一阶常微分方程解法归纳
第 一 章 一阶微分方程的解法的小结
⑴、可分离变量的方程： ①、形如
)()(y g x f dx
dy
= 当0)(≠y g 时，得到
dx x f y g dy
)()
(=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、
xy dx
dy
= 解：当0≠y 时，有
xdx y
dy
=，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y +=
所以)(112
12
C x e C C e
C y ±==为非零常数且
0=y 显然是原方程的解；
综上所述，原方程的解为)(12
12
为常数C e
C y x =
②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有
dy y N y Q dx x P x M )
()
()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=）
x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(2
2
=-+-dy x y dx y x
解：当0)1)(1(2
2
≠--y x 时，有
dx x x
dy y y 1
122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C
y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C
y x ；
当0)1)(1(2
2
=--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(2
2
为常数C C
y x =--。
⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如
)(x
y
g dx dy =
解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx
du x =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x x
y
f =。
②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dx
dy
解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=，代入得到)(1u G b
a
dx du b =+为变量可分离方程，
得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。
③、形如
)(2
221
11c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：01、
02
2
11=b a b a ，转化为
)(by ax G dx
dy
+=，下同①； 02、
022
1
1≠b a b a ，???=++=++00
222111
c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ，令???-=-=00y y v x x u 得到，)()(
)(221
12211u v g u
v b a u v
b a f v b u a v b u a f du dv =++=++=，下同②； 还有几类：xy u dy xy xg dx xy yf ==+,0)()(
xy v xy f dx dy x ==),(2
22),(x
y w x y xf dx dy == θθsin ,cos ,0))(,())(,(r y r x ydx xdy y x N ydy xdx y x M ===-++
以上都可以化为变量可分离方程。 例2.1、
2
5
--+-=y x y x dx dy 解：令2--=y x u ，则du dx dy -=，代入得到u
u dx du 7
1+=
-
，有dx udu 7-= 所以)(72
2
为常数C C x u +-=，把u 代入得到)(72
22
为常数）
（C C
x y x =+--。
例2.2、
1
212+-+-=y x y x dx dy
解：由???=+-=+-012012y x y x 得到?????=-=3131y x ，令??
???-
=+=3131y v x u ，有???==du dx dv dy ，代入得到 u
v
u v v u v u du dv 21222--
=
--=，令u v t =，有udt tdu dv +=，代入得到t t du dt u t 212--=+，化简得到，)1(2)1(22221222t t t t d dt t t t u du +-+--=+--=，有)(2
)1ln(ln 2为常数C C t t u ++--=，
所以有)(112
1C e C t
t C u ±=+-=
，，故代入得到)0(,3131313113
1
12
1
≠?????
?
??+-++-
-
=+
C x y x y C x
（3）、一阶线性微分方程： 一般形式：)()()01x h y x a dx
dy
x a =+（ 标准形式：
)()(x Q y x P dx
dy
=+ 解法：1、直接带公式：
))(()()()()()()(?
?+??=??+?=---C dx x Q e e dx x Q e e Ce y dx x P dx x P dx x P dx x P dx x P 2、积分因子法：
])()([)
(1
)(?+=
C dx x Q x x x y μμ，?=dx x P e x )()(μ 3、IVP ：
)()(x Q y x P dx
dy
=+，00)(y x y = ???+?=+?
?=-
-
x x ds
s P ds
s P x x ds
s P ds s P dt e t Q e
y y dt e t Q e
y t
x t
x x
x x
x 0
00
)()(00)()()())((
例3、1)1()1(++=-+n x x e ny dx
dy
x 解：化简方程为：
n x x e y x n dx dy )1(1+=+-，则;)1()(,1
)(n x x e x Q x n x P +=+-= 代入公式得到n dx
x n
dx
x P x e
e x -1)()1()(+=?=?
=+-μ
所以，)()
()1(])1()1([)1()(为常数C C e x C dx x e x x x y x
n
n
x
n
n
++=++++=?
-
(4)、恰当方程：
形如dy y x N dx y x M dG t s y x G dy y x N dx y x M ),(),(..),,(,0),(),(+=?=+ 解法：先判断是否是恰当方程：
如果有
x y x N y y x M ??=??)
