第九章常微分方程[1].

第九章 常微分方程（1、2）

陈建英 主编

第一节 微分方程的基本概念（1、2）

教学目的：理解微分方程、方程的阶，方程的解、通解、初始条件和特解概念。 教学重点、难点： 微分方程的概念。方程的通解与特解异同。 教学形式：多媒体教室里的讲授法 教学时间：90分钟 教学过程

一、引入新课

初等数学中就有各种各样的方程：线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后求取方程的解。

方程的定义：含有未知数的的等式。它表达了未知量所必须满足的某种条件。根据对未知量所施行的数学运算的不同，我们可以将方程分成许多不同的类型来研究。

20ax bx c ++= （一元二次方程） 214211

x x x x -=++- （分式方程）

= （无理方程）

对未知量x 施行的是代数运算。因此它们是代数方程。而方程

2sin3cos 3sin 20x x x -+-= （三角方程） 1272214x x x x ---++= （指数方程）

2lg(1)2lg(3)ln 20x x +-++=（对数方程）

对未知量x 所施行的是超越函数运算。因此是超越方程。 二、新授课

1。微分方程的定义：

含有未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程，称为微方程

如果未知函数是一元函数，则其满足的微分方程称为常微分方程式；如果未知函数是多元函数，其导数就是偏导数，则其所满足的微分方程式称为偏微分方程。

例如，22;d y

x y x dx

=+=dx 和是常微分方程dy

z

xy x

?=?是偏微分方程. 微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程式的阶。 一阶微分方程的一般形式为 (,,)0F x y y '=

例如：2354()0y x y x '+-=，2(

)20dy dy

x y x dx dx

-+=都是一阶微分方程。 二阶微分方程的一般形式为 (,,,)0F x y y y '''

= 例如：222sin 0d y dy

y

x dx dx

-+=，2223()(2)y k y '''=+都是二阶微分方程。 类似可写出n 阶微分方程的一般形式 ()(,,,,)0n F x y y y y '''=。其中F 是n +2个变

量的函数。这里必须指出，在方程()(,,,,

)0n F x y y y y '''=中，()n y 必须出现，而,,,x y y '

(1),n y y -''等变量可以不出现。例如()()n y f x =也是n 阶微分方程。

例1 课堂练习：P198

2）．指出下列方程中哪些是微分方程，并说明它们的阶数：

122

22

222

2(1) 0; (2) 2;(3) sin 0; (4) 3;

(5) '''3; (6) ;(7) '''(')0. t dy y dx y y x d y

xdy y xdx y e dt y

y y x dy dx x y

xy y -==++=+=+==+-=

2。微分方程的解

能够满足微分方程的函数都称为微分方程的解 求微分方程的解的过程，称为解微分方程

例如，函数3x 16是微分方程22d y

x dx

=的解。

如果微分方程的解中含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相

同，这样的解称为微分方程的通解。通解即为在一定范围内就是方程的所有解的一个共同表达式。

例如 312x C x C ++1y=6是微分方程22d y

x dx

=的通解。

在通解中，利用附加条件确定任意常数的取值，所得的解称为该微分方程的特解，这种

附加条件称为初始条件，例如微分方程22d y x dx

=，初始条件'

(0)1,(0)2y y ==，则满足初

始条件的特解为3

21x x ++1y=

6

。 带有初始条件的微分方程称为微方程的初值问题。

微分方程的通解不一定包含所有的解，不在通解中的解称为奇解。

由于微分方程的解是通过积分而获得的，所以我们也把微分方程的解称为微分方程的积分曲线，把通解称为微分方程的积分曲线族。

微分方程的解根据函数的形式可分为显式解和隐式解。 例2 P194

3）验证下列函数(其中C 为任意常数)是否是相应的微分方程的解，是通解还是特解：

222(1) '2,,; (2) '',sin ,3sin 4cos ; (3) 2,,.

x x xy y y Cx y x y y y x y x x dy y y e y Ce dx

====-==-===

如果微分方程中关于未知函数及其导数()

