五年级下册奥数教程
五年级下册奥数教程
第一讲分数乘法（乘法中的简算） (2)
练习卷 (5)
第二讲长方体和正方体（巧算表面积） (6)
练习卷 (10)
第三讲分数除法应用题 (11)
练习卷 (15)
第四讲长方体和正方体（巧算体积） (16)
练习卷 (20)
第五讲较复杂的分数应用题（寻找不变量） (21)
练习卷 (24)
第六讲百分数（浓度问题） (25)
练习卷 (28)
综合演习（1）.................................................................. 29 综合演习（2） (31)
第一讲 分数乘法
例题讲学
例1 （1）×19 （2） 27×15142611
【思路点拨】 观察这两道题中数的特点.第（1）题中的比1少.可以把看作1-.然后和19
相乘.利用乘法分配律使计算简便；同样.第（2）题中27与中的分母26相差1.可以把27看作（26+1）.然后和相乘.再运用乘法分配律使计算简便·
.或拆成与1有关的两数之差或和；或者把一.最后用乘法分配律使计算简便·
同步精练
1. ×35
2. ×1036132322
3. 8×
4. ×1261514253
5. 17×
6. 1211262524
?
例2 1200019991998
20001999-??+
【思路点拨】 仔细观察分子.分母中各数的特点.我们就会发现.分子1999+2000×1998=1999+2000×（1999-1）=1999+2000×1999-2000=2000×1999-1.这样就把分子转化成与分母完全相同的式子.结果自然就好计算了.试试吧！
.不要慌张.要仔细观察数的特点.根据数的特点.分母能约分的情况.然后使计算简便·
同步精练
1. 186548362361548362-??+
2. 120112010200920112010-??+
例3 651
541431321211?+
?+?+?+?
【思路点拨】 在这道题中.每个分数的分子都是1.分母是两个连续的自然数的乘积·看下面规律：
211?=1-. =-. =-. …… 21321?2131431?3141111)
1(1+-
=+?n n n n 把每个分数都拆写成两个分数的差.使部分分数前后互相抵消.使计算简便·
.并把拆分的结果统一前
同步精练
1. ……++
?+?+?431321211100991
?
2. ++++2161121201301
3. 201
20182181621614214122+
?+?+?+?
练 习 卷
1. 27×
2. 2617384544
?
3. 4. 611511?100
9914
?
5. 1996199419951
19961995?+-?
6. 76999999
75999997499997399972997
19+++++
7． 19991
199919981199819971199719961+
?+?+?
第二讲 长方体和正方体（巧算表面积）
例题讲学
例1 两个棱长是2厘米的小正方体可以拼成一个长方体.这个长方体的表面积是多少？
【思路点拨】 先根据题意画图：
从图上可以清楚地看出：两个正方体原先各有6个正方形的面.当把它们拼起来时就少了2个正方形的面·这时.求长方体的表面积只相当于求（12-2=）10个正方形的面积；还可以这样想：当两个正方体拼成一个长方体时.求长方体的表面积.我们可以先分别求出这个长方体的长.宽.高.再求出它的表面积·
当物体拼合时表面积之和少了.可以根据用原来的面去掉减少了从而求出拼合后物体的面积数量.然后求出表面积·2.还可以求出拼成后大物体的长.宽.高.再根据物体形状直接求表面积·
同步精练
1. 把两个棱长是3厘米的小正方体拼成一个长方体.这个长方体的表面积是多少？
2．把底面积是36平方厘米的两个正方体木块拼成一个长方体.长方体的表面积是多少？
3．把三个完全相同的正方体拼成一个长方体.这个长方体的表面积是350平方厘米·每个正方体的表面积是多少平方厘米？
例2 把一个长.宽.高分别是7厘米.6厘米.5厘米的长方体截成两个长方体.使这两个长方体表面积之和最大.这时表面积之和是多少平方厘米？
【思路点拨】把长方体截成两个长方体后.两个长方体表面积之和等于原长方体表面积再加上两个截面的面积·这个长方体几个面中.上.下面的面积最大.所以要看哪个面的面积最大.于是本题就按平行于上.下面的方式去截.才使表面积之和最大·
.如图：
每一种截法都会产生不同的面.所以判断怎么样截是解决问题的关键·
同步精练
1.把一个长10厘米.宽8厘米.高6厘米的长方体木料截成两个完全一样的长
方体.怎样截才能使截成之后.得到两个长方体的表面积之和最大？最大是多少？
4
8 10
4 4
2.把两个长3厘米.宽2厘米.高1厘米的长方体拼成一个表面积最大的长方体.这个长方体的表面积是多少平方厘米？
3．把两个长6厘米.宽4厘米.高3厘米的长方体拼成一个大长方体.这个大长方体的表面积的最大值与最小值相差多少？
例3 求出下面立体图形的表面积·（单位：厘米）
【思路点拨】 从图上看出.这个图形是由一个长方体和一个正方体组成的.求它的表面积时.可以把正方体的右侧面平移到长方体上.这个立体图形的表面积就可以用一个完整的长方体表面积加上一个正方体的上.下.前.后四个面的面积·
同步精练
1. 在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体（如图）.求这个立体图形的表面积·
2.求下列组合图形的表面积·（三个正方体的棱长从上往下 依次是1厘米.2厘米.4厘米）
3. 18个棱长为2厘米的小正方体堆成如下图的形状.求它的表面积·
例4 如图.从右面这个图形的顶点处挖去一个小正方体.那么所得物体的表面积现在是多少平方厘米？（每个小正方体的棱长为1厘
米）
【思路点拨】
从顶点处挖掉一个小正方体后.原来的小正方体露在外
面的3个面就少了.但这时又有3个同样大小的面露了出来.
所以表面积是没有大小变化的·
同步精练
1.如上图.如果从小正方体的上面的中间挖去一个小正方体.那么此时正方
体的表面积是多少了呢？
2.如下图.在一个棱长为6厘米的大正方体的6个面上分别挖去一个小正
方体.现在剩下图形的表面积是多少？
2.从一个长方体的上面往下挖通.求现在物体的表面积是多少·
（原长方体的长.宽.高分别是10厘米.8厘米.12厘米.挖去的图形为长.宽都是4厘米的小长方体·）
练习卷
1.长方体的底面积是12平方厘米.宽2厘米.高和宽相等.表面积是（）平方厘米.底面周长是（）厘米·
2.一个正方体的底面积是25平方分米.它的表面积是（）平方分米·
3.一个长方体的长.宽.高分别是a米.b米.h米.如果高增加4米后.新的长方体表面积比原来增加了（）平方米·
4.把一根长2.4米.宽0.8米.高0.4米的木料锯成大小相等的2段.它的表面积最少增加多少平方米？
5.将两本长25厘米.宽20厘米.厚5厘米的书包成一包.怎样才能节约包装纸？请画图表示.并求出需要多少包装纸？
6.求下面立体图形的表面积·（单位：厘米）
7.把一个棱长为3厘米的正方体外面全部涂上红色.再把它切成棱长为1厘米的小正方体.共切成多少块？在这些小正方体中： ①三面涂红的有多少块？ ②两面涂红的有多少块？ ③一涂红的有多少块？ ④任何一面都没有涂红的有多少块？
第三讲 分数除法应用题
例题讲学
例1 加工一批零件.第一天加工210个.第二天加工240个.这两天共加工了这批零件的·这批零件共有多少个？
【思路点拨】
根据题意.210+240=450
（个）.450
求单位“1”时.用除法.可以用“具体的量÷它所对应的分率”· 同步精练
1.超市运进水果.第一批运进320千克.第二批运进400千克.这两批运进
的水果重量占超市现在所有水果的.超市现在一共有水果多少千克？32
2.一条铁路.修完900千米后.剩余部分比全长的少300千米.这条铁路全
长多少千米？43
3.修路队修一条路.第一天修了全长的.第二天修了1000米·这时已修的米数占全长的·这条路全长多少千米？
3cm 3cm
3cm
？页 例2 李添三天看完一本书.第一天看了这本书的.第二天看了24页.还剩下全书的未看·这本书共有多少页？
【思路点拨】 根据题意画线段图.帮助理解题意.分析数量关系·
这道题中有一个具体数量“第二天看了24页”.所以这是解决问题的突破
口.要找出24页所对应的分率.即总页数-第一天看的-剩下的=1--=.用24除以
它所对应的分率.即可求出全书页数·
从具体数量出发.找出具体数量的对应分率.是解决问题的关键之所在·
同步精练
1.电脑公司要修一批电脑.已经修了这批电脑的.再修24台就正好修了这批电脑的一半·这批电脑有多少台？
2.一筐萝卜卖掉以后.又卖出6千克.这时卖出的正好是剩下的·这筐萝卜原有多少千克？
3.筑路队三天修好一条马路.第一天修了全长的.第二天修了全长的.第
一天比第二天少修90米.这条马路全长多少米？4152
例3 一捆电线.第一次用去全长的.第二次用去余下的.这时还剩下108米·这捆电线共长多少米？
【思路点拨】 这道题中已知的具体数量是“还剩下108米.”所以要找出它所对应的分率——还剩下几分之几·
第一次用去全长的.第二次用去余下的.而余下的即是（1-）的=.108米对应的分率是（1--）=.所以用108除以求出这捆电线的总长度·
1”
同步精练
1.工厂进了一批原料.第一个星期用去总数的.第二个星期用去总数的.
