八年级二次根式复习讲义(非常全面)
二次根式
知识点一:二次根式的概念
【知识要点】
二次根式的定义:形如
的式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当是一个非负数时,
才有意义.
【典型例题】
【例1】下列各式1
- 其中是二次根式的是_________(填序号).
举一反三:
1、下列各式中,一定是二次根式的是( ) A
D
2
______个
【例2】
有意义,则x 的取值范围是 .
举一反三:
1、使代数式
4
3
--x x 有意义的x 的取值范围是( ) A 、x>3
B 、x ≥3
C 、 x>4
D 、x ≥3且x ≠4
2
x 的取值范围是
3、如果代数式mn
m 1+
-有意义,那么,直角坐标系中点P (m ,n )的位置在( )
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
【例3】若y=5-x +x -5+2009,则x+y=
解题思路:式
子a ≥0),50
,50x x -≥??-≥? 5x =,y=2009,则x+y=2014
举一反三: 1、
2
()x y =+,则x -y 的值为( )
A .-1
B .1
C .2
D .3
2、若x 、y 都是实数,且y=4x 233x 2+-+-,求xy 的值
3、当a
1取值最小,并求出这个最小值。
已知a
b 是
1
2
a b +
+的值。
若3的整数部分是a ,小数部分是b ,则=-b a 3 。
若17的整数部分为x ,小数部分为y ,求y x 1
2+
的值.
知识点二:二次根式的性质
【知识要点】
1. 非负性:a a ()≥0是一个非负数. 注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到.
2. ()()a a a 20=≥. 注意:此性质既可正用,也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式:a a a =≥()()20
3. a a a a a a 2
00==≥-?
?
||()() 注意:(1)字母不一定是正数. (2)能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方根代替.
(3)可移到根号内的因式,必须是非负因式,如果因式的值是负的,应把负号留在根号外.
4. 公式a a a a a a 200==≥-??||()
()
与()()a a a 20=≥的区别与联系
(1)a 2表示求一个数的平方的算术根,a 的范围是一切实数. (2)()a 2表示一个数的算术平方根的平方,a 的范围是非负数. (3)a 2和()a 2的运算结果都是非负的.
【典型例题】
【例4】
若()2
240a c --=,则=
+-c b a .
举一反三:
1、若0)1(32
=++-n m ,则m n +的值为 。
2、已知y x ,为实数,且()02312
=-+-y x ,则y x -的值为( )
A .3
B .– 3
C .1
D .– 1
3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足|x 2
-4|+652+-y y =0,则第三边长为______.
4、若
1
a b -+
互为相反数,则
()2005
_____________
a b -=。
(公式)0()(2
≥=a a a 的运用)
【例5】
化简:2
1a -+的结果为( )
A 、4—2a
B 、0
C 、2a —4
D 、4
举一反三:
1在实数范围内分解因式:
2
3x
-= ;4244m m -+=
429__________,2__________x x -=-+=
2
1-
3
,则斜边长为
(公式?
??<-≥==)0a (a )
0a (a a a 2的应用)
【例6】已知2x <,
A 、2x -
B 、2x +
C 、2x --
D 、2x -
举一反三:
1、
( )
A .-3
B .3或-3
C .3
D .9 2、已知a<0
2a │可化简为( )
A .-a
B .a
C .-3a
D .3a
3、若23a
)
A. 52a -
B. 12a -
C. 25a -
D. 21a - 4、若a -3<0,则化简
a
a a -++-4962的结果是( )
(A) -1 (B) 1 (C) 2a -7 (D) 7-
2a 5、
2
得( )
(A ) 2 (B )44x -+ (C )-2 (D )44x -
6、当a <l 且a ≠0时,化简a a a a -+-22
1
2= .
7、已知0a
<
【例7】如果表示a ,b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示,那么化简│a
-b │ 的结果等于( )
A .-2b
B .2b
C .-2a
D .2a
举一反三:实数a 在数轴上的位置如图所示:化
简:
1______a -=.
