微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用

微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”，虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用.

1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题.

2．教学重点与难点：

重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性.

难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性.

3．教学内容：

§1 拉格朗日定理和函数的单调性

本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性.

一罗尔定理与拉格朗日定理

定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足

(ⅰ)在[]b

a,上连续;

(ⅱ)在)

a内可导;

(b

,

(ⅲ))

a

f=

f

)

(

(b

则),(b a ∈?ξ使

0)(='ξf (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可.

如: 1o ?

??=<≤=1 010

x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足,

结论不成立.

2o x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立.

3o x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立.

(ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件.

如:[]1,1

)(2

2-∈?????-∈-∈=x Q

R x x Q x x x f , f 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(='f .

(ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续

曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线.

例 1 设f 在R 上可导,证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根.

证 (反证法,利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式

n

n

n n n dx

x d n x P )1(!21)(2-?= 在)1,1(-内有n 个互不相同的零点.

将Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广

泛的Lagrange 中值定理.

定理6.2(拉格朗日(Lagrange 中值定理)设f 满足 (ⅰ)在[]b a ,上连续; (ⅱ)在),(b a 内可导 则),(b a ∈?ξ使

a

b a f b f f --=

')

()()(ξ (2)

[分析]（图见上册教材121页图6-3） 割线AB 的方程为

)()

()()(a x a

b a f b f a f y ---+

=

问题是证明),(b a ∈?ξ,使)(ξf '与割线在ξ处导数ξ='x y 相等 即证

0])()

()()()([='----

-ξa x a

b a f b f a f x f 证 作辅助函数],[),()

()()()()(b a x a x a

b a f b f a f x f x F ∈----

-= 注 (ⅰ)Lagrange 中值定理的几何意义是:在满足定理条件的曲线上至少存在一点使得曲线在该点处的切线平行于曲线两端点连线.

(ⅱ)(2)式称为Lagrange(中值)公式,它还有以下几种等价形

式

(5)

10,) ()()((4) 10),))((()()((3) ),)(()()(<<+'=-+<<--+'=-<<-'=-θθθθξξh h a f a f h a f a b a b a f a f b f b a a b f a f b f 另外,无论b a >,还是b a <, Lagrange(中值)公式都成立.此公式将由自变量的变化而引起的因变量的增量与导数联系起来,而且比上一章中有限增量公式前进了一大步,这也是Lagrange 中值定理应用更为广泛的原因之一.

(ⅲ) Lagrange 中值定理是Rolle 中值定理的推广. (ⅳ) Lagrange 中值定理的证明方法是用辅助函数法.在教材中首先构造辅助函数

],[),()

()()()()(b a x a x a

b a f b f a f x f x F ∈----

-=

然后验证)(x F 在[],b a 上满足Rolle 定理的三个条件,从而由Rolle 定理推出)(x F '存在零点而使定理得到证明.推而广之,许多中值命题常常使用这种构造辅助函数的方法.我们用框图示意如下:

当然辅助函数构造的方法不是唯一的.针对本定理,教材是从Lagrange 中值定理的几何意义出发构造辅助函数)(x F .我们也可以构造以下两个辅助函数来证明该定理.

1o 注意到(2)式成立),(b a ∈??ξ使得0)

()()(=---'a

b a f b f f ξ

?a b a f b f x f ---

')

()()(在),(b a 内存在零点

])

()()(['---

?x a

b a f b f x f 在),(b a 内存在零点 根据以上分析我们作辅助函数x a

b a f b f x f x G ---

=)

()()()((注意这种构造辅助函数的方法是常见的).

2o 辅助函数)

()()

()()

()

()

(1

11)(a f x f a f b f a x a

b x f b f a f x b a

x H ----=

=

例3 证明对,0,1≠->?h h 有

h h h

h

<+<+)1ln(1 证 [法一]令),1ln()(x x f +=在],0[h 或]0,[h 上利用Lagrange 中值定理可证之.

[法二]令,ln )(x x f =在]1,1[h +或]1,1[h +上利用Lagrange 中值定理可证之.

推论1 若f 在区间I 上可导, I x x f ∈≡',0)(,则f 在I 上为常数. 推论2 若f ,g 都在区间I 上可导, 且)()(,x g x f I x '='∈?,则在I 上,

f 与

g 仅相差一个常数,即存在常数C ,使对I x ∈?有

C x g x f +=)()(

推论 3 (导数极限定理) 设f 在0x 的某邻域)(0x U 内连续,在

)(00x U 内可导,且)(lim 0

x f x x '→存在,则)(0x f '存在,且

)()(lim 0

x f x f x x o ''=→

注 (ⅰ)由导数极限定理不难得出区间),(b a 上导函数)(x f '不会有第一类间断点.