这时用去的比剩下的多31吨.这批原料共有多少吨？5294
24页
2.牛师傅计划做一批零件.第一天做了计划的.第二天又做了余下的.这时还剩42个零件没做·牛师傅计划做多少个零件？
3.一批木料.先用去总数的.又用去剩下的.这时用去的比剩下的多10立
方米.这批木料共有多少立方米？7252
例4 有一堆苹果.吃了后又买来324个.这时这堆苹果的个数比原来多了·原来这堆苹果有多少个？
【思路点拨】① 这道题中仅有一个具体数量“又买来324个”所以解决问题的关键即是找准324的对应分率.也就是找出“又买来的324个苹果占几分之几”根据已知条件吃了.还剩下.而买来324个之后.比原来多了.也就是占原来的.所以买来的324个苹果就占（-=）.所以用324除以对应的分率就可以求出单位“1”.即原来的苹果总数了·
【思路点拨】② 吃了后总数少了.而当买来324个苹果之后.却比原来的总数还多了.这说明这324个苹果不但把吃了的补上了.而且还多出来了.所以324个苹果就占（+=）.故而用324÷即可以求出单位“1”了·
同步精练
1.食堂原有一批大米.吃了后.有运进170千克.这时大米的总重量比原来还
多了.原来食堂有大米多少千克？5261
2.玩具店开业当天卖出玩具.第二天又新进150件新玩具.这时玩具总数比原来却少了·玩具店原来有玩具多少件？
练 习 卷
1.某家具店要生产一批沙发.第一周生产了64套.第二周生产了86套.两周共生产了这批沙发总数的·家具厂还要生产多少套沙发？
2.服装厂第一车间有工人150人.第二车间的工人数是第一车间的.两个车
间的人数正好是全厂工人总数的.全厂有工人多少人？5265
3.一根钢筋截去8米后.所剩部分比原长的还多2米·这根钢筋原长多少米？
4.学校植树.第一天完成了计划的.第二天完成了计划的.第三天植树55棵.
结果超过计划的.学校计划植树多少棵？8312541
5.欣欣原有一些糖果.吃了后.妈妈又给她买来14颗.这时的糖果总数是原来的·欣欣原来有糖果多少颗？
第四讲 长方体和正方体（巧算体积）
例题讲学
例1 把一块棱长为6分米的正方体钢坯.熔铸成横截面是9平方分米的长方体钢材·铸成的钢材有多长？
【思路点拨】 把正方体钢坯熔铸成长方体后.虽说形状变了.可体积没有变.正方体钢坯的体积就是长方体钢材的体积·所以先求出正方体的体积.也就是长方体的体积·用体积除以长方体钢材的横截面面积.就可以求出长方体钢材的长度了·
抓住体积不变这个隐藏的量.熔铸前体积等于熔铸后的体积.再根据“体积÷
横截面积=长”这个公式.从而轻松解决问题·
同步精练
1.把一块棱长为0.8米的正方体钢坯.锻造成底面积是0.16平方米的长方体钢材.锻造成的钢材有多高？
2.把一个棱长10厘米的正方体橡皮泥.重新捏成一个高和宽都是2厘米的长方体.这个长方体的长是多少分米？
3.棱长为6分米的正方体容器内有4分米高的水.把这些水全部倒入一个长4分米.宽3分米.高15分米的长方体水箱内.这时水深多少？要注满水箱还需要再倒入多少升水？
例2 一只长15分米.宽12分米的长方体玻璃钢中.有10分米深的水·放入一块棱长为3分米的正方体铁块.铁块全部浸没在水中并且水未溢出.
