不定积分-定积分复习题和答案
第二工业大学
不定积分、定积分 测验试卷
： 学号： 班级： 成绩：
一、选择题：（每小格3分，共30分）
1、设
sin x
x
为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则()f ax dx a ?应等于（ ）
（A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x
+
2、若x
e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ）
（A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+
()2,0x x e c x F x e c x -?+≥=?-++
（C ）,0
()2,0x x e x F x e x -?≥=?-+
3、设0
1,0
()0,0,()()1,0x x f x x F x f t dt x >??
===??-
?，则（ ）
（A ）()F x 在0x =点不连续；
（B ）()F x 在(,)-∞+∞连续，在0x =点不可导； （C ）()F x 在(,)-∞+∞可导，且满足()()F x f x '=； （D ）()F x 在(,)-∞+∞可导，但不一定满足()()F x f x '=。
4、极限0
2
sin lim
x
x x t tdt
t dt
→??
＝（ ）
（A ）－1； （B ）0； （C ）1； （D ）2 5、设在区间[,]a b 上()0,()0,()0f x f x f x '''><>。令1()b a
s f x dx =
?
，2()()s f b b a =-
31
[()()]()2
s f a f b b a =+-，则（ ）
（A ）123s s s <<； （B ）213s s s <<； （C ）312s s s <<； （D ）231s s s <<
二、填空题：（每小格3分，共30分）
1、设()f x 的一个原函数是2x
e -，则它的一个导函数是___________。
2、设
2
()1,(2)2f x dx f ==?
，则1
(2)_____________xf x dx '=?。
3、已知()x
x
f e xe -'=，且(1)0f =，则()_________________f x =。 4、函数
1
()(2(0)x
F x dt x =
>?
的单调减少区间为________________。
5、由曲线2
y x =与y =
___________。
三、计算题 （第1，2，3，4题各6分，第5，6，7题各8分，共48分）
1、计算2
2(1)(1)
x dx x x ++?
2、计算2tan x xdx ?
3、设1x ≥，求
1
(1)x
t dt --?
4、设21,0
(),0
x x x f x e x -?+≤=?>?，求31
(2)f x dx -?
5、
1
20ln(1)(2)x dx
x +-? 6、计算
1
+∞
?
7、已知曲线C 的方程为()y f x =，点(3,2)是它的一个拐点，直线12,l l 分别是曲线C 在点
(0,0)与(3,2)处的切线，其交点为(2,4)。设函数()f x 具有三队连续导数，计算定积分
320
()()x x f x dx '''+?
。
四、解答题（本题10分）
设()f x 连续，10
()()x f xt dt ?=?
，
且0
()
lim x f x A x
→=（A 为常数），求()x ?'，并讨论()x ?'在0x =处的连续性。
五、应用题（本题6分）
设曲线方程为(0)x
y e x -=≥，把曲线,x
y e x -=轴、y 轴和直线x ξ=(0)ξ>所围平面图形绕x 轴旋转一周，得一旋转体。（1）旋转体体积()V ξ；（2）求满足1
()lim ()2V a V ξξ→+∞
=的a 值。
六、证明题（6分）
设()f x 在[,]a b 上连续且单调增加，证明：不等式()()2b
b
a
a
a b xf x dx f x dx +≥?
?。
不定积分、定积分 测验卷 答案
一．选择题：（每小格3分，共30分）
1、（A ）3sin ax C a x
+；
2、（C ）,0
()2,0x x e x F x e x -?≥=?-+
；
3、（B ）()F x 在(,)-∞+∞连续，在0x =点不可导；
4、（C ）1；
5、（B ）213s s s <<。
二、填空题：（每小格3分，共30分）
1、一个导函数是2()4x
f x e -'=。
2、
1
3(2)4
xf x dx '=
?
。 3、21
()(ln )2
f x x =
。
4、单调减少区间为1(0,)4
。
5、
13
。 三、计算题 （第1，2，3，4题各6分，第5，6，7题各8分，共48分）
1、解：222(1)12
()ln 2arctan (1)
1x dx dx x x c x x x x +=+=++++?? 2、解：2
2
2
tan (sec 1)tan tan tan 2
x x xdx x x dx xd x xdx x x xdx =-=-=--?????
