最新线性规划知识点总结
线性规划知识点总结
1.线性规划的有关概念：
①线性约束条件：
在上述问题中，不等式组是一组变量x，y 的约束条件，这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x，y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．由所有可行解组成的集合叫做可行域．使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
2.用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）在可行域内求目标函数的最优解
3.解线性规划实际问题的步骤：
（1）将数据列成表格；
（2）列出约束条件与目标函数；
（3）根据求最值方法：①画：画可行域；
②移：移与目标函数一致的平行直线；③求：求最值点坐标；④答；求最值；
（4）验证.
4. 两类主要的目标函数的几何意义:
（1）-----直线的截距；
（2）-----两点的距离或圆的半径；
（3）-----直线的斜率
线性规划典型例题
例1：生产计划问题 某工厂明年根据合同，每个季度末向销售公司提供产品，有关信息如下表。若当季生产的产品过多，季末有积余，则一个季度每积压一吨产品需支付存贮费O.2万元。现该厂考虑明年的最佳生产方案，使该厂在完成合同的情况下，全年的生产费用最低。试建立模型。 解： 法1 设每个季度分别生产x1,x2,x3,x4 则要满足每个季度的需求x4≥26 x1+ x2≥40 x1+ x2+ x3≥70 x1+ x2+ x3+ x4=80 考虑到每个季度的生产能力 0≤x1≤30 0≤x2≤40 0≤x3≤20 0≤x4≤10 每个季度的费用为：此季度生产费用+上季度储存费用 第一季度15.0x1 第二季度14 x2 0.2(x1-20) 第三季度15.3x3+0.2(x1+ x2-40) 第四季度14.8x4+0.2(x1+ x2+ x3-70)
工厂一年的费用即为这四个季度费用之和, 得目标函数；minf=15.6 x1+14.4 x2+15.5 x3+14.8 x4-26 s.t．x1+ x2≥40 x1+ x2+ x3≥70 x1+ x2+ x3+ x4=80 20≤x1≤30 0≤x2≤40 0≤x3≤20 0≤x4≤10。 法2：设第i季度生产而用于第j季度末交货的产品数量为xij吨 根据合同要求有： xll=20 x12+x22=20 x13+x23+x33=30 x14+x24+x34+x44=10 又根据每季度的生产能力有： xll+x12+x13+x14≤30 x22+x23+x24≤40 x33+x34≤20 x44≤10 第i季度生产的用于第j季度交货的每吨产品的费用cij=dj+0.2(j-i)，于是，有线性规划模型。 minf=15.Oxll+15.2x12+15.4xl3+15.6xl4+14x22+14.2x23+14.4x24+15.3 x33+15.5x34+14.8x44 s．t． xll=20， x12+x22=20， x13+x23+x13=30， x14+x24+x34+x44=10， x1l+x12+x13+x14≤30， x22+x23+x24≤40， x33+x34≤20，
线性规划所有类型总结(很全的)
线性规划，想说懂你很容易 线性规划是近两年高考的必考内容。学习简单线性规划的有关知识其最终目的就是运用它们去解决在线性约束条件下目标函数的最值（最大值或最小值）问题。而有关的题型种类较多，变化多样，应用线性规划的思想解题不能完全拘泥于课本中的z=ax+by 的形式，下面就从规划思想出发探讨常见的简单线性规划求最值问题。 1、目标函数形如z=ax+by 型： 例1（2008.全国Ⅱ）设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ?? +??-? ，，．≥≤≥，则 y x z 3-=的最小值是（ ） A ．2- B ．4- C ．6- D ．8- 解：画出可行域（如图1），由y x z 3-=可得331z x y -=，所以3 z -表示直线 331z x y -=的纵截距，由图可知当直线过点A （-2，2）时，z 的最小值是-8，选 D. 2、目标函数形如a x b y z --=型： 例2（2007.辽宁）已知变量x y ，满足约束条件20170x y x x y -+?? ??+-? ≤，≥，≤， 则 y x 的取值范围是（ ） A ．]6,59[ B ．[)965??-∞+∞ ??? ，， C ．(][)36-∞+∞ ，， D ．[36]， 解：画出可行域（如图2）， y x 表示可行域内的点（x,y ）与原点连线的斜率，求得A （1，6），C （29 ,25）, 且求得K OA =6，K OC =5 9， 所以659≤≤x y ，选A. 3、目标函数形如z=a bx+cy 型： 例3.（2008.北京）若实数x y ，满足1000x y x y x ?-+? +???， ，，≥≥≤则23x y z +=的 最小值是（ ）A ．0 B ．1 C D ．9 图1 图2 图3
线性规划总结
线性规划总结 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
线性规划题型总结 知识点 （1）在坐标系中画不等式Ax＋By＋C>0(或<0)所表示的区域时，把直线Ax＋By＋C＝0画成虚线以表示区域不包括边界直线；而画不等式Ax＋By＋C≥0(或≤0)所表示的平面区域时，要把直线画成实线以表示区域包括边界直线． （2）简单线性规划问题是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其解题步骤为：一是寻求线性约束条件与线性目标函数；二是由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；三是在可行域内求目标函数的最优解． （3）．确定不等式Ax＋By＋C>0(<0，≥0，≤0)表示直线Ax＋By＋C＝0的哪一侧时，常用下面的方法：先由等式定直线，然后在直线的某一侧任取一点（x0，y0），把它代入Ax＋By＋C>0，若不等式成立，则和(x0，y0)同侧的点都满足不等式，从而平面区域被找到，否则，直线的另一侧区域为不等式Ax＋By＋C>0所表示的区域，当C≠0时，常取特殊点（0，0）为代表，当C＝0时，直线过（0，0），常选（1，0）或（0，1）加以判断．这种方法可称为“直线定界，特殊点定域”． （4）．求在线性约束条件下的线性目标函数t＝ax＋by的最值问题时，应先作出线性约束条件所表示的平面区域即可行域，再作出直线ax＋by＝0，平移直线ax＋by＝0，此时，在经过可行域内
