§定积分的应用习题与答案
第六章 定积分的应用
(A )
1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1)2
2
1x y =与822=+y x (两部分都要计算)
2)x
y 1
=与直线x y =及2=x
3)x
e y =,x
e y -=与直线1=x
4)θρcos 2a =
5)t a x 3
cos =,t a y 3
sin =
1、求由摆线()t t a x sin -=,()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的
面积
2、求对数螺线θ
ρae
=()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积
3、求由曲线x y sin =和它在2
π=
x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕
x 轴旋转而成的旋转体的体积
4、由3
x y =,2=x ,0=y 所围成的图形,分别绕x 轴及y 轴旋转,计算所得两旋转体
的体积
5、计算底面是半径为R 的圆,而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的
立体体积
6、计算曲线()x y -=33
3
上对应于31≤≤x 的一段弧的长度
7、计算星形线t a x 3
cos =,t a y 3
sin =的全长
8、由实验知道,弹簧在拉伸过程中,需要的力→
F (单位:N )与伸长量S (单位:cm )成
正比,即:kS =→
F (k 是比例常数),如果把弹簧内原长拉伸6cm , 计算所作的功
9、一物体按规律3
ct x =作直线运动,介质的阻力与速度的平方成正比,计算物体由0
=x 移到a x =时,克服介质阻力所作的功
10、 设一锥形储水池,深15m ,口径20m ,盛满水,将水吸尽,问要作多少功?
11、 有一等腰梯形闸门,它的两条底边各长10cm 和6cm ,高为20cm ,较长的底边与水
面相齐,计算闸门的一侧所受的水压力
12、 设有一长度为λ,线密度为u 的均匀的直棒,在与棒的一端垂直距离为a 单位处
有一质量为m 的质点M ,试求这细棒对质点M 的引力
(B)
1、设由抛物线()022
>=p px y 与直线p y x 2
3
=
+ 所围成的平面图形为D 1) 求D 的面积S ;2)将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积
2、求由抛物线2
x y =及x y =2
所围成图形的面积,并求该图形绕x 轴旋转所成旋转体的体
积
3、求由x y sin =,x y cos =,0=x ,2
π=x 所围成的图形的面积,并求该图形绕x 轴旋
转所成旋转体的体积
4、求抛物线px y 22
=及其在点??
?
??p p ,2处的法线所围成的图形的面积
5、求曲线422
+-=x x y 在点()4,0M 处的切线MT 与曲线()122
-=x y 所围成图形的面积
6、求由抛物线ax y 42
=与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值
7、求由下列曲线所围成图形的公共部分的面积 1)θρcos 3=,θρcos 1+=
2)θρsin a =,()θθρsin cos +=a ,0>a
8、由曲线()1652
2
=-+y x 所围成图形绕x 轴旋转所成旋转体的体积
9、求圆心在()b ,0半径为a ,()0>>a b 的圆,绕x 轴旋转而成的环状体的体积
10、计算半立方抛物线()32
132
-=x y 被抛物线3
2x y =截得的一段弧的长度
(C)
1、用积分方法证明半径为R 的球的高为H 的球缺的的体积为
??? ?
?
-=32H R H V π
2、分别讨论函数x y sin =??
?
?
?
≤
≤20πx 在取何值时,阴影部分的面积1S ,2S 的和21S S S +=取最大值和最小值
3、求曲线x y =
()40≤≤x 上的一条切线,使此切线与直线0=x , 4=x 以及曲线
x y =所围成的平面图形的面积最小
4、半径为r 的球沉入水中,球的上部与水面相切,球的密度与水相同,现将球从水中取出,需作多少功?
第六章 定积分应用 习 题 答 案
(A )
1、1)342+
π,346-π 2)2ln 23- 3)21
-+e
e 4)2
a π 5)28
3a π
2、2
3a π 3、()
π
π2224--e e a 4、12-π,42π 5、7128π,5
64π 6、
3334R 7、3
4
32- 8、a 6 9、kJ 18.0 10、3
7
32
7
27a kc (其中k 为比例常数)11、()kJ 5.57697 12、()kN 14373 13、取y 轴经过细直棒???
