精心整理的运筹学重点11.决策论

第十一章　决策论　

１．决策过程：１）确定目标；２）建立可行方案；３）方案的评价和选择；４）方案实施　

由于决策信息不足，决策者无法知道各自然状态发生的任何信息，因此决策的结果往往取决于决策者的主观态度。不同的心理、不同的冒险精神的人可以选用不同的方法。　１）乐观法决策（最大最大准则）：从每个策略行取最大值，再从列中再取最大。Ｍａｘ－－－ｍａｘ策略。　

２）悲观法决策（华尔德准则，最大最小准则）：从每个策略行取最小值，再从列中再取最大。Ｍｉｎ－－－ｍａｘ策略。　

３）折中法决策（郝威茨准则，乐观系数法）：用折中系数α算出每个策略的折中值，再选最大的。ｍａｘ策略　

max min max{|(1)}i i ij ij h h a a αα=+?　

４）等可能性决策（拉普拉斯准则）：以全部状态的期望损益值作为决策依据，比折中法更好。缺点是认为各种状态的概率相等，不大现实。　

12111

max{

...}j j mj j j j

a a a n n n +++∑∑∑　５）最小后悔值法：后悔值矩阵中采用Ｍａｘ－－－ｍｉｎ策略　

从每个状态（列）找出最大值；用这个最大值减去该列每个策略的效益值，得到后悔值表；在后悔值表中选择每一行中的最大值加入右列；从所有最大后悔值中选择最小的。　３．风险型决策　

１）最大期望收益准则：根据各事件发生的概率，计算每一个策略的期望收益值，并从中选择最大的期望收益值。　

２）最小期望损失准则（后悔值）：首先构造后悔值矩阵，然后分别计算不同策略的期望机会损失，从中选择最小的一个。　

３）全情报价值ＥＶＰＩ（Ｅｘｐｅｃｔｅｄ　ｖａｌｕｅ　ｏｆ　ｐｅｒｆｅｃｔ　ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ）：计算出如果获得这项情报而使决策者的期望收益提高的数额，这个数额称为完全情报的期望值，如果它大于采集情报所花的费用，则采集这一情报是有价值的，否则就得不偿失，因此把ＥＶＰＩ作为采集情报费用的上限。　

２）按最大期望收益准则公司应该选择方案1a ，期望收益为３２万元。　

３）假定情报指出销路好，公司就选取2a 策略，可获利７５万，假定情况指出销路一般，公司就选取1a 策略，可获利４０万，假定情报是销路差，公司选择3a 策略，获利０万。由于在获取全情报之前无法确切知道情报内容，故只能算出期望收益０．３＊７５＋０．５＊４０＋０．２＊０＝４２．５万。　

４）可知全情报会使期望收益增加，即ＥＶＰＩ＝４２．５－３２＝１０．５万。　５）只要获得全情报的花费不超过１０．５万，就值得去获取全情报。

４）贝叶斯决策　

全概率公式：1()()(|)

n

i i i P B P A P B A ==∑　贝叶斯公式：1

()()(|)

(|)()

()(|)

k k k k n i i i P A B P A P B A P A B P B P A P B A ==

=∑　

１、已知类条件概率密度参数表达式和先验概率。　２、利用贝叶斯公式转换成后验概率。　

３、根据后验概率大小进行决策分类。

例：公司委托某市场机构进行相关市场调查。为了了解该机构的可靠性，对其以往的调查记录进行分析，得到有关数据表如下，表中数据的意义是：当实际结果为销路好时，调查结果也是销路好的条件概率为'11(|)0.7P s s =，调查结果是销路一般的条件概率为

'21(|)0.2P s s =，调查结果为销路差的条件概率为'31(|)0.1P s s =。其余类推。进行市场

首先计算出各种调查结果出现的概率　

''''1111212313()()(|)()(|)()(|)0.3*0.70.5*0.150.2*0.10.305

P s P s P s s P s P s s P s P s s =++=++=　

''''2121222323()()(|)()(|)()(|)

0.3*0.20.5*0.700.2*0.20.45P s P s P s s P s P s s P s P s s =++=++=　''''2131232333()()(|)()(|)()(|)

0.3*0.10.5*0.150.2*0.70.245

P s P s P s s P s P s s P s P s s =++=++=　由贝叶斯公式1

()()(|)(|)()

()(|)

k k k k n i i i P A B P A P B A P A B P B P A P B A ===∑计算出后验概率'

(|)j i P s s

'(|)j i

P s s

销路好'1s （０．３）　销路一般'

2s （０．５）　销路差'

3s

（０．２）　销路好1s ０．６８９　０．１３３　０．１２２　销路一般2s ０．２４６　

０．７７８　

０．３０６　

销路差3s

０．０６５　０．０８９　０．５７２　

表：市场调查后的后验概率表　

123()0.689*600.246*400.065*(30)49.23()0.689*750.246*350.065*(50)57.035()0.689*500.246*200.065*039.37E a E a E a =++?==++?==++=　应选择2a