这时.水面升高了几厘米？
【思路点拨】将物体放入容器中.水面的高度肯定上升.上升的水的体积其实就是物体的体积·本题可以先求出正方体铁块的体积.也就是增加的水的体
积.再用这个体积除以容器的底面积从而求出水面上升的高度了·
要明白一点：当物体完全沉没在水中时.物体的体积=上升的水的体积·
同步精练
1.一个长方体容器.底面积是200平方厘米.高10厘米.里面盛有5厘米深的水·现将一块石头放入水中.水面升高到8厘米处.这块石头的体积是多少立方厘米？
2.一个长60厘米.宽20厘米的盛水容器.把5块体积相等的铁块投入水中
后.容器中的水面刚好上升了4厘米.求每块铁块的体积·
3.在一只长120厘米.宽60厘米.深70厘米的浴缸中放入水.李明进入浴缸
后.水刚好没到李明颈部·已知水上升了20厘米.求出李明颈部以下的体积是多少立方分米？
例3 如图.一个长方体.高截去2cm.表面积就减少了48平方厘米.剩下部
分成为一个正方体.求原长方体的体积·
【思路点拨】当高少了2cm后.首先明白表面积少了哪些面？应该是前后左右四个小面.因为上面虽然也少了.但又多出来一个上面.所以少了4个小面.因为剩下的部分是一个正方体.所以这四个小面是完全相等的.故用48除以4从而得出一个小面的面积.再用一个小面的面积除以2.从而能求出正方体的棱长.也是原长方体的长和宽.接着求出原长方体的高.最后求出体积·
关键是看截去一个小长方体后.表面积是少了哪些面.一般会认为少
其实上面并没有少.只少了4个.而少的这4个面本题是有关系的.因为剩下的为一个正方体.所以先求出一个面积.从而打开解决问题的入口·
同步精练
1.把一个长方体的高截去3厘米后.剩下的部分正好是一个正方体.而表面积却减少了36平方厘米.求原长方体的表面积·
2.从一个长是12厘米.高9厘米的长方体上.平行于底截掉一个4厘米高的小长方体.表面积减少了80平方厘米.求截掉的小长方体的体积是多少立方厘米？
例4 一个长方体.前面和上面的面积之和是209平方厘米.这个长方体的长.宽.高以厘米为单位的数都是质数·这个长方体的体积是多少？
【思路点拨】要求长方体的体积.就要求出长方体的长.宽.高·因为这个长方体的前面和上面的面积之和是209平方厘米.也就是长×宽+长×高=长×（宽+高）=209·根据“长.宽.高以厘米为单位的数都是质数”这个条件可知：209=11×19·而11和19哪个数能写成两个质数的和呢.只有19=2+17.所以长.宽.高就分别是11.2.17.从而能求出长方体的体积了·
解决此类题目的关键是在把面积之和如何分成两个数的积.并且
这两个数中首先必须有一个是质数.再把另一个数分成两个质数的和·
同步精练
1.一个长方体的前面和右面的面积之和是54平方厘米.且长方体的长.宽.高都是整数.求这个长方体的体积是多少？
2.一个长方体的上面和右面的面积之和是36平方厘米.且长方体的长.宽.高都是整数.求这个长方体的体积和表面积分别是多少？
练习卷
1.一个正方体玻璃缸棱长2分米.向容器中倒入5升水.再放入一块不规则的石头.这时量得容器内的水深15厘米·石头的体积是多少立方厘米？
2.一个封闭的长方体容器的高是25厘米.长和宽都是10厘米.容器内装着一些水·如果把该容器长.宽都是10厘米的面做底面放在桌面上.这时水的高度是15厘米·如果把容器长25厘米.宽10厘米的面做底面放在桌子上.这时水的高度是多少厘米？
3.一只底面是正方形的长方体铁箱.如果把它的侧面展开.正好得到一个边长是40厘米的正方形·求这只长方体铁箱的容积是多少升？
4. 一个长方体.如果高截去2厘米.表面积就减少了32平方厘米.剩下的正好是一个正方体·原来长方体的体积是多立方厘米？
第五讲较复杂的分数应用题（寻找不变量）例题讲学
例1 乙队原有的人数是甲队人数的·现在甲队派30人到乙队.则乙队人
数现在是甲队的·原来两队一共有多少人？
【思路点拨】当“现在甲队派30人到乙队”后.甲.乙两队的人数都发生了改变.所以单位“1”不好确定.但有一个未变的量.那就是两队的总人数.因此我们可以把两队的总人数看作单位“1”·从“乙队原有的人数是甲队人数的”可以把乙队人数看作3份.甲队人数看
作7份.总人数为10份.则乙队人数占总人数的=.后来甲队派30到乙队后.乙队占总人数的=.那么乙队多了（-）而正是多了30人所致·求出30人所对应的分率.再求出原来的总人数·
.所以单位“1”不能确定.一定要找
1”.然后再看其中的一个量前后分别是单位
.最后再利用具体数量和分率从而求出单位“1”·同步精练
1.甲.乙两个粮库.甲粮库存粮的吨数是乙粮库的·现在从乙粮库调6吨粮食到甲粮库.则甲粮库存粮的吨数是乙粮库的·原来两个粮库各存粮多少吨？
2.五（3）班在一次聚会中.请假人数是出席人数的.中途又有一人离开.这样请假人数是出席人数的·五（3）班共有多少人？
例2 甲.乙.丙.丁四人向希望工程捐款.结果甲捐了另外三人的一半.乙捐了另外三人的.丙捐了另外三人的.丁捐了91元·甲.乙.丙.丁四人共捐了多少元？
【思路点拨】根据题意可知.单位“1”是另外三人的总和.但另外三人的总和是无论如何也不知道.且是变化的.所以行不通·但甲乙丙丁四人的总和是固定不变的.所以可以把
四人的钱数总和看作单位“1”·“甲捐了另外三人的一半”.可以看作甲捐的钱是1份.另外三人是2份.共3份.甲捐的是四人总数的.同理.乙捐的是四人总数的.丙捐的是四人总数的·那么我们就可以求出剩下的丁捐的钱数占四人总数的几分之几了.再用具体数量91除以
对应分率.从而求出总数·
此类题目的难点就在于虽然单位“1”名字上统一.但却不是固定
1”.然后求出每个量占单位
.最后用对应的具体数量除以对应分率.从而求出单位“1”·同步精练
1.三个小朋友合买一枚价值24元的2008年奥运会纪念章.第一个小朋友付的钱是其他孩子付的钱的一半.第二个孩子付的钱是其他孩子付的钱的·问：第三个孩子付了多少元钱？
2.甲乙丙丁四个数.甲数是其它三个数之和的.乙数是其它三个数之和的.丙数是其它三个数之和的·已知丁数是260.求四个数的和是多少？甲数是多少？
例3 一堆糖果.其中奶糖占.再放入16块水果糖后.奶糖就只占·这一堆糖果原来一共有多少块？
【思路点拨】解答这道题时.应抓住奶糖不变这个条件·因为在总数发生了变化.水果糖也发生了变化的时候.奶糖却是不变的.所以把变化的量——水果糖.求出变化前后分别是奶糖的几分之几.再看变化前后的具体数量.然后求出单位“1”——奶糖.最后再求出总数来·
具体解法：变化前.奶糖占总数的.水果糖就占（1-）=.水果糖占奶糖的（÷）=；加入16块水果糖后.奶糖占总数的.水果糖就占（1-）=.水果糖占奶糖的÷=3.水果糖变化前后共增加了（3-）=.正是由于增加16块所致.所以用16÷=9块……奶糖——单位“1”.那么原来的水果糖就有9×=11块.总数为
9+11=20（块）·
同步精练
1.袋里有若干个球.其中红球占.后来又往袋里放了6个红球.这时红球占总数的·原来袋里共有多少个球？
2.某科技发明兴趣小组中女生占.后来又转来了15名女生.这样女生占总人数的·这个兴趣小组的男生有多少人？
练 习 卷
1.某公司男职工比全公司总人数的多60人.女职工人数是男职工的.这个公
司共有多少人？5331
2.某工厂有三个车间.第一车间的人数是另外两个车间人数的.第三车间的人数是另外两个车间人数的.已知第二车间有30人·另两个车间各有多少人？
3.纺织厂女工占工人总数的.后来又调来30名女工.这时女工人数是男工人数的2倍·问：现在厂里共有多少人？
4.甲.乙两人共有邮票若干张.其中甲占.若乙给甲12张.则乙余下的张数占总数的·两人共有邮票多少张？
5.科技活动小组中.男生人数占.后来又转来4名男生参加.这时.男生人数占小组人数的·求这个科技活动小组女生有多少人？现在共有多少人？
第六讲 百分数（浓度问题）
【知识概述】
把盐溶于水就得到盐水.其中盐叫做溶质.水叫溶剂.盐与水的混合液叫做溶液·我们把盐占盐水的百分比叫做盐水的浓度.通常浓度用百分数表示.又叫做百分比浓度.这一类问题叫做浓度问题·【盐水的浓度也就是含盐率.糖水的浓度也叫做含糖率…】 例题讲学
例1 现有浓度为25%的盐水80克.加入多少克水就能得到浓度为10%的盐水？
【思路点拨】 将浓度为25%的盐水变为浓度为10%的盐水.盐水中的水的重量增加了.但是盐的重量却没有任何变化·可以根据已知条件先求出不变的量——盐的重量.再求出现在盐水的重量.最后再用现在盐水的重量减去原来盐水的重量.就是增加的水的重量·