(ⅱ) 导数极限定理可以用来求分段函数在分段点处的导数.

例4 证明恒等式

2

cot arctan ,2

arccos arcsin π

π

=

+=

+x arc x x x

例5 求???>+≤+=0

),ln(10

,sin )(2x x x x x x f 的导数

解 (ⅰ)先求0),(≠'x x f ;

(ⅱ)利用推论3(先验证f 在0=x 处连续)求)0(f '. 二 单调函数

函数的单调性是函数在区间上变化的整体性态之一.下面我们利用导数给出判定函数单调性的新的有效方法.

定理6.3 设f 在区间I 上可导,则

f 在区间I 上单调递增(减))0(0)(,≤≥'∈??x f I x

定理 6.4 设f 在区间),(b a 内可导,则f 在区间),(b a 内严格单调递增(减)的充要条件是(ⅰ) )0(0)(),,(≤≥'∈?x f b a x

(ⅱ)在),(b a 的任何子区间上,)(x f ' 不恒等于0

推论 设f 在区间I 上可导,若)0(0)(,<>'∈?x f I x ,f 在区间I 上严格单调递增(减).

注 (ⅰ)若 f 在区间),(b a 内(严格)单调递增(减),且在点a 右连续,则f 在区间),[b a 内(严格)单调递增(减).对],(b a 上的函数有类似结论.

(ⅱ)讨论可导函数的严格单调性只须求出)(x f ',再判定其符号.为此,需求出使得f '取得正负值区间的分界点.当f '连续时,这些分界点必须满足0)(='x f .

例6 求31292)(23-+-=x x x x f 的单调区间. 例7 证明0 ,1≠+>x x e x .

证 令,1)(x e x f x --=考察函数)(x f 的严格单调性.

§2 柯西中值定理与不定式极限

本节介绍更为一般的微分中值定理并由此证明求不定式极限的L ＇Hospital 法则.

一 柯西中值定理

定理6.5 (柯西(Cauchy)中值定理) 设f ,g 满足 (ⅰ)在[]b a ,上都连续; (ⅱ)在),(b a 内都可导; (ⅲ) )(x f '与)(x g '不同时为零; (ⅳ) )()(b g a g ≠ 则),(b a ∈?ξ,使

)

()()

()()()(a g b g a f b f g f --=

''ξξ (1) [分析] 欲证(1),只须证0])()()

()()

()([='---ξx f x g a g b g a f b f 且0)(≠'ξg . 令),()()

()()

()()(x f x g a g b g a f b f x F ---=

由Rolle 定理证之.

注 (ⅰ) Cauchy 中值定理是Lagrange 中值定理的推广(当

x x g =)(情形).

(ⅱ) Cauchy 中值定理的几何意义（图见上册教材126页图6-5）:

令],[ )()

(b a x x g v x f u ∈?

?

?== 它表示uov 平面上的一段曲线AB.弦AB 的斜率即为(1)式右边,而(1)式左边

ξ

ξξ==''x dv

du

g f )()(

表示与ξ=x 相对应的点))(),((ξξf g 处的切线斜率,因此(1)式表示上述切线与弦AB 平行.

(ⅲ)研究下列函数可否作为证明Cauchy 中值定理的辅助函数 1)))]()(()

()()

()()([)()(a g x g a g b g a f b f a f x f x F ---+

-=;

2))]()()][()([)]()()][()([)(a g b g a f x f a g x g a f b f x F -----=; 3))]()()[()()]()([)(a g b g x f x g a f b f x F ---=; 4)1

)()(1)()(1)()

(2

1

)(x f x g b f b g a f a g x F ±

= 例1设f 在[]b a ,()0>>a b 上都连续, 在),(b a 内都可导,则),(b a ∈?ξ,使

a

b f a f b f ln

)()()(ξξ'=- 证 取x x g ln )(=,对f ,g 利用Cauchy 中值定理即证之. 二 不定式极限－两个无穷小量或无穷大量之比的极限 1. 0

0型不定式极限

定理6.6(L ＇Hospital 法则Ⅰ)设 (ⅰ)0)()(lim lim 0

==→→x g x f x x x x ;

(ⅱ) f ,g 在0x 的某空心邻域)(00x U 内可导且0)(≠'x g ; (ⅲ) A x g x f x x =''→)

()

(lim

(或∞∞±,).则 )()(lim

x g x f x x →存在且) ,或()()

(lim

∞∞±=→A x g x f x x

注 (ⅰ)定理 6.6中0x x →可换为∞→±∞→→±x x x x ,,0,此时条件(ⅱ)作相应修改即可.

