热学练习题(答案)

热学练习题

第一章 1.3.4 1.3.6 1.4.4 1.4.6 1.4.8 1.6.9 1.6.11 1.7.2

1-7 水银温度计浸在冰水中时，水银柱的长度为4.0cm;温度计浸在沸水中时，水银柱的

长度为24.0cm.

(1) 在室温22.0℃时，水银柱的长度为多少？

(2) 温度计浸在某种沸腾的化学溶液中时，水银柱的长度为25.4cm ，试求溶液

的温度。

解：设水银柱长L 与温度T 成线性关系： L=at+b 当t=0℃时 则L 0=a×0+b ∴b=1. 代入上式 L=at+1. 当t 1=100℃时 则L 1=at 1+1. ∴a=（L 1-L 0）/t 1

(1) L=

01

1L t t L L +-=

0.422100

0.40.24+?-=8.4(cm)

(2) t /

=（L /

-L 0）/a=

100

0.40.240.44.25--=107℃

1-9 在容积V=3L 的容器中盛有理想气体，气体密度为ρ=1.3g /L 。容器与大气相通排出一部分气体后，气压下降了0.78atm 。若温度不变，求排出气体的质量。 解：根据题意RT pV ν=，可得：RT M m pV =

，

ρ

p

m

V p

RT M

=

=1

所以当温度不变时，气体的压强和密度成正比，初始密度为1.3g/L ，后来的密度为：

11

22ρρp p =

则排除的气体的质量为：

33.178.0)1(

)(1

11

212??=

-=-=?P V p p V m ρρρ

大气压为1atm ，容器与大气相通即2p =1atm ，也就是1p =1+0.78=1.78atm

0.78

1.33 1.71.78

m g ?=

??=

1-16 截面为1.0cm 2的粗细均匀的U 形管，其中贮有水银，高度如图1-16所示。今将左侧的上端封闭，将其右侧与真空泵相接，问左侧的水银将下降多少？设空气的温度保持不变，压强75cmHg 。

解：根据静力平衡条件，右端与大气相通时，作端的空气

压强为大气压P 0=75cmHg ，当由端与真空泵相接时，左端空气压强为P=△l 。（两端水银柱高度差） 设左端水银柱下降X=

P l 2121=

?

∴P=2X ∵PV=常数 ∴ 即75×50=2X （50+X ） 整理得：07525502

=?-+X X

∴X=25cm

舍去X=-75

1-18 如图1-18所示，两个截面相同的连通管，一为开管，一为闭管，原来两管内水银

面等高。今打开活塞使水银漏掉一些，因此开管内水银下降了h ，问闭 管内水银面下降了多少？设原来闭管内水银面上空气柱的高度R 和大气 压强为P 0，是已知的。 解：设管截面积为S ，原闭管内气柱长为R ，大气 压强为P ，闭管内水银面下降h ′后，其内部压强为P 0，对闭管内一定质量的气体有：

S h K P KS P )(0'+=

h K K P P '

+=

0 以水银柱高度为压强单位：

h h P P '-=-0 ∴P=h h P '+-0

h h P h K K P '+-='

+00

))((00h h P h K K P '+-'+=，

2

000h k h h h hk h P K P K P '+'+'--'+= 0)(02

=-'-++'hk h h K P h

2

4)()(2

00hK h K P h K P h +-+±-+-=

'

取正值，即得2

)

(4)(02

h k p hk h k p h -+-+-+=

'

1-30 一立方容器的容积为V ，其中贮有一摩尔气体。设把分子看作直径为d 的刚体，并设想分子是一个一个地放入容器的，问：

（1） 第一个分子放入容器后，其中心能够自由活动的空间体积是多大？ （2） 第二个分子放入容器后，其中心能够自由活动的空间体积是多大？ （3） 第N A 个分子放入容器后，其中心能够自由活动的空间体积是多大？ （4） 平均地讲，每个分子的中心能够自由活动的空间体积是多大？