解：80×25%=20（克）.20÷10%=200（克）.200-80=120（克） 答：加入120克水就能得到浓度为10%的盐水· 同步精练
五年级学奥数晚不晚
五年级学奥数晚不晚？（关于一些问题的解答） 关于奥数的学习，家长们存在着很多疑问，我们现在把我们的一些看法整理了一下，给大家作为参考。 以下内容仅供参考： 1、我的孩子要不要学奥数？ 奥数属于一种学有余力之外教育，很多小学奥数题目即使大学生都不会做。我们认为并不是所有的孩子都适合学习系统的奥数，不过几乎所有的孩子都可接触一点奥数元素的问题，作为兴趣的激发。所以家长一定要量力而行。当然，我们在教学过程中也发现，有相当多的孩子在建立兴趣后学习很好，各科进步都很快。说明一旦入门后，奥数对其他功课的提高还是有帮助的。 现在有的家长为了自己的孩子考上重点中学强迫他学奥数，这样不好。如果你的孩子对此毫无兴趣，学习负担很重，可能会适得其反。还不如先从培养孩子初步的思考的习惯和兴趣入手。如果他对奥数本身感兴趣，报个好的辅导班，就能起到事半功倍的效果。 2、什么时候开始学奥数最合适？ 一般来说，三年级开始学习奥数是最合适的。因为这个时候，孩子正进入一个思维方式改造期，这个时候开始训练他们的思维方式，解题思路，效果是最好的。部分智力开发较早的孩子可以从二年级开始学习。 但是三年级的孩子比较闹，不适合大班教学，课程也不难，部分内容家长自己辅导效果是最好的。如果家长实在比较忙，可以请家教或者报奥数小班。 3、用什么样的奥数教材最好？ 总的来说，我们推荐以下的几个梯队的教材。对于初学奥数的孩子，特别是低年级的孩子，我们推荐南京大学出版社的《举一反三》，这套教材可以让孩子自己看看，家长再辅导，激发学习兴趣；三年级之后，对于初学者我们推荐重庆出版社的《名师培优经典》，内容详细，难度适中。程度好一些的孩子，我们推荐的是单墫主编的一套教材，叫做《奥数教程》，这也是奥数中最为经典的教材。这套教材难度中等偏上，教学知识体系和华杯赛最为接近。但是对于程度更好的，我们是推荐华罗庚学校的教材（本站有专门介绍），但是视情况而变化。我们给孩子们上课，
小学数学奥数基础教程(五年级)--29
小学数学奥数基础教程(五年级) 本教程共30讲 抽屉原理(一) 我们在四年级已经学过抽屉原理，并能够解答一些简单的抽屉原理问题。这两讲先复习一下抽屉原理的概念，然后结合一些较复杂的抽屉原理问题，讨论如何构造抽屉。 抽屉原理1将多于n件物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件。 抽屉原理2将多于m×n件物品任意放到到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品不少于（m+1）件。 理解抽屉原理要注意几点：(1)抽屉原理是讨论物品与抽屉的关系，要求物品数比抽屉数或抽屉数的倍数多，至于多多少，这倒无妨。 （2）“任意放”的意思是不限制把物品放进抽屉里的方法，不规定每个抽屉中都要放物品，即有些抽屉可以是空的，也不限制每个抽屉放物品的个数。 （3）抽屉原理只能用来解决存在性问题，“至少有一个”的意思就是存在，满足要求的抽屉可能有多个，但这里只需保证存在一个达到要求的抽屉就够了。 （4）将a件物品放入n个抽屉中，如果a÷n= m……b，其中b是自然数，那么由抽屉原理2就可得到，至少有一个抽屉中的物品数不少于（m+1）件。 例1 五年级有47名学生参加一次数学竞赛，成绩都是整数，满分是100分。已知3名学生的成绩在60分以下，其余学生的成绩均在75～95分之间。问：至少有几名学生的成绩相同？ 分析与解：关键是构造合适的抽屉。既然是问“至少有几名学生的成绩相同”，说明应以成绩为抽屉，学生为物品。除3名成绩在60分以下的学生外，其余成绩均在75～95分之间，75～95共有21个不同分数，将这21个分数作为21个抽屉，把47-3=44（个）学生作为物品。 44÷21= 2……2， 根据抽屉原理2，至少有1个抽屉至少有3件物品，即这47名学生中至少有3名学生的成绩是相同的。
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目录 第一讲奇妙的幻方 (3) 练习卷 (9) 第二讲可能性的大小（游戏与对策） (10) 练习卷 (12) 第三讲图形的面积（一） (13) 第四讲认识分数 (17) 练习卷 (21) 第五讲行程中的相遇（相遇问题） (22) 练习卷 (26) 第六讲公因数与公倍数 (27) 综合演练 (31) 第一讲幻方（第一课时） 【知识概述】 在一个n×n的正方形方格中，填入一些连续的数字，使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等，这样的正方形方格叫做幻方。幻方一般分为奇数幻方和偶数幻方。（n是几就表示为几阶幻
方）。本讲，我们将来学习这方面的知识。 例题讲学 例1在一个3×3的表格内，填入1-9九个数，（不能重复，不能遗漏），使得3个横列、3个竖列和2个斜列所加之和都相等。可以怎样填？【和为15】 【思路分析】 这样的3×3幻方，在填写时有一定的规律和口诀： 二、四为肩，六、八为足， 左七右三，戴九履一，五为中央。【注：戴指头，履指脚。】 试试填一填吧！ 幻方（第二课时） 知识概述： 上一讲中，我们讲述了如何填写3×3的幻方，其实在幻方的知识世界里，像3×3、5×5、7×7……像这样幻方，称之为奇数
幻方，这一讲我们将来学习如何填写五阶幻方。 例题：在一个5×5的方格中，填入1-25这25个数字，使5个横列、5个竖列、2个斜列所加之和都相等。先试试看！ 看样子，要想顺利填写好这么多的表格，还真的不容易，没有口诀真的不行，下面这个口诀要记牢： 一居首行正中央，依次斜向右上方，右出框时左边写，上出框时下边放，双出占位写下方。29 你能按顺序继续写下去吗？试试看吧！ 幻方（第三课时） 根据上讲中的方法，把口诀运用到所有的奇数幻方中，可以继续填写七阶幻方、九阶幻方、十一阶幻方……，本讲，我们继续试着填写七阶幻方和九阶幻方。 【思路点拨】 再来重温一下口诀吧！
五年级下册奥数教程
五年级下册奥数教程文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
目录 第一讲分数乘法（乘法中的简算） (2) 练习卷 (5) 第二讲长方体和正方体（巧算表面积） (6) 练习卷 (10) 第三讲分数除法应用题…………………………………………… 11 练习卷………………………………………………………. 15 第四讲长方体和正方体（巧算体积）……………………………… 16
练习卷……………………………………………………… 20 第五讲 较复杂的分数应用题（寻找不变量） (21) 练习卷…………………………………………………….. 24 第六讲 百分数（浓度问题） (25) 练习卷…………………………………………………….… 28 综合演习（1） (29) 综合演习（2） (31) 第一讲 分数乘法 例题讲学 例1 （1） 15 14×19 （2） 27×2611
【思路点拨】 观察这两道题中数的特点，第（1）题中的1514比1少151，可以把15 14看作1-15 1，然后和19相乘，利用乘法分配律使计算简便；同样，第（2）题中27与 2611中的分母26相差1，可以把27看作（26+1），然后和2611 相乘，再运用乘法分配律使计 算简便。 1 有关的两数之差或和；或者把一个数拆分成与分数分母相关的和或差，最后用乘法分配律使计算简便。 同步精练 1. 36 13×35 2. 2322 ×10 3. 8×15 14 4. 253 ×126 5. 17×1211 6. 262524 ? 例2 1 200019991998 20001999-??+ 【思路点拨】 仔细观察分子、分母中各数的特点，我们就会发现，分子1999+2000×1998=1999+2000×（1999-1）=1999+2000×1999-2000=2000×1999-1，这样就把分子转化成与分母完全相同的式子，结果自然就好计算了，试试吧！ 的特点一般都能化成分子、分母能约分的情况，然后使计算简便。 同步精练 1. 186548362361 548362-??+ 2. 1 20112010200920112010-??+ 例3 6 51 541431321211?+?+?+?+?