(ⅱ)若

)

()

(x g x f ''当0x x →时仍属00型,且)(),(x g x f ''分别满足

定理中)(x f ，)(x g 的条件,则可继续施用L ＇Hospital 法则Ⅰ,从而确定)

()

(lim

x g x f x x →,即 )

()

()()()()(lim lim lim

000

x g x f x g x f x g x f x x x x x x ''''=''=→→→ 且可以依次类推.

(ⅲ)“一花独秀不是春”，L ＇Hospital 法则虽是计算极限

的强有力工具，但在使用中要注意与以前所学过的求极限方法结合使用才有更好的效果.

例2 求)0,0(lim

>>-→b a x

b a x

x x 例3 求x

e

e x

x

x 1sin

11lim

-∞

→-(提示:先令x

t 1=)

例 4 求)

1ln()

21(2

2

10

lim

x x e x

x ++-→(利用)1ln(2x +等价于2x )0(→x 原式转化为2

2

10

)

21(lim

x

x e x x +-→) 例5 求x

x e

x -→1lim

(提示:先令x t =)

2. ∞

∞型不定式极限

定理6.7(L ＇Hospital 法则Ⅱ)设

(ⅰ)∞==+

+

→→)()(lim lim 00x g x f x x x x ;

(ⅱ) f ,g 在0x 的某空心邻域)(00x U +内可导且0)(≠'x g ; (ⅲ) A x g x f x x =''+

→)

()

(lim

0(或∞∞±,).则 )()(lim

0x g x f x x +

→存在且) ,或()()

(lim 0

∞∞±=+→A x g x f x x

注 定理6.7中+→0x x 可换为,,,00±∞→→→-x x x x x ∞→x 等情形,此时条件(ⅱ)作相应修改即可.

例6 求)0(ln lim

>??∞

→x

x

x 例7 求x

x

x 3tan tan lim

2

π

→

例8 求3

lim x e x

x --∞

→ 例9 求)0(lim

>??∞

→n n e n (提示:先证0)0(lim =>??

∞→x x e

x ) 注 (ⅰ)当)()

(lim

x g x f x x ''→或)()()()(lim 0x g

x f n n x x →不存在时, L ＇Hospital 法则不能用.如:

1o x

x x

x x e

e e e --∞

→+-lim

不能用L ＇Hospital 法则(x x x x e e e e --+-= 11122→+---x

x

e e ) 2o x

x x x sin lim

+∞

→不能用L ＇Hospital 法则(x x

x sin +=

1sin 1→+

x

x

) (ⅱ)只有不定式极限且满足L ＇Hospital 法则条件才能使用L ＇

Hospital 法则求极限.

3.其他类型不定式极限

还有五种类型不定式极限,其形式转化方法为

∞∞?∞=?∞=∞=∞=

∞??∞∞- );01ln (1 ;0

11001ln e (通分或提取公因式转化);).0);00ln 0(0ln 000ln 00∞?==∞∞?=?=∞??e e

例10 求x x x ln lim 0+

→

例11 求)11ln 1lim(

1

--→x x x 例12 求x x x )arctan 2

(lim π

+∞

→

例13 求x x x )(sin lim 0+

→

例14 求x

x x ln 10)

(cot lim +

→

例15 求数列极限n

n n n

)111(2

lim +

+∞

→ (注意此题先求极限x

x x

x

)111(2lim +

++∞

→) 例16 设?????=≠= 0

0 )

()(x x x

x g x f ,,3)0(,0)0()0(=''=='g g g 求)0(f '. 注 23

)0(212)(2)()()0(lim lim lim

02

=''=''='=='→→→g x g x x g x x g f x x x ,对否? §3 泰勒公式

本节包含两个泰勒(Taylor)公式,即分别带有皮亚诺(Peano)型余项的泰勒公式和带有拉格朗日型余项的泰勒公式,统称为泰勒定理.