2
tan ln cos 2
x x x x c =+-+
3、解：被积函数1,10
()1,0t t f t t t +-≤
?，
当10x -≤<时，原式2
1
1(1)(1)2
x
t dt x -=
+=+?； 当0x ≥时，原式02
101(1)(1)1(1)2
x t dt t dt x -=++-=--??。
4、解：
23
101
21
1
1
71
(2)()(1)3x t
t f x dx f t dt t dt e dt e
-=----====++=
-?
???。 5、解：1
11102000ln(1)111
ln(1)()ln(1)(2)22(1)(2)
x dx x d x dx x x x x x +=+=+----+-???
101111
ln 2(
)ln 23213
dx x x =-+=-+?。
6、解：因为1
lim ()x f x +
→=∞，所以1x =为瑕点，因此该广义积分为混合型的。
2121
12
dx I I +∞
+∞=+=+?
??
2
12
21
10
21
122arctan (1)2
x t tdt
I x
t t π
-========
+?
?
21
22
122arctan 2()(1)24
tdt I x t t ππ
+∞
+∞+∞
=====-+?
?；
所以
121
I I π+∞
=+=?
。
7、解：按题意，直接可知(0)0,(3)0,(3)0f f f ''===（拐点的必要条件）。从图中还可求出()y f x =在点(0,0)与(3,2)处的切线分别为2,28y x y x ==-+。于是
(0)2,(3)2f f ''==-。所以
333
222300
()()()()()()()(21)x x f x dx x x df x x x f x f x x dx '''''''''+=+=+-+?
??
3
3
33
000
(21)()(21)()2()7(3)(0)2()x df x x f x f x dx f f f x '''''=-+=-++=-++??
7(2)22(20)20=-?-++?-=。
四、解答题（本题10分）
解：因为0()
lim x f x A x
→=，故0lim ()0x f x →=，而已知()f x 连续，0lim ()(0)0x f x f →==；
由于10
()()x f xt dt ?=
?
，令u xt =，当:01t →时，有:0u x →，du xdt =；
当0x ≠时，有10
()1
()()()x x f u du x f xt dt f u du x
x
?===
?
??
；
当0x =时，有10
(0)(0)0f dt ?=
=?
；
所以0
(),0()0,
0x f u du x x x x ???≠=?
?
=??。
当0x ≠时，有02
()()()x
xf x f u du
x x
?-'=
?；
当0x =时，0
2
()()(0)
()
()lim
lim
lim
lim
22
x x x x x f u du x x f x A
x x
x x ???→→→→-====-?； 所以02()(),0(),02
x xf x f u du
x x x A x ??-?≠?'=??=???。
又因为0
02
20
0()()()()lim ()lim
lim()22
x
x
x x x xf x f u du
f u du f x A A x A x
x x ?→→→-'==-=-=??， 所以0
lim ()(0)2
x A
x ??→''==
，即()x ?'在0x =处连续。
五、应用题（本题6分）
解：（1）2220
()()(1)2
x V y dx e dx e ξ
ξξπ
ξππ--===-?
?；
（2）2()(1)2a V a e π
-=
-，于是211()lim ()lim (1)2224V a V e ξξξππξ-→+∞→+∞=
=?-=；
故211(1)lim ()ln 22242
a
e V a ξππξ-→+∞-==?=。 六、证明题（6分）
证：设()()()[,]2x x
a a
a x F x tf t dt f t dt x a
b +=-∈??
因为()f x 在[,]a b 上连续，所以
111()()()()()()[()()]22222
x x x
a a a a x x a F x xf x f t dt f x f x f t dt f x f t dt ++'=-
-=-=-???因为()f x 在[,]a b 单调增加，0,()()()()0t x f t f x f x f t ≤≤≤?-≥，所以()0F x '≥； 所以()F x 在[,]a b 单调增加；又()0,F a =所以()()0F b F a ≥=， 即()()02b
b a
a a
b xf x dx f x dx +-
≥?