五年级下册奥数教程
五年级下册奥数教程 第一讲分数乘法（乘法中的简算） (2) 练习卷 (5) 第二讲长方体和正方体（巧算表面积） (6) 练习卷 (10) 第三讲分数除法应用题 (11) 练习卷 (15) 第四讲长方体和正方体（巧算体积） (16) 练习卷 (20) 第五讲较复杂的分数应用题（寻找不变量） (21) 练习卷 (24) 第六讲百分数（浓度问题） (25)
练习卷 (28) 综合演习（1）.................................................................. 29 综合演习（2） (31) 第一讲 分数乘法 例题讲学 例1 （1）×19 （2） 27×15142611 【思路点拨】 观察这两道题中数的特点.第（1）题中的比1少.可以把看作1-.然后和19 相乘.利用乘法分配律使计算简便；同样.第（2）题中27与中的分母26相差1.可以把27看作（26+1）.然后和相乘.再运用乘法分配律使计算简便· .或拆成与1有关的两数之差或和；或者把一.最后用乘法分配律使计算简便· 同步精练 1. ×35 2. ×1036132322 3. 8× 4. ×1261514253
5. 17× 6. 1211262524 ? 例2 1200019991998 20001999-??+ 【思路点拨】 仔细观察分子.分母中各数的特点.我们就会发现.分子1999+2000×1998=1999+2000×（1999-1）=1999+2000×1999-2000=2000×1999-1.这样就把分子转化成与分母完全相同的式子.结果自然就好计算了.试试吧！ .不要慌张.要仔细观察数的特点.根据数的特点.分母能约分的情况.然后使计算简便· 同步精练 1. 186548362361548362-??+
五年级奥数教材
- 1 - 第1讲 数 阵 一、精讲精练 【例题1】 把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a 使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。 练习1： 1.把1——10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。 2.把1——9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。 3.将1——7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。 【例题2】 将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。 练习2： 1.把1——8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内数的和相等。 2.把1——10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。 3.将1——8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。 【例题3】 将1——6这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。 练习3： 1.将1——6六个数分别填入下图的圆圈内，使每边上的三个数的和相等。
- 2 - 2.将1——9九个数分别填入下图圆圈内，使每边上四个数的和都是17。 3.将1——8八个数分别填入下图的圆圈内，使每条安上三个数的和相等。 【例题4】 将1——7分别填入下图的7个圆圈内，使每条线段上三个数的和相等。 练习4： 1.将1——9填入下图的○中，使横、竖行五个数相加的和都等于25。 2.将1——11这十一个数分别填进下图的○里，使每条线上3个○内的数的和相等。 3.将1——8这八个数分别填入下图○内，使外圆四个数的和，内圆四个数的和以及横行、竖行上四个数的和都等于18。 【例题5】 如下图(a)四个小三角形的顶点处有六个圆圈。如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上的数的和相等。问这六个质数的积是多少？ 练习5： 1.将九个不同的自然数填入下面方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的积都相等。 2.将1——9九个自然数分别填入下图的九个小三角形中，使靠近大三角形每条边上五个数的和相等，并且尽可能大。这五个数之和最大是多少？ 3.将1——9九个数分别填入下图○内，使外三角形边上○内数之和等于里面三角形边上○内数之和。
小学奥数教程-数阵图2 (含答案)
1. 了解数阵图的种类 2. 学会一些解决数阵图的解题方法 3. 能够解决和数论相关的数阵图问题 . 一、数阵图定义及分类： 1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图. 2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵 图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3. 二、解题方法： 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用． 复合型数阵图 【例 1】 由数字1、2、3组成的不同的两位数共有9个，老师将这9个数写在一个九宫格上，让同学选数， 每个同学可以从中选5个数来求和．小刚选的5个数的和是120，小明选的5个数的和是111．如果两人选的数中只有一个是相同的，那么这个数是_____________． 31 32 33 212223131211 【考点】复合型数阵图 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，中年级，决赛，3题 【分析】 这9个数的和：111213212223313233++++++++ 10203031233198=++?+++?=（）（） 由小刚和小明选的数中只有一个是相同的，可知他们正好把这9个数全部都取到了，且有一个数取了两遍．所以他们取的数的总和比这9个数的和多出来的部分就是所求的数．那么，这个数是12011119833+-=． 【答案】33 【例 2】 如图1，圆圈内分别填有1，2，……，7这7个数。如果6个三角形的顶点处圆圈内的数字的和是 64，那么，中间圆圈内填入的数是 。 例题精讲 知识点拨 教学目标 5-1-3-2.数阵图
五年级奥数教程 第四讲 尾数和余数
第四讲尾数和余数 专题简析： 自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。 例题1 写出除213后余3的全部两位数。 分析因为213=210＋3，把210分解质因数：210=2×3×5×7，所以，符合题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21，5×7=35，2×3×5=30，2×3×7=42，一共有7个两位数。 练习一 1，写出除109后余4的全部两位数。 2，178除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有哪些？ 3，写出除1290后余3的全部三位数。 例题2 （1）125×125×125×……×125[100个125]积的尾数是几？ （2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？ 分析（1）因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位还是5； （2）每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6相乘，积的尾数是几就行了。因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个（21×26）连乘，积的个位还是6。 练习二 1，21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？ 2，1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？
3，（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？ 例题3 （1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？ （2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？ 分析（1）我们先列举前几个4的积，看看个位数在怎样变化，1个4个位就是4；4×4的个位是6；4×4×4的个位是4；4×4×4×4的个位是6……由此可见，积的尾数以“4，6”两个数字在不断重复出现。50÷2=25没有余数，说明50个4相乘，积的个位是6。 （2）用上面的方法可以发现，51个9相乘时，积的个位是以“9，1”两个数字不断重复，51÷2=25……1，余数是1，说明51个9本乘积的个位是9。 练习三 1，24×24×24×…×24[2001个24]，积的尾数是多少？ 2，1×2×3×…×98×99，积的尾数是多少？ 3，94×94×94×…×94[102个94]－49×49×…×49[101个49]，差的个位是多少？ 例题4 把1/7化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？ 分析因为1/7≈0.142857142857……，化成的小数是一个无限循环小数，循环节“142857”共有6个数字。由于100÷6=16……4，所以，小数点后面的第100位是第17个循环节的第4个数字，是8。 练习四 1，把1/11化成小数，求小数点后面第2001位上的数字。 2，5/7写成循环小数后，小数点后第50个数字是几？ 3，有一串数：5、8、13、21、34、55、89……，其中，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。在这串数中，第1000个数被3除后所得的余数是多少？
