条件概率与全概率公式

条件概率是指在已知某一事件发生的情况下，另一事件发生的概率。表示为P(A|B)，读作“B发生下A的概率”。其中，A和B都是事件。

全概率公式是指在多个互斥事件的情况下，求解某事件发生的概率。表示为P(A)=∑P(Bi)P(A|Bi)，其中，A和B1~Bn都是事件，且

B1~Bn互斥（即只能有一个事件发生）且构成全集（即所有事件的并集是样本空间）。意思是将A发生的情况分别在B1到Bn分别发生下计算，再加起来就是A发生的概率。

例如，某次摇色子，摇出的数为1~6之一，设事件A为“得到奇数”，事件B为“得到4点以下的数”。则P(A|B)表示在已知得到4以下的数的情况下，得到奇数的概率。全概率公式中需要先考虑各个条件下得到4以下的数的概率，再乘以相应条件下得到奇数的概率，最后将得到奇数的结果相加，就可以得到最终的结果。

全概率公式、贝叶斯公式推导过程

全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为： P(A|B)=P(AB)/P(B) （2）乘法公式 1.由条件概率公式得： P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A) 上式即为乘法公式； 2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为： P(A|B)=P(AB)/P(B) （2）乘法公式 1.由条件概率公式得： P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A) 上式即为乘法公式； 2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...A n-1) > 0 时，有： P(A1A2...A n-1A n)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(A n|A1A2...A n-1) （3）全概率公式 1. 如果事件组B1，B2，.... 满足 1.B1，B 2....两两互斥，即B i ∩ B j = ?，i≠j ，i,j=1，2，....，且P(B i)>0,i=1,2,....; 2.B1∪B2∪....=Ω ，则称事件组B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分设 B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：上式即为全概率公式（formula of total probability) 2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(B i),P(A|B i) (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...B n,这样事件A就被事

概率论与数理统计公式大全

概率论与数理统计公式大全一、概率论的常用公式： 1.概率的公式：对于事件A，其概率表示为P(A)，满足0≤P(A)≤1。 2.加法公式：对于两个互斥事件A和B，其概率表示为P(A∪B)，满足P(A∪B)=P(A)+P(B)。 3.减法公式：对于事件A和B，其概率表示为P(A∩B)，满足 P(A∩B)=P(A)-P(A∪B)。 4.乘法公式：对于两个独立事件A和B，其概率表示为P(A∩B)，满足P(A∩B)=P(A)某P(B)。 5.条件概率公式：对于事件A和B，其条件概率表示为P(A，B)，满足P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。 6.全概率公式：对于一组互斥事件B1，B2，...，Bn，以及事件A，有P(A)=∑(P(A，Bi)某P(Bi))。 7.贝叶斯公式：对于一组互斥事件B1，B2，...，Bn，以及事件A，有P(Bi，A)=P(A，Bi)某P(Bi)/(∑(P(A，Bj)某P(Bj))。二、数理统计的常用公式： 1.均值公式：对于一组数据某1，某2，...，某n，其均值表示为 μ=∑(某i)/n。 2.方差公式：对于一组数据某1，某2，...，某n，其方差表示为 σ^2=∑((某i-μ)^2)/n。

3.标准差公式：对于一组数据某1，某2，...，某n，其标准差表示为σ=√(σ^2)。 4. 协方差公式：对于两组数据某1，某2，...，某n 和 y1， y2，...，yn，其协方差表示为 Cov(某,y) = ∑((某i - μ某) 某 (yi - μy)) / n。 5. 相关系数公式：对于两组数据某1，某2，...，某n 和 y1， y2，...，yn，其相关系数表示为 r = Cov(某,y) / (σ某某σy)。 6.正态分布的概率计算：对于满足正态分布的一组数据某1，某2，...，某n，可以利用标准正态分布表或计算工具来计算概率P(X≤某)或P(X>某)。 7.置信区间公式：对于一组数据某1，某2，...，某n，其均值μ和置信水平α，可以计算置信区间为某̄±Z(α/2)某(σ/√n)。以上只是概率论和数理统计中的一部分公式，还有很多其他公式可以应用到具体的问题中。在学习和应用这些公式时，需要注意公式的条件和使用的前提，以确保得到正确的结果。此外，理解公式背后的思想和原理也是非常重要的，这样才能更好地利用公式解决实际问题。