,(),(恒成立，那么原方程是个恰当方程，找出一个 ),()
,(),,(),(.),,(y x N y
y x G y X M x y x G t
s y x G =??=??, 有)(,),(为常数C C y x G =；
例4、0)46()63(3
2
2
2
=+++dy y y x dx xy x
解：由题意得到，3
22246),(,63),(y y x y x N xy x y x M +=+= 由
x
N
xy y M ??==??12得到，原方程是一个恰当方程； 下面求一个),()
,(),,(),(.),,(y x N y
y x G y X M x y x G t s y x G =??=?? 由2263),()
,(xy x y X M x
y x G +==??得)(3),(223y y x x y x G ?++=，
两边对y 求偏导得到
32246)(6y y x y y x y
G
+='+=???，得到34)(y y ='?，有4)(y y =?， 故4
2
2
3
3),(y y x x y x G ++=，由0=dG ，得到
)(,34223为常数C C y y x x =++
(5)、积分因子法：
方程是一个恰当方程0..),,(,0),(),(=+?=+Ndy Mdx t s y x dy y x N dx y x M μμμ，那么称),(y x μ是原方程的积分因子；积分因子不唯一。
①当且仅当)(x N
x
N
y M ?=??-
??，原方程有只与x 有关的积分因子，且为?=dx x e y x )(),(?μ，
两边同乘以),(y x μ，化为恰当方程，下同(4)。
②当且仅当)(y M
x
N
y M φ=-??-
??，原方程有只与y 有关的积分因子，且为?=dy y e y x )(),(φμ，
两边同乘以),(y x μ，化为恰当方程，下同(4)。 例5.1、02)3(2
=++xydy dx y e x
解：由xy y x N y e y x M x
2),(,3),(2
=+=得
y y y x
N
y M 426=-=??-??，且有x x N x N
y M 2)(==??-???，有22
),(x e
y x dx
x =?=μ，原方程两边同乘2x ，得到,02)3(322=++ydy x dx y e x x 化为0))22((232=++-y x e x x d x ，得到解为
)(,)22(232为常数C C y x e x x x =++-
例5.2、0)(3
=+-dy y x ydx
解:由题意得到，)(),(,),(3
y x y x N y y x M +-==，有
2)1(1=--=??-??x
N
y M 有y
y M x
N
y M 2)(-==-??-??φ，有22
)(),(--=?=?=y e e y x dy y dy y φμ，原方程两边同乘2-y ，得
到0)2
()(2
2=-=--+y y x d dy y y x y dx ，得到原方程的解为： )(,2
2
为常数C C y y x =- (6)、贝努力方程： 形如
n y x Q y x P dx
dy
)()(=+, 解法：令n
y u -=1，有dy y n du n
--=)1(，代入得到
)()1()()1(x Q n u x P n dx
du
-=-+，下同（3） 例6、
26xy x
y
dx dy -=
解：令1
-=y u ，有dy y du 2
--=，代入得到
x u x dx du =+6，则x x Q x
x P ==)(,6
)(， 有6)()(x e x dx x P =?=μ，)(,8][)(6
266为常数C x C x C xdx x x x u +=
+?=?-，把u 代入得到)(,816
2为常数C x C
x y +=
. (7)、一阶隐式微分方程：
一般形式：0),,(='y y x F ，解不出y '的称为一阶隐式微分方程。 下面介绍四种类型：
),()1(y x f y '= ),()2(y y f x '= 0),()3(='y x F 0),()4(='y y F
①、形如),(dx
dy x f y =， 一般解法：令dx
dy
p =
，代入得到),(p x f y =，两边对x 求导得到dx dp p f x f p ??+??=，这是关于x ，p 的一阶线性微分方程，仿照(3)，
1、得出解为为常数C C x p ),,(?=，那么原方程的通解为
为常数C C x x f y )),,(,(?=
2、得出解为为常数C C p x ),,(φ=，那么原方程的通解为
为常数C p C p f y C p x ,)
),,(()
,(??
?==φφ 3、得出解为为常数C C p x ,0),,(=Φ，那么原方程的通解为
为常数C p x f y C p x ,)
,(0
),,(??
?==Φ ②、形如),(dx
dy y f x = 一般解法：令dx
dy
p =
，代入有),(p y f x =，两边对y 求导，得到dy dp p f y f p ??+??=1，此方
程是一阶微分方程，可以按照以上(1)—(5)求出通解为常数C C p y ,0),,(=Φ，那么原方程
的通解为
为常数C p y f x C p y ,)
,(0
),,(??
?==Φ ③、形如0),(='y x F 一般解法：设)(,)
()
(为参数t t y t x ??
?='=φ?，dt t t dx y dy )()(?φ'='=，两边积分得到
?+'=为常数C C dt t t y ,)()(?φ，于是有原方程的通解为
为常数C t x C
dt t t y ,)()()(?
?
?=+'=???φ ④、形如0),(='y y F 一般解法：设)(,)()
(为参数t t y t y ?
?
?='=φ?，由关系式dx y dy '=得dx t dt t )()(φ?='，有
dt t t dx )
()(φ?'=
，两边积分得到?+'=为常数，C C dt t t x )()
(φ?，于是有 ??
??
?
=+'=?为常数，C t y C dt t t x )()()(?φ? 例7.1 y y x '+='13
解：令y p '=，得到31p p x +=
，两边对y 求导，得到dy
dp
p p p p ))1(31(143+-=，
有dp p p dy )3
2(32--
=，得到为常数C C p
p y ,2322
++=，于是通解为 为常数，C C p p y p p x ???
????
++=+=23
23
21 例7.2 y e y y '
'=2
解：令y p '=，得到
p e p y 2=，两边对x 求导，得到dx
dp
e p p p p
)2(2+=，有
dp e p dx p )2(+=，两边积分得到为常数C C e p x p ,)1(++=，于是通解为
为常数C e p y C
e p x p
p ,)1(2?
??=++= 例7.3 12
2
='+y x
解：设,sin cos ??