的点且平行于ax ＋by ＝0的直线中，找出对应于t 最大（或最小）时的直线，最后求其最值．生产实际中的许多问题都可以归结为线性规划问题来求解． 题型一：给出具体的变量,x y 满足约束条件，求线性目标函数的最值。常用的方法：（1）画出变量所满足的可行区域，将目标函数变形，平行移动找出目标函数的最值；（2）直接找出这几条线的的交点，直接代入即可，这个方法只适用于封闭区域，若非封闭区域，只能采用第一用方法，画图。 例1、已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤?? +≥??-≤? ，则3z x y =+的最大值为( ) 【解析】选B 约束条件对应ABC ?边际及内的区域：53 (2,2),(3,2),(,)22 A B C 则3[8,11]z x y =+∈ 例2、若,x y 满足约束条件：02323x x y x y ≥?? +≥??+≤?；则x y -的取值范围为_____ 【解析】x y -的取值范围为_____[3,0]- 约束条件对应ABC ?边际及内的区域：3 (0,3),(0,),(1,1)2 A B C 则[3,0]t x y =-∈- 练习题： 1、设变量,x y 满足-100+20015x y x y y ≤?? ≤≤??≤≤? ，则2+3x y 的最大值为（D ）. A ．20 B ．35 C ．45 D ．55 2、若,x y 满足约束条件10 30330x y x y x y -+≥??? +-≤??+-≥??，则3z x y =-的最小值为 。 答案：1-
128499-管理运筹学-第二章线性规划-习题
11（2），12,14,18 习题 2-1 判断下列说法是否正确： （1） 任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题； T （2） 对偶问题的对偶问题一定是原问题；T （3） 根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之， 当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解；F （4） 若线性规划的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优 解； （5） 若线性规划问题中的b i ，c j 值同时发生变化，反映到最终单纯形表中，不会出 现原问题与对偶问题均为非可行解的情况； （6） 应用对偶单纯形法计算时，若单纯形表中某一基变量x i <0，又x i 所在行的元素全 部大于或等于零，则可以判断其对偶问题具有无界解。 （7） 若某种资源的影子价格等于k ，在其他条件不变的情况下，当该种资源增加 5个单位时，相应的目标函数值将增大5k ； （8） 已知y i 为线性规划的对偶问题的最优解，若y i >0，说明在最优生产计划中第 i 种资源已经完全耗尽；若y i =0，说明在最优生产计划中的第i 种资源一定有剩余。 2-2将下述线性规划问题化成标准形式。 ????? ? ?≥≥-++-≤+-+-=-+-+-+-=无约束 43 214321432143214321,0,,232142224.5243max )1(x x x x x x x x x x x x x x x x st x x x x z 2-3分别用图解法和单纯形法求解下述线性规划问题，并对照指出单纯形表中的各基 可行解对应图解法中可行()?????≥≤≤-+-=++-+-=无约束 321 3213213 21,0,06 24 .322min 2x x x x x x x x x st x x x z 域的哪一顶点。 ()??? ??≥≤+≤++=0,8259 43.510max 12 1212121x x x x x x st x x z ()??? ??≥≤+≤++=0,242615 53.2max 22 121212 1x x x x x x st x x z 2-4已知线性规划问题，写出其对偶问题： 5 43212520202410max x x x x x z ++++=
线性规划总结
线性规划总结 Last revised by LE LE in 2021
线性规划题型总结 知识点 （1）在坐标系中画不等式Ax ＋By ＋C >0(或<0)所表示的区域时，把直线Ax ＋By ＋C ＝0画成虚线以表示区域不包括边界直线；而画不等式Ax ＋By ＋C ≥0(或≤0)所表示的平面区域时，要把直线画成实线以表示区域包括边界直线． （2是以什么实际问题提出，其解题步骤为：一是寻求线性约束条件与线性目标函数；二是由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；三是在可行域内求目标函数的最优解． （3）．确定不等式Ax ＋By ＋C >0(<0，≥0，≤0)表示直线Ax ＋By ＋C ＝0的哪一侧时，常用下面的方法：先由等式定直线，然后在直线的某一侧任取一点（x 0，y 0），把它代入Ax ＋By ＋C >0，若不等式成立，则和(x 0，y 0)同侧的点都满足不等式，从而平面区域被找到，否则，直线的另一侧区域为不等式Ax ＋By ＋C >0所表示的区域，当C ≠0时，常取特殊点（0，0）为代表，当C ＝0时，直线过（0，0），常选（1，0）或（0，1）加以判断．这种方法可称为“直线定界，特殊点定域”． （4）．