由此证明，范德瓦耳斯方程中的改正量b 约等于一摩尔气体所有分子体积总和的四倍。 解：假定两分子相碰中心距为d ，每一分子视直径为d 的小球，忽略器壁对分子的作用。

（1） 设容器四边长为L ，则V=L 3，第一个分子放入容器后，其分子中心与器壁的距

离应2

d ≥

，所以它的中心自由活动空间的体积V 1=（L-d ）3。

（2） 第二个分子放入后，它的中心自由活动空间应是V 1减去第一个分子的排斥球体

积，即：

2

123

4d

V V π-

=

(3)第N A 个分子放入后, 其中心能够自由活动的空间体积:

2

13

4)

1(d

N

V V A

A π--=

(4) 平均地讲，每个分子的中心能够自由活动的空间为：

2

1

3

4)]}

1(321[3

4{1]}

3

4)

1([)3

42()3

4({13

131131311--

=-+??+++-

=

--??+?

-+-

+=A

A

A A

A

A

N

d

V N

d V N N

d N

V d V d V V N

V πππππ因为d L ≥，1≥A

N

，所以

3

3

)2

(

3

442

3

4d N

V N d

V V A

A

ππ?

-=?

-

=

容积为V 的容器内有N A 个分子，即容器内有一摩尔气体，按修正量b 的定义，每个分子自由活动空间b V V -=，与上面结果比较，易见：

3

)2

(

3

44d N

b A

π?

=

即修正量b 是一摩尔气体所有分子体积总和的四倍。

第二章 2.3.6 2.4.4 2.5.1 2.5.2 2.6.5 2.7.2

2-4 容积为

的烧瓶内有

个氧分子，有

个氮分子和

的氩气。设混合气体的温度为

，求混合气体的压强。

解：根据混合气体的压强公式有

其中的氩的分子个数：

个

2-5 容器的体积为2V 0，绝热板C 将其隔为体积相等的A 、B 两个部分，A 内储有1mol 单原子理想气体，B 内储有2mol 双原子理想气体，A 、B 两部分的压强均为p 0。

（1）求A 、B 两部分气体各自的内能；

（2）现抽出绝热板C ，求两种气体混合后达到平衡时的压强和温度。

解：（1）由理想气体内能公式：RT i

E 2ν=

A 中气体为1mol 单原子理想气体：00232323V p RT RT E =

=

=ν

B 中气体为2mol 双原子理想气体：00525

222

E RT RT p V ν=== （2）混合前总内能 21052

3RT RT E +=

由于

1

00RT V p =

2

002RT V p =

所以 212T T = 104RT E = 混合后，温度为T ，内能不变 1452

3RT RT RT E =+=

R

V p T T 13813

8001=

=

0000

003833122221313N p V p nkT kT RT R p V V V R ===

=?=

2-7 大量粒子（10

0102.7?=N 个）的速率分布函数图象如图所示，试求：（1）速

率小于m/s 30的分子数约为多少？

（2）速率处在m/s 99到m/s 101之间的分子数约为多少？ （3）所有0N 个粒子的平均速率为多少？

（4）速率大于m/s 60

的那些分子的平均速率为多少？

解：根据题意：a N ?+=?=）（1203021

102.7100

所以9

1015

4.14?=

a

（1） 速率小于m/s 30的分子数：

10

10

44.1302

1?=??=

a N

（2）速率处在m/s 99到m/s 101之间的分子数： 7

101

99

101

99

104.660

2?=-

==??

?dv a v a N dv v f N

N ）（（）（

（3）所有0N 个粒子的平均速率：先写出这个分段函数的表达式：

v a

30 （300≤≤v ）

f （v ）= a （6030≤≤v ）

a

v a 602-

（12060≤≤v ）

0 （1200 v ）

s

m dv a v a v vadv vdv a

v

N

dv v vf v /54]60

230[1)(120

60

60

30

30

=-

+

+

=

=

?

?

?

?

∞

）（（4）速率大于m/s 60的那些分子的平均速率

s m dv a v

a dv a v

a v dv

v f dv

v vf v /80]

602]

60

2)()(12060120

60

60

60=--

=

=

??