?，所以有()()2
b b
a a a
b xf x dx f x dx +≥??。
不定积分练习题及答案
不定积分练习题一、选择题、填空题： 1、(1 sin2X )dx 2 2、若e x是f(x)的原函数，贝x2f(l nx)dx ___________ 3、sin(ln x)dx _______ 2 4、已知e x是f (x)的一个原函数，贝V f (tanx)sec2xdx ___________ : 5、在积分曲线族dx 中，过(1,1点的积分曲线是y _______________ 6、F'(x) f(x)，则f '(ax b)dx ____________ ; 、1 7、设f (x)dx 2 c,则 x 8、设xf (x)dx arcs in x c,贝V ---------- dx f(x) 9、f '(lnx) 1 x,则f (x) _______ ; 10、若f (x)在(a,b)内连续，则在(a,b)内f (x) _________ (A)必有导函数(B)必有原函数(C)必有界(D)必有极限 11、若xf (x)dx xsin x sin xdx,贝Vf (x) _____ 12、若F'(x) f(x), '(x) f(x),贝V f (x)dx ______ (A)F(x) (B) (x) (C) (x) c (D)F(x) (x) c 13 、 下列各式中正确的是：(A) d[ f (x)dx] f (x) (B)引 dx f (x)dx] f (x)dx (C) df(x) f(x) (D) df(x) f (x) c 14 、设f (x) e x,则： f(lnx) dx x 1 c x (A) 1 c x (B) lnx c (C) (D) ln x c ◎dx
定积分测试题及答案
定积分测试题及答案 班级： 姓名： 分数： 一、选择题：（每小题5分） 1.0=?（ ） A.0 B.1 C.π D 4π 2(2010·山东日照模考)a ＝??02x d x ，b ＝??02e x d x ，c ＝??02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a 8．函数F (x )＝??0 x t (t －4)d t 在[－1,5]上( ) A ．有最大值0，无最小值 B ．有最大值0和最小值－323 C ．有最小值－323，无最大值 D ．既无最大值也无最小值 9．已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，函数f (x )＝??1 x 1t d t ，若f (x ) 不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题：、（ 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数，则： 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族 中，过点的积分曲线是、则、设则、设 则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界 必有极限 、若 则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则： 定积分典型例题20例答案 例1 求2 1lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘 入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?． 例2 0 ? =_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___． 分析 这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?． 解 （1）()f x '=42 2x x xe e ---； （2） 由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则 可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?． 例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________． 解 对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=， 故321(1)3f x x -= ，令3126x -=得3x =，所以1(26)27 f =． 第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项， 分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +? 思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式， 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。 解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ? 定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·宁夏银川一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·山东日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a 第4章不定积分 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) ? 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+? ??? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 第4章不定积分 容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★ (1)? 思路: 被积函数 5 2 x- =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 22 2 3 x dx x C -- ==-+ ? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 3332223()2 4dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+???? ★(3)22x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：22 32122ln 23x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4)3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：3153 222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+??? ★★(5)4223311 x x dx x +++? 