求在线性约束条件下的线性目标函数t ＝ax ＋by 的最值问题时，应先作出线性约束条件所表示的平面区域即可行域，再作出直线ax ＋by ＝0，平移直线ax ＋by ＝0，此时，在经过可行域内的点且平行于ax ＋by ＝0的直线中，找出对应于t 最大（或最小）时的直线，最后求其最值．生产实际中的许多问题都可以归结为线性规划问题来求解． 题型一：给出具体的变量,x y 满足约束条件，求线性目标函数的最值。常用的方法：（1）画出变量所满足的可行区域，将目标函数变形，平行移动找出目标函数的最值；（2）直接找出这几条线的的交点，直接代入即可，这个方法只适用于封闭区域，若非封闭区域，只能采用第一用方法，画图。 例1、已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤?? +≥??-≤? ，则3z x y =+的最大值为( ) 【解析】选B 约束条件对应ABC ?边际及内的区域：53 (2,2),(3,2),(,)22 A B C
高二数学简单线性规划知识点
高二数学简单线性规划知识点 导读：我根据大家的需要整理了一份关于《高二数学简单线性规划知识点》的内容，具体内容：数学这一学科知识积累的越多，掌握的就会越熟练，下面是我给大家带来的，希望对你有帮助。归纳1.在同一坐标系上作出下列直线:2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-... 数学这一学科知识积累的越多，掌握的就会越熟练，下面是我给大家带来的，希望对你有帮助。 归纳 1.在同一坐标系上作出下列直线: 2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7xYo简单线性规划(1)-可行域 上的最优解2y 问题1：x 有无最大(小)值? 问题2：y 有无最大(小)值? 问题3：2x+y 有无最大(小)值? 2.作出下列不等式组的所表示的平面区域3二.提出问题 把上面两个问题综合起来: 设z=2x+y,求满足 时,求z的最大值和最小值.4y 直线L越往右平移,t随之增大. 以经过点A(5,2)的直线所对应的t值最大;经过点B(1,1)的直线所对应的t值最小.
可以通过比较可行域边界顶点的目标函数值大小得到。 思考：还可以运用怎样的方法得到目标函数的最大、最小值?5线性规划问题：设z=2x+y，式中变量满足 下列条件： 求z的最大值与最小值。 目标函数 (线性目标函数)线性约束条件 象这样关于x,y一次不等式组的约束条件称为线性约束条件 Z=2x+y称为目标函数,(因这里目标函数为关于x,y的一次式,又称为线性目标函数6线性规划 线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题. 可行解：满足线性约束条件的解(x，y)叫可行解; 可行域：由所有可行解组成的集合叫做可行域; 最优解：使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解。可行域2x+y=32x+y=12(1,1)(5,2)7 线性目标函数 线性约束条件 线性规划问题 任何一个满足不等式组的(x,y)可行解可行域所有的最优解 目标函数所表示的几何意义——在y轴上的截距或其相反数。8线性规划
(完整版)简单的线性规划问题(附答案)
简单的线性规划问题 [ 学习目标 ] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念 .2. 了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 知识点一线性规划中的基本概念 知识点二线性规划问题 1．目标函数的最值 线性目标函数 z＝ax＋by (b≠0)对应的斜截式直线方程是 y＝－a x＋z，在 y 轴上的 截距是z， b b b 当 z 变化时，方程表示一组互相平行的直线． 当 b>0，截距最大时， z 取得最大值，截距最小时， z 取得最小值； 当 b<0，截距最大时， z 取得最小值，截距最小时， z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域．(2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点 (或边界 )便是最优解． (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案．
知识点三简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小．常见问题有： ①物资调动问题例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C 三种 材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？2．解答线性规划实际应用题的步骤 (1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法． (2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解． (3)模型应用：将求解出来的结论反馈到具体的实例中，设计出最佳的方案． 题型一求线性目标函数的最值 y≤2， 例 1 已知变量 x，y 满足约束条件 x＋y≥1，则 z＝3x＋y 的最大值为 ( ) x－y≤1， A ． 12 B ．11 C ．3 D ．－ 1 答案 B 解析首先画出可行域，建立在可行域的基础上，分析最值点，然后通过解方程组得最值点 的坐标，代入即可．如图中的阴影部分，即为约束条件对应的可行域，当直线y＝－3x＋z 经 y＝2，x＝ 3，
重磅-八种经典线性规划例题最全总结(经典)