它们分别是上一章的有限增量公式和本章中的Lagrange 中值定理的推广.两个公式所要解决的问题是用多项式函数(各类函数中最简单的函数)去逼近一个函数,而这种逼近思想在近似计算和理论分析中有着重要意义.

一 带有皮亚诺型余项的泰勒公式 设f 在点0x 存在n 阶导数,称n 次多项式

n

n n x x n x f x x x f x x x f x f x T )(!

)()(!2)()(!1)()()(00)(2

00000-+???+-''+-'+=

(1)

为f 在点0x 处的泰勒多项式,)(x T n 的各项系数

),2,1(!

)

(0)

(n k k x f

k ???=称为f 的泰勒系数.

定理6.8(Taylor) 设f 在点0x 存在直到n 阶的导数,则

))(()(!

)

())(()()(0000)(0n k n

k k n

n x x o x x k x f x x o x T x f -+-=-+=∑

= (2) 注 (ⅰ) (2)式称为f 在点0x 处的Taylor 公式, )()()(x T x f x R n n -= 称为Taylor 公式的余项,形如))((0n x x o -的余项称为Peano 型余项,于是(2)式也称为带有Peano 型余项的Taylor 公式.

(ⅱ) 若f 在点0x 附近满足

+=)()(x P x f n ))((0n x x o - (3) 其中)(x P n 为形如n n x x a x x a x x a a )()()(0202010-+???+-+-+n 次多项式,这时并不意味着)(x P n 就是f 的Taylor 多项式)(x T n 例如

???==+2,1),()(1n x D x x f n

其中)(x D 为Dirichlet 函数.易知f 仅在点00=x 处连续,可导且

0)0(='f ,从而对)0(,,1)(k f N k k +∈>?皆不存在.故f 在点00=x 处的

Taylor 多项式)(x T n )1(>n 是不存在的.然而

0)()

(lim lim

==→→x xD x x f x n

x 即)()(n x o x f =,从而若取)(x P n =000002≡?+???+?+?+n x x x ,则(3)式对

+∈N n 皆成立.

(ⅲ)满足(3)式要求(带有Peano 型误差)的n 次逼近多项式)(x P n 是唯一的,从而若f 满足定理6.8的条件,则满足(3)式要求的逼近多项式)(x P n 只能是f 的Taylor 多项式)(x T n .

当00=x 时, Taylor 公式(2)成为 )(!

)0()(0)(n k

n

k k x o x k f x f +=∑

= (4) (4)式称为(带有皮亚诺型余项的)马克劳林(Maclaurin)公式.

例1 验证下列函数的马克劳林公式 (ⅰ) )(!

1

!2112n n x x o x n x x e ++???++

+=; (ⅱ) )()!

12(1)1(!51!31sin 212153m m m x o x m x x x x +--+???+-=--; (ⅲ) )()!2(1)1(!41!211cos 12242++-+???++-

=m m m x o x m x x x ; (ⅳ) )(1)1(312

1

)1ln(132n n n x o x n x x x x +-+???+-=+-;

(ⅴ) )(!

)1()1(!2)1(1)1(2n n

x o x n n x x x ++-????-??+???+-??+

?+=+?; (ⅵ) )(111

2n n x o x x x x

++???+++=-. 上述几个简单函数的马克劳林公式是通过直接求出f 在点0=x 处

的各阶导数)0()

(k f

,代入公式(4)得到的.这种方法叫做马克劳林(或泰

勒)公式的直接求法.利用这些公式,可以间接求得一些函数的马克劳林(或泰勒)公式,还可用来求某些类型的极限.

例2 求2

2)(x e

x f -=的马克劳林公式,并求)0()98(f 与)0()99(f .

例3 求x ln 在2=x 处的Taylor 公式. 例4 求下列极限 (ⅰ)3

)

1(sin lim

x x x x e x x +-→; (ⅱ)x x e x x sin )1(lim 0

?+-→ [提示] )(!21122x o x x e x ++

+=;)(!

31

sin 43x o x x x +-=. 定理6.8告诉我们, 若f 在点0x 处具有直到n 阶导数,我们可用一个n 次多项式)(x T n 去逼近)(x f 而且这样产生的误差)()(x T x f n -当

0x x →时是比n x x )(0→更高阶的无穷小量.但这只是定性的估计,并不

能提供误差的定量估计.下面给出的第二个Taylor 公式余项有确定的表达式(尽管出现了不确定的“中值”)从而给误差估计提供了理论依据.