?='=t
y t x 有dt t dt t t dx y dy 21
2cos )sin (sin -=
-?='=，所以 为常数C C t
t y ,2
42sin +-=
于是通解为
??
???=+-=为常数C t x C
t t y ,cos 2
42sin 例7.4 1)1(2
2
='-y y
解：设,cos 1sin ??
?
??=='t y t y 有)tan (cos sin 1cos sin 2
2t d t dt dt t t t y dy dx -=-=-='=，所以 为常数C C t x ,tan +-=
于是通解为
??
???=
+-=为常数C t y C t x ,cos 1
tan (8)、里卡蒂方程： 一般形式：
)()()(2x R y x Q y x P dx
dy
++= 一般解法：先找出一个特解)(0x y ，那么令z y y 10+
=，有dx
dz z dx dy dx dy 201-=，代入原方程得到
)()1
)(()1)((102020x R z y x Q z y x P dx dz z dx dy ++++=-， 化简得到 0)())()(2(0=+++x P z x Q y x P dx
dz
，为一阶线性微分方程，解出 为常数C C x x z ),,()(?=
那么原方程的通解为
为常数C C x y y ,)
,(1
0?+
=
例8 0)2(2
2
=-+'xy y x
解：我们可以找到一个特解x
y 10=，验证：2
01
x y -=
'
，代入满足原方程。 令z x y 11+=
，dx dz z x y 2211--='，代入有0)2)11(()11(2222
=-++--z
x x dx dz z x x ，
化简得到，12=+z x dx dz ，所以有为常数C x C x C dx e e
x z dx
x dx
x ,3][1)(22
2+=+??=?
所以原方程的解为
为常数C x C
x x y ,31
12
++=
或 x y 1=
一阶常微分方程的奇解
摘要.................................................... 错误!未定义书签。 1.何谓奇解.............................................. 错误!未定义书签。 2.奇解的产生............................................ 错误!未定义书签。 3.包络跟奇解的关系...................................... 错误!未定义书签。 4.理论上证明C-判别曲线与P-判别曲线方法................. 错误!未定义书签。 克莱罗微分方程 ..................................... 错误!未定义书签。 5.奇解的基本性质........................................ 错误!未定义书签。 定理１ ............................................. 错误!未定义书签。 定理２ ............................................. 错误!未定义书签。 定理３ ............................................. 错误!未定义书签。 6.小结.................................................. 错误!未定义书签。参考文献：.............................................. 错误!未定义书签。
总结一阶常微分方程奇解的求法
总结一阶微分方程奇解的求法 摘要：利用有关奇解的存在定理，总结出求一阶微分方程奇解的几种方法，并通过一些具体的例题说明这几种方法的应用 Using relevant theorems to develop several methods of finding singular solution of ordinary differential equation. In addition, illustrate the application of these methods through the concrete examples. 关键词：常微分方程 奇解 c-判别式 p-判别式 方法一：利用c-判别式求奇解 设一阶微分方程0, ,=?? ? ?? dx dy y x F ① 可求出方程①的通解为()0,,=c y x φ ② 如果()()???==0 ,,0,,' c y x c y x c φφ ③ 是微分方程①的解，且对③式满足：()()02 '2 '≠+y x φφ ④ 则③是微分方程①的奇解，且是通解②的包络。 例1：方程() 2 2 2 x x y dy dx dy dx + -= 的奇解 解：首先，本具题意求出该微分方程的通解为2 2 2 c cx y x ++= 与4 2 x y = 其中c 为任意常数 当时2 2 2 c cx y x ++= ， ()y c cx x c y x -++= 2 2 2 ,,φ 其相应的c -判别式为 ? ??=+=-++02022x 2 c x y c cx 易得到： ? ??=-=2 2c y c x
代入原微分方程，可知? ??=-=2 2c y c x 不是原微分方程的解； 当4 2 x y = 时，易求出2 ,1''x y x ==φφ，则有()()02 '2 '≠+y x φφ 故4 2 x y = 为原微分方程的奇解 例2：试求微分方程() () y y dy dx 9 42 2 1= -的奇解 解：首先，根据题意求出微分方程的通解为：()()0322=---y y c x 其中c 为任意常数 再由相应的c-判别式： ()()()? ??=--=---020 322c x y y c x 易求出：? ??==0y c x 或 ???==3y c x 当???==0y c x 时，代入原微分方程成立； 所以? ??==0y c x 为原微分方程的解 且有()02'=--=c x x φ；()()93232 '-=---=y y y y φ 满足(Φ‘ x )2 +(Φ‘ y )2≠0 易验证???==3y c x 不是原微分方程的解 故x=c, y=0 是元微分方程的奇解。 方法二：利用p-判别法求奇解 在微分方程①中，设y ′=p,则此方程的p-判别式为： ()()?????==0,,0 ,,' p y x F p y x F p ⑤ 消去p 之后得到的函数y=?(x)是微分方程①身为解，
一阶常微分方程解法总结
页脚内容1 第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )()(=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、xy dx dy = 解：当0≠y 时，有xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(11212 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(1212 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有dy y N y Q dx x P x M ) ()()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(22=-+-dy x y dx y x