最新五年级下册奥数教程
前言 在琳琅满目的教辅类图书前—— 孩子的心声：奥数真难，大人们为什么总要我们学习奥数呢？ 家长的心声：太难的奥数，让孩子越来越没自信学习数学了。 教师的心声：现行的奥数比课本难多了，若有一套配合课本进度，并能提高学生抽象思维能力的奥数书，将能真正作为课堂教学的延伸。 针对以上种种心声，将此作为课题来研究，在多所名校和社会信誉度较高的办学单位试行的基础生，推出了这套《同步奥数培优》，内容力求体现：配套现行教材以新课标北师大版内容为知识体系，做到在已有知识基础上的拓展，重视知识的螺旋上升，在和教材同步的同时，培养学生的抽象思维能力。【适当加入一些同学们感兴趣的内容】。 注重素质提高学好数学的前提是要有兴趣，这是编写此套丛书的出发点。为了更全面综合地提高学生的数学素质，此书适合大多数学生的学习与使用。 强化思维训练数学的学习是思维的学习。此套丛书在章节安排上，重视对学生系统思维的训练，能结合学生学习的特点，相对形成知识编排上的系统性。即能以知识为章，以知识点为节，由浅入深，层层深入，使学生的认知相对完整。 本书将本着自学能会，教师能辅导、家长能参考的宗旨，全心全意为莘莘学子、为酷爱奥数的同学们而编，望你们用心学习，对以后的学习有所帮助，由于编写时间仓促，书中难免有些不妥之处，敬请广大同学们在使用过程中批评指正，以使本书更加完善。《五年级奥数》编写组
目录 第一讲分数乘法（乘法中的简算） (2) 练习卷 (5) 第二讲长方体和正方体（巧算表面积） (6) 练习卷 (10) 第三讲分数除法应用题 (11) 练习卷 (15) 第四讲长方体和正方体（巧算体积） (16) 练习卷 (20) 第五讲较复杂的分数应用题（寻找不变量） (21) 练习卷 (24) 第六讲百分数（浓度问题） (25) 练习卷 (28) 综合演习（1） (29)
五年级上数学奥数教程【小数乘法】
第1讲 小数的巧算 小数“巧”算的基本途径还是灵活应用小数四则运算的法则、运算定律，使题目中的数尽可能快地化为整数.在某种意义上讲，“化整”是小数运算技巧的灵魂 。 当然，根据小数的特点，在乘除运算中灵活运用小数点的移位：两数相乘，两数中的小数点反向移动相同的位数，其积不变（如×=8×；两数相除，两数中的小数点同向移动相同的位数，其商不变（如÷=16÷4)。这也是常见的简化运算的方法。 另外，某些特殊小数相乘化整，应熟记于心。如上面的8×=1；×2= 1； ×4=1；×4=3；×16=10等等。同学们在平时做题时留心积累这些“窍门”会大大提高自己的运算能力。 2018××90+20180× 分析：利用小数乘积移动法则【提取公因数】，可将2018、、20180这三个数变成相同的数。×90=2018×9；20180×=2018。则 : 原式=2018××10×9+2018×10× =2018×18-2018×9+2018 =2018×(18-9+1) =2018×10 =20180 ） ×63+×126+196×9 分析：观察原式发现126=2×63；196=28×7,而7×9=63,这样就有公因数63可以提取，从而使计算简化；则 原式=×63+×2×63+28×7×9 =63×++28) $ =63×32 注：运算顺序 ① 先算括号 ② 加减混合时，从左到右的运算顺序
=2016. 随 堂 练 习1 (1)计算：×+125×+1250×; (2)计算：×98+. ！ ÷ 分析除数是,可以运用商不变的规律把题目中的被除数和除数同解时乘4,将原式转化成除数是1的除法.则 原式=×4)÷×4) =÷1 % =. +++++··· 用凑整的方法，将每一个加数都转化为一个整数与的差.则 原式=（）+（）+（）+（）+···+（.2） =.2×10 @ = = 随 堂 练 习2 ①看到，想到×4=1 ②根据除法的性质同时扩大4倍
小学奥数教程之容斥原理
学习奥数的优点 1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。 2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。要使经过奥数训练的学生，思维更捷，考虑问题比别人更深层次。 3、锻炼学生优良的意志品质。可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心， 以及战胜难题的勇气。可以养成坚韧不拔的毅力 4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。 第三十五周容斥原理 专题简析： 容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理，也叫容斥 原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从它 们的和中排除重复部分。 容斥原理：对n个事物，如果采用不同的分类标准，按性质a 分类与性质b分类（如图），那么具有性质a或性质b的事物的个 数=N a＋N b－N ab。
Nab Nb Na
例1：一个班有48人，班主任在班会上问：“谁做完语文作业？请举手！”有37人举手。又问：“谁做完数学作业？请举手！”有42人举手。最后问：“谁语文、数学作业都没有做完？”没有人举手。求这个班语文、数学作业都完成的人数。 分析完成语文作业的有37人，完成数学作业的有42人，一共有37＋42=79人，多于全班人数。这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次，在统计做完数学作业的人数时又算了一次，这样就多算了一次。所以，这个班语文、数作业都完成的有：79－48=31人。 练习一 1，五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。语文、数学都优秀的有多少人？ 2，四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？ 3，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。这个文艺组一共有多少人？
五年级奥数教材举一反三课程40讲全整理
修改整理加入目录，方便查用，五年级奥数举一反三 目录 平均数（一） (2) 练习一 (2) 练习二 (3) 平均数（二） (6) 第3周长方形、正方形的周长 (10) 第4周长方形、正方形的面积 (17) 第5周分类数图形 (22) 第6周尾数和余数 (28) 第７周一般应用题（一） (33) 第８周一般应用题（二） (37) 第９周一般应用题（三） (42) 第10周数阵 (46) 第11周周期问题 (54) 第12周盈亏问题 (59) 第13周长方体和正方体（一） (65) 第十四周长方体和正方体（二） (71) 第十五周长方体和正方体（三） (76) 第１６周倍数问题（一） (81) 第１７周倍数问题（二） (87) 第18周组合图形面积（一） (91) 第十九周组合图形的面积 (98) 第二十周数字趣题 (106) 第二十一讲假设法解题 (111) 第二十二周作图法解题 (116) 第二十三周分解质因数 (122) 第二十四周分解质因数（二） (127) 第25周最大公约数 (131) 第二十六周最小公倍数（一） (136) 第二十七周最小公倍数（二） (141) 第28周行程问题（一） (146) 第二十九周行程问题（二） (152) 第三十周行程问题（三） (157) 第三十一周行程问题（四） (163) 第三十二周算式谜 (169) 第33周包含与排除（容斥原理） (174) 第34周置换问题 (179) 第35周估值问题 (184) 第36周火车行程问题 (190) 第37周简单列举 (194) 第三十八周最大最小问题 (199) 第三十九周推理问题 (205)
五年级奥数分解质因数讲座及练习答案教学文案
五年级奥数集训专题讲座（四）——分解质因数 把一个合数，用质因数相乘的形式表达出来，叫做分解质因数。我们课本上介绍的分解质因数，是为求最大公约数和最小公倍数服务的。其实，把一个数分解成质因数相乘的形式，能启发我们寻找解答许多难题的突破口，从而顺利解题。 例1：把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于18个，一共有多少种不同的分法？ 分析：18的约数有1、2、3、6、9、18。除去1和18，还有4个约数，所以，一共有4种不同的分法。 例2：写出若干个连续的自然数，使它的积是15120。 分析：先把15120分解质因数，进而组合因数，使几个因数成为连续的自然数。 15120=2×2×2×2×3×3×3×5×7 =5×（2×3）×（2×2×2）×（3×3） =5×6×7×8×9 【巩固练习】：有四个孩子，恰好一个比一个大1岁，4人的年龄积是3024，问这4个孩子中最大的几岁？ 解：3024=2×2×2×2×2×3×3×3×7 =8×6×9×7 答：这四个孩子中年龄最大的是9岁。 例3：将2、5、×14、24、27、55、56、99八个数平均分成两组，使这两组数的乘积相等。 分析：14=2×7 24=2×2×2×3 27=3×3×3 55=5×11 56=2×2×2×7 99=3×3×11 2 5 可以看出，这八个数中，共含有八个2，六个3，二个5，二个7和二个11，如果要把这八个数分成两组且积相等，那么，每组数中应含有四个2，三个3，一个5，一个7，一个11。经排列为（5、99、24、14）和（55、27、56、2） 【巩固练习】：把40、44、45、63、65、78、99、105这八个数平均分成两组，使两组四个数的积相等。 解：要将40、44、45、63、65、78、99、105这八个数平均分成两组，使两组四个数的积相等，则必须先使每组数中的质因数相同，且它们的个数相同，将这八个数分解质因数得： 40=2×2×2×5 44=2×2×11 45=3×3×5 63==3×3×7 65=5×13 78==2×3×13 99=3×3×11 105=3×5×7 从上面的分解质因数来看，可知式子右边有6个2,则3个2为一组分成两组.即40在1组,44和78在2组.