二 带有拉格朗日型余项的泰勒公式

定理6.9 若f 在],[b a 上有直到n 阶的连续导函数,在),(b a 内存在1+n 阶导函数,则对),(],,[,0b a b a x x ∈?∈?ξ,使

1

0)

1(00)(2

00000)()!

1()

( )(!

)()(!2)()(!1)()()(++-++-+???+-''+-'+=n n n

n x x n f x x n x f x x x f x x x f x f x f ξ(5) 注 (ⅰ)(5)式也称为Taylor 公式,其余项为

1

0),(,)()!

1()

()()()(0010)1(<<-+=-+=-=++θθξξx x x x x n f x T x f x R n n n n 称其为拉格朗日型余项,(5)式也称为带Lagrange 型余项的Taylor 公式.

(ⅱ)若0=n ,则(5)式即Lagrange 中值公式

))(()()(00x x f x f x f -'=-ξ

故定理6.9是Lagrange 中值定理的推广.

当00=x 时, Taylor 公式(5)成为

10,)!

1() (!)0()(1

)1(0)(<<++=++=∑

θθn n k n

k k x n x f x k f x f (6) 称(6)式为带Lagrange 型余项的马克劳林公式.

例5 把例1中六个马克劳林公式改写为带Lagrange 型余项的形式.

Taylor 公式是一元微分学的顶峰,它可以解决很多数学问题.本节最后一部分介绍其在近似计算上的应用,后面几节将会介绍在其它方面上的应用.

三 在近似计算上的应用

例6 (1)计算e 的值,使其误差不超过610-

(2)证明e 是无理数 [提示] (1)由例5(1)的结果有

)10()!

1(!1!2111<<+++???+++=θθ

n e n e (7)

(2)由(7)式得

1

)143!!(!+=++???+????++-n e n n n n e n θ

,用反证法证之.

例7 用Taylor 多项式逼近正弦函数x sin ,要求误差不超过310-.试以1=m 和2=m 两种情形分别讨论x 的取值范围.

§4 函数的极值与最大(小)值

函数在一区间上的极值是函数局部性态的重要特征.利用极值确定函数的整体性态－最大值和最小值在实际问题中有着广泛的应用.

一 极值判别

费马定理(定理5.3)已经告诉我们极值的必要条件－函数在点0

x 可导且0x 为f 的极值点则必有0)(0='x f .

下面给出极值的三个充分条件.

定理 6.10(极值的第一充分条件) 设f 在0x 连续,在0x 某邻域

);(00δx U 内可导.

(ⅰ)若当),(00x x x δ-∈时0)(≤'x f ,当),(00δ+∈x x x 时0)(≥'x f ,则f 在0x 取得极小值;

(ⅱ) 若当),(00x x x δ-∈时0)(≥'x f ,当),(00δ+∈x x x 时0)(≤'x f ,则

f 在0x 取得极大值.

若f 是二阶可导函数,则有如下判别极值定理.

定理6.11(极值的第二充分条件) 设f 在0x 某邻域);(0δx U 内一阶可导,在0x x =处二阶可导,且0)(0='x f ,0)(0≠''x f .

(ⅰ)若0)(0<''x f ,则f 在0x 取得极大值; (ⅱ)若0)(0>''x f ,则f 在0x 取得极小值. 例1 求32)52()(x x x f -=的极值点与极值.

例2 求x

x x f 432

)(2+

=的极值点与极值. 对于应用二阶导数无法判别的问题,可借助更高阶的导数来判别.

定理 6.12(极值的第三充分条件) 设f 在0x 某邻域内直到1-n 阶导函数, 在0x 处n 阶可导, 且0)(0)(=x f k ),1,,2,1(-???=n k 0)(0)(≠x f n ,则

(ⅰ)当n 为偶数时, f 在0x 取得极值,且当0)(0)(x f n 时取得极小值;

(ⅱ)当n 为奇数时, f 在0x 不取得极值. 例3求34)1()(-=x x x f 的极值.

注 定理6.12仅是判定极值的充分条件.如函数

?????=≠=-0

00

)(21x x e x f x

显然它在0=x 处取得极小值,但此时)(0)0()(+∈=N n f n .

二 最大值与最小值

极值是局部性概念,而最值是全局概念.极值是函数在极值点的某邻域内的最大值或最小值.最值是函数在所考察的区间上全部函数值中的最大值或最小值.若最值在区间内部取得则最值必是极值.