【例8】
化简1x -2x -5,则x 的取值范围是( )
(A )x 为任意实数 (B )1≤x ≤4 (C ) x ≥1 (D )x ≤
1
举一反三:
若代数式2,则a 的取值范围是( )
A.4a ≥ B.2a ≤ C.24a ≤≤ D.2a =或4a =
【例9】如果11a 2a a 2=+-+,那么a 的取值范围是( )
A. a=0
B. a=1
C. a=0或a=1
D. a ≤1
举一反三:
1、如果3a =成立,那么实数a 的取值范围是( )
.0.3;.3;.3A a B a C a D a ≤≤≥-≥
2、若03)3(2
=-+-x x ,则x 的取值范围是( )
(A )3>x (B )3 【例10】化简二次根式2 2 a a a +- 的结果是 (A )2--a (B)2---a (C)2-a (D)2--a 1、把二次根式a a -1 化简,正确的结果是( ) A. -a B. --a C. -a D. a 2、把根号外的因式移到根号内:当b >0时, x x b = ;a a --11)1(= 。 知识点三:最简二次根式和同类二次根式 【知识要点】 1、最简二次根式: (1)最简二次根式的定义:①被开方数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的数或因式. 2、同类二次根式(可合并根式): o b a 几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式,即可以合并的两个根式。 【典型例题】 【例11】在根式 ,最简二次根式是( ) A .1) 2) B .3) 4) C .1) 3) D .1) 4) 解题思路:掌握最简二次根式的条件。 举一反三: 1、)b a (17,54,b 40,2 1 2,30,a 45222+中的最简二次根式是 。 2、下列根式中,不是.. 最简二次根式的是( ) A B C . D 3、下列根式不是最简二次根式的是( ) 4、下列各式中哪些是最简二次根式,哪些不是?为什么? (1)b a 23 (2)23ab (3)22y x + (4))(b a b a >- (5)5 (6) xy 8 5、把下列各式化为最简二次根式: (1)12 (2)b a 2 45 (3) x y x 2 【例12】下列根式中能与3是合并的是( ) A.8 B. 27 C.25 D. 2 1 举一反三: 1、下列各组根式中,是可以合并的根式是( ) A 2、在二次根式:①12;② 32;③ 3 2 ;④27中,能与3合并的二次根式是 。 3、如果最简二次根式83-a 与a 217-能够合并为一个二次根式, 则a=__________. 知识点四:二次根式计算——分母有理化 【知识要点】 1.分母有理化 定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化。 2.有理化因式: 两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确 定方法如下: a = b a -与b a -等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式:利用平方差公式来确定。如a + a ,互为有理化因式。 3.分母有理化的方法与步骤: ①先将分子、分母化成最简二次根式; ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式; ③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。 【典型例题】 【例13】 把下列各式分母有理化 (1 (2 (3 (4 ) 【例14】把下列各式分母有理化 (1 (2 (3 ) (4 ) 【例15】把下列各式分母有理化: (1 (2 (3 举一反三: 1 、已知x = ,y =,求下列各式的值:(1)x y x y +-(2)22 3x xy y -+ 2、把下列各式分母有理化: (1 )a b ≠ (2 (3 小结:一般常见的互为有理化因式有如下几类: ①与 ; ② 与 ; ③与 ; ④ 与 . 知识点五:二次根式计算——二次根式的乘除 【知识要点】 1.积的算术平方根的性质:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积。 2.二次根式的乘法法则:两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根。 3.商的算术平方根的性质:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 4.二次根式的除法法则:两个数的算术平方根的商,等于这两个数的商的算术平方根。 注意:乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边,同时还要考虑字母的取值 范围,最后把运算结果化成最简二次根式. 【典型例题】 【例16 】化简 1525?0,0≥≥y x 32? 【例17】计算(1) (2) (3) (4) (5) (6 ) (7) (8) 【例18】化简: )0,0(≥>b a )0,0(> ≥y x )0,0 (>≥y x 【例19】计算: (4 【例20】=x 的取值范围是( ) A 、2x > B 、0x ≥ C 、02x ≤ ≤ D 、无解 知识点六:二次根式计算——二次根式的加减 【知识要点】 需要先把二次根式化简,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开方数不变。 注意:对于二次根式的加减,关键是合并同类二次根式,通常是先化成最简二次根式,再把同类二次根式合并.但在化简二次根式时,二次根式的被开方数应不含分母,不含能开得尽的因数. 【典型例题】 【例20】计算(1 ) (2) ? - ? ; (3 ; (4) + 【例21】 (1 ) (2 (3 3 a +- (4 ) 2 ?+-- ? ( 5 5-(6+- 知识点七:二次根式计算——二次根式的混合计算与求值 【知识要点】 1、确定运算顺序; 2、灵活运用运算定律; 3、正确使用乘法公式; 4、大多数分母有理化要及时; 5、在有些简便运算中也许可以约分,不要盲目有理化; 【典型习题】 1、a b b a ab b 3)23(235÷-? 2、 2 2 (212 +4 1 8 - 348 ) 3、 1 3 ( )÷16、673)3 2272(-?++ 5、62332)(62332(+--+) 6、)54)(54()523(2 -+-+ 7、11 10 )562()562(+- 8、)0()1 22510(9312>--m m m m m m m 【例21】 1.已知: ,求的值. 2.已知,求 的值。 3.已知:,求的值. 4.求的值. 5.已知、是实数,且,求的值. 知识点八:根式比较大小 【知识要点】 1 、根式变形法 当0,0 a b >>时,①如果a b > >a b << 2、平方法 当0,0a b >>时,①如果22a b >,则a b >;②如果22a b <,则a b <。 3、分母有理化法 通过分母有理化,利用分子的大小来比较。 4、分子有理化法 通过分子有理化,利用分母的大小来比较。 5、倒数法 6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值,利用传递性进行比较。 7、作差比较法 在对两数比较大小时,经常运用如下性质:①0a b a b ->?>;②0a b a b -< 8、求商比较法 它运用如下性质:当a>0,b>0时,则:①1a a b b >?>; ②1a a b b < 【典型例题】 【例22】 比较 与的大小。 【例23】 的大小。 【例24】 【例25】 的大小。 【例26】33的大小。