全概率公式和贝叶斯公式

全概率公式和贝叶斯公式（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为： P(A|B)=P(AB)/P(B) （2）乘法公式 1.由条件概率公式得： P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A) 上式即为乘法公式； 2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A1A2...An-1) > 0 时，有： P(A1A2...An-1An)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)...P(An|A1A2...An-1) （3）全概率公式 1. 如果事件组B1，B2，.... 满足 1.B1，B 2....两两互斥，即Bi∩ Bj= ?，i≠j ，i,j=1，2，....，且P(Bi)>0,i=1,2,....; 2.B1∪B2∪....=Ω ，则称事件组B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分设B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：上式即为全概率公式（formula of total probability) 2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(Bi),P(A|Bi) (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。思想就是，将事件A分解成几个小事件，通过求小事件的概率，然后相加从而求得事件A的概率，而将事件A进行分割的时候，不是直接对A进行分割，而是先找到样本空间Ω的一个个划分B1,B2,...Bn,这样事件A就被事件AB1,AB2,...ABn分解成了n部分，即A=AB1+AB2+...+ABn, 每一Bi发生都可能导致A发生相应的概率是P(A|Bi)，由加法公式得 P(A)=P(AB1)+P(AB2)+....+P(ABn)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(PBn) 3.实例：某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产，各台机床次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总量的25%，35%，40%，将它们的产品混在一起，求任取一个产品是次品的概率。解：设..... P(A)=25%*5%+4%*35%+2%*40%=0.0345 （4）贝叶斯公式 1.与全概率公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立在条件概率的基础上寻找事件发生的原因（即大事件A已经发生的条件下，分割中的小事件Bi的概率），设B1,B2,...是样本空间Ω的一个划分，则对任一事件A（P(A)>0),有上式即为贝叶斯公式（Bayes formula)，Bi常被视为导致试验结果A发生的”原因“，P(Bi)(i=1,2,...)表示各种原因发生的可能性大小，故称先验概率；P(Bi|A)(i=1,2...)则反映当试验产生了结果A之

(完整版)高中概率八大定理

(完整版)高中概率八大定理高中概率八大定理是概率论中的重要内容，对于理解和应用概率有着重要的指导作用。下面将介绍八大定理的基本概念和要点。 1. 古典概型定理古典概型定理适用于所有等可能事件的情况，即所有可能结果出现的概率相等。根据古典概型定理，事件A发生的概率等于事件A包含的有利结果数与总可能结果数的比值。 2. 几何概型定理几何概型定理适用于图形位置方面的问题，通过用几何方法解决概率问题。根据几何概型定理，事件A发生的概率等于事件A 所占据的面积与整个样本空间面积的比值。 3. 条件概率公式条件概率公式用于计算在已知事件B发生的条件下，事件A 发生的概率。条件概率公式的计算方法是将事件A与事件B同时发生的情况除以事件B发生的概率。

4. 全概率公式全概率公式用于计算一个事件的概率，通过将该事件在不同条件下的发生概率相加得出结果。全概率公式适用于多种情况同时存在且彼此互斥的情况。 5. 贝叶斯公式贝叶斯公式是条件概率公式的推广，在已知事件B发生的条件下，计算事件A发生的概率。贝叶斯公式可以通过全概率公式和条件概率公式的结合计算。 6. 独立事件定理独立事件定理用于计算两个或多个事件同时发生的概率。当事件A和事件B是独立事件时，它们同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。 7. 乘法定理乘法定理是独立事件定理的推广，用于计算多个事件同时发生的概率。根据乘法定理，多个独立事件同时发生的概率等于各个事件发生概率的乘积。

8. 加法定理加法定理用于计算两个或多个事件至少有一个发生的概率。根据加法定理，两个事件至少有一个发生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率，减去事件A和事件B同时发生的概率。以上是高中概率八大定理的基本内容和要点，理解和掌握这些定理对于概率论的研究和应用至关重要。

7.1条件概率与全概率公式- 2020-2021学年人教A版(2019)高中数学选择性必修第三册讲义

1.定义：条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P()三者之间“知二求一”的关系一般地，设A ，B 为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P()=为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率，简称条件概率. 2. 条件概率的定义设A 、B 是两个事件，且P(B)>0,则称 ()(|)()P AB P A B P B 为在事件B 发生的条件下,事件A 的条件概率.若事件B 已发生, 则为使 A 也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A 中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道B 已发生, 故B 变成了新的样本空间 , 于是有了以上公式