在第四章中我们知道,闭区间],[b a 上连续函数一定存在最大值与最小值.下面我们给出求闭区间上连续函数且不可导点和驻点个数为有限个的函数的最大值和最小值的方法:

(1)求出导函数)(x f ';

(2)求)(x f 在),(b a 内的驻点和不可导点;

(3)计算)(a f 、)(b f 及函数在所有驻点和不可导点处的函数值; (4)比较上述各值大小从而确定最大值和最小值.

例4 求函数x x x x f 1292)(23+-=在闭区间]2

5

,41[-上的最大值与最小值.

在实际问题中,求函数的最大值或最小值往往碰到如下两种特殊情形,此时最值的求法可不必按照上述四个步骤.

情形 1 函数)(x f 在一个区间上可导且只有一个极值点,则此极值点即为最值点.

例5 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比.已知当速度为10(km/h),燃料费为每小时6元,而其他与速度无关的费用为每小时96元.问轮船的速度为多少时,每航行1 km 所消耗的费用最小?

情形 2 如果由实际问题的性质可判定可导函数)(x f 确有最大值或最小值,而且一定在定义区间内部取得,这时若)(x f 在定义区间内部只有一个驻点0x ,那么不必讨论)(0x f 是不是极值就可以断定)(0x f 是最大值或最小值.

例6 一张1.4米高的图片挂在墙上,它的底边高于观察者的眼睛1.8米,问观察者应站在距墙多远处看图最清楚?(即视角最大)

下面我们再看两个“最值应用”的例题. 例7 用最值方法证明不等式

1 ,1)1(2

11

>≤-+≤-p x x p p p

[提示] 令1],1,0[,)1()(>∈-+=p x x x x f p p ,可求出)(x f 在]1,0[上的最

大值为1,最小值为

1

21-p ,从而得所证不等式.

例8 求数列{}n n 的最大项.

[提示] 令),0()(1>=x x x f x

可求出)(x f 在点e x =取得最大值,进一步地分析可知数列的最大项应是第三项.

§5 函数的凸性与拐点

凸函数是有着广泛应用的一类函数.本节将介绍凸函数的基本性质并以凸函数为工具来证明一些不等式.

一 函数的凸性

定义1 设f 为定义在区间I 上的函数,若对∈?∈?λ,,21I x x

)1,0(总有

)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≤-+ (1) 则称f 为I 上的凸函数.反之,若总有

)()1()())1((2121x f x f x x f λλλλ-+≥-+ (2) 则称f 为I 上的凹函数.

若(1),(2)中的不等式改为严格不等式,则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数.

不难证明:若f -为I 上的凸函数, 则f 为I 上的凹函数.故今后只需讨论凸函数及其性质.

引理1 f 为I 上的凸函数?对,),3,2,1(321x x x i I x i <<=∈?总有

2

3231212)

()()()(x x x f x f x x x f x f --≤

-- (3) 引理2 f 为I 上的凸函数?对,),3,2,1(321x x x i I x i <<=∈?总有

2

32313131212)

()()()()()(x x x f x f x x x f x f x x x f x f --≤

--≤-- (4) (仿引理1可证) 对于可导函数,有

定理6.13 设f 为区间I 上的可导函数,则下述论断互相等价: (ⅰ) f 为I 上的凸函数; (ⅱ) f '为I 上的增函数; (ⅲ) I x x ∈?21,,有

))(()()(12112x x x f x f x f -'+≥ (5)

注 论断(ⅲ)的几何意义是:曲线)(x f y =总是在它的任一条切线的上方.这是可导凸函数的几何特征.

定理 6.14 设f 为区间I 上的二阶可导函数,则f 为I 上的凸(凹)函数的充要条件是I x x f ∈?≤≥''),0(0)( .

证 由定理6.3和定理6.13得. 例1 讨论2

)(x e x f -=的凸性.

例 2 若f 为定义在开区间),(b a 内的可导凸(凹)函数,则),(0b a x ∈为f 的极大(小)值的充要条件是0x 为f 的稳定点,即0)(0='x f .

下面的例子是定义1的一般情况.

例 3 (詹森(Jensen)不等式)若f 为],[b a 上的凸函数,则对

1),,,2,1(0],,[1=???=>∈?∑=n

i i i i n i b a x λλ,有

)()(1

1

i n

i i i n i i x f x f ∑∑==≤λλ (6)

证 应用数学归纳法并结合凸函数的性质证之.