?
??+-=2211t a a
Gmu F y 2
2t a a Gmu F x +-=λ
(B)
1、1)?-=???
? ??--=p
p p dy p y y p S 32
2316223 或(
)
??=??
?
??+-++=
20
229
2
31622322p
p p p dx px x p dx px px S
2)??--=???
?
??-???
??-=p
p p p p dy p y dy y p V 3332
22
15272223πππ 2、(
)
?=
-=10
231
dx x x A ()()ππ?=???
??-=102
22
10
3dx x x V
3、()()??-=-+-=
24
4
222
cos sin sin cos π
ππdx x x dx x x A
()()(
)
()()()
??=-+-=
24
2240
2
2
cos sin sin cos π
ππ
ππdx x x dx x x V
4、抛物线在点??
?
??p p ,2处的法线方程为: p y x 23=+,以下解法同第一题2316p A = 5、MT :x y 24-=,切线MT 与曲线()122
-=x y 的交点坐标为??
?
??1,23,()2,3- ?-=???
? ??---=1
2249
1224dy y y A 6、提示:设过焦点()0,a 的弦的倾角为α
则弦所在直线的方程为()a x y -=αtan
由()a x y -=αtan ,ax y 42
=得两交点纵坐标为
()()21csc 2csc 2y ctg a ctg a y =+<-=αααα
所以 ()()dy a y yctg a A y y
???
????-+=2
1
42αα
()()3
2222csc 3
4csc 4csc 4ααααa ctg a a -+=
()()3232csc 34csc 4ααa a -=()3
2csc 3
8αa =
因为πα<<0 当2
π
α=时 ()3
csc α取得最小值为1
所以 当2
π
α=
时 过焦点的弦与抛物线ax y 42
=所围成的图形面积
()3
2csc 3
82απa A =??? ??最小
7、1)()()πθθθθπ
ππ4
5cos 321cos 1212232
302=??????++=??d d A
2)()()[]??
-=++=
πππ
πθθθθθ22220
241cos sin 2
1sin 21
a d a d a A 8、(
)()?
?----
--+=
4
4
44
2
2
2
2
165165dx x
dx x
V ππ
()()?-=?
???
??--
--+=4
42
2
22
2160165165π
πdx x
x
9、解法同题8
10、提示:()32
132-=x y ,32
x y = 联立得交点???? ??36,2,???
? ??-36,2 所求弧长()
?
+=2
1
2
'12
dx y s
由()3
2
132-=x y 得()y
x y 2
'1-=
于是()
()()()
()12313
21134
2
2
2
'-=--=???? ?
?-=x x x y x y
于是得()??
?
?????-??? ??=??????-+=?
1259812312
232
1
221dx x S
(C)
1、证明:此处球缺可看作由如图阴影(图2
2
2
R y x =+的一部分)绕y 轴旋转而成
所以()?
?
---==
R
H
R R
H
R dy y R dy x V 2
2
2
ππR H
R R H
R y y
R ---=3
32
π
π
()[]()[]
3
3
23
H R R H R R R ---
--=π
π??? ?
?-=32H R H π
2、解:()?-=
t
dx x t S 11sin sin ()?-=22
sin sin π
t
dx t x S
()()?-=
t
dx x t t S 1
sin sin +()?-2
sin sin π
t
dx t x
=??? ?
?
≤≤-???
?
?-
+201sin 22cos 2ππt t t t ()0cos 22'
=???
?
?
-
=t t t S π,得驻点2
4
21π
π
=
=t t
易知()()00
2''1'
'<>t S t S
122max -=??? ??=∴ππS S ,124min -=??
?
??=πS S
3、解:设()00,y x 为曲线x y =
()40≤≤x 上任一点,易得曲线于该点处的切线方程为:
()00
021
x x x y y -=
- 即0022x x y y +=
得其与0=x , 4=x 的交点分别为??? ??2,00y ,???