页脚内容2 解：当0)1)(1(22≠--y x 时，有dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(22=--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(22为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如)(x y g dx dy = 解法：令x y u = ，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x x y f =。 ②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dx dy 解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=，代入得到)(1u G b a dx du b =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。 ③、形如 )(222111c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：01、02211 =b a b a ，转化为)(by ax G dx dy +=，下同①； 02、0221 1 ≠b a b a ，???=++=++00222111c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ，令???-=-=00y y v x x u
高阶线性微分方程常用解法介绍
高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值 解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根
一阶常微分方程解法总结
第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )() (=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例1.1、 xy dx dy = 解：当0≠y 时，有xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(112 12 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(12 12 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有 dy y N y Q dx x P x M ) () ()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例1.2、0)1()1(22=-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(22≠--y x 时，有 dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； 当0)1)(1(22=--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(22为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程：
①、形如 )(x y g dx dy = 解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得 到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x x y f =。 ②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dx dy 解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=，代入得到)(1u G b a dx du b =+为变量可分离方程， 得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。 ③、形如 )(2 221 11c y b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：0 1、 02 2 11=b a b a ，转化为 )(by ax G dx dy +=，下同①； 02、 022 1 1≠b a b a ，???=++=++00 222111 c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ，令???-=-=0 0y y v x x u 得到，)()( )(221 12211u v g u v b a u v b a f v b u a v b u a f du dv =++=++=，下同②； 还有几类：xy u dy xy xg dx xy yf ==+,0)()( 以上都可以化为变量可分离方程。 例2.1、 2 5--+-=y x y x dx dy 解：令2--=y x u ，则du dx dy -=，代入得到u u dx du 7 1+= - ，有dx udu 7-= 所以)(72 2 为常数C C x u +-=，把u 代入得到)(72 22 为常数） （C C x y x =+--。 例2.2、 1 212+-+-=y x y x dx dy 解：由???=+-=+-012012y x y x 得到?????=-=3131y x ，令?? ???-=+=3131y v x u ，有???==du dx dv dy ，代入得到
常微分方程考研讲义 一阶微分方程解的存在定理
第三章一阶微分方程解的存在定理 [教学目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，掌握逐次逼近法，熟练 近似解的误差估计式。 2.了解解的延拓定理及延拓条件。 3.理解解对初值的连续性、可微性定理的条件和结论。 [教学重难点] 解的存在唯一性定理的证明，解对初值的连续性、可微性定理的 证明。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 12学时 [教学内容] 解的存在唯一性定理的条件、结论及证明思路，解的延拓概念及延 拓条件，解对初值的连续性、可微性定理及其证明。 [考核目标] 1.理解解的存在唯一性定理的条件、结论，能用逐次逼近法解简单的问题。 2.熟练近似解的误差估计式，解对初值的连续性及可微性公式。 3.利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓条件能证明有关方程的某些性质。 §1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法 微分方程来源于生产实践际，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客 观规律，能动解释所出现的各种现象并预测未来的可能情况。在第二章介绍了一 阶微分方程初等解法的几种类型，但是，大量的一阶方程一般是不能用初等解法 求出其通解。而实际问题中所需要的往往是要求满足某种初始条件的解。因此初 值问题的研究就显得十分重要，从前面我们也了解到初值问题的解不一定是唯一的。他必须满足一定的条件才能保证初值问题解的存在性与唯一性，而讨论初值 问题解的存在性与唯一性在常微分方程占有很重要的地位，是近代常微分方程定 性理论，稳定性理论以及其他理论的基础。 例如方程 过点(0,0)的解就是不唯一，易知0 y=是方程过(0,0)的解，此外，容易验证，2 =或更一般地，函数 y x 都是方程过点(0,0)而且定义在区间01 <<的任一数。 c ≤≤上的解，其中c是满足01 x