3. 条件概率的计算 1) 用定义计算: 2)从加入条件后可用缩减样本空间法 1.定义:由条件概率的定义，对任意两个事件A 与B ,若P(A)>0，则()()() P AB P A P B A =,我们称上式为概率的乘法公式. 2.性质：设P(A)>0，则 , ) () ()|(B P AB P B A P =P (B )>0 一般地条件概率与无条件概率之间的大小无确定关系若，条件概率无条件概率

（1）() 1P A Ω= （2）如果B 与C 是两个互斥事件，则 ( )()()() P B C A P B A P C A ⋃=+ （3）设B 和B 互为对立事件，则() () 1P B A P B A =- 1.全概率公式一般地，设12,, n A A A 是一组两两互斥的事件，12n A A A ⋃⋃ ⋃=Ω，且()0i P A ＞，1,2, ,i n =，则对任意的事件B ⊆Ω,有()()()1 n i i i P B P A P B A ==∑我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一由条件概率的定义：若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB) 定理若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2) 若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (3)

条件概率和全概率公式

条件概率和全概率公式条件概率和全概率公式是统计学中常用的数学工具，可以用来分析概率相关的问题，以及用来解决实际的问题。它们的概念可以追溯到17世纪的概率学家贝尔特，及18世纪初的概率研究者克劳德拉文克。条件概率公式和全概率公式都是随机变量之间必不可少的联系，它们是从概率分布函数相关的概念中发展出来的重要工具，用于计算不同的概率。条件概率是指在某一特定条件下的概率。它可以定义为一个事件A的发生概率，在另一个事件B发生的条件下。举例来说，抛硬币的事件A的条件概率，当知道另一次抛硬币时的结果B后，就可以用以下公式计算：P（A|B）= P（A∩B）/ P（B）。全概率是指一组事件中任一事件发生的概率。当两个或更多个事件独立且完全相互排斥时，全概率可以用另一种简单的公式计算：P （A）= P（A1）+ P（A2）+ P（A3）+…+ P（An）。条件概率和全概率都是基于数学原理的概率分析方法，可以用来解决实际问题。在实际情况中，条件概率和全概率的计算能够帮助我们更好地理解概率的性质，把握概率关联的普遍规律以及分析不同事件之间的联系。比如，可以利用条件概率和全概率来分析自然灾害的可能性，并做出合理的预测：当某一条件满足时，某种自然灾害的发生概率增大；当各个条件都满足时，可以用全概率公式计算出自然灾害发生的整体概率，做出更准确的预测。

另外，条件概率和全概率还可以用于医学领域，比如某一种疾病的发病率，或在某种特定的环境下某些药物的效果，都可以用这两种公式来计算。随着医疗技术的发展，条件概率和全概率在诊断和治疗疾病方面也发挥着重要作用。条件概率和全概率公式，是用来解决各种概率问题的重要工具，它们可以帮助我们更好地分析与概率相关的模式，以及把握不同事件之间的联系。因此，从经济、社会到自然科学各个领域，条件概率和全概率公式的应用都越来越普遍，它们的作用越来越显著。

条件概率与全概率公式教案

条件概率与全概率公式教案本教案将介绍条件概率和全概率公式的概念及其应用。条件概率是指在已知事件B发生的情况下，事件A发生的概率。全概率公式是指在已知一组互不相容的事件的概率和它们与另一事件的条件概率时，计算这个事件概率的公式。 ## 条件概率条件概率的公式为$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$。其中$P(A|B)$表示在事件B发生的情况下，事件A发生的概率；$P(A \cap B)$表示事件A和B同时发生的概率；$P(B)$表示事件B发生的概率。通过条件概率的计算，我们可以更准确地估计事件发生的概率。 ## 全概率公式全概率公式的公式为$P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(A|B_i)P(B_i)$。其中$P(A)$表示事件A发生的概率；$P(A|B_i)$表示在事件$B_i$发生的情况下，事件A发生的概率；$P(B_i)$表示事件$B_i$发生的概率。全概率公式可以帮助我们计算复杂事件的概率。 ## 应用实例

