三角形--讲义

三角形 讲义

一、 基础知识

（一）与三角形有关的线段

1三角形： 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相连所组成的图形

叫做三角形。

2三角形的边：组成三角形的三条线段是三角形的边。

3三角形的角：在三角形中，相邻两边组成的角叫三角形的内角，简称三

角形的角。

4三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边。 5三角形的高、中线、角平分线的定义及性质。 6三角形具有稳定性。 （二）与三角形有关的角

1三角形的内角和等于（180°） 2三角形的外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。

（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。

3三角形的外角和（360°）。 4.直角三角形的两个锐角互余。 （三）多边形及其内角和

1多边形 ：一般地，由n 条不在同一直线上的线段首尾顺次相连所组成

的平面图形称为n 边形，又叫多边形。

2正多边形：像正方形这样，各个角都相等，各条边也向等的多边形叫正

多边形。

3多边形的对角线：在多边形中，连接两个不相邻角顶点的线段叫多边形

的对角线，每个多边形有 )3(2

1 n n 条对角线。

4多边形的内角和：n 边形的内角和等于（（2）?180°）

5四边形内角的特殊性：如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也

互补。

6多边形的外角和：从多边形每个内角相邻的两个外角中，分别取一个相

加，得到的和称为多边形的外角和。

任意多边形的外角和等于 （360°）。 （四）三角形的分类

按角分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；

按边分类：不等边三角形、等腰三角形 （包含底边和腰不相等的等腰三

角形、等边三角形）

（五）镶嵌

1、平面镶嵌：从数学角度看，用不重叠在一起的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面或平面镶嵌。

2、用相同的正多边形镶嵌

（1）围绕一点镶嵌在一起的n个多边形的内角恰好是一个周角，则这种正多边形可以做平面镶嵌。

（2）用相同的正多边形镶嵌，只有正三角形、正方形、正六边形可以，其他正多边形都不可以。

3、利用多种正多边形进行镶嵌

用两种不同的正多边形镶嵌：

（1）3个正三角形和2个正方形

（2）2个正三角形和2个正六边形

用三种不同的正多边形镶嵌：正三角形、正八边形和正二十四边形就可以进行镶嵌。

（二）经典例题

例1：已知三条线段的比是:①1:3:4;②1:2:3;③1:4:6;④3:3:6;⑤6:6:10;⑥3:4:5.其中可构成三角形的有( )毛A.1个 B.2个 C.3个 C.4个

[考点透视]本例主要是考查三角形的三边关系：三角形的任意两边和大于第三边，任意两边的差小于第三边

[参考答案]B

例2：如果三角形的两边长分别为3和5,则周长L的取值范围是( )

A.6

B.6

C.11

D.10

[考点透视]本例同样是考查三角形三边的关系，只不过问题是周长的取值范围，这是本题的失分点，

[参考答案]D

例3：现有两根木棒,它们的长度分别为20和30,若不改变木棒的长度, 要钉成一个三角形木架,应在下列四根木棒中选取 ( )

A.10的木棒

B.20的木棒;

C.50的木棒

D.60的木棒

[考点透视]本例考查三角形三边的关系在实际生活中的应用，主要是考查学生的应用意识

[参考答案]B

（三）适时训练

与三角形有关的线段过关训练

1.下图中有几个三角形？用符号表示这些三角形．

2.下列说法：

（1）等边三角形是等腰三角形；

（2）三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形；

（3）三角形的两边之差大于第三边；

（4）三角形按角分类应分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．

其中正确的有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

3.若三线段，c满足a＞b＞c，若能构成一个三角形，则只需满足条件( ).

＞c ＞a ＞b ≠a

4.若三角形三边满足a2220.则此三角形为( ).

A.不等边三角形

B.一般等腰三角形

C.等边三角形、C都有可能

5.现有两根木棒，它们的长分别为40和50，若要钉成一个三角形木架（?

不计接头），则在下列四根木棒中应选取（）

A．10长的木棒 B．40长的木棒 C．90长的木棒 D．100长的木棒

6.下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（）

A．3，12，8 B．6，8，15

C．2.5，3，5 D．6.3，6.3，12.6

7.已知等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长等于（）

A．12 B．12或15 C．15 D．15或18

8.三角形两边长为2和9，周长为偶数，则第三边长为( ).

A.7

B.8

C.9

D.10

9.等腰三角形的底边长为8 ，则腰长的范围是( )

A．大于4 且小于8

B．大于4 且小于16

C．大于8 且小于16

D．大于4

10.若三角形三边长是三个连续自然数，其周长m满足10＜m＜22，则这样的三角形有()个.

