如果可用一个公式a n ＝f (n )来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式． 3．在数列{a n }中，前n 项和S n 及通项a n 的关系为： = n a ?? ? ??≥==21n n a n 4．求数列的通项公式的其它方法 ⑴ 公式法：等差数列及等比数列采用首项及公差(公比)确定的方法． ⑵ 观察归纳法：先观察哪些因素随项数n 的变化而变化，哪些因素不变；初步归纳出公式，再取n 的特珠值进行检验，最后用数学归纳法对归纳出的结果加以证明． ⑶ 递推关系法：先观察数列相邻项间的递推关系，将它们一般化，得到的数列普遍的递推关系，再通过代数方法由递推关系求出通项公式． 高二数学数学归纳法综 合测试题 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT 选修2-2 2. 3 数学归纳法 一、选择题 1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1 3．设f (n )＝ 1n ＋1＋1n ＋2 ＋…＋12n (n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( ) ＋12n ＋2 －12n ＋2 [答案] D [解析] f (n ＋1)－f (n ) ＝???? ??1(n ＋1)＋1＋1(n ＋1)＋2＋…＋12n ＋12n ＋1＋12(n ＋1) －???? ??1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＝12n ＋1＋12(n ＋1)－1n ＋1 ＝12n ＋1－12n ＋2 . 4．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时，该命题成立，那么可推得n ＝k ＋1时该命题也成立．现在已知当n ＝5时，该命题不成立，那么可推得 ( ) A ．当n ＝6时该命题不成立 B ．当n ＝6时该命题成立 C ．当n ＝4时该命题不成立 D ．当n ＝4时该命题成立 [答案] C [解析] 原命题正确，则逆否命题正确．故应选C. 5．用数学归纳法证明命题“当n 是正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”，在第二步的证明时，正确的证法是( ) A ．假设n ＝k (k ∈N *)，证明n ＝k ＋1时命题也成立 B ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋1时命题也成立 C ．假设n ＝k (k 是正奇数)，证明n ＝k ＋2时命题也成立 数列与数学归纳法专项训练 1.如图，曲线2 (0)y x y =≥上的点i P 与x 轴的正半轴上的点i Q 及原点O 构成一系列正三角形△OP 1Q 1，△Q 1P 2Q 2，…△Q n-1P n Q n …设正三角形1n n n Q P Q -的边长为n a ,n ∈N ﹡(记0Q 为O ),(),0n n Q S .（1）求1a 的值; （2）求数列{n a }的通项公式n a 。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2. 设{}{},n n a b 都是各项为正数的数列，对任意的正整数n ，都有2 1,,n n n a b a +成等差数列， 2211,,n n n b a b ++成等比数列． （1）试问{}n b 是否成等差数列？为什么？ （2）如果111,2a b ==，求数列1n a ?? ???? 的前n 项和n S ． 3. 已知等差数列｛n a ｝中，2a ＝8，6S ＝66. （Ⅰ）求数列｛n a ｝的通项公式； （Ⅱ）设n n a n b )1(2+=，n n b b b T +++= 21，求证：n T ≥1 6 . 4. 已知数列{n a }中5 3 1=a ，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），数列}{n b ，满足11-= n n a b （+∈N n ） （1）求证数列{n b }是等差数列； （2）求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由； （3）记++=21b b S n …n b +，求 )1(lim -∞→n b n n ． 5. (Ⅰ (Ⅱ (Ⅲn 项的 6. （1（2 7. 已知数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且对任意* ∈N n ，都有 n n pa p S p -=?-)1(（p 为大于1的常数），并记 n n n n n n n S a C a C a C n f ??++?+?+=21)(2211 . 函数 不等式 数列 极限 数学归纳法 一 能力培养 1,归纳-猜想-证明 2,转化能力 3,运算能力 4,反思能力 二 问题探讨 问题1数列{n a }满足112 a =,212n n a a a n a ++???+=,(n N *∈). (I)求{n a }的通项公式; (II)求1100n n a -的最小值; (III)设函数()f n 是 1100n n a -与n 的最大者,求()f n 的最小值. 问题2已知定义在R 上的函数()f x 和数列{n a }满足下列条件: 1a a =,1()n n a f a -= (n =2,3,4,???),21a a ≠, 1()()n n f a f a --=1()n n k a a --(n =2,3,4,???),其中a 为常数,k 为非零常数. (I)令1n n n b a a +=-(n N * ∈),证明数列{}n b 是等比数列; (II)求数列{n a }的通项公式; (III)当1k <时,求lim n n a →∞. 问题3已知两点M (1,0)-,N (1,0),且点P 使MP MN ?,PM PN ?,NM NP ?成公差小 于零的等差数列. (I)点P 的轨迹是什么曲线? (II)若点P 坐标为00(,)x y ,记θ为PM 与PN 的夹角,求tan θ. 