假设有两个工厂A和B，它们分别生产某种产品的比例为60%和40%，其中工厂A的次品率为5%，工厂B的次品率为3%。现在从这两个工厂中随机选取一个产品，发现这个产品是次品，请问这个产品来自工厂A的概率是多少？解：设事件A表示这个产品来自工厂A，事件B表示这个产品是次品。根据全概率公式，$P(B) = P(A)P(B|A) + P(B|\overline{A})P(\overline{A})$，即次品的概率等于来自工厂A且是次品的概率加上来自工厂B且是次品的概率。因此，$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)} = \frac{0.6 \times 0.05}{0.6 \times 0.05 + 0.4 \times 0.03} \approx 0.645$。因此，这个产品来自工厂A的概率约为64.5%。通过本教案的学习，我们可以更加深入地理解条件概率和全概率公式，并能够应用它们解决实际问题。

全概率公式贝叶斯公式推导过程

全概率公式贝叶斯公式推导过程 The document was prepared on January 2, 2021

全概率公式、贝叶斯公式推导过程（1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为： P(A|B)=P(AB)/P(B) （2）乘法公式 1.由条件概率公式得： P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A) 上式即为乘法公式； 2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥ （1）条件概率公式设A,B是两个事件，且P(B)>0,则在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率（conditional probability)为： P(A|B)=P(AB)/P(B) （2）乘法公式 1.由条件概率公式得： P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A) 上式即为乘法公式； 2.乘法公式的推广：对于任何正整数n≥2，当P(A 1A 2 ...A n-1 ) > 0 时，有： P(A 1A 2 ...A n-1 A n )=P(A 1 )P(A 2 |A 1 )P(A 3 |A 1 A 2 )...P(A n |A 1 A 2 ...A n-1 ) （3）全概率公式 1. 如果事件组B 1，B 2 ，.... 满足，B 2....两两互斥，即 B i ∩ B j = ，i≠j ， i,j=1，2，....，且 P(B i )>0,i=1,2,....; ∪B 2∪....=Ω ，则称事件组 B 1 ,B 2 ,...是样本空间Ω的一个划分设B 1,B 2 ,...是样本空间Ω的一个划分，A为任一事件，则：上式即为全概率公式（formula of total probability) 2.全概率公式的意义在于，当直接计算P(A)较为困难,而P(B i ),P(A|B i ) (i=1,2,...)的计算较为简单时，可以利用全概率公式计算P(A)。思想就是，

概率论与数理统计知识框架

第一章: 1.全概率公式：设S 为某一实验的样本空间，A 为该实验的事件，设B1，B2，B3，……，Bn 是S 的一个划分，且P （Bj ）>0，j=1,2,3,……，n 。则 P （A ）=∑P (Bj )P （A ∣Bj ）n j=1 2.条件概率的全概率公式： P （A ）=∑P (Bj ∣C )P （A ∣BjC ）n j=1 3.贝叶斯公式：~~~~~~~~~ 4.事件的独立性与独立试验（相互独立，两两独立，独立试验，重复试验）第二章： 1.离散型随机变量（概率分布律，各种分布，概率分布函数） 0-1分布二项分布泊松分布超几何分布 2.连续型随机变量均匀分布正态分布指数分布其他（г分布，威布尔分布，β分布等） 2.概率分布函数概率密度函数第三章：离散量连续量联合分布函数边际分布函数条件分布随机变量的独立性二元随机变量函数的分布（Z=X+Y 的分布； M=Max （X,Y ），N=Min （X,Y ）的分布）第四章： 1.数学期望公式：全（数学）期望公式 2.方差公式：

方差的性质： 1. 2. 3. 协方差与相关系数：对任意的正整数n≥2，设X1，X2，…，Xn为方差存在的随机变量，则X1+X2+…+Xn的方差也存在，且 D(∑X i n i=1)=∑D(X i) n i=1 +2∑Cov（X i，X j） 1≤i≤j≤n 若随机变量的协方差存在，则（协方差的性质）：1． 2. 3. 4. 5． 6. 相关系数：对于一些特定的分布，不相关与独立是等价的。3．协方差矩阵多元正太随机分布第五章 1.大数定律依概率收敛两个重要不等式几种大数定律