?

?

∞

∞

）（）（

2． 令2p

v x v =

，试推出关于x 的分布函数()f x ，它的归一化公式、求各种平均值如x 、

2

x 公式、并求出x 的最概然值p x

解：取一小区间x x dx →+，此区间内的的分子数d N 占总分子数比例

()dN f x dx N

=

令： 2

3/2

22()()4()2m v

kT

m

f x dx f v

dv v e

dv kT

ππ-

==

代入：222, , p p

p

v dv kT x dx v v v m

=

=

=

，上式可改写成：

2

2

2/4

2/4

11() ()22x x f x dx x e

dx f x x e

π

π

--=

∴=

归一化：

()1

f x d x ∞

=?

平均值： 2

2

(), ()x xf x dx x x f x dx ∞∞

=

=

?

?

令：

2

2

3

/4

/4

()1(2)02

2x x df x x

xe

e

dx

π

--=

-

=

得出最概然值 2p x =

2-10一容器的器壁上开有一直径为0.20mm 的小圆孔，容器贮有100℃的水银，容器外被

抽成真空，已知水银在此温度下的蒸汽压为0.28mmHg 。

（1） 求容器内水银蒸汽分子的平均速率。 （2） 每小时有多少克水银从小孔逸出？

解：（1）

)

/(1098.110

20114.337331.8882

3

s m RT

V ?=????=

=

-πμ

（2）逸出分子数就是与小孔处应相碰的分子数，所以每小时从小孔逸出的分子

数为：t s V n N ??=

4

1

其中

KT

V P V n ?

=

4

14

1是每秒和器壁单位面积碰撞的分子数，2

)2

(

d s π=是小孔面

积，t=3600s ，故t s V KT

P N ???

=

4

1，代入数据得：

N=4.05×1019

（个）

∴

)

(10

35.110

05.410

02.6102012

19

23

3g N N

mN M A

--?=????=

==μ

2-11 一容器体积为V 2，一导热隔板把它分成相等的两半，开始时左边盛有压强为0P 的理想气体，右边为真空。在隔板上有一面积为S 的小孔，求打开小孔后左右两边压强1P 和2P 与时间t 的关系（已知单位时间与器壁单位面积相撞的分子数为

v n 41）。

解：设某时刻左、右分子数分别为N 、N 0-N ，则在d t 内左面分子数变化为

()0120111

d d d d 2d 4

4

44N N N S N n S t n S t S t N N t V V V -??=-

+

=

-+=- ???v v v v

由P=NkT/V 得：()

0d 2d 4S p p p t V

=-v ,由此解得

???

?

?

?+=

-t V S

v p p 40L e 12

由N 1+N 2=N 0可得p 1+p 2=p 0，04R 011e 2vS t V

p p p p -??∴=-=-

??

?

2．一容积为1升的容器，盛有温度为300K ，压强为30×104

Pa 的氩气，氩的摩尔质量为0.040 kg 。若器壁上有一面积为1.0×10-3 ㎝2的小孔，氩气将通过小孔从容器内逸出，经过多长时间容器里的原子数减少为原有原子数的1/e ？

〖解〗： 在 t d 时间内在面积为 A 的小孔中流出的分子数为

4/d d -t A v n N =

其中 n 为气体分子数密度。考虑到气体的流出使得分子数减少, 所以在上式中加一负号。 现在在上式两边都除以容器体积 V , 并且在 0到 t 之间进行积分

n

n t V A v n n t

d )/1(d )4/(2

1

?

?

=

?-

)

/ln()4/(12n n t V A v =?-

现在要求容器中的原子数最后减少到 1 / e , 即

1)/ln(,

e /1212-==n n n n

RT

M A

V RT

M A

V v

A V t m

m

π28π44??

=

??

=

?=

s

100=

即：经过100 s 容器内原子数减为原来的 e /1。.