线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、若G、P满足约束条件，则z=G+2P的取值范围是（） A、[2,6] B、[2,5] C、[3,6] D、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l：G+2P＝0，将 l向右上方平移，过点A（2,0）时，有最小值 2，过点B（2,2）时，有最大值6，故选A 二、求可行域的面积 例2、不等式组表示的平面区域的面积为（） A、4 B、1 C、5 D、无穷大 解：如图，作出可行域，△ABC的面积即为所求，由梯形OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即可，选B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|G|＋|P|≤2的点（G，P）中整点（横纵坐标都是整数）有（） A、9个 B、10个 C、13个 D、14个 解：|G|＋|P|≤2等价于 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为13个，选D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 取得最小值的最优解有无数个，则a的值为 （）
A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1 解：如图，作出可行域，作直线l ：G+aP ＝0，要使目标函数z=G+aP(a>0)取得最小值的最优解有无数个，则将l 向右上方平移后与直线G+P ＝5重合，故a=1，选D 五、求非线性目标函数的最值 例5、已知G 、P 满足以下约束条件 ，则z=G 2+P 2的最大值和最小值分别是（ ） A 、13，1 B 、13，2 C 、13， D 、， 解：如图，作出可行域,G 2+P 2是点（G ，P ）到原点 的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距 离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2G ＋P －2=0的距离的平方，即为，选C 六、求约束条件中参数的取值范围 例6、已知|2G －P ＋m|＜3表示的平面区域包含点（0,0）和（－1,1），则m 的取值范围是 （ ） A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、（-3,3） 解：|2G －P ＋m|＜3等价于 由右图可知,故0＜m ＜3，选C 七、比值问题 当目标函数形如时,可把z 看作是动点与定点连线的斜率，这样目标函数的最值就转化为PQ 连线斜率的最值。 例已知变量G ，P 满足约束条件?????x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则y x 的取值范围是（）. （A ）[95，6]（B ）（－∞，95 ]∪[6，＋∞） （C ）（－∞，3]∪[6，＋∞）（D ）[3，6] 解析y x 是可行域内的点M （G ，P ）与原点O
线性规划题型总结
线性规划题型总结 1. “截距”型考题 在线性约束条件下，求形如(,) =+∈的线性目标函数的最值问题，通常转 z ax by a b R 化为求直线在y轴上的截距的取值. 结合图形易知，目标函数的最值一般在可行 域的顶点处取得.掌握此规律可以有效避免因画图太草而造成的视觉误差. 1．（2017天津）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值为（）A．B．1 C．D．3 答案：D 解：变量x，y满足约束条件的可行域如图： 目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，由可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3． 2．（2017新课标Ⅲ）若x，y满足约束条件，则 z=3x﹣4y的最小值为． 答案：﹣1． 解：由z=3x﹣4y，得y=x﹣，作出不等式对应的可行域（阴影部分）， 平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣， 经过点B（1，1）时，直线y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值， 将B的坐标代入z=3x﹣4y=3﹣4=﹣1，
即目标函数z=3x﹣4y的最小值为﹣1． 3．（2017浙江）若x、y满足约束条件，则z=x+2y的取值范围是（）A．[0，6] B．[0，4] C．[6，+∞）D．[4，+∞） 答案：D． 解：x、y满足约束条件，表示的可行域如图： 目标函数z=x+2y经过C点时，函数取得最小值， 由解得C（2，1）， 目标函数的最小值为：4 目标函数的范围是[4，+∞）． 4．（2016河南二模）已知x，y∈R，且满足，则z=|x+2y|的最大值为（） A．10 B．8 C．6 D．3 答案：C． 解：作出不等式组，对应的平面区域如图： （阴影部分） 由z=|x+2y|， 平移直线y=﹣x+z， 由图象可知当直线y=﹣x﹣z经过点A时，z取得最大 值，
线性规划知识复习、题型总结
线性规划 基础知识： 一． 1.点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上，则点P 坐标适合方程，即Ax 0+By 0+C=0 2. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax 0+By 0+C>0;当B<0时，Ax 0+By 0+C<0 3. 点P(x 0,y 0)在直线Ax+By+C=0下方（左下或右下），当B>0时，Ax 0+By 0+C<0;当B<0时，Ax 0+By 0+C>0 注意：（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同, （2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反, 即：1.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)>0 2.