小学奥数教程之-分解质因数
1. 能够利用短除法分解 2. 整数唯一分解定理：让学生自己初步领悟“任何一个数字都可以表示为...? ??☆☆☆△△△的结构，而且 表达形式唯一” 一、质因数与分解质因数 （1）.质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. （2）.互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数. （3）.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. 例如：30235=??.其中2、3、5叫做30的质因数.又如21222323=??=?，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. （4）.分解质因数的方法：短除法 例如：212 263 ，（┖是短除法的符号） 所以12223=??； 二、唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n 都可以写成质数的连乘积，即：312123k a a a a k n p p p p =???? 其中为质数，12k a a a <<< 为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n 的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7. 三、部分特殊数的分解 111337=?；100171113=??；1111141271=?；1000173137=?；199535719=???；1998233337=????；200733223=??；2008222251=? ??；10101371337=???. 模块一、分数的拆分 【例 1】 算式“ 1希＋1望＋1杯 ＝1”中，不同的汉字表示不同的自然数，则“希＋望＋杯”＝ 。 【考点】分数的拆分 【难度】1星 【题型】填空 例题精讲 知识点拨 教学目标 5-3-4.分解质因数
小学奥数教程：进制的应用_全国通用(含答案)
1. 了解进制； 2. 会对进制进行相应的转换； 3. 能够运用进制进行解题 一、数的进制 1.十进制： 我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1 的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。 2.二进制： 在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的 计数单位分别是1、21、22、23、……，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=1×25+0×24+0×23+1×22+1×21+0×20。 二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。 注意：对于任意自然数n ,我们有n 0=1。 3.k 进制： 一般地，对于k 进位制，每个数是由0，1，2，，1k -（）共k 个数码组成，且“逢k 进一”．1k k >（） 进位制计数单位是0k ，1k ，2k ，．如二进位制的计数单位是02，12，22，，八进位制的计数单位 是08，18，28，． 4.k 进位制数可以写成不同计数单位的数之和的形式 1110110n n n n k n n a a a a a k a k a k a ---=?+?++?+（） 十进制表示形式：1010101010n n n n N a a a --=+++； 二进制表示形式：1010222n n n n N a a a --=+++； 为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上k ，表示是k 进位制的数 如：8352（），21010（），123145（）,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数． 5.k 进制的四则混合运算和十进制一样 先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。 二、进制间的转换： 一般地，十进制整数化为k 进制数的方法是：除以k 取余数，一直除到被除数小于k 为止，余数由下到上 按从左到右顺序排列即为k 进制数．反过来，k 进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k 进制数按k 的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果． 如右图所示: 知识点拨 教学目标 5-8-2.进制的应用
小学奥数教程：加减法数字谜_全国通用(含答案)
数字谜从形式上可以分为横式数字谜与竖式数字谜，从运算法则上可以分为加减乘除四种形式的数字谜。横式与竖式亦可以互相转换，本讲中将主要介绍数字谜的一般解题技巧。主要涉及小数、分数、循环小数的数字谜问题，因此，会需要利用数论的知识解决数字谜问题 一、数字迷加减法 1.个位数字分析法 2.加减法中的进位与退位 3.奇偶性分析法 二、数字谜问题解题技巧 1.解题的突破口多在于竖式或横式中的特殊之处，例如首位、个位以及位数的差异； 2.要根据不同的情况逐步缩小范围，并进行适当的估算； 3.题目中涉及多个字母或汉字时，要注意用不同符号表示不同数字这一条件来排除若干可能性； 4.注意结合进位及退位来考虑； 模块一、加法数字谜 【例 1】 “华杯赛”是为了纪念和学习我国杰出的数学家华罗庚教授而举办的全国性大型少年数学竞赛．华 罗庚教授生于1910年，现在用“华杯”代表一个两位数．已知1910与“华杯”之和等于2004，那么“华杯”代表的两位数是多少？ 01 9 1杯华 2 4 ＋ 【考点】加法数字谜 【难度】1星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第1题 【解析】 由0+“杯”=4，知“杯”代表4（不进位加法）；再由191+“华”=200，知“华”代表9．因此，“华杯”代 表的两位数是94． 【答案】94 【例 2】 下面的算式里，四个小纸片各盖住了一个数字。被盖住的四个数字的总和是多少? 例题精讲 知识点拨 教学目标 5-1-2-1.加减法数字谜
1 ＋ 4 9 【考点】加法数字谜 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第5题 【解析】 149的个位数是9，说明两个个位数相加没有进位，因此，9是两个个位数的和，14是两个十位数的 和。于是，四个数字的总和是14＋9＝23。 【答案】23 【例 3】 在下边的算式中，被加数的数字和是和数的数字和的三倍。问：被加数至少是多少？ 【考点】加法数字谜 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】第四届，华杯赛，初赛，第2题 【解析】 从“被加数的数字和是和的数字和的三倍”这句话，可以推断出两点：①被加数可以被3整除。②在 做加法运算时，个位数字相加一定进位，否则和的数字和只会增加。从前一点可以得出被加数在12，15，18……中。再从后一点可以得出被加数最小是18，这时数字和1＋8＝9，恰好是和21的数字和2＋1＝3的3倍。因此，满足题目的最小的被加数是18 【答案】18 【例 4】 两个自然数，它们的和加上它们的积恰为34，这两个数中较大数为（ ）． 【考点】加法数字谜 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】走美杯，3年级，初赛 【解析】 （4+6）+4×6=34，这两个数中较大数为6。 【答案】6 【例 5】 下面的算式里，每个方框代表一个数字．问：这6个方框中的数字的总和是多少？ 1 9 9 1 ＋ 【考点】加法数字谜 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第11题 【解析】 方法一：每个方框中的数字只能是0～9，因此任两个方框中数字之和最多是18．现在先看看被加数 与加数中处于“百位”的两个数字之和，这个和不可能小于18，因为不管它们后面的两个二位数是什么，相加后必小于200，也就是说最多只能进1．这样便可以断定，处于“百位”的两个数字之和是18，而且后面两位数相加进1，同样理由，处于“十位”的两个数字之和是18，而且两个“个位”数字相加后进1。因此，处于“个位”的两个数字之和必是11，6个方框中数字之和为18＋18＋11＝47 方法二：被加数不会大于999，所以加数不会小于1991－999＝992。同样，被加数不会小于992也就是说，加数和被加数都是不小于992，不大于999的数这样便确定了加数和被加数的“百位”数字和“十位”数字都是9，而两个个位数字之和必是11。 于是，总和为9×4＋11＝47 【答案】47 【例 6】 在下边的竖式中，相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字，则四位数tavs =______ s t v a v t s t t t v t t + 【考点】加法数字谜 【难度】2星 【题型】填空