三 习题探讨 选择题 1数列{}n a 的通项公式2n a n kn =+,若此数列满足1n n a a +<(n N *∈),则k 的取值范围是 A,2k >- B,2k ≥- C,3k ≥- D,3k >- 2等差数列{}n a ,{}n b 的前n 项和分别为n S ,n T ,若231n n S n T n =+,则n n a b = A, 23 B,2131n n -- C,2131 n n ++ D,2134n n -+ 3已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q ,则q 的取值范围是 A, B, C, D, 4在等差数列{}n a 中,1125 a = ,第10项开始比1大,记21lim ()n n n a S t n →∞+=,则t 的取值范围是 A,475t > B,837525t <≤ C,437550t << D,437550t <≤ 5设A 11(,)x y ,B 22(,)x y ,C 33(,)x y 是椭圆22 221x y a b +=(0a b >>)上三个点,F 为焦点, 若,,AF BF CF 成等差数列,则有 A,2132x x x =+ B,2132y y y =+ C,213 211x x x =+ D,2213x x x =? 6在ABC ?中,tan A 是以4-为第三项,4为第七项的等差数列的公差,tan B 是以 13为 第三项,9为第六项的等比数列的公比,则这个三角形是 A,钝角三角形 B,锐角三角形 C,等腰直角三角形 D,以上都不对 填空 7等差数列{}n a 前n (6n >)项和324n S =,且前6项和为36,后6项和为180,则n = . 8223323232323236666n n n n S ++++=+++???+,则lim n n S →∞= . 9在等比数列{}n a 中,121lim()15 n n a a a →∞++???+=,则1a 的取值范围是 . 10一个数列{}n a ,当n 为奇数时,51n a n =+;当n 为偶数时,22n n a =.则这个数列的前 2m 项之和2m S = . 11等差数列{}n a 中,n S 是它的前n 项和且67S S <,78S S >,则①此数列的公差0d <, 数学归纳法经典练习及 解答过程 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58- 第七节数学归纳法 知识点数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立． (2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．易误提醒运用数学归纳法应注意： (1)第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值． (2)由n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法． [自测练习] 1．已知f(n)＝1 n ＋ 1 n＋1 ＋ 1 n＋2 ＋…＋ 1 n2 ，则( ) A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 4 C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 4 解析：从n到n2共有n2－n＋1个数，所以f(n)中共有n2－n＋1项，且f(2)＝1 2 ＋ 1 3 ＋ 1 4 ，故选D. 答案：D 2．(2016·黄山质检)已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1 n ＋1 ＝ 2? ???? 1n ＋2＋1n ＋4 ＋…＋12n 时，若已假设n ＝k (k ≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n ＝( )时等式成立( ) A ．k ＋1 B ．k ＋2 C ．2k ＋2 D ．2(k ＋2) 解析：根据数学归纳法的步骤可知，则n ＝k (k ≥2为偶数)下一个偶数为k ＋2，故选B. 答案：B 考点一 用数学归纳法证明等式| 求证：(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·5·…·(2n －1)(n ∈N *)． [证明] (1)当n ＝1时，等式左边＝2，右边＝21·1＝2，∴等式成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )＝2k ·1·3·5·…·(2k －1)． 当n ＝k ＋1时，左边＝(k ＋2)(k ＋3)·…·2k ·(2k ＋1)(2k ＋2) ＝2·(k ＋1)(k ＋2)(k ＋3)·…·(k ＋k )·(2k ＋1) ＝2·2k ·1·3·5·…·(2k －1)·(2k ＋1) ＝2k ＋1·1·3·5·…·(2k －1)(2k ＋1)． 这就是说当n ＝k ＋1时，等式成立． 根据(1)，(2)知，对n ∈N *，原等式成立． 1．用数学归纳法证明下面的等式： 12－22＋32－42＋…＋(－1)n －1·n 2＝(－1)n －1n ?n ＋1? 2 . 证明：(1)当n ＝1时，左边＝12＝1， 右边＝(－1)0 ·1×?1＋1? 2 ＝1， ∴原等式成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式成立， 第2节 等差数列及其前n 项和 最新考纲 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系． 知 识 梳 理 1．等差数列的概念 (1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示． 数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N * ，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)． (2)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b 2 ． 2．等差数列的通项公式与前n 项和公式 (1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ． 通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N * )． (2)等差数列的前n 项和公式 S n ＝n （a 1＋a n ）2 ＝na 1＋n （n －1）2 d (其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项)． 3．等差数列的有关性质 已知数列{a n }是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和． (1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N * )，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q . (2)等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当 d ＝0时，{a n }是常数列． (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N * )是公差为md 的等差数列． (4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． 