概率论中的条件概率计算技巧

概率论中的条件概率计算技巧概率论是数学中的一个重要分支，研究随机事件的概率性质。在概率论中，条件概率是一个重要的概念，用于描述在已知一些信息的情况下，另一事件发生的概率。本文将探讨概率论中的条件概率计算技巧。一、条件概率的定义和性质条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。设A和B 是两个事件，且P(A)>0，那么在事件A发生的条件下，事件B发生的概率记作 P(B|A)。条件概率的计算公式为： P(B|A) = P(A∩B) / P(A) 其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。条件概率具有以下性质： 1. 非负性：对于任意事件A和B，P(B|A)≥0。 2. 规范性：对于必然事件Ω，P(Ω|A) = 1。 3. 乘法公式：对于任意事件A和B，P(A∩B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)。二、条件概率计算的基本方法在实际问题中，计算条件概率的方法有很多种。下面介绍几种常用的方法。 1. 列举法列举法是一种直观的计算条件概率的方法。通过列举所有可能的情况，并计算出每种情况下的概率，然后根据条件事件的发生情况，计算出条件概率。例如，假设有一个装有5个红球和3个蓝球的袋子，现从袋子中随机取出一个球，已知取出的球是红球，求取出的球是蓝球的概率。

根据列举法，我们可以列举出以下情况： 1) 取出红球，概率为5/8； 2) 取出蓝球，概率为3/8。由于已知取出的球是红球，因此只需考虑取出红球的情况，即概率为5/8。所以，取出的球是蓝球的概率为3/8。 2. 全概率公式全概率公式是一种常用的计算条件概率的方法。它适用于当事件A的发生依赖于多个互斥事件B1、B2、...、Bn时。全概率公式的表达式为： P(A) = P(A|B1)P(B1) + P(A|B2)P(B2) + ... + P(A|Bn)P(Bn) 其中，B1、B2、...、Bn为互斥事件，且它们的并集为样本空间Ω。例如，假设有两个袋子，袋子1中有4个红球和2个蓝球，袋子2中有3个红球和5个蓝球。现在随机选择一个袋子，并从袋子中随机取出一个球，已知取出的球是红球，求这个红球来自袋子1的概率。根据全概率公式，我们可以计算得到： P(红球来自袋子1) = P(红球来自袋子1|取出红球)P(取出红球) + P(红球来自袋子1|取出蓝球)P(取出蓝球) = (4/6)(1/2) + (3/8)(1/2) = 2/3 所以，这个红球来自袋子1的概率为2/3。三、贝叶斯定理

条件概率、全概率

条件概率、全概率 1. 条件概率的定义定义1.5 设A ，B 为两个事件，且P （B ）＞0,则称P （AB ）/P （B ）为事件B 已发生的条件下事件A 发生的条件概率，记为P （A |B ），即 P （A ｜B )= P (AB )/P (B ) 易验证，P （A ｜B )符合概率定义的三条公理，即： 1° 对于任一事件A ，有P (A ｜B )≥0; 2° P (Ω｜B )=1; 3°,)()(11∑∞ =∞==i i i B A P B A P 其中A 1，A 2，…，A n ，…为两两互不相容事件. 这说明条件概率符合定义1.3中概率应满足的三个条件，故对概率已证明的结果都适用于条件概率.例如，对于任意事件A 1，A 2，有 P （A 1∪A 2|B ）=P （A 1|B ）+P （A 2|B ）-P （A 1A 2|B ）又如，对于任意事件A ，有 P （A |B ）=1-P （A |B ）. 例1.12 某电子元件厂有职工180人，男职工有100人，女职工有80人，男女职工中非熟练工人分别有20人与5人.现从该厂中任选一名职工，求：（1）该职工为非熟练工人的概率是多少？（2）若已知被选出的是女职工，她是非熟练工人的概率又是多少？解题（1）的求解我们已很熟悉，设A 表示“任选一名职工为非熟练工人”的事件，则 P （A ）=25/180=5/36 而题（2）的条件有所不同，它增加了一个附加的条件，已知被选出的是女职工，记“选出女职工”为事件B ，则题（2）就是要求出“在已知B 事件发生的条件下A 事件发生的概率”，这就要用到条件概率公式，有 P （A ｜B ) =P (AB )/P (B )/=(5/180)/(80/180)= 1/16 此题也可考虑用缩小样本空间的方法来做，既然已知选出的是女职工，那么男职工就可排除在考虑范围之外，因此“B 已发生条件下的事件A ”就相当于在全部女职工中任选一人，并选出了非熟练工人.从而ΩB 样本点总数不是原样本空间Ω的180人，而是全体女职工人数80人，而上述事件中包含的样本点总数就是女职工中的非熟练工人数5人，因此所求概率为 P （A ｜B ）=5/80=1/16 例1.13 某科动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56,求现年为20岁的动物活到25岁的概率. 解设A 表示“活到20岁以上”的事件，B 表示“活到25岁以上”的事件，则有 P （A ）=0.7,P (B )=0.56且B ⊂A. 得 P （B ｜A ）=P (AB )/P (A ) =P (B )/P (A ) =0.56/0.7=0.8. 例1.14 一盒中装有5只产品，其中有3只正品，2只次品，从中取产品两次，每次取一只，作不放回抽样，求在第一次取到正品条件下，第二次取到的也是正品的概率. 解设A 表示“第一次取到正品”的事件，B 表示“第二次取到正品”的事件由条件得