一阶常微分方程的奇解
摘要 (2) 1.何谓奇解 (2) 2.奇解的产生 (3) 3.包络跟奇解的关系 (4) 4.理论上证明C-判别曲线与P-判别曲线方法 (5) 4.1 克莱罗微分方程 (9) 5.奇解的基本性质 (12) 5.1 定理１ (12) 5.2 定理２ (14) 5.3 定理３ (14) 6.小结 (14) 参考文献： (15)
一阶常微分方程的奇解 摘要 在常微分方程中，我们知道方程的解可以有多种，现在我们来讨论求奇解的方法。我们看到某些微分方程，会存在一些特殊的积分曲线，他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。从而我们引出了积分曲线族的包络，而为了求微分方程的奇解，，我们应先求出他的通解，然后求通解的包络。 关键词：奇解，包络，C-判别式，P-判别式 1.何谓奇解 设一阶隐式方程),,(,y y x F =0有一特解
)(:x y ψ=Γ，j x ∈ 如果对每一点Γ∈P ，在P 点的任何一个领域，方程),,(,y y x F =0都有一个不同于Γ的解在P 点与Γ相切，则称Γ是微分方程的),,(,y y x F =0的奇解 定义：如果一个一阶微分方程的一个特解的积分曲线上的每一点都至少和这个微分方程的不同的积分曲线相切，并且这相切的积分曲线在切点的任何邻域都不重合，则称这个特解为这个微分方程的奇解 2.奇解的产生 先看一个例子，求方程 033=-?? ? ??y dx dy （1） 或与它等价的方程 3y dx dy = 的解。 经分离变量后，可得（1）的通解 3)(27 1c x y += 容易看出，y=0也是原方程的一个解。现在来研究这个解y=0有什么特殊的地方。由图我们看到，在解y=0上的每一 点)0,(0x 处相切，这种特殊的积分曲线y=0 称为奇积分曲线，他所对应的解就是奇 解，这就是奇解的产生。 我们现在给出曲线族包络的定义 某些微分方程，存在一些特殊的积分 曲线，会存在一些特殊的积分曲线，他并 不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。在几何学里，这些特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络，在微分方程里，这些特殊的积分曲线所对应的解酒称为方程的奇解。
一阶常微分方程的解法
一阶常微分方程的解法 摘要：常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中，在整个数学中占有重要的地位。本文对一阶常微分方程的解法作了简要的总结，并举例加以分析了变量可分离方程，线性微分方程，积分因子，恰当微分方程，主要归纳了一阶微分方程的初等解法，并以典型例题加以说明。 关键词：变量分离;积分因子;非齐次微分方程;常数变易法 Solution of first-order differential equation Abstract: Differential equations, important parts of calculus, are widely used in the research of practical problems, which also play important role in mathematics. The solution of a differential equation is summarized briefly, and illustrates the analysis of variable separable equation, linear differential equation, integral factor, exact differential equation, mainly summarizes the elementary solution of first order differential equations, and the typical examples to illustrate. Keywords: variable separation; integral factor; non-homogeneous differential equation; constant variation method 1. 引言 一阶常微分方程初等解法,就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题, 能用这种方法求解的微分方程称为可积方程. 本文通过对一阶微分方程的初等解法的归纳与总结，以及对变量分离，积分因子，微分方程等各类初等解法的简要分析，同时结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题，进行求解. 2. 一般变量分离 2.1 变量可分离方程 形如 ()()dy f x g y dx = （1.1） 或 1122()()()()M x N y dx M x N y dy = （1.2） 的方程，称为变量可分离方程。分别称（1.1）、（1.2）为显式变量可分离方程和 微分形式变量可分离方程[1] . (1) 显式变量可分离方程的解法 在方程（1.1）中， 若()0g y ≠，（1.1）变形为 ()() dy f x dx g y =
一阶常微分方程的奇解
摘要 (4) 1.何谓奇解 (5) 2.奇解的产生 (5) 3.包络跟奇解的关系 (6) 4.理论上证明C-判别曲线与P-判别曲线方法 (7) 4.1 克莱罗微分方程 (11) 5.奇解的基本性质 (14) 5.1 定理１ (14) 5.2 定理２ (16) 5.3 定理３ (16) 6.小结 (17) 参考文献： (17)
一阶常微分方程的奇解 摘要 在常微分方程中，我们知道方程的解可以有多种，现在我们来讨论求奇解的方法。我们看到某些微分方程，会存在一些特殊的积分曲线，他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。从而我们引出了积分曲线族的包络，而为了求微分方程的奇解，，我们应先求出他的通解，然后求通解的包络。 关键词：奇解，包络，C-判别式，P-判别式
1.何谓奇解 设一阶隐式方程) x F=0有一特解 y , , (,y
