数值分析整理版试题及答案

数值分析整理版试题及答案

例1、 已知函数表

x

-1 1 2 ()f x

-3 0 4

求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解：

（1）k x -1 1 2 k y -3 0 4

插值基函数分别为

()()()()()()()()()()

1200102121()1211126

x x x x x x l x x x x x x x ----=

==--------

()()()()()()()()

()()021*******

()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-=

==-+---+-

()()()()()()()()()()0122021111

()1121213

x x x x x x l x x x x x x x --+-=

==-+--+-

故所求二次拉格朗日插值多项式为

()

()()()()()()()()()()2

20

2()11131201241162314

121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==??

=-?

--+?-+-+?+-????=---++-=+-∑

（2）一阶均差、二阶均差分别为

[]()()[]()()[][][]010*********

011201202303

,11204

,412

3

4,,5

2,,126

f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----=

=

=----===

---

k

x ()k

f x

一阶 二阶

-1

-3

1 0 3/

2 2 4

4

5/6

故所求Newton 二次插值多项式为

()()[]()[]()()

()()()20010012012,,,35

311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+

+++-=+-

例2、 设2

()32f x x

x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}

span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。

解：

若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有

()()()()()()()()1

1

200110

1

1

2011000

1

210

1,11,

,3

1

23

,,,

,3226

9,324

dx x dx xdx f x x dx f x x x dx ??????????====

====++=

=++=

????? 所以，法方程为

011231261192

34a a ??????????=??????????

??????????

，经过消元得012311

62110123a a ???

????

???=???????????????????? 再回代解该方程，得到14a =，011

6

a =

故，所求最佳平方逼近多项式为*

111()46S x x =+

例3、 设()x

f x e =，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳

平方逼近多项式。 解：

若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，这样，有

()()()()()()1

000

1

21101

01100

1

001

10,111,3

1

,,2

, 1.7183,1

x x dx x dx xdx f e dx f xe dx ??????????====

=======?????

所以，法方程为

0111 1.718321112

3a a ??

??????=????????????????

解法方程，得到00.8732a =，1 1.6902a =， 故，所求最佳平方逼近多项式为

*1()0.8732 1.6902S x x =+

例4、 用4n =的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1

xdx ?

。

解：

（1）用4n =的复合梯形公式

由于2h =，()f x x =()121,2,3k x k k =+=，所以，有

()()()4

1

3

1

[129]22

[123579]

2

17.2277

k k xdx T h

f f x f =≈=++=?+=?∑

（2）用4n =的复合辛普森公式

由于2h =，()f x x =()121,2,3k x k k =+=，()12

220,1,2,3k x

k k +

=+=，所以，有

()()()4

1

3

310

1

2[1429]61

[14246823573]

3

17.3321

k k k k xdx S h

f f x f x f +==≈??

?=+++ ??

?=+?+?

+=?∑∑

例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。

123123123123315183156x x x x x x x x x -+=??

-+-=-??++=?

解：先消元

()1212331518311511161831151233151116r r A b ?-??

??=---??

????---???????→-??

????

212131312332322

,31,186

,718311501750

761718316183

115076171831601735183107617100m m m m r r m m =-?-+→=-?-+→?=-?-+→---??

???????????????→-?????

?

---???????→??

??-??

--?????????????→第1行（）第2行第2行

第1行（）第3行第3行

第2行（）第3行第3行

158********-??????

????

再回代，得到33x =，22x =，11x =

所以，线性方程组的解为11x =，22x =，33x =

例6、 用直接三角分解法求下列线性方程组的解。

1231231231

1194561

1183

451

282x x x x x x x x x ?++=??

?++=???++=??

解： 设

1112

1321222331323311

145610011110034510

011

22

u u u A l u u LU l l u ??

??????

???

????

?===????????????????

??????

则由A LU =的对应元素相等，有

1114u =

，1215u =，131

6u =， 2111211433l u l =?=，3111311

22

l u l =?=，

2112222211460l u u u +=?=-，2113232311

545

l u u u +=?=-，

3112322232136l u l u l +=?=-，31133223333313

215l u l u u u ++=?=

因此，

1

1

11004

564

11100

360452361130

15A LU ????????????

?

?==--?????

???-?

??????

?

解Ly b =，即1231

094

108382361y y y ??

????

???????

?=????????????????-??

，得19y =，24y =-，3154y =- 解Ux y =，即1

231

1

14569110

460451541300

15x x x ??

???????

???????--=-???

???????-???????????

?

，得3177.69x =-，2476.92x =，1227.08x =- 所以，线性方程组的解为1227.08x =-，2476.92x =，3177.69x =-

１、若A 是n n ?阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L 和上三角阵U ，使

LU A =唯一成立。 （ ）

２、当8≥n 时，Newton －cotes 型求积公式会产生数值不稳定性。（ ）

3、形如)

()(1i n

i i b

a x f A dx x f ∑?=≈的高斯（Gauss ）型求积公式具有最高代数精

确度的次数为12+n 。 （ ）

４、矩阵??

??? ??=210111012A 的２－范数2A ＝９。（ ）

5、设??

??? ??=a a a a A 000002，则对任意实数0≠a ，方程组b Ax =都是病态的。（用

∞

?） （ ）

6、设n n R A ?∈，n

n R

Q ?∈，且有I Q Q T

=（单位阵），则有22QA A =。

（ ）

7、区间[]b a ,上关于权函数)(x W 的直交多项式是存在的，且唯一。（ ）1、（ Ⅹ ） 2、（ ∨ ） 3、（ Ⅹ ） 4、（ ∨ ） 5、（ Ⅹ ） 6、（ ∨ ）7、（ Ⅹ ） 8、（ Ⅹ ）