思路:观察到422223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +? 思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 第五章 不定积分 习题 5－1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函 数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是 的原函数. 解 2 2 22[()]' [()]'=2() x x x x x x e e e e e e - --+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -，并且当x = 1时, 该函数值是3 2π，求这个函数. 解 设所求函数为f (x ), 则由题意知 '()f x = '(arcsin )x 因为 '()()d arcsin f x f x x x C ===+?所以 又当x = 1时， 3 (1)2f π =，代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐 标的两倍，求此曲线的方程. 解 设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知'' ()2y f x x == 因为 2()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解 设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为 不定积分 （Ａ） １、求下列不定积分 １）?2 x dx ２） ? x x dx 2 ３） dx x ?-2)2 ( ４） dx x x ? +2 2 1 ５）??- ? dx x x x 3 2 5 3 2 ６） dx x x x ?2 2sin cos 2 cos ７） dx x e x) 3 2(?+ ８） dx x x x ) 1 1( 2 ?- ２、求下列不定积分（第一换元法） １） dx x ?-3)2 3( ２） ? - 33 2x dx ３） dt t t ?sin ４） ? ) ln(ln ln x x x dx ５）? x x dx sin cos６） ?- +x x e e dx ７） dx x x) cos(2 ? ８） dx x x ? -4 3 1 3 ９） dx x x ?3 cos sin 10） dx x x ? - - 2 4 9 1 11）? -1 22x dx 12） dx x ?3 cos 13)?xdx x3 cos 2 sin 14) ?xdx x sec tan3 15) dx x x ? +2 3 916) dx x x ? +2 2sin 4 cos 3 1 17) dx x x ? -2 arccos 2 1 10 18) dx x x x ? +) 1( arctan 3、求下列不定积分（第二换元法） １） dx x x ? +2 1 1 ２） dx x ?sin ３） dx x x ?-4 2 ４） ?> - )0 (, 2 2 2 a dx x a x ５）? +3 2)1 (x dx ６） ? +x dx 2 1 ７）? - +2 1x x dx ８） ? - +2 1 1x dx ４、求下列不定积分（分部积分法） １） inxdx xs ? ２） ?xdx arcsin ３）?xdx x ln 2 ４） dx x e x ?- 2 sin 2 ５）?xdx x arctan 2 ６） ?xdx x cos 2 ７）?xdx 2 ln ８） dx x x 2 cos2 2 ? ５、求下列不定积分（有理函数积分） １） dx x x ? +3 3 ２）? - + + dx x x x 10 3 3 2 2 3）? +)1 (2x x dx （Ｂ） 1、一曲线通过点 )3, (2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的 方程。 2、已知一个函数 ) (x F的导函数为2 1 1 x -，且当1 = x时函数值为 π 2 3 ，试求此函数。 第五章 定积分 (A) 1．利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所 围成的图形的面积。 2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ? =1 12)1xdx 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0sin ) 3xdx ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3．估计下列各积分的值 ? 33 1arctan ) 1xdx x dx e x x ?-0 2 2)2 4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ?2 1 ln )1xdx 与dx x ?2 1 2)(ln dx e x ?10)2与?+1 )1(dx x 5．计算下列各导数 dt t dx d x ?+20 2 1)1 ?+32 41)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6．计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7．当x 为何值时，函数? -=x t dt te x I 0 2 )(有极值？ 8．计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+? ? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ，其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1>≤x x 9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题： ?- =π π 0cos )1kxdx πππ =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0sin cos )3lxdx kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx 上海第二工业大学 不定积分、定积分 测验试卷 姓名： 学号： 班级： 成绩： 一、选择题：（每小格3分，共30分） 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则()f ax dx a ?应等于（ ） （A ）3sin ax C a x +； （B ）2sin ax C a x +； （C ）sin ax C ax +； （D ）sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（ ） （A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx =?，2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-，则（ ） （A ）123s s s <<； （B ）213s s s <<； （C ）312s s s <<； （D ）231s s s << 第六章 定积分练习题及答案 一、填空题 (1) 根据定积分的几何意义，?-=+2 1)32(dx x 12 =-?dx x 2 024π ,=?π0 cos xdx ____0____ (2）设?-=1110)(2dx x f ，则?-=1 1)(dx x f _____5____， ?-=1 1)(dx x f ____-5___，?-=+1 1]1)(2[51dx x f 512 . (3) =?102sin dx x dx d 0 (4) =?2 2sin x dt t dx d 4sin 2x x 二、选择题 （1） 定积分?12 21ln xdx x 值的符号为 （B ） .A 大于零 .B 小于零 .C 等于零 .D 不能确定 三、计算题 1.估计积分的值：dx x x ?-+3 121 解：设1)(2+=x x x f ，先求)(x f 在]3,1[-上的最大、最小值， ,) 1()1)(1()1(21)(222222++-=+-+='x x x x x x x f 由0)(='x f 得)3,1(-内驻点1=x ，由3.0)3(,5.0)1(,5.0)1(==-=-f f f 知,2 1)(21≤≤- x f 由定积分性质得 221)()21(2313131=≤≤-=-???---dx dx x f dx 2.已知函数)(x f 连续，且?- =10)()(dx x f x x f ，求函数)(x f . 解：设 a dx x f =?10)(，则a x x f -=)(，于是 a adx xdx dx a x dx x f a -=-=-==????2 1)()(1 0101010， 得41=a ，所以4 1)(+=x x f . 3. dx x x x ?++1 31 222) 1(21 解：原式=dx x x dx x x x x )111()1(1213 121312222++=+++?? 3112+-= π 4. ?--1 12d x x x 解：原式=dx x x dx x x )()(1 020 12??-+-- 16 165]3121[]2131[10320123=+=-+-=-x x x x 5. ?--1 12d x x x 解：原式=dx x x dx x x )()(1 020 12??-+-- 16 165]3121[]2131[10320123=+=-+-=-x x x x 6. ?-1 02dx xe x 第4章不定积分 内容概要 课后习题全解 习题4-1 1.求下列不定积分： 知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。 思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。 解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。 解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式 加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34 134（ -+-）2 思路:分项积分。 解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-? ????34134（ -+-）2 ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。 解 ：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ?? ★★ (9) 思路 =？ 看到1117248 8 x x ++==，直接积分。 解 ： 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。 解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? 3x x e dx ? 高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 ：求下列不定积分1.知识点：。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析：！利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数，由积分表中的公式（2）可解。 解： (2)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (3)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。：解． (4)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (5)思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： (6)★★思路:注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。 解： 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解： (8)★思路:分项积分。 解： (9)★★思路:？看到，直接积分。 解： (10)★★思路: 裂项分项积分。解： (11)★解： (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然。 解： (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解： (14)★★思路:被积函数，积分没困难。 解： (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。 解： (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。 解： () 17★思路:不难，关键知道“”。 ：解． ()18★思路:同上题方法，应用“”，分项积分。 解： ()19★★思路:注意到被积函数，应用公式(5)即可。 解： ()20★★思路:注意到被积函数，则积分易得。 解： 、设，求。2★知识点：。考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：：。即可1直接利用不定积分的性质解：：等式两边对求导数得 、，。求的原函数全体设的导函数为3★知识点：。仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：。连续两次求不定积分即可解：，由题意可知：。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点：。