(),"(),...,()n t x t x t '

x(t),x 是一次有理整

式，则称方程是线性的，称它是n 阶线性微分方程，一般形式为：

(1)'11()()()()()()()()n n n t a t x t a t x t a t x t f t --++???++=(n)x

如果≡f(t)0，则称为n 阶线性齐次方程；否则称为线性非齐次方程，这时称f(t)为线性方程的非齐次项。

如果微分方程不是线性的微分方程，则称为非线性方程。 三、小结

微分方程定义及概念：微分方程的阶，通解，特解， 四、练习

课堂完成P194选择题1

第九章 常微分方程（3、4）

第二节 如何建立微分方程（1）（视情况加成两节课） 第三节 微分方程的求解（2）（视情况加成两节课）

教学目的：学会建立微分方程和掌握可分离变量微分方程的解法。

教学重点、难点：建立微分方程，可分离变量方程的解法，会用常微分方程解决一些简单的

实际问题。

教学形式：多媒体教室里的讲授法 教学时间：90分钟 教学过程

一、引入新课

课堂提问：微分方程的定义，微分方程的阶、通解和特解的概念 二、新授课

1。微分方程的建立

建立微分方程的基本思想是,把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来,从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式.

建立微分方程属于构建数学模型的范畴,建立起实际问题的数学模型一般比较困难,因为这需要对与问题有关的自然规律有一个清晰的了解,同时也需用要有一定的数学知识.微分方程往往可以看作是各种不同物理现象的数学模型.我们在建立微分方程的时候 ,只能考虑影响这个物理现象的一些主要因素,而把其他的一些次要因素忽略掉,如果说的确考虑到了那些最主要的因素,那么我们所得到的微分方程,它的解与所考虑的物理现象比较接近的.

例1 设曲线过点（1，2），且在该曲线上任意点M （,x y ）处的切线斜率为2x ，求此曲线方程。

解：设所求曲线为()y f x =，由导数的几何意义，()y f x =满足关系式

2dy

x dx

=或2dy xdx = 又因曲线经过（1，2），即所求曲线应满足1

2x y

==，对此关系式的两边积分得：

2

2y xdx x C ==+?

（其中C 是任意常数）

2

21,1C C =+= 则所求的曲线方程为 2

1y x =+

例 2 放射性元素轴由于不断有原子放射出微粒子变成其他元素，铀的含量就不断减少，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的衰变束率与当时未衰落变的原子的含量M 成正比。已知t = 0时铀的含量为0M ，求在衰变过程中铀的含量M(t)随时间t 变化的规律。

解： 铀的衰变速率就是铀的含量M(t)对于时间的变化率，即dM

dt

。由于铀的衰变速率与其含量成正比，设比例常数为(0)λλ>，故有

M λ=-dM

dt

其中，等式右边的负号是由于在衰变过程中M(t)是单调减少的，从而有0

dt

的缘故。 根据题意，初值条件为0M =t=0M| 。

例3 连续价格调整模型

假设需求函数a bp =-D Q ，供给函数c dp =+s

Q ，其中,,,0a b c d >。一般地，如果

需求大于供给，则价格上升；如果需求小于供给，则价格下降，于是，价格调整模型为

(),0D s a Q Q a =->dp

dt 即 ()(),0a b d p a a c a ++=->dp

dt

例4 研究悬挂重物的弹簧的振动。假设弹簧的质量与重物的质量相比是很小，以至于可以略去不计，试建立其微分方程。

解： 当质量为m 的重物静止不动时，它所受到的两个力，即重力mg 和弹簧的恢复力，互相平衡。如果把它向下拉（或向上推）一小段距离x ，然后放手。根据常识，知道重物将作上下振荡动若干次，振幅愈来愈小，最后仍归于静止。今取x 轴的正方向铅直向下，取重物静止不动时其重心的位置为x=0。在振动过程中，重物受到三个力的作用：（1）重力mg ，方向向下；（2）弹簧的恢复力mg+cx ，其中c>0是弹簧的刚度，即把它拉长一个单位长度所需用的力。这个力的方向要看mg+cx>0还是mg+cx<0而定。在前一情况，弹簧的长度比没有悬挂重物时要长，因此恢复力方向向上；在后一情况则相反，恢复力向下；（3）空气阻力。根据实验知道空气阻力的大小与重物运动的速度成正比，而方向与运动方向相反。这样，应用牛顿第二定律，得