)(:x y ψ=Γ，j x ∈ 如果对每一点Γ∈P ，在P 点的任何一个领域内，方程),,(,y y x F =0都有一个不同于Γ的解在P 点与Γ相切，则称Γ是微分方程的),,(,y y x F =0的奇解 定义：如果一个一阶微分方程的一个特解的积分曲线上的每一点都至少和这个微分方程的不同的积分曲线相切，并且这相切的积分曲线在切点的任何邻域内都不重合，则称这个特解为这个微分方程的奇解 2.奇解的产生 先看一个例子，求方程 033=-?? ? ??y dx dy （1） 或与它等价的方程 3y dx dy = 的解。 经分离变量后，可得（1）的通解 3)(27 1c x y += 容易看出，y=0也是原方程的一个解。现在来研究这个解y=0有什么特殊的地方。由图我们看到，在解y=0上的每一 点)0,(0x 处相切，这种特殊的积分曲线y=0 称为奇积分曲线，他所对应的解就是奇 解，这就是奇解的产生。 我们现在给出曲线族包络的定义 某些微分方程，存在一些特殊的积分 曲线，会存在一些特殊的积分曲线，他并 不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。在几何学里，这些特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络，在微分方程里，这些特殊的积分曲线所对应的解酒称为方程的奇解。
试论常微分方程的奇解
试论常微分方程的奇解 摘要: 一阶微分方程拥有含有一个任意常数的通解,另外可能还有个别不含于通解的特解,即奇解,利用P-判别法和C-判别法可以求出奇解,而这两种判别法是否适用于求每一个一阶微分方程的奇解?此文中举了几个例子来说明这个问题.并给出另外三种求奇解的方法. 关键词: 一阶微分方程,奇解,P-判别式,C-判别式,C-P消去法,拾遗法,自然法. Discussing Singular Solution about First Order Differential Equation ZHU Yong-wang (Class 1, Grade 2006, College of Mathematics and Information Science) Advisor: Professor LI Jian-min Abstract: First order differential equation has a general solution which contains an arbitrary constant, but sometimes it has special solution that is singular solution, which can be solved by the P-judgment method and C-judgment method．While whether the two judgments can be applied to get every singular solution to the first order differential equation? This paper intends to illustrate this problem with several examples． Key words: Singular solution, P-judgment, C-judgment, C-P elimination method, The supplement method, Natural method. 1．引言 一般来说一阶常微分方程拥有任意常数的通解,另外还有个别不含于通解的特解.这种特解可以理解为通解的一种蜕化现象.它在几何上往往表现为解的唯一性遭到破坏.早在1649年莱布尼兹就已经观察到解族的包络也是一个解.克莱络
一阶微分方程的奇解及其逆问题
一阶微分方程的奇解及其逆问题 摘要介绍了导数已解出的一阶微分方程和导数未解出的一阶微分方程的奇解问题，通过相关实例进行了说明.同时.考虑了常微分方程奇解的逆问题. 关键词奇解;包络;通解;P-判别曲线;C-判别曲线;逆问题 The singular solution of first oder ordinary differential equation and its inverse problem Abstract In this paper, we introduce the singular solution of the first oder ordinary differential equation by giving corresponding examples. Meanwhile, we also consider the inverse problem of the singular solution of ordinary differential equation. Keywords Singular solution; envelope; general solution; P-judging curve; inverse problem
一阶微分方程的奇解及其逆问题 1 概念 例1.1.1 求微分方程 2 -)(2 2 x dx dy x dx dy y + = 的解. 解 令 dx dy p = 代入方程得 2 -2 2 x xp p y + =. （1） 两边对x 求导 0)-2)(1-( --2=→+=x p dx dp x p dx dp x dx dp p p . 由c x p x p +=→=0-2 代入（1）得方程的通解 2 2 2 c cx x y ++= . （2） 由2 0-2x p x p = →=代入（1）得4 2 x y = ， 经验证此为原方程的解. 从图1中我们可以看到，此解与方程通解（2）中的每一条积分曲线均相切.对某些微分方程，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这方程的积分曲线族中，但是，在这条特殊的积分曲线上的每个点处，都有积分曲线族的一条曲线和它在此点相切，在几何中，这条特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络，在微分方程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为微分方程的奇解. 下面我们分别给出曲线族包络和微分方程奇解的定义. 定义1 设给定单参数曲线族 Φ（x,y,c ）=0其中c 是参数，Φ（x,y,c ）是x,y,c 的连续可微函数，曲线族Φ（x,y,c ）=0 的包络是指这样的曲线，它本身并不包含在这曲线族Φ（x,y,c ）=0 中但这曲线的每一点，都有曲线族Φ（x,y,c ）=0 中的一条曲线和它在这点相切 .
(整理)二阶常系数线性微分方程的解法word版.
第八章 8.4讲 第四节 二阶常系数线性微分方程 一、二阶常系数线形微分方程的概念 形如 )(x f qy y p y =+'+'' (1) 的方程称为二阶常系数线性微分方程.其中p 、q 均为实数,)(x f 为已知的连续函数. 如果0)(≡x f ,则方程式 (1)变成 0=+'+''qy y p y (2) 我们把方程(2)叫做二阶常系数齐次线性方程,把方程式(1)叫做二阶常系数非齐次线性方程. 本节我们将讨论其解法. 二、二阶常系数齐次线性微分方程 1．解的叠加性 定理1 如果函数1y 与2y 是式(2)的两个解, 则2211y C y C y +=也是式(2)的解,其中21,C C 是任意常数. 证明 因为1y 与2y 是方程(2)的解,所以有 0111 =+'+''qy y p y 0222 =+'+''qy y p y 将2211y C y C y +=代入方程(2)的左边,得 )()()(22112211221 1y C y C q y C y C p y C y C ++'+'+''+'' =0)()(2222111 1=+'+''++'+''qy y p y C qy y p y C 所以2211y C y C y +=是方程(2)的解. 定理1说明齐次线性方程的解具有叠加性. 叠加起来的解从形式看含有21,C C 两个任意常数,但它不一定是方程式(2)