A．2 B．3 C．4 D．5 11.已知一个三角形的两边长分别是3和4，则第三边长x的取值范围是．?

若x是奇数，则x的值是；这样的三角形有个；?若x?是偶数，?则x?的值是；这样的三角形又有个．

12.△周长27，三边长为三个连续奇数，则最长边长为，最短边长为.

13为△的三边，化简b

-

+

-

-

-.

a-

+

-

c

a

b

a

c

c

b

（）．

14.如图，在△中，，D为上一点，试说明>1

2

15．已知三角形三边的长均为整数，其中某两条边长之差为5，?若此三角形周长为奇数，则第三边长的最小值为多少？

1 (＋＋)．

16．已知：P为△内任意一点．求证：＋＋＞

2

17．（综合题）已知a、b、c为△的三边长，b、c满足（2）2+│3│=0，且a

为方程│4│=2的解，求△的周长，判断△的形状．

答案

1．解：图中共有8个三角形，分别是：△、△、△、△、△、?△、△、△．点拨：数三角形的个数，一定要按一定的次序去数．如按图形的形成过程数，按三角形的大小顺序数等，切忌盲目，造成重复和遗漏．

2．B 点拨：说法（1）、（4）正确，故选B．

3. B

4. C

5．B

6．C

7．C 点拨：由题设知，等腰三角形的三边长可能为3，3，6或6，6，3．但3+3=6，说明以3，3，6为边长构不成三角形．

∴这个等腰三角形的周长为15，故选C．

8. C

9. D

10

11．1

点拨：∵（4-3）

∵若x是奇数，则x的值是3，5；

∴这样的三角形有2个．

∵若x是偶数，则x的值是2，4，6；

∴这样的三角形有3个．

12.11, 7

13.

14．解：在△中，>，因，故>，即2>．

（）．

从而可知>1

2

15．解：设第三条边长为c，其余两条边长分别为a和b，且a>b，则有为奇数，5，所以25为奇数，

故c为偶数．又5，c的最小值为6．

16.证明：∴＋＞，＋＞，＋＞，

∴2(＋＋)＞＋＋，

1 (＋＋)．

∴＋＋＞

2

17. 解：∵（2）2≥0，│3│≥0，且（2）2+│3│=0，

∴2=0，3=0．

即2，3．

∵a为方程│4│=2的解，

∴2或6．

经检验，当6时，不满足三角形三边关系定理，故舍去．

∴2，2，3．

∴△的周长为7，△为等腰三角形．

三角形的高、中线与角平分线过关训练

一、填空题

1．如下图，是△的角平分线，则∠∠1

；E在上，且，则是△的；是△

2

的高，则∠∠90°，。

2．如下图，△中，边上的高是；在△中，边上的高是，在△中，边上的高是，以为高的三角形是。

3．如图10，是△的中线，6，4，则△和△的周长差为。

∠，∠2=∠3，则∠的角平分线为，∠的角平分4．如图11，已知∠1=1

2

线为。

二、选择题

5．下列说法中正确的是（）

（1）平分三角形内角的射线叫做三角形的角平分线

（2）三角形的中线、高和角平分线都是线段

（3）一个三角形有三条高、三条角平分线和三条中线

（4）三角形的中线是经过顶点和对边中线的直线

A．（1）（2）（3）（4）

B．（2）（3）（4）

C．（1）（4）

D．（2）（3）

6．如图12，∠>90°，⊥，交的延长线于D，⊥，交的延长线于E，⊥于点F，△中边上的高为（）

A．

B．

C．

D．

7．至少有两条高在三角形的内部的三角形是（）

A．锐角三角形

B．钝角三角形

C．直角三角形

D．以上都有可能

三、解答题

8．如图13，是锐角△的高，是其中线，指出图中共有几个三个角形。若按角分类没，分别是什么三角形？

9．等腰三角形中，一腰上的中线把三角形的周长分为6和15的两部分，求此三角形的底边的长。

10．如下图所示，在△中，是边上的中线，6，5 ，求△的周长与△的周长差。

四、拓展创新

11．如图15，已知是△的高，是角平分线，是中线，写出图中相等的角和相等的线段。

五、中考热身

12．（2005·长沙）请在作出△的角平分线（要求保留作图痕迹）。

答案

1．∠，∠，∠，中线，∠，∠，⊥

2．△△△

3．2

4．

5．D

6．C

7．A

8．图中共有6个三角形.其中△，△是锐角三角形；△，△，△是直角三角形；△是钝角三角形。

9．在△中，，是中线。

设2x，则，

（1）当15时，6，即215，5，得10，1，满足两边之和大于等三边.