点P(x 1,y 1)和点Q(x 2,y 2)在直线 Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax 1+By 1+C ）( Ax 2+By 2+C)<0 二.二元一次不等式表示平面区域: ①二元一次不等式Ax+By+C>0（或<0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域. 不． 包括边界; ②二元一次不等式Ax+By+C ≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界; 注意：作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线. 三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法: 方法一:取特殊点检验; “直线定界、特殊点定域 原因:由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点(x,y),把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x 0,y 0),从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断 Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地, 当C ≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。 方法二：利用规律： 1.Ax+By+C>0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）， 当B<0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）; 2.Ax+By+C<0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下） 当B<0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上）。 四、线性规划的有关概念： ①线性约束条件： ②线性目标函数： ③线性规划问题： ④可行解、可行域和最优解： 典型例题一--------画区域 1. 用不等式表示以)4,1(A ，)0,3(-B ，)2,2(--C 为顶点的三角形内部的平面区域． 分析：首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。 解：直线AB 的斜率为：1) 3(104=---=AB k ，其方程为3+=x y ． 可求得直线BC 的方程为62--=x y ．直线AC 的方程为22+=x y ． ABC ?的内部在不等式03>+-y x 所表示平面区域内，同时在不等式062>++y x 所表示的平面区域内，同时又在不等式022<+-y x 所表示的平面区域内（如图）． 所以已知三角形内部的平面区域可由不等式组?? ???<+->++>+-022, 062,03y x y x y x 表示． 说明：用不等式组可以用来平面内的一定区域，注意三角形区域内部不包括边界线． 2 画出332≤<-y x 表示的区域，并求所有的正整数解),(y x ． 解：原不等式等价于???≤->.3,32y x y 而求正整数解则意味着x ，y 还有限制条件，即求??? ??? ?≤->∈∈>>.3, 32, ,,0,0y x y z y z x y x ．
线性规划经典例题
线性规划常见题型及解法 由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。 一、求线性目标函数的取值范围 例1、 若x 、y 满足约束条件222x y x y ≤?? ≤??+≥? ，则z=x+2y 的取值范围是 （ ） A 、[2,6] B 、[2,5] C 、[3,6] D 、（3,5] 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+2y ＝0，将 l 向右上方平移，过点A （2,0）时，有最小值 2，过点B （2,2）时，有最大值6，故选A 二、求可行域的面积 例2、不等式组260302x y x y y +-≥?? +-≤??≤? 表示的平面区域的面积为 （ ） A 、4 B 、1 C 、5 D 、无穷大 解：如图，作出可行域，△ABC 的面积即为所求，由梯形OMBC 的面积减去梯形OMAC 的面积即可，选B 三、求可行域中整点个数 例3、满足|x|＋|y|≤2的点（x ，y ）中整点（横纵坐标都是整数）有（ ） A 、9个 B 、10个 C 、13个 D 、14个 x y O 2 2 x=2 y =2 x + y =2 B A 2x + y – 6= 0 = 5 x ＋y – 3 = 0 O y x A B C M y =2
解：|x|＋|y|≤2等价于2(0,0)2(0,0)2(0,0) 2 (0,0)x y x y x y x y x y x y x y x y +≤≥≥??-≤≥? ? -+≤≥??--≤? 作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整 点个数为13个，选D 四、求线性目标函数中参数的取值范围 例4、已知x 、y 满足以下约束条件5503x y x y x +≥?? -+≤??≤? ，使z=x+ay(a>0) 取得最小值的最优解有无数个，则a 的值为 （ ） A 、－3 B 、3 C 、－1 D 、1 解：如图，作出可行域，作直线l ：x+ay ＝0，要使目标函数z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解 有无数个，则将l 向右上方平移后与直线x+y ＝5重合，故a=1，选D 五、求非线性目标函数的最值 例5、已知x 、y 满足以下约束条件220240330x y x y x y +-≥?? -+≥??--≤? ，则z=x 2+y 2的最大值和最小值分别是（ ） A 、13，1 B 、13，2 C 、13，4 5 D 、 5 解：如图，作出可行域,x 2+y 2是点（x ，y ）到原点的距离的平方，故最大值为点A （2,3）到原点的距离的平方，即|AO|2=13，最小值为原点到直线2x ＋y －2=0的距离的平方，即为 4 5 ，选C 六、求约束条件中参数的取值范围 例6、已知|2x －y ＋m|＜3表示的平面区域包含点 （0,0）和（－ 1,1），则m 的取值范围是 （ ） A 、（-3,6） B 、（0,6） C 、（0,3） D 、（-3,3）