高考数学专题30条件概率与全概率公式解析版

高考数学专题30条件概率与全概率公式解析版 1.单选题 1.在下雨的条件下吹东风的概率为9/308，既吹东风又下雨的概率为8/3030.求在下雨条件下吹东风的概率。解析：根据条件概率公式，P(吹东风|下雨) = P(吹东风且下雨) / P(下雨) = (8/3030) / (9/308) = 1111/30，所以选C。 2.某酒店商务房间1天有客人入住的概率为4/5，连续2天有客人入住的概率为3/51.在该房间第一天有客人入住的条件下，第二天也有客人入住的概率为多少？解析：设第二天也有客人入住的概率为P，根据条件概率公式，P(第二天有客人入住|第一天有客人入住) = P(第一天和第二天都有客人入住) / P(第一天有客人入住) = (3/51) / (4/5) = 254/5，所以选D。

3.在正方形ABCD内切圆I与各边分别切于点E，F，G、H，连接EF，FG，GH，HE。现向正方形ABCD内随机抛掷一枚豆子，记事件A：豆子落在圆I内，事件B：豆子落在四边形EFGH外，则P(B|A)等于多少？解析：圆I的半径为正方形边长的一半，面积为πa^2，正方形EFGH的面积为2a^2.根据条件概率公式，P(B|A) = P(B 且A) / P(A) = (2a^2 - πa^2) / (πa^2) = 1 - 2/π，所以选B。 4.把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于多少？解析：根据条件概率公式，P(B|A) = P(A且B) / P(A) = P(两次出现正面) / P(第一次出现正面) = (1/4) / (1/2) = 1/2，所以选A。 5.已知P(B|A) = 13/25，P(A) = 13/25，P(AB) = 9/25，求 P(B)。

7.1条件概率与全概率公式(学生版) 讲义-2021-2022学年人教A版(2019)高中数学选择性

条件概率与全概率公式一条件概率的理解条件概率：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，则P(B|A)＝P AB P A为在事件A 发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．注意点： A与B相互独立时，可得P(AB)＝P(A)P(B)，则P(B|A)＝P(B)．判断是不是条件概率主要看一个事件的发生是否是在另一个事件发生的条件下进行的二利用定义求条件概率利用定义计算条件概率的步骤 (1)分别计算概率P(AB)和P(A)． (2)将它们相除得到条件概率P(B|A)＝P AB P A，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A， B同时发生．三缩小样本空间求条件概率利用缩小样本空间法求条件概率的方法 (1)缩：将原来样本空间Ω缩小为事件A，原来的事件B缩小为事件AB. (2)数：数出A中事件AB所包含的样本点． (3)算：利用P(B|A)＝n AB n A求得结果．四概率的乘法公式概率的乘法公式：对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)＝P(A)P(B|A)．注意点：

(1)P(AB)表示A ，B 都发生的概率，P(B|A)表示A 先发生，然后B 发生； (2)在P(B|A)中，事件A 成为样本空间，而在P(AB)中，样本空间为所有事件的总和； (3)当P(B|A)＝P(B)时，事件A 与事件B 是相互独立事件．五互斥事件的条件概率条件概率的性质设P(A)>0，则 (1)P(Ω|A)＝1. (2)如果B 和C 是两个互斥事件，则P(B ∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)． (3)设B 和B 互为对立事件，则P(B |A)＝1－P(B|A)．注意点： (1)A 与B 互斥，即A ，B 不同时发生，则P(AB)＝0，故P(B|A)＝0； (2)互斥事件的条件概率公式可以将复杂事件分解为简单事件的概率和．六全概率公式全概率公式：一般地，设A 1，A 2，…，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω，且P(A i )>0，i ＝1,2，…，n ，则对任意的事件B ⊆Ω，有P(B)＝∑i ＝1n P(A i )P(B|A i )．七多个事件的全概率问题 “化整为零”求多事件的全概率问题 (1)如图，P(B)＝∑i ＝13 P(A i )P(B|A i )． (2)已知事件B 的发生有各种可能的情形A i (i ＝1,2，…，n)，事件B 发生的可能性，就是各种