如果市场调查的结果是销路一般，各方案的期望值为：　

123()0.133*600.778*400.089*(30)36.43()0.133*750.778*350.089*(50)32.755()0.133*500.778*200.089*022.21E a E a E a =++?==++?==++=　应选择1a

如果市场调查的结果是销路差，各方案的期望值为：　

123()0.122*600.306*400.572*(30) 2.40()0.122*750.306*350.572*(50)8.74()0.122*500.306*200.572*012.22E a E a E a =++?==++?=?=++=　应选择3a

根据后验概率进行决策的期望利润为：　

０．３０５＊５７．０３５＋０．４５＊３６．４３＋０．３４５＊１２．２２＝３６．７８３万元　

仅根据先验信息进行决策时的期望利润为３２万，进行市场调查科增加期望利润，也就是市场调查所获得的补充信息的价值为３６．７８３－３２＝４．７８３万元，大于进行市场调查的费用，因而委托调查机构进行市场调查是合算的．

1211122122*

122221121122(1)(1)

()()

a p a p a p a p a a p a a a a +?=+??=

+?+当*p p =两方案无差异，*p p >方案1s 优于2s 即12s s >，当*p p <，方案2s 优于1s ，即21s s <（灵敏度分析）　

　

５．马尔科夫决策　

例３　某地区有甲、乙、丙三家公司，过去的历史资料表明，这三家公司某产品的市场占有率分别为５０％，３０％和２０％　。不久前，丙公司制定了一项把甲、乙两公司的顾客吸引到本公司来的销售和服务措施。设三家公司的销售和服务是以季度为单位考虑的。市场调查表明，在丙公司新的经营方针的影响下，顾客的转移概率矩阵为：　

　

使用马尔科夫分析方法研究此销售问题，并分别求出三家公司在第一、二季度各拥有的市场占有率和最终的市场占有率。　

解：设随机变量Ｘｔ＝１，２，３（ｔ　＝１，２，３）分别表示顾客在ｔ季度购买甲、乙和丙公司的产品，显然｛Ｘｔ｝是一个有限状态的马尔科夫链。已知Ｐ（Ｘ０＝１）＝０．５，　Ｐ（Ｘ０＝２）＝０．３，　

Ｐ（Ｘ０＝３）＝０．２，又已知马尔科夫链的一步转移概率矩阵，于是第一季度的销售份额为　

　

即第一季度甲、乙、丙三公司占有市场的销售份额分别为３９％，３０％和３１％。再求第二季度的销售份额，有　

　

即第二季度三家公司占有市场的销售份额分别为３１．９％，２９．４％和３８．７％。　

设π１　，π２　，π３为马尔科夫链处于状态１，２，３的稳态概率，由于Ｐ是一个标准概率矩

阵，因此有　

　

解得π　＝（　π１　，π２　，π３　）＝（０．１７６５，０．２３５３，０．５８８２）故甲、乙、丙三家公司最终将分别占有１８％，２３％和５９％的市场销售份额。　

定理：设Ｐ是标准概率矩阵，则必存在非零向量π　＝　（π１　，π２　，　???，　πｎ）使得π　Ｐ＝　π，称π为Ｐ的平衡向量。如果进一步满足：π１＋　π２＋　???＋　πｎ＝１　

称此πｊ为状态ｓｊ　的稳态（平衡）概率。Ｐ的这一特性在实用中有重要的价值。通常在市场预测中，所讨论的用户转移概率矩阵就属于标准概率矩阵，它可以通过几步转移达到稳定（平衡）状态。在这种情况下，各厂家的用户占有率不再发生变化，此时的π称为最终用户的占有率Ｐ向量。　

例４　考虑例３的销售问题。为了对付下降的销售趋势，甲公司考虑两种对付的策略：　

第一种策略是保留策略，即力图保留原有顾客的较大百分比，并对连续两期购货的顾客给予优惠价格，可使其保留率提高到８５％，新的转移概率矩阵为　

　

第二种策略是争取策略，即甲公司通过广告宣传或跟踪服务来争取另外两家公司的顾客，新的转移概率矩阵为　

　

试问：　

（１）分别求出在甲公司的保留策略和争取策略下，三家公司最终分别占有市场的份额；（２）若实际这两种策略的代价相当，甲公司应采取哪一种策略？　

解：　（１）在保留策略下，有　

　

解得π　＝　（π１　，π２　，π３　）　＝　（０．３１６，　０．２６３，　０．４２１），即在保留策略下，三家公司最终将各占３１．６％，　２６．３％和４２．１％的市场份额。　

同理可以求得在争取策略下的市场占有份额，三家公司最终将各占３３．３％，　２２．２％和４４．５％的市场份额。　

（２）在保留策略下甲公司将占３１．６％的市场份额，而在争取策略下将占３３．３％的市场份

额，故甲公司应采取争取策略。