线性规划总结 (1)
线性规划题型总结 知识点 （1）在坐标系中画不等式Ax＋By＋C>0(或<0)所表示的区域时，把直线Ax＋By＋C＝0画成虚线以表示区域不包括边界直线；而画不等式Ax＋By＋C≥0(或≤0)所表示的平面区域时，要把直线画成实线以表示区域包括边界直线． （2 际问题提出，其解题步骤为：一是寻求线性约束条件与线性目标函数；二是由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；三是在可行域内求目标函数的最优解． （3）．确定不等式Ax＋By＋C>0(<0，≥0，≤0)表示直线Ax＋By＋C＝0的哪一侧时，常用下面的方法：先由等式定直线，然后在直线的某一侧任取一点（x0，y0），把它代入Ax＋By＋C>0，若不等式成立，则和(x0，y0)同侧的点都满足不等式，从而平面区域被找到，否则，直线的另一侧区域为不等式Ax＋By＋C>0所表示的区域，当C≠0时，常取特殊点（0，0）为代表，当C＝0时，直线过（0，0），常选（1，0）或（0，1）加以判断．这种方法可称为“直线定界，特殊点定域”．（4）．求在线性约束条件下的线性目标函数t＝ax＋by的最值问题时，应先作出线性约束条件所表示的平面区域即可行域，再作出直线ax＋by＝0，平移直线ax＋by＝0，此时，在经过可行域内的点且平行于ax＋by＝0的直线中，找出对应于t最大（或最小）时的直线，最后求其最值．生产实际中的许多问题都可以归结为线性规划问题来求解． 题型一：给出具体的变量,x y满足约束条件，求线性目标函数的最值。常用的方法：（1）画出变量所满足的可行区域，将目标函数变形，平行移动找出目标函数的最值；（2）直接找出这几条线的的交点，直接代入即可，这个方法只适用于封闭区域，若非封闭区域，只能采用第一用方法，画图。 例1、已知变量,x y满足约束条件 2 4 1 y x y x y ≤ ? ? +≥ ? ?-≤ ? ，则3 z x y =+的最大值为( ) 【解析】选B约束条件对应ABC ?边际及内的区域： 53 (2,2),(3,2),(,) 22 A B C 则3[8,11] z x y =+∈
《简单的线性规划》知识点及题型归总
二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题 一、考点、热点回顾 1．二元一次不等式表示的平面区域 (1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线，以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线． (2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可断定Ax＋By＋C>0表示的是直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域． 2．线性规划相关概念 名称意义 约束条件由变量x，y组成的一次不等式 线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组 目标函数欲求最大值或最小值的函数 线性目标函数关于x，y的一次解析式 可行解满足线性约束条件的解 可行域所有可行解组成的集合 最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解 线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题 3．重要结论 画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域： (1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线． (2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证． 知识拓展 1．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域 对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有 (1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方； (2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方． 2．最优解和可行解的关系 最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解．最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个． 二、典型例题 例1、（1）分别画出不等式x+2y-4＞0和y≥x+3所表示的平面区域；
《运筹学》习题线性规划部分练习题及答案.doc