考查原函数（不定积分）与被积函数的关系思路分析：。只需验证即可解：，而、，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。 思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解：设曲线方程为，由题意可知：，； 又点在曲线上，适合方程，有， 所以曲线的方程为 、，：问6一物体由静止开始运动，经秒后的速度是★★（1）在秒后物体离开出发点的距离是多少？ 不定积分练习题 一、选择题、填空题： 1、 ((1—sin 2 X )dx = 2 ------------- 2、 若 e x 是f (x)的原函数，贝x 2f(lnx)dx = ________ 3、sin (I n x)dx 二 __ 12、若 F '(x)工 f(x), ? '(x)工 f (x),则 f(x)dx = _______________________________________________ (A)F(x) (B) ： (x) (C) ： (x) - c (D)F(x) (x) c 13、下列各式中正确的是： (A) d[ f(x)dx]二 f(x) (B) —[ f(x)dxp f(x)dx dx L (C) df(x)二 f(x) (D) df(x)二 f(x) c 14、设 f(x)=e ：则： f(lnx) dx = _____________ 2 已知e 公是f (x)的一个原函数，贝V f (tan x)sec xdx 二__ 在积分曲线族(卑中，过(1,1点的积分曲线是y=_ 'x\!x F'(x)= f (x),贝》J f'(ax+b)dx = ________ ; 设 [f (x)dx =丄 + c ，贝叮 "号)dx = _________ ; e 「dx= ____ ; "f(x) f '(ln x) =1 x,则f (x)二 ______ ; 10、 若 f (x)在(a, b)内连续，则在(a, b)内 f (x) ___ ; (A)必有导函数 (B)必有原函数 (C)必有界(D)必有极限 11、 ______________________________________________ 若 Jxf (x)dx = xs in x — [sin xdx,贝 V f (x) = ________ ; 4、 5、 6、 7、 9、 设 xf (x)dx =arcsin x c,贝V 1.4定积分与微积分基本定理练习题及答案 1.(2011·一中月考)求曲线y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( ) A ．S ＝??01(x2－x)dx B ．S ＝??01(x －x2)dx C ．S ＝??01(y2－y)dy D ．S ＝??01(y －y)dy [答案] B [分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解读] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x2，故函数y ＝x2与y ＝x 所围成图形的面积S ＝??0 1(x －x2)dx. 2．(2010·日照模考)a ＝??02xdx ，b ＝??02exdx ，c ＝??02sinxdx ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a 1 D ， 3 9 ， 5 9 ， 3 7 ， 5 7 4 定积分测试题及答案 班级：姓名：分数： 一、选择题：（每小题5 分） 1. ? 1-x2dx =（） A.0 B.1 C. 2 2(2010·ft东日照模考)a＝∫0的大小关系是( ) 2 x d x，b＝∫0 2 e x d x，c＝∫0sin x d x，则a、b、c A．a 1 6 6．(2010·湖南省考试院调研) -1 (sin x ＋1)d x 的值为( ) A ．0 B ．2 C ．2＋2cos1 D ．2－2cos1 7. 曲线 y ＝cos x (0≤x ≤2π)与直线 y ＝1 所围成的图形面积是( ) A ．2π B ．3π C.3π 2 D ．π x 8．函数 F (x )＝ ∫0 t (t －4)d t 在[－1,5]上( ) A ．有最大值 0，无最小值 B ．有最大值 0 和最小值－32 3 32 C ．有最小值－ ，无最大值 D ．既无最大值也无最小值 3 x 9．已知等差数列{a }的前 n 项和 S ＝2n 2＋n ，函数 f (x )＝ 1 ，若 n n f (x ) （A ） F ( x ) = ? ；（B ） F ( x ) = ? ? -e - x + c , x < 0 ? -e - x + c + 2, x < 0 3、设 f ( x ) = ?0, x = 0 , F ( x ) = ? f (t )dt ，则（ ） ? -1, x < 0 ? t sin tdt ? t 2dt 2 上海第二工业大学 不定积分、定积分 测验试卷 姓名： 学号： 班级： 成绩： 一、选择题：（每小格 3 分，共 30 分） 1、设 sin x f (ax ) 为 f ( x ) 的一个原函数，且 a ≠ 0 ，则 ? x a dx 应等于（ ） （A ） sin ax sin ax sin ax sin ax + C ； （B ） + C ； （C ） + C ； （D ） + C a 3 x a 2 x ax x 2、若 e x 在 (-∞, +∞) 上不定积分是 F ( x ) + C ，则 F ( x ) = （ ） ?e x + c , x ≥ 0 ?e x + c , x ≥ 0 1 2 ?e x , x ≥ 0 ?e x , x ≥ 0 （C ） F ( x ) = ? ；（D ） F ( x ) = ? ? -e - x + 2, x < 0 ? -e - x , x < 0 ?1, x > 0 ? x ； ? （A ） F ( x ) 在 x = 0 点不连续； （B ） F ( x ) 在 (-∞, +∞) 内连续，在 x = 0 点不可导； （C ） F ( x ) 在 (-∞, +∞) 内可导，且满足 F '( x ) = f ( x ) ； （D ） F ( x ) 在 (-∞, +∞) 内可导，但不一定满足 F '( x ) = f ( x ) 。 4、极限 lim x →0 x 0 x ＝（ ） （A ）－1； （B ）0； （C ）1； （D ）2 5、设在区间[a , b ] 上 f ( x ) > 0, f '( x ) < 0, f ''( x ) > 0 。令 s = ? 1 b a f ( x )dx ， s = f (b )(b - a ) 2 1 s = [ f (a ) + f (b )](b - a ) ，则（ ） 3 （A ） s < s < s ； （B ） s < s < s ； （C ） s < s < s ； （D ） s < s < s 1 2 3 2 1 3 3 1 2 2 3 1 二、填空题：（每小格 3 分，共 30 分）不定积分练习题及答案
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