2()x dx

mg mg cx a dt dt =-+-2d m

即 2x dx

cx a dt dt

=--2d m

其中0a >称为阻尼系数

2。可分离变量的微分方程

（1）可分离变量的微分方程：形如()()f x g y =dy

dx

称为可分离变量的微分方程，其特点是方程的左端可分离为只含x 的函数f(x)与只含y 的函数g(y)的乘积。

（2）可分离变量的微分方程的求解步骤： 第一步 分离变量为 g(y)dy =f(x)dx

第二步 将上式两端积分得： =??

g(y)dy f(x)dx

设G

(y).F(x)分别为g(y)、f(x)的原函数，则得微分方程()()f x g y =?dy

dx

的通解为 ()()G y F x C =+

例1 求解微分方程

x y

=-dy dx 例2 求微分方程

2=dy

xy dx

的通解 例3 求微分方程)0dy xydx +=2(1+x 的通解

sin x 2

x=0dy 例4 求方程

=y 满足初始条件y|=-1的特解dx

在求解微分方程时，一般都会遇到求解不定积分，而有些不定积分虽然是存在的，却不能用初等函数表达所求的结果，通常称为“积不出”，因此，并非所有的微分方程都能求出精确解，我们只能求解一些特殊的微分方程，如可分离变量的微分方程等等，微分方程的应用广泛，数学家提出了许多求微分方程数值（近似解）的方法，在实际应用中发挥了很大作用。 三、小结

建立微分方程；解可分离变量的微分方程。 四、练习

1。3．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：

22

01',|0;

(4) ',| 1.

x x x y x y y y xy

====+== 2。课外作业 P209习题9--3

3．求下列微分方程满足所给初始条件的特解：

22

0(1) 'sin ln ,|

;

(3) ',|0;

x y

x x y x y y y e y e

y π

-=

=====

6．设一曲线过原点，且在点(,)x y 处的切线斜率等于2x y +，求此曲线方程。

第九章 常微分方程（5、6、7、8）（或十节课）

第四节 利用Mathematica 求解微分方程（1、2、3、4）

教学目的：掌握用DSolve[ ]语句求常微分方程的解；

掌握用NDSolve[ ]语句求常微分方程的数值解。

教学重点、难点： 套用语句解微分方程

教学形式：多媒体教室里的讲授法和微机房里学生的动手实践 教学时间：90分钟 教学过程

一、引入新课

建立微分方程和解微分方程，是微分方程的全部。其中建立微分方程是微分方程的精髓，体现的是一种思考方式。而解微分方程的“格式化”则完全可以通过计算机来完成全部的计算。判断一个微分方程是否可解，是微分方程论中的一个主题，不是所有的微分方程都可解，所以用计算机来解决微分方程的解是一种非常有效的事情。 二、新授课

㈠ 利用Mathematica 求解微分方程

Mathematica 5。1能求线性与非线性的常微分方程（组）的准确解。能求解的类型

大致覆盖了人工求解的范围，功能很强，但是计算机不如人灵活（例如在隐函数和隐方程的处理方面），输出的结果与人工计算的结果可能在形式上不同。在没有给定方程的初值条件下，我们所得到的解包括C[1],C[2]是待定系数。求解微分方程就是寻找未知的函数的表达式，在Mathematica 中，未稳中有降函数用y[x]表示，其微分用[],[]y x y x '''等表示。

利用Mathematica 5。1求解微分方程的语句如下： DSolve[微分方程,未知函数,自变量]

求特解的语句如下：

DSolve[{微分方程,初始条件},未知函数,自变量] 求方程组通解的语句

},??????DSolve[{方程1,方程2,},{未知函数1,未知函数2,自变量]

求方程组特解的语句

DSolve[{微分方程,初始条件},{未知函数},自变量]

注意

（1） 未知函数总带有自变量，例如y[x]，不能只键入y ； （2） 方程中的等号，用连续键入两个等号表示；

（3） 导数符号用键盘上的撇号，连续两撇表示二阶导数； （4） 在使用命令时，一般把初始条件作为一个方程来看待；

（5）

输出结果总是尽量用显式解表出，有时反而会使表达式变得复杂。

1．用Dsolve 求解微分方程y[x]

解y[x]仅适合其本身，并不适合于y[x]的其它形式，如[]y x '，y[0]等，也就是

说y[x]不是函数，例如我们如果有如下操作，[]y x ',y[0]并没有发生变化.