《运筹学》线性规划部分练习题 一、思考题 1.什么是线性规划模型，在模型中各系数的经济意义是什么？ 2 .线性规划问题的一般形式有何特征？ 3. 建立一个实际问题的数学模型一般要几步？ 4. 两个变量的线性规划问题的图解法的一般步骤是什么？ 5. 求解线性规划问题时可能出现几种结果，那种结果反映建模时有错误？ 6. 什么是线性规划的标准型，如何把一个非标准形式的线性规划问题转化成标准形式。 7?试述线性规划问题的可行解、基础解、基础可行解、最优解、最优基础解的概念及它们之间的相互关系。 8?试述单纯形法的计算步骤，如何在单纯形表上判别问题具有唯一最优解、有无穷多个最优解、无界解或无可行解。 9. 在什么样的情况下采用人工变量法，人工变量法包括哪两种解法？ 10. 大M法中，M的作用是什么？对最小化问题，在目标函数中人工变量的系数取什么？最大化问 题呢？ 11 ?什么是单纯形法的两阶段法？两阶段法的第一段是为了解决什么问题？在怎样的情况下，继续 第二阶段？ 二、判断下列说法是否正确。 1 .线性规划问题的最优解一定在可行域的顶点达到。 2 .线性规划的可行解集是凸集。 3. 如果一个线性规划问题有两个不同的最优解，则它有无穷多个最优解。 4. 线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的 范围一般将扩大。 5 .线性规划问题的每一个基本解对应可行域的一个顶点。 6. 如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。 7. 用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与j 0对应的变量都可以被 选作换入变量。 8 .单纯形法计算中，如不按最小非负比值原则选出换出变量，则在下一个解中至少有一 个基变量的值是负的。 9. 单纯形法计算中，选取最大正检验数k对应的变量x k作为换入变量，可使目 标函数值得到最快的减少。 10 . 一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形 表中删除，而不影响计算结果。 三、建立下面问题的数学模型 1 .某公司计划在三年的计划期内，有四个建设项目可以投资：项目I从第一年到 第三年年初都可以投资。预计每年年初投资，年末可收回本利120%，每年又可以重新将所获本利纳入投资计划；项目n需要在第一年初投资，经过两年可收回本利150% , 又可以重新将所获本利纳入投资计划，但用于该项目的最大投资额不得超过20万元；项目川需要在第二年年初投资，经过两年可收回本利160%，但用于该项目的最大投资额 不得超过15万元；项目"需要在第三年年初投资，年末可收回本利140%，但用于该项目的最大投资额不得超过10万元。在这个计划期内，该公司第一年可供投资的资金有 30万元。问怎样的投资方案，才能使该公司在这个计划期获得最大利润？ 2 .某饲养场饲养动物，设每头动物每天至少需要700克蛋白质、30克矿物质、 100克维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单 价如下表2—1所示：
简单的线性规划问题附答案
简单的线性规划问题 [学习目标] 1.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.2.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题． 知识点一 线性规划中的基本概念 1．目标函数的最值 线性目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)对应的斜截式直线方程是y ＝－a b x ＋z b ，在y 轴上的截距是z b ， 当z 变化时，方程表示一组互相平行的直线． 当b >0，截距最大时，z 取得最大值，截距最小时，z 取得最小值； 当b <0，截距最大时，z 取得最小值，截距最小时，z 取得最大值． 2．解决简单线性规划问题的一般步骤 在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答”四步，即， (1)画：根据线性约束条件，在平面直角坐标系中，把可行域表示的平面图形准确地画出来，
可行域可以是封闭的多边形，也可以是一侧开放的无限大的平面区域． (2)移：运用数形结合的思想，把目标函数表示的直线平行移动，最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解． (3)求：解方程组求最优解，进而求出目标函数的最大值或最小值． (4)答：写出答案． 知识点三简单线性规划问题的实际应用 1．线性规划的实际问题的类型 (1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源，使完成的任务量最大，收到的效益最大； (2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源量最小． 常见问题有： ①物资调动问题 例如，已知两煤矿每年的产量，煤需经两个车站运往外地，两个车站的运输能力是有限的，且已知两煤矿运往两个车站的运输价格，煤矿应怎样编制调动方案，才能使总运费最小？ ②产品安排问题 例如，某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品需要的A、B、C三种材料的数量，此厂每月所能提供的三种材料的限额都是已知的，这个工厂在每个月中应如何安排这两种产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题 例如，要把一批长钢管截成两种规格的钢管，应怎样下料能使损耗最小？ 2．解答线性规划实际应用题的步骤 (1)模型建立：正确理解题意，将一般文字语言转化为数学语言，进而建立数学模型，这需要在学习有关例题解答时，仔细体会范例给出的模型建立方法． (2)模型求解：画出可行域，并结合所建立的目标函数的特点，选定可行域中的特殊点作为最优解．
线性规划知识总结