条件概率知识点、例题、练习题

条件概率专题一、知识点 ① 只须将无条件概率()P B 替换为条件概率)(A B P ，即可类比套用概率满足的三条公理及其它性质 ② 在古典概型中 --- ) ()()()()(A B A A P B A P A B P μμ== A B A =事件包括的基本事件（样本点）数事件包括的基本事件（样本点）数 ③ 在几何概型中 --- ) ()()()()(A B A A P B A P A B P μμ== (,,) (,,)A B A =区域的几何度量长度面积体积等区域的几何度量长度面积体积等条件概率及全概率公式 3.1.对任意两个事件A 、B , 是否恒有P (A )≥P (A |B ). 答：不是. 有人以为附加了一个B 已发生的条件, 就必然缩小了样本空间, 也就缩小了概率, 从而就一定有P (A )≥P (A |B ), 这种猜测是错误的. 事实上,可能P (A )≥P (A |B ), 也可能P (A )≤P (A |B ), 下面举例说明. 在0,1,…,9这十个数字中, 任意抽取一个数字,令 A ={抽到一数字是3的倍数}; B 1={抽到一数字是偶数}; B 2={抽到一数字大于8}, 那么 P (A )=3/10, P (A |B 1)=1/5, P (A |B 2)=1. 因此有 P (A )＞ P (A |B 1), P (A )＜P (A |B 2). 3.2.以下两个定义是否是等价的. 定义1. 若事件A 、B 满足P (AB )=P (A )P (B ), 则称A 、B 相互独立. 定义2. 若事件A 、B 满足P (A |B )=P (A )或P (B |A )=P (B ), 则称A 、B 相互独立. 答：不是的.因为条件概率的定义为 P (A |B )=P (AB )/P (B ) 或 P (B |A )=P (AB )/P (A ) 自然要求P (A )≠0, P (B )≠0, 而定义1不存在这个附加条件, 也就是说,P (AB )=P (A )P (B )对于P (A )=0或P (B )=0也是成立的. 事实上, 若P (A )=0由0≤P (AB )≤P (A )=0可知P (AB )=0故 P (AB )=P (A )P (B ). 因此定义1与定义2不等价, 更确切地说由定义2可推出定义1, 但定义1不能推出定义2, 因此一般采用定义1更一般化.

专题17.1 条件概率与全概率公式(精讲精析篇)(解析版)

【解析】首先弄清“这次试验”指的是什么，然后判断该问题是否属于古典概型，最后利用相应公式求解．详解：由古典概型的概率公式可知 (1)P (A )＝2 5 ， P (B )＝2×1＋3×25×4＝820＝25， P (A ∩B )＝2×15×4＝1 10. (2)P (B |A )＝P (A ∩B )P (A ) ＝11025 ＝1 4. 【典例2】现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率．【答案】（1）23；（2）3 5 . 【解析】第(1)、(2)问属古典概型问题，可直接代入公式；第(3)问为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数求解．详解：设第1次抽到舞蹈节目为事件A ，第2次抽到舞蹈节目为事件B ，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件A ∩B . (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n (Ω)＝A 26 ＝30，根据分步计数原理n (A )＝A 14A 15＝20，于是P (A )＝n (A )n (Ω)＝2030＝23. (2)因为n (A ∩B )＝A 24＝12，于是P (A ∩B )＝n (A ∩B )n (Ω) ＝1230＝2 5. (3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为 P (B |A )＝P (A ∩B )P (A ) ＝2 523 ＝3 5. 法二：因为n (A ∩B )＝12，n (A )＝20，所以P (B |A )＝ n (A ∩B )n (A ) ＝1220＝3 5. 【典例3】在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率．【答案】5 9