的通解. 2.线性相关、线性无关的概念 设,,,,21n y y y 为定义在区间I 内的n 个函数,若存在不全为零的常数 ,,,,21n k k k 使得当在该区间内有02211≡+++n n y k y k y k , 则称这n 个函数在区间I 内线性相关,否则称线性无关. 例如 x x 2 2 sin ,cos ,1在实数范围内是线性相关的,因为 0sin cos 12 2≡--x x 又如2,,1x x 在任何区间(a,b)内是线性无关的,因为在该区间内要使 02321≡++x k x k k 必须0321===k k k . 对两个函数的情形,若 =21y y 常数, 则1y ,2y 线性相关,若≠2 1y y 常数, 则1y ,2y 线性无关. 3.二阶常系数齐次微分方程的解法 定理 2 如果1y 与2y 是方程式(2)的两个线性无关的特解,则 212211,(C C y C y C y +=为任意常数)是方程式(2)的通解. 例如, 0=+''y y 是二阶齐次线性方程,x y x y cos ,sin 21==是它的两个解,且 ≠=x y y tan 2 1 常数,即1y ,2y 线性无关, 所以 x C x C y C y C y cos sin 212211+=+= ( 21,C C 是任意常数)是方程0=+''y y 的通解. 由于指数函数rx e y =(r 为常数)和它的各阶导数都只差一个常数因子,
一阶常微分方程的奇解
摘要 (2) 1.何谓奇解 (3) 2.奇解的产生 (3) 3.包络跟奇解的关系 (5) 4.理论上证明C-判别曲线与P-判别曲线方法 (6) 4.1 克莱罗微分方程 (11) 5.奇解的基本性质 (14) 5.1 定理１ (14) 5.2 定理２ (17) 5.3 定理３ (17) 6.小结 (17) 参考文献： (18)
一阶常微分方程的奇解 摘要 在常微分方程中，我们知道方程的解可以有多种，现在我们来讨论求奇解的方法。我们看到某些微分方程，会存在一些特殊的积分曲线，他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。从而我们引出了积分曲线族的包络，而为了求微分方程的奇解，，我们应先求出他的通解，然后求通解的包络。 关键词：奇解，包络，C-判别式，P-判别式
1.何谓奇解 设一阶隐式方程),,(,y y x F =0有一特解 )(:x y ψ=Γ，j x ∈ 如果对每一点Γ∈P ，在P 点的任何一个领域，方程),,(,y y x F =0都有一个不同于Γ的解在P 点与Γ相切，则称Γ是微分方程的),,(,y y x F =0的奇解 定义：如果一个一阶微分方程的一个特解的积分曲线上的每一点都至少和这个微分方程的不同的积分曲线相切，并且这相切的积分曲线在切点的任何邻域都不重合，则称这个特解为这个微分方程的奇解 2.奇解的产生 先看一个例子，求方程
033 =-?? ? ??y dx dy （1） 或与它等价的方程 3y dx dy = 的解。 经分离变量后，可得（1）的通解 3)(271c x y += 容易看出，y=0也是原方程的一个 解。现在来研究这个解y=0有什么特殊 的地方。由图我们看到，在解y=0上的 每一点)0,(0x 处相切，这种特殊的积分曲 线y=0称为奇积分曲线，他所对应的解 就是奇解，这就是奇解的产生。 我们现在给出曲线族包络的定义 某些微分方程，存在一些特殊的积分曲线，会存在一些特殊的积分曲线，他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。在几何学里，这些特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络，在微分方程里，这些特殊的积分曲线所对应的解酒称为方程的奇解。 设给定单参数曲线族 0),,(=Φc y x （1）
一阶常微分方程的解法
一阶常微分方程的解法
一阶常微分方程的解法 摘要：常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中，在整个数学中占有重要的地位。本文对一阶常微分方程的解法作了简要的总结，并举例加以分析了变量可分离方程，线性微分方程，积分因子，恰当微分方程，主要归纳了一阶微分方程的初等解法，并以典型例题加以说明。 关键词：变量分离;积分因子;非齐次微分方程;常数变易法 Solution of first-order differential equation Abstract: Differential equations, important parts of calculus, are widely used in the research of practical problems, which also play important role in mathematics. The solution of a differential equation is summarized briefly, and illustrates the analysis of variable separable equation, linear differential equation, integral factor, exact differential equation, mainly summarizes the elementary solution of first
例1：求解方程2211y dy dx x -=-． 解:当1y ≠±时，方程的通积分为 2 2 11C y x =+--，即 arcsin arcsin y x C =+ 即 sin(arcsin )y x C =+. 另外，方程还有解1y =±，不包含在通解中. (2) 微分形式变量可分离方程的解法 方程 1122()()()()M x N y dx M x N y dy = （1.2） 是变量可分离方程的微分形式表达式.这时，x 和y 在方程中的地位是“平等”的，即x 和y 都可以被认为是自变量或函数[1]. 在求常数解时，若10()0N y =，则0y y =为方程（1.2）的解.同样，若 20()0M x =，则0x x =也是方程（1.2）的解. 当()()120N y M x ≠时,用它除方程(1.2)两端,分离变量,得 ()() ()() 2112N y M x dy dx N y M x = 上式两端同时积分,得到方程(1.2)的通积分 () () ()() 211 2N y M x dy dx C N y M x =+?? 例2:求解方程 ()() 22110x y dx y x dy -+-= 解:首先,易见1,1y x =±=±为方程的解.其次,当() 22(1)10x y --≠时,分离变量得 221 1 0ydy xdx x y --+ =
二阶常微分方程的降阶解法
郑州航空工业管理学院 毕业论文（设计） 2015届数学与应用数学专业1111062班级 题目二阶常微分方程的降阶解法 姓名贾静静学号111106213 指导教师程春蕊职称讲师 2015年4月5号