线性规划知识总结 1. 二元一次不等式（组）表示的平面区域 （1）直线0:=++C By Ax l 把平面内不在直线上的点分成两部分，对于同一侧所有点的坐标代入Ax ＋By ＋C 中所得的值的符号都相同，异侧所有点的坐标代入Ax ＋By ＋C 所得的值的符号都相反。 （2）对于直线:l Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，可化为：y ＝kx ＋b 的形式。对于二元一次不等式b kx y +≥表示的平面区域在直线y ＝kx ＋b 的上方（包括直线y ＝kx ＋b ）。对于二元一次不等式b kx y +≤表示的平面区域在直线y ＝kx ＋b 的下方（包括直线y ＝kx ＋b ）。 注意：二元一次不等式)0(0<>++或C By Ax 与二元一次不等式)0(0≤≥++C By Ax 所表示的平面区域不同，前者不包括直线Ax ＋By ＋C ＝0，后者包括直线Ax ＋By ＋C ＝0。 2. 线性规划 我们把求线性目标函数在线性目标条件下的最值问题称为线性规划问题。解决这类问题的基本步骤是： （1）确定好线性约束条件，准确画出可行域。 （2）对目标函数z ＝ax ＋by ，若b ＞0，则 b z 取得最大值（或最小值）时，z 也取得最大值（或最小值）；若b ＜0，则反之。 （3）一般地，可行域的边缘点有可能是最值点，有些问题可直接代入边缘点找最值。 （4）注意实际问题中的特殊要求。 说明：1. 线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得； 2. 线性目标函数的最大值、最小值也可在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数个。 知识点一：二元一次不等式（组）表示的平面区域 例1：基础题 1. 不等式组201202 y x x y -->?? ?-+≤??表示的平面区域是 （ ） A B C D 2. 如图，不等式组50 03x y x y x -+≥?? +≥??≤? 表示的平面区域面积是 ________________。
高中数学必修5：简单的线性规划问题 知识点及经典例题(含答案)
简单的线性规划问题 【知识概述】 线性规划是不等式应用的一个典型，也是数形结合思想所体现的一个重要侧面.近年的考试中，通常考查二元一次不等式组表示的平面区域的图形形状以及目标函数的最大值或最小值，或求函数的最优解等问题.通过这节课的学习，希望同学们能够掌握线性规划的方法，解决考试中出现的各种问题. 解决线性规划的数学问题我们要注意一下几点 1.所谓线性规划就是在线性约束条件下求线性目标函数的最值问题； 2.解决线性规划问题需要经历两个基本的解题环节 （1）作出平面区域；（直线定”界”，特“点”定侧）； （2）求目标函数的最值. （3）求目标函数z=ax+by最值的两种类型： ①0 b>时，截距最大（小），z的值最大（小）； ②0 b>时，截距最大（小），z的值最小（大）； 【学前诊断】 1.[难度] 易 满足线性约束条件 23, 23, 0, x y x y x y +≤ ? ?+≤ ? ? ≥ ? ?≥ ? 的目标函数z x y =+的最大值是（） A.1 B.3 2 C.2 D.3 2.[难度] 易 设变量,x y满足约束条件 0, 0, 220, x x y x y ≥ ? ? -≥ ? ?--≤ ? 则32 z x y =-的最大值为( ) A.0 B.2 C.4 D.6
3. [难度] 中 设1m >，在约束条件1y x y mx x y ≥??≤??+≤? 下，目标函数z x my =+的最大值小于2，则m 的取 值范围为（ ） A ．(1,1 B ．(1)+∞ C ．(1,3) D ．(3,)+∞ 【经典例题】 例1. 设变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤??+≥??--≤? 则2z x y =+的最大值为( ) A.5 B.4 C.1 D.8 例2. 若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤??+≥??--≤? 则2z x y =-的最大值为( ) A.4 B.3 C.2 D.1 例3. 设,x y 满足约束条件2208400,0x y x y x y -+≥??--≤??≥≥? ，若目标函数(0,0)z abx y a b =+>>的最小 值为8，则a b +的最小值为____________. 例4. 在约束条件下0,0,,24, x y x y s x y ≥??≥??+≤??+≤?当35s ≤≤时，目标函数32z x y =+的最大值的变化范围是( )
线性规划期末复习题
《线性规划》期末复习题1 一、将下列线性规划问题化成标准型 3412281221212(1).21612,0 12MaxZ x x x x x x st x x x x =+-+≤+≤+≤≥????? 4612361221012(2).764120,0 12MinZ x x x x x x st x x x x =+-≥+≤-=≥≤????? 二、考虑下述线性规划问题 1105234912.52812,012 Maxf x x x x st x x x x ???????=++≥+≤≥ 求： （1） 用图解法求解。 （2） 写出此线性规划问题的标准型。 （3） 求出此线性规划问题的两个松弛变量的值。 三、考虑下述线性规划问题 118121022012331812..493612,012MinZ x x x x x x st st x x x x =++≥+≤+≥≥????? 求： （1） 用图解法求解。 （2） 写出此线性规划问题的标准型。 （3） 求出此线性规划问题的三个剩余变量的值。 四、考虑下述线性规划问题的灵敏度分析 431261282.231812,0 12MaxZ x x x x st x x x x =+≤≤+≤≥????? （1） 用图解法求最优解和最优目标函数值。 （2） 假定1c 值不变，求出使最优解不变的2c 值的变化范围。 （3） 假定2c 值不变，求出使最优解不变的1c 值的变化范围。 （4） 当1c 值从4变为1，2c 值不变，求出新的最优解。 （5） 当1c 值从4变为2.5，2c 值从3变为2时，其最优解是否发生变化？为什么？ （6） 当右端项由(6，8，18)变为(7，8，18)时，最优解怎么变化？ （7） 如果1x 的约束系数由(1，0，2)变为(1，0，3时)，最优解怎么变化？ （8） 如果增加一个约束5 x 1 +3 x 2≤25，最优解怎么变化？