（2）当6时，15，即26，2，15—2=13，4，故不能组成三角形。

∴三角形的腰长为10，底边长为1.

10.△的周长—△的周长（）－（）————（—）+（－）—6—5=1

11.相等的角：∠∠，∠∠；相等的线段：.

12.略

三角形的稳定性应用与了解

1．现在盖高楼时要用专门铁管搭起矩形脚手架，如图3，其主要作用是：使建筑厂人有地方立脚且能在上面施工，为什么矩形脚手架外，还要用较长的铁管斜着和遇见的每一根矩形的边都要加以固定?不加这些长的斜铁管行吗?不与每一根遇到的边固定行吗?

2．矩形虽然不稳定，但它外形整齐，且容易向人们所需要的方向整齐地伸展；三角形稳定，但它有尖有棱，不易向人们所需的方向伸展，所以很多用钢条组合成的建筑（大桥、大型起重机、修建房屋的脚手架）都让这二者结合起来，用矩形作为外形，把矩形再加上——条或几条线化分为几个三角形，使其结构稳定而结实．你能再举出既达到美观实用，又能有很好的稳定性，且结实耐用的四边形（主要是矩形）与三角形相结合的例子吗?

3．四边形的不稳定性是它的缺点，但我们仍可利用其”缺点”为我们服务。课本中提到的菱形挂衣架、放缩尺是两个很好的例子．民间艺人做成的工艺品仙鹤可以做不同动作，其中仙鹤的长脖子能伸能缩很逗人喜爱?其脖子是用——些连结白勺平行四边形构成的，除此之外，你见过其他利用四边形不稳定性来为我们服务的例子吗?

与三角形有关的角过关训练

一、选择题:(每小题3分,共21分)

1.如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( )毛

A.锐角三角形

B.钝角三角形;

C.直角三角形

D.钝角或直角三角形

2.下列说法正确的是( )

A.三角形的内角中最多有一个锐角;

B.三角形的内角中最多有两个锐角

C.三角形的内角中最多有一个直角;

D.三角形的内角都大于60°

3.已知三角形的一个内角是另一个内角的,是第三个内角的,则这个三角形各内角的度数分别为( )

A.60°,90°,75°

B.48°,72°,60°

C.48°,32°,38°

D.40°,50°,90°

4.已知△中,∠2(∠∠C),则∠A的度数为( )

A.100°

B.120°

C.140°

D.160°

5.已知三角形两个内角的差等于第三个内角,则它是( )

A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.直角三角形

D.等边三角形

6.设α,β,γ是某三角形的三个内角,则α+β,β+γ,α+γ中 ( )

A.有两个锐角、一个钝角

B.有两个钝角、一个锐角

C.至少有两个钝角

D.三个都可能是锐角

7.在△中,∠1

2∠1

3

∠C,则此三角形是( )

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.等腰三角形

二、填空题:(每小题3分,共15分)

1．三角形中最大的内角不能小于度，最小的内角不能大于度．

2. 如图（1），∠∠∠∠∠∠；如图（2），∠∠∠∠∠∠．

3.三角形中,若最大内角等于最小内角的2倍,最大内角又比另一个内角大20°,则此三角形的最小内角的度数是.

4.在△中,若∠∠∠C,则此三角形为三角形;若∠∠B<∠C,则此三角形是三角形.

5.已知等腰三角形的两个内角的度数之比为1: 2, 则这个等腰三角形的顶角为.

6.在△中,∠B,∠C的平分线交于点O,若∠132°,则∠度.

7.如图所示,已知∠1=20°,∠2=25°,∠35°,则∠的度数为.

三、基础训练:(每小题15分,共30分)

1.如图所示,在△中⊥于平分∠(∠C>∠B),试说明∠1

(∠∠B).

2

2.在△中,已知∠∠5°,∠∠20°,求三角形各内角的度数.

四、提高训练:(共15分)

如图所示,已知∠1=∠2,∠3=∠4,∠32°,∠28°,求∠P的度数.

五、探索发现:(共15分)

如图所示,将△沿折叠,使点C落到点C′处,试探求∠1,∠2与∠C的关系.

六、中考题与竞赛题:(共4分)

(2001·天津)如图所示,在△中,∠∠⊥⊥,∠158°,则∠度.