?
??+0022,4y y 于是由此切线与直线0=x , 4=x 以及曲线x y =
所围的平面图形面积为:
3164222004
000-+=???
? ??-+=?x y dx x x x y S
3
16
4200-+
=x x 问题即求316
42-+
=x
x S ()40≤≤x 的最小值 令022
32
1
=+=-
-
x
x
S 得唯一驻点2=x 且为唯一极小值
所以 当2=x 时,S 最小 即所求切线即为:2
22
2+
=
x y 4、如图:以水中的球心为原点,上提方向作为坐标轴建立坐标系
易知任意[]dx x x +,段薄片在提升过程中在水中行程为r -x ,而在水上的行程为2r -(r -x )=r +x
因为求的密度与水相同,所以在水中提升过程中浮力与重力的合力为零,不做功,而在水面
上提升时,做功微元为
()
()dx x r x r g dW +-=22π
()
()g r dx x r x r g dW W r r r r 4223
4
ππ??--=+-==
不定积分练习题及答案
不定积分练习题一、选择题、填空题: 1、(1 sin2X )dx 2 2、若e x是f(x)的原函数,贝x2f(l nx)dx ___________ 3、sin(ln x)dx _______ 2 4、已知e x是f (x)的一个原函数,贝V f (tanx)sec2xdx ___________ : 5、在积分曲线族dx 中,过(1,1点的积分曲线是y _______________ 6、F'(x) f(x),则f '(ax b)dx ____________ ; 、1 7、设f (x)dx 2 c,则 x 8、设xf (x)dx arcs in x c,贝V ---------- dx f(x) 9、f '(lnx) 1 x,则f (x) _______ ; 10、若f (x)在(a,b)内连续,则在(a,b)内f (x) _________ (A)必有导函数(B)必有原函数(C)必有界(D)必有极限 11、若xf (x)dx xsin x sin xdx,贝Vf (x) _____ 12、若F'(x) f(x), '(x) f(x),贝V f (x)dx ______ (A)F(x) (B) (x) (C) (x) c (D)F(x) (x) c 13 、 下列各式中正确的是:(A) d[ f (x)dx] f (x) (B)引 dx f (x)dx] f (x)dx (C) df(x) f(x) (D) df(x) f (x) c 14 、设f (x) e x,则: f(lnx) dx x 1 c x (A) 1 c x (B) lnx c (C) (D) ln x c ◎dx
定积分及其应用练习 带详细答案
定积分及其应用 题一 题面: 求由曲线2 (2)y x =+与x 轴,直线4y x =-所围成的平面图形的面积. 答案:323 . 变式训练一 题面: 函数f (x )=???? ? x +2-2≤x <0, 2cos x ? ? ???0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积 为( ) B .2 | C .3 D .4 答案:D. 详解: 画出分段函数的图象,如图所示,则该图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为12×2×2+∫π 202cos x d x =2+2sin x |π20=4. 变式训练二 题面: 由直线y =2x 及曲线y =3-x 2围成的封闭图形的面积为( ) ¥ A .2 3 B .9-23 答案: 详解:
注意到直线y =2x 与曲线y =3-x 2的交点A ,B 的坐标分别是(-3,-6),(1,2),因此结合图形可知,由直线y =2x 与曲线y =3-x 2围成的封闭图形的 面积为??-3 1(3-x 2-2x )d x =? ???? 3x -13x 3-x 2??? 1 -3=3×1-13×13-12- ? ?? 3×-3-1 3×-3 3 ]- -3 2 =32 3,选D. 题二 ^ 题面: 如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ,则点P 恰好取自阴影部分的概率为( ). A .1 B .1 C .1 D .17 变式训练一 题面: 函数f (x )=sin(ωx +φ)的导函数y =f ′(x )的部分图象如图所示,其中,P 为图象与y 轴的交点,A ,C 为图象与x 轴的两个交点,B 为图象的最低点.