小学奥数教程-最值中的数字谜
1. 掌握最值中的数字谜的技巧 2. 能够综合运用数论相关知识解决数字谜问题 数字谜中的最值问题常用分析方法 1. 数字谜一般分为横式数字谜和竖式数字谜．横式数字谜经常和数论里面的知识结合考察，有些时候也可以 转化为竖式数字谜； 2. 竖式数字谜通常有如下突破口：末位和首位、进位和借位、个位数字、位数的差别等． 3. 数字谜的常用分析方法有：个位数字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位错位分析法、 分解质因数法、奇偶分析法等． 4. 除了数字谜问题常用的分析方法外，还会经常采用比较法， 通过比较算式计算过程的各步骤，得到所求的 最值的可能值，再验证能否取到这个最值． 5. 数字谜问题往往综合了数字的整除特征、质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数互化、 方程、估算、找规律等题型。 模块一、横式数字谜 【例 1】 在下面的算式□中填入四个运算符号+、-、?、÷、（每个符号只填一次），则计算结果最大是 _______. 12345□□□□ 【考点】混合计算中的数字谜 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】希望杯，六年级，初赛，第3题，6分 【解析】 为了得到最大结果必须用“×”连接4和5，那么4和5前边一定是“+”，通过尝试得到： 例题精讲 知识点拨 教学目标 5-1-2-5.最值中的数字谜（二）
1 1234520 3 -÷+?=. 【答案】1 20 3 【例2】将+，-，×，÷四个运算符号分别填入下面的四个框中使该式的值最大。11111 23456□□□□ 【考点】混合计算中的数字谜【难度】3星【题型】填空 【关键词】华杯赛，初赛，第9题 【解析】题目给出5个数，乘、除之后成3个数，其中减数应尽量小，由两个数合成（相乘或相除）的加数与另一个分数相加应尽量大，，，，；， ，，；而，，，； 其中最小的是，而，， 所以最大 【答案】最大 【例3】将1、3、5、7、9填入等号左边的5个方框中，2、4、6、8填入等号右边的4个方框中，使等式成立，且等号两边的计算结果都是自然数．这个结果最大为． ÷++=÷+ 【考点】混合计算中的数字谜【难度】3星【题型】填空 【解析】等号左边相当于三个奇数相加，其结果为奇数，而等号右边的计算结果为奇数时，最大为628487 ÷+=，又3157987 ÷++=满足条件(情况不唯一)，所以结果的最大值为87． 【答案】87 【例4】一个电子表用5个两位数(包括首位为0的两位数)表示时间，如15:23:45/06/18表示6月18日15点23分45秒．有一些时刻这个电子表上十个数字都不同，在这些时刻中，表示时间的5个两位数之和最大是． 【考点】【难度】星【题型】填空 【关键词】迎春杯，高年级，决赛，8题 【解析】假设五个两位数的十位数上的数字之和为x，那么个位数上的数字之和为45x-，则五个两位数上的数字之和为1045459 x x x +-=+，所以十位数上的数字之和越大，则五个两位数之和越大．显然，五个两位数的十位数字都不超过5，只能是012345 ，，，，，这五个数字中的五个．如果五个数字是54321 ，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，2只能在“时”的十位上，1只能在“月份”的十位上，此时“日期”的个位、“月份”的个位、“时” 的个位不能同时满足实际情况． 如果五个数字是54320 ，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，2只能在“时”的十位上，此时“日期”的个位、“时”的个位不能同时满足实际情况．如果五个数字是54310 ，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十位，而3只能在“日期”的十位上，则“日期”的个位无法满足情况．如果五个数字是54210 ，，，，，那么54，只能在“分”、“秒”两个两位数的十
五年级下册奥数教程
第一讲分数乘法（乘法中的简算） (2) 练习卷 (5) 第二讲长方体和正方体（巧算表面积） (6) 练习卷............................................ ? (10) 第三讲分数除法应用题 (11) 练习卷.............................................. .15第四讲长方体和正方体（巧算体积） (16) 练习卷 (20) 第五讲较复杂的分数应用题（寻找不变量） (21) 练习卷............................................ ..24 25第六讲百分数（浓度问题） 练习卷............................................ ? (28) 综合演习（1） (29) 综合演习（2） (31) 第一讲分数乘法 例题讲学 (2) 26
(1) x 19 15 【思路点拨】观察这两道题中数的特点，第（1）题中的14比1少丄，可以把上看作1-丄， 15 15 15 15 然后和19相乘，利用乘法分配律使计算简便；同样，第（2）题中27与H中的分母26相差1, 26 可以把27看作（26+1），然后和11相乘，再运用乘法分配律使计算简便。 26 技巧：把哪个数拆分是解决问题的关键，或拆成与1有关的两数之差或和；或者把一个数拆分成与分数分母相关的和或差，最后用乘法分配律使计算简便。 同步精练 1.——-X 35 2.X 10 3623 3.814 X — 4.3 —X 126 1525 1124 “ 5.17X — 6.26 1225 199920001998 例2 1999 2000 1 【思路点拨】仔细观察分子、分母中各数的特点，我们就会发现，分子1999+2000X 1998=1999+2000X （1999-1 ）=1999+2000X 1999-2000=2000X 1999-1，这样就把分子转化成与分母完全相同的式子，结果自然就好计算了，试试吧! -技巧〔解决稍复杂的分数乘法问题时，不要慌张，要仔细观察数的特点，根据数的特点一般 都能化成分子、分母能约分的情况，然后使计算简便 同步精练 1.362548 361 362548 186 2.20102011 2009 2010 2011 1 例3 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 【思路点拨】在这道题中，每个分数的分子都是1,分母是两个连续的自然数的乘积。看下面规律:
五年级奥数基础教程-用等量代换求面积小学
用等量代换求面积 一个量可以用它的等量来代替；被减数和减数都增加（或减少）同一个数，它们的差不变。前者是等量公理，后者是减法的差不变性质。这两个性质在解几何题时有很重要的作用，它能将求一个图形的面积转化为求另一个图形的面积，或将两个图形的面积差转化为另两个图形的面积差，从而使隐蔽的关系明朗化，找到解题思路。 例1两个相同的直角三角形如下图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。 分析与解：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。直角梯形OEFC的上底为10-3=7（厘米），面积为（7+10）×2÷2=17（厘米2）。 所以，阴影部分的面积是17厘米2。 例2在右图中，平行四边形ABCD的边BC长10厘米，直角三角形ECB的直角边EC长8厘米。已知阴影部分的总面积比三角形EFG的面积大10厘米2，求平行四边形ABCD的面积。 分析与解：因为阴影部分比三角形EFG的面积大10平方厘米2，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10厘米2，所以平行四边形ABCD的面积等于 10×8÷2+10=50（厘米2）。 例3在右图中，AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形AFB比三角形EFD的面积大18厘米2。求ED的长。 分析与解：求ED的长，需求出EC的长；求EC的长，需求出直角三角形ECB的面积。因为三角形AFB 比三角形EFD的面积大18厘米2，这两个三角形都加上四边形FDCB后，其差不变，所以梯形ABCD比三角形ECB的面积大18厘米2。也就是说，只要求出梯形ABCD的面积，就能依次求出三角形ECB的面积和EC 的长，从而求出ED的长。 梯形ABCD面积=（8+4）×6÷2=36（厘米2）， 三角形ECB面积=36-18=18（厘米2）， EC=18÷6×2=6（厘米）， ED=6-4=2（厘米）。