答案

一、1 2 3 4 5 6 7

二、1. 60，60

2. 360°，360°

3. 40°

4.直角钝角

5.36°或90°

6.84

7.80°

三、1.解:∵⊥,

∴∠90°,

∴∠90°-∠B,

又∵平分∠,

∴∠1

2∠1

2

(180°-∠∠C),

∴∠∠∠

=90°-∠1

2

(180°-∠∠C)

=90°-∠90°+1

2∠1

2

∠C

=1 2∠1

2

∠B

=1

(∠∠B).

2

2.∠50°,∠55°,∠75.

四、∠30°

五、解:∵∠1=180°-2∠,∠2=180°-2∠,

∴∠1+∠2=360°-2(∠∠)

=360°-2(180°-∠C)

=360°-360°+2∠2∠C.

六、68.毛

多边形的内角和过关训练

填空

1，十边形的内角和为度，正八边形的每个内角为度.

2，已知一个多边形的内角和为1080°，则它的边数为 .

3，若一个多边形，则它是十边形。

4，如果一个多边形的边数增加1，则它的内角和将（）

A增加90° B增加180° C 增加360° D不变

1. 1440 ， 135

2. 8 4. B

说明：第3题是一个条件开放型题，答案可填①有十个顶点，②有十个内角，③内角和为1440°。

【设计意图】通过该组练习题的训练，既巩固了新知，又训练了学生思维的灵活性 .

镶嵌

一、填空题

1、

2、当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个

时，就拼成一个平面图形。

3、用一种正多边形铺满整个地面的正多边形只有三种。

二、选择题

4、某中学新科技馆铺设地面，已有正三角形形状的地砖，现打算购买另一种不同形状的正多边形地砖，与正三角形地砖在同一顶点处作平面镶嵌，则该学校不应该购买的地砖形状是

A 正方形 B正六边形 C 正八边形 D 正十二边形

5、某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是

A 正方形

B 矩形

C 正八边形 D正六边形

6、右图是一块正方形地板砖，上面的图案由一个小正方形和四

个等腰梯形组成，小明家的地面是由这样的地板砖镶嵌而成的，

小明发现地板上有正八边形图案，那么地板上的两个正八边形图

案需要这样的地板砖至少A 8块 B 9块 C 11块 D 12块

7、下列边长为a的正多边形与边长为a的正方形组合起来，不能镶嵌成平面的是

A、正三角形

B、正五边形

C、正六边形

D、正八边形

8在综合时间活动课上，小红准备用两种不同颜色的布料缝制一个正方形坐垫，坐垫的图案如图所示，应该选下图中的哪一块布料才能使其与图（1）

）

（图1）

A． B． C． D．

三、解答下列问题

9、请你用正三角形、正方形、正六边形三种图形设计一个能铺满整个地面的美丽图案。

10、试着用两种不同的正多边形设计一个密铺的方案，你能想出几种方法？

答案

1、16、 44

2、周角

3、正三角形、正四边形、正六边形

4、C

5、C

6、A

7、B，

8、C

9、

10、

12、方法如图所示：（还有很多）

11、

本章测试（时间：90分钟满分：100分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．?在每小题所给出

的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）

A．2，3，5 B．5，6，10

C．1，1，3 D．3，4，9

2．等腰三角形的一边长等于4，一边长等于9，则它的周长是（） A．17 B．22 C．17或22 D．13

3．适合条件∠1

2∠1

3

∠C的△是（）

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形

4．已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为（）

A．30° B．75° C．105° D．30°或75°

5．一个多边形的内角和比它的外角的和的2倍还大180°，这个多边形的边数是（）

A．5 B．6 C．7 D．8

6．三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是（）

A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定

7．下列命题正确的是（）

A．三角形的角平分线、中线、高均在三角形内部

B．三角形中至少有一个内角不小于60°

C．直角三角形仅有一条高

D．直角三角形斜边上的高等于斜边的一半

8．能构成如图所示的基本图形是（）

第8题图 (A) (B) (C) (D)

9．已知等腰△的底边8，││=2，则腰的长为（）

A．10或6 B．10 C．6 D．8或6

10．如图1，把△纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规

律是（?）

A．∠∠1+∠2 B．2∠∠1+∠2 C．3∠2∠1+∠2 D．3∠2（∠1+∠2）

(10题) (13题) (14题)