2．解的纯函数形式

使用Dsolve命令可以给出解的纯函数形式，即y,请分析下面的例子

这里y适合y的所有情况下面的例子可以说明这一点

在标准数学表达式中，直接引入亚变量表示函数自变量，用此方法可以生成微分方程的解。如果需要的只是解的符号形式，引入这样来变量很方便。然而，如果想在其他的的计算中使用该结果，那么最好使用不带亚变量的纯函数形式的结果。

3．求微分方程组

请分析下面的例子

当然微分方程组也有纯函数形式。

4．带初始条件的微分方程的解

当给定一个微分方程的初始条件可以确定一个待定系数。请看下面的例子

第二个例子由于给出一个初始条件所以只能确定C[1].

5.进一步讨论

对于简单的微分方程的解比较简单，对一些微分方程它的解就复杂的多。特别是对一些微分方程组或高阶微分方程，不一定能得具体的解，其解中可能含有一些特殊函数。并且很多特殊函数的提出就是为了解这些方程的如:

上面三个方程中分别使用了三种类型的函数，可以查看系统帮助了解他们的性质和含义。对于非线性微分方程，仅有一些特殊的情况可用标准数学函数得到解。Dsolve能够处理所有在标准数学手册有解的非线性微分方程。例如：

可以看出第二个方程的解已经非常复杂。

㈡ 微分方程（组）的数值解

如前所述，我们只能准确求解一些特殊的微分方程，但是，我们可以对于给定初值条件或边界条件的常微分方程式（组）求出近似解。

利用Mathematica 求常微分方程近似解的语句如下：

NDSolve[{微分方程,初始条件},未知函数,{自变量,下限,上限}]

注意：

（1）求微分方程近似解的语句与求微分方程特解的语句类似，只是不但要指出自变量，还要指出自变量的变化区间；

（2）初值点0x 可以取在自变量的变化区间上的任何一点处； （3）自变量的变化区间可以试算调整。

例1 求常微分方程 '22x y =+y 满足初始条件y(0)=0的数值解，并且求数值解在x=0.5处的函数值。

解： '[]2[]2,[0]0},[],{,2,2}]x x y x y y x x ∧∧==+==-In[1]:=s=NDSolve[{y

[1]{{[{{2,2}},]}}Out y InterpolatingFunction =→-<>

[1]Out 表明将返回的解放在一个表中，实际的解就是插值函数

[{{2,2}},]InterpolatingFunction -<> 定义解函数 In[2]:=y[x_]=y[x]/.s 给出数值解的积分

→In[3]:=Plot[y[x],{x,-2,2},plotRange {-1.5,1.5}] 给出数值解在x=0.5处的函数值，In[4]:=y[0.5],输出 0.041 791 3 如果不需用要求函数值，只要输入

'∧

∧In[1]:=s=NDSlove[{y[x]==x 2+y[x]2,y[0]==0},y,{x,-2,2}]

→In[2]:=Plot[y[x]/.s,{x,-2,2},PlotRange {-1.5,1.5}]

如果在上例中将求解区间改为[-3,3]，就会出现警告提示，实际得不到[-3,3]上的解。 例2 求微分方程'''

'''30y y ++=y +y 满足初始条件'''(0)1,(0)(0)0y y ===y

的数值解。

'''''''[][][]30,[0]1,[0]0,

x y x y x y y ∧++======In[1]:=s=NDSolve[{y [x]+y

''[0]0},[],{,2,20}]y x x ==-y

[[]/.,{,2,20}]Plot y x s x -

[1]{{[][{{2,20}},]}}Out y x InterpolatingFunction =→-<>

例 例3 求常微分方程式组：

313x y x x y x ?'

=-+?

?

?'=-?

满 满足初始条件(0)0,(0)1x y ==的数值解。

解：[1]:[{[][][]3/3[],[][],In s NDSolve x t y t x t x t y t x t ∧''====-+==-

[0]0,[0]1},{[],[]},{,15,15}]x y x t y t t ====-

[1]{{[][{{15,15}},],Out x t InterpolatingFunctinon =→-<>

[]/[{{15,15}},]}}y t Interpolating Functino →-<>

[2]:[{[],[]}/.,{,15,15},In ParametricPlot x t y t s t =-

]AspectRatio Automatic →

[2]Out Graphics =--

三、小结

可以准确求解的微分方程的Mathematica 解法；微分方程（组）的数值解。 四、练习

熟练利用Mathematica 求常微分方程解的语句。