二阶常微分方程的降阶解法 摘要 常微分方程是数学领域的一个非常重要的课题，并在实践中广泛于解决问题，分析模型。常微分方程在微分理论中占据首要位置,普遍应用在工程应用、科学研究以及物理学方面,不少应用范例都归结为二阶线性常微分方程的求解问题。而正常情况下，常系数微分方程依据线性常微分方程的日常理论是可以求解的.不过对于变系数二阶线性常微分方程的求解却有一定程度的困难,迄今为止还没有一个行之有效的普遍方法。 本文主要考虑了二阶常系数线性微分方程的降阶法。关于二阶常系数线性微分方程的求解问题,首先,我们给出二阶齐次常系数线性微分方程的特征方程，并求解出特征方程的两个特征根；其次，利用积分因子乘以微分方程和导数的运算，将二阶常系数线性微分方程化为一阶微分形式；最后，将一阶微分形式两边同时积分，求解一阶线性微分方程，可求得二阶常系数线性微分方程的一个特解或通解。关于二阶变系数齐次线性微分方程的求解问题，化为恰当方程通过降阶法求解二阶齐次变系数微分方程的通解。对于非齐次线性微分方程，只需再运用常数变易法求出它的一个特解，问题也就相应地解决了。 关键词 二阶常微分方程；降阶法；特征根；常数变易法；一阶微分形式
Order reduction method of second order ordinary differential equations Jingjing Jia Chunrui Cheng 111106213 Abstract Ordinary differential equation is a very important topic in the field of mathematics, it has been widely used in solving the problem and analyzing model in practice . Ordinary differential equations in the theory of differential occupied first place, it has been widely used in engineering application and scientific research as well as physics, many application examples are attributed to second order linear ordinary differential equation solving problem. And under normal circumstances,ordinary coefficient differential equation on the basis of the linear often daily theory of differential equations is can be solved. But for the solution for variable coefficient second order linear ordinary differential equations have a certain degree of difficulty, so far we haven't a well-established general method. This paper mainly introduces the method of reduction of order two order linear differential equation with constant coefficients.On the problem of solving the linear differential equation with two order constant coefficients,first, we give homogeneous ordinary coefficient linear differential equation of the characteristic equation and solve the two characteristic roots of characteristic equation;secondly,we should use the integral factor times differential equation and derivative operation and turn two order constant
解一阶常微分方程范文
解一阶常微分方程 1.知识准备 1. 1 变量分离方程 形如 ()()dy f x y dx ?= (1) 的方程，称为变量分离方程，()f x ，()y ?分别是x ，y 的连续函数.这是一类最简单的一阶函数． 如果()0y ?≠，我们可将(1)改写成 ()() dy f x dx y ?=，这样变量就分离开来了.两边积分，得到 ()()dy f x dx c y ?=+??， c 为任意常数．由该式所确定的函数关系式(,)y y x c =就是常微分方程(1)的解． 1. 2 积分因子 恰当微分方程可以通过积分求出它的通解．因此能否将一个非恰当微分方程化为恰当微分方程就有很大的意义．积分因子就是为了解决这个问题引进的概念． 如果存在连续可微函数(),0x y μμ=≠，使得 ()()()(),,,,0x y M x y dx x y N x y dy μμ+= 为一恰当微分方程，即存在函数u ，使 Mdx Ndy du μμ+=， 则称(),x y μ为方程()(),,0M x y dx N x y dy +=的积分因子． 函数(),x y μ为()(),,0M x y dx N x y dy +=积分因子的充要条件是 ()() M N y x μμ??=??， 即
()M N N M x y y x μμμ????-=-????． 假设原方程存在只与x 有关的积分因子()x μμ=，则 0x μ ?=?，则μ为原方程的积分因子的充要条件是()M N x y x μμ???=-???，即()( ) M N y x x N φ??-??= 仅是关于x 的函数．此时可求得原方程的一个积分因子为()x dx e φμ? =．同样有只与y 有关的积分 因子的充要条件是()( )M N y x y M ???-??=-是仅为y 的函数，此时可求得方程(11)的一 个积分因子为()y dy e ?μ? = 1. 3恰当微分方程 考虑微分形式的一阶微分方程()(),,0M x y dx N x y dy +=(11)，如果该式的左端恰好是某个二元函数(),u x y 的全微分，即 ()()(),,,u u M x y dx N x y dy du x y dx dy x y ??+== +?? 则称(11)为恰当微分方程． 对于一阶微分方程 ()(),,0M x y dx N x y dy +=， 若有 M N y x ??=??，则该方程必为恰当微分方程．我们接着讨论如何求得该恰当微分方程的解．我们可以把 (),u M x y x ?=?看作只关于自变量x 的函数，对它积分可得()(),u M x y dx y ?=+?，由此式可得 ()(),d y u M x y dx x x dy ??? =+ ???， 又因为有 (),u N x y x ?=?，故