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案填在题中横线

上）

11．三角形的三边长分别为5，1+2x，8，则x的取值范围是．

12．四条线段的长分别为5、6、8、13，?以其中任意三条线段为边可以构成个三角形．

13．如果一个正多边形的内角和是900°，则这个正多边形是正边形．

14．n边形的每个外角都等于45°，则．

15．乘火车从A站出发，沿途经过3个车站方可到达B站，那么A、B两站之间需要安排种不同的车票．

16．将一个正六边形纸片对折，并完全重合，那么，得到的图形是边形，?它的内角和（按一层计算）是度．

三、解答题（本大题共6小题，共46分，解答应写出文字说明，?证明过程

或演算步骤）

17．（6分）如图，平分∠，⊥，∠1=60°，∠80°，求∠C的度数．

18．（8分）如图：

（1）画△的外角∠，再画∠的平分线．

（2）若∠∠B，请完成下面的证明：

已知：△中，∠∠B，是外角∠的平分线．

求证：∥．

19．（8分）（1）如图4，有一块直角三角形放置在△上，恰好三角板的两条直角边、分别经过点B、C．△中，∠30°，则∠∠，∠∠．

(4) (5)

（2）如图5，改变直角三角板的位置，使三角板的两条直角边、?仍然分别经过B、C，那么∠∠的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠∠的大小．

20．（8分）引人入胜的火柴问题，成年人和少年儿童都很熟悉．如图是由火柴搭成的图形，拿去其中的4根火柴，使之留下5个正方形，?且留下的每根火柴都是正方形的边或边的一部分，请你给出两种方案，并将它们分别画在图（1）、（2）中．

21．（8分）在平面内，分别用3根、5根、6根……火柴首尾依次相接，?能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下所示： 问：（1）4根火柴能拾成三角形吗？

（2）8根、12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图．

22．（8分）如图，⊥，∠1=∠2=∠3，∠4=60°，∠5=∠6． （1）是△的高吗？为什么？ （2）∠5的度数是多少？ （3）求四边形各内角的度数．

答案： 1．B

2．B 点拨：由题意知，三角形的三边长可能为4，4，9或4，9，9．但4+4<9，说明以4，4，9为边长构不成三角形．所以，这个等腰三角形的周长为22．故选B ．

3．B 点拨：设∠°，则∠2x°，∠3x°，由三角形内角和定理，?得?23180．解得30．∴33×30=90．故选B ．

4．D 点拨：分顶角为75°和底角为75°两种情况讨论．

5．C 点拨：据题意，得（2）·180=2×360+180．解得7．故选C．

6．B

7．B 点拨：若三角形中三个内角都小于60°，则三个内角的和小于180°，?与内角和定理矛盾．所以，三角形中至少有一个内角不小于60°．

8．B

9．A 点拨：∵8，││=2，∴10或6．?经检验以10，?10，8，或6，6，8为边长均能构成三角形．故选A．

10．B 点拨：可根据三角形、四边形内角和定理推证．

11．1

12．2 点拨：以5、6、8或6、8、13为边长均可构成三角形．

13．七

14．8 点拨：360

45?

?

8．

15．10

16．四；360

17．解：在△中，∵∠90°，∠1=60°，∴∠90°-∠1=30°．

∵平分∠，∴∠∠30°．在△中，∠180°-（∠∠）

=180°-

（80°+30°）=70°．18．（1）如答图

（2）证明：

∵∠∠B，∠是△的外角，∴∠∠?∠2∠B，

∵是外角∠的平分线，

∴∠1

2∠1

2

×2∠∠B，

∴∥（?内错角相等，两直线平行）

点拨：如答图所示，要证明两直线平行，只需证内错角∠∠即可．19．（1）150°；90°

（2）不变化．

∵∠30°，

∴∠∠150°，

∵∠?90°，

∴∠∠90°，

∴∠∠（∠∠）+（∠∠）

=（∠?∠）-（∠∠）=150°-90°=60°．

点拨：此题注意运用整体法计算．

20．如答图7-2．

21．解：（1）4根火柴不能搭成三角形；

（2）8根火柴能搭成一种三角形（3，3，2）；

12根火柴能搭成三种不同的三角形（4，4，4；5，5，2；3，4，5）．图略．

22．解：（1）是△的高．

理由：在△中，∵∠90°，∠1=∠2，∴∠1=∠2=90°÷2=45°．

又∵∠1=∠3，∴∠3=45°．

∴∠180°-（∠1+∠3）=180°-2×45°=90°，

∴⊥．

∴是△的高．

（2）∠5=90°-∠4=90°-60°=30°．

（3）∠∠1+∠4=45°+60°=105°，∠90°，

∠∠5+∠6=30°+30°=60°，

∠105°．