4．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d 2 n 2＋? ?? ??a 1－d 2n . 数列的极限、数学归纳法 一、知识要点 （一） 数列的极限 1.定义：对于无穷数列{a n }，若存在一个常数A ，无论预选指定多么小的正数ε，都能在数列中找到一项a N ，使得当n>N 时，|an-A|<ε恒成立，则称常数A 为数列{a n }的极限，记作 A a n n =∞ →lim . 2.运算法则：若lim n n a →∞ 、lim n n b →∞ 存在，则有 lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞ →∞ →∞ ±=±；lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞ →∞ →∞ ?=? )0lim (lim lim lim ≠=∞→∞ →∞→∞→n n n n n n n n n b b a b a 3.两种基本类型的极限：<1> S=?? ? ??-=>=<=∞ →)11() 1(1) 1(0lim a a a a a n n 或不存在 <2>设()f n 、()g n 分别是关于n 的一元多项式，次数分别是p 、q ，最高次项系数分别为p a 、 p b 且)(0)(N n n g ∈≠,则??? ????>=<=∞→)()() (0)()(lim q p q p b a q p n g n f q p n 不存在 4.无穷递缩等比数列的所有项和公式：1 1a S q = - （|q|<1） 无穷数列{a n }的所有项和：lim n n S S →∞ = （当lim n n S →∞ 存在时） （二）数学归纳法 数学归纳法是证明与自然数n 有关命题的一种常用方法，其证题步骤为： ①验证命题对于第一个自然数0n n = 成立。 ②假设命题对n=k(k ≥0n )时成立,证明n=k+1时命题也成立. 则由①②,对于一切n ≥ 0n 的自然数,命题都成立。 二、例题（数学的极限） 数列与数学归纳法 一、填空题 （杨浦区2013文理）1. 计算：=+∞→1 33lim n n n ．1 1. 计算：= 3 . 4、已知{}n a 是公比为2的等比数列，若316a a -=，则n a a a +++Λ21 = 221-+n (2014年1月青浦)各项为实数的等比数列中7191,8a a =-=-，则13a = (2014年1月青浦)已知lim(1)1n n q →∞ -=，则实数q 的取值范围是 11q -<< ． 221lim 2n n n n →∞+=-____1 2 _______. 已知数列{}n a 中，11a =，* 13,(2,)n n a a n n N -=+≥∈，则n a =___32n -________. 5．已知为等差数列，其前项和为．若，35a =，64n S =，则n = 8 ． 10、数列()*241N n a a n n ∈+-=+，如果{}n a 是一个等差数列，则=1a 3 6. 如果()那么共有28项. 4．已知数列}{n a 的前n 项和2 n S n =（*N ∈n ），则8a 的值是__________．15 8．若等差数列的首项为2，公差为，其前项和满足：对于任意的， 都有 是非零常数．则 ．4 8．若公差为的等差数列的项数为奇数，，的奇数项的和是175，偶数项 的和是150，则 ．4 10．函数x a y =（0>a ,1≠a ）的图像经过点?? ? ??41, 2P ，则=+++∞→)(lim 2n n a a a Λ______ 1 11．设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，且55S a =，则=2014S ________0 210lim 323x n n →∞++{}n a n n S 11a =()1111112312 n f n n n =+ +++++++L L *n N ∈()()1f k f k +-{}n a )0(≠d d n n S * ∈N n n n S S 2=d d {}n a 11=a {}n a =d 第二章数列、极限、数学归纳法（2） 等比数列 【例题精选】: 例1：“b 2 = ac ”是a , b , c 成等比数列的 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既不充分又不必要条件 分析：由a , b , c 成等比数列?b ac 2=；b ac 2=若a , b , c 中有等于零者，a , b , c 不成等比数列，故选（B ） 说明：只有当a , b , c 均不为零时， b ac 2=? a , b , c 成等比数列。 例2：已知数列{}a n 的前n 次和S k k n n =+3(为常数），那么下述结论正确的 是 A ．k 为任意实数时，{}a n 是等比数列 B ．k = －1时，{}a n 是等比数列 C ．k = 0时，{}a n 是等比数列 D ．{}a n 不可能是等比数列 分析：给出 s k k n n =+3(为常数），可由s n 求出通项a n 来进行判断： n a s k n a s s k k n n n n n n ===+≥=-=+-+=?---13123323211111 时，时，() ()() 当n a ==?=1223210时，由（）式 当a k k 121321=+==-时代入（）式得得, {}∴=-=?∈-当时，数列k a n N a n n n 1231()是等比数列，故选（B ）。 小结：解好本题要准确掌握数列的前n 项和S n 与通项a n 关系式 a n =s n s s n n n 1 112=-≥?? ?- 例3：在等比数列{}a n 中，已知a a a a a 132492040+=-+=,,求 解：设等比数列的公比为q ，依题意：() ()a a q a q a q 112 1 13 201402+=-+=????? ()()()()()12112 214 421024 19188÷=-∴=-=-∴==--=-得 代入得q q a a a q 例4：（1）在等比数列6，…，1458，…，13122，…中，1458是第n 项， 131222019年高考数学二轮复习试题：专题六 第4讲 用数学归纳法证明数列问题(带解析)
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