第四章 4.4.2 4.4.6 4.5.1 4.5.5 4.5.11 4.6.1 4.6.2 4.7.1

4-1 ν摩尔的某种理想气体，状态按p a V /

=的规律变化(式中a 为正常量)，当气体

体积从1V 膨胀到2V 时，求气体所作的功及气体温度的变化21T T -各为多少？ 解：在这过程中，气体作功?

=

2

1

V v pdV A

?

-

=-

==

-2

1

21

)11()(2

1

2

12

2

2V V V V V V a V

a dV V

a A

由理想气体状态方程：PV=nRT ，可知

R VT

a

T V V

a

T

PV ν==

=

2

2

2

所以：RV

a

T ν2

=

，那么温度的变化为：）（2

12

121

1V V R a

T T -=

-ν

4-2. 一侧面绝热的气缸内盛有1mol 的单原子分子理想气体．气体的温度K 2731=T ，活塞外气压Pa 1001.150?=p ，活塞面积

2

m 02.0=S ，活塞质量kg 102=m (活塞绝热、不漏气且与气缸壁

的摩擦可忽略)。由于气缸内小突起物的阻碍，活塞起初停在距气缸底部为m 11=l 处．今从底部极缓慢地加热气缸中的气体，使活塞上升了m 5.02=l 的一段距离，如图所示。试通过计算指出： （1）气缸中的气体经历的是什么过程？

（2）气缸中的气体在整个过程中吸了多少热量？ 解：（1）可分析出起初气缸中的气体的压强由于小于P 2（P 2=外界压强+活塞重力产生的压强），所以体积不会变，是一个等容升温的过程，当压强达到P 时，它将继续做一个等压膨胀的过程，则气缸中的气体的过程为：等容升温+等压膨胀。 （2）5118.31273

1.13100.021

RT

p V ν??=

=

=??

5

5

021052.10.0210

10210

01.1?=?+

?=+

=s

mg p p

等容升温：V p p pV i T T R i Q V )(23

2)(21212-=?=-=ν

等压膨胀：)(2

5

)(2

5

112212V p V p R T T R Q p -=-=νν

J Q Q Q p V 3

109.4?=+=

4-3. 设一动力暖气装置由一台卡诺热机和一台卡诺制冷机组合而成。热机靠燃料燃烧时释放的热量工作并向暖气系统中的水放热，同时，热机带动制冷机。制冷机自天然蓄水池中吸热，也向暖气系统放热。假定热机锅炉的温度为C 2101 =t ，天然蓄水池中水的温度为C 152 =t ，暖气系统的温度为C 603 =t ，热机从燃料燃烧时获得热量

J 101.27

1?=Q ，计算暖气系统所得热量。

解：由1

21

211Q Q T T -

=-=卡η，可得：

7

210

1.21483

3331?-

=-

=Q 卡η ，则得到。和A Q 2

而制冷机的'-''='-''='

=

2

12

2122

T T T Q Q Q A Q ω

45

2882

12

2='

-''

=

'=

T T T A

Q ω ，可得2

Q ' 则：。J Q Q Q 7

211027.6?='+=

3．室温下一定量理想气体氧气的体积为2.3升，压强为0.1MPa ，经过某一多方过程后体积变为4.1升，压强为0.05 MPa 。试求：(1) 多方指数n ；(2) 内能的变化；(3) 吸收的热量；(4) 氧膨胀时对外界所作的功。

〖解〗： （1）多方过程方程为 C pV

n

=，两边取对数，则有

2

.1)

/ln()/ln(1221==

V V p p n （1）

（2）

)

(12m ,T T νC u V -=?，而

222RT νV p =， 111RT νV p =， （3）

由此得到

J 63-=?u （ 内能减少 ） （4）

（3）多方过程热容

)

1/(,,--=n R C C m V m n （5）

多方过程中吸收的热量

)

(12,T T C νQ m n -= （6）

联立（3）、（5）、（6）式得到 J 63=Q （ 吸收热量 ）。

（4）气体膨胀，它对外作的功 '

W

J 126J )]63(63['

=--=?-=-=u Q W W

4-4. 如图所示的循环中b a →，d c →，f e →为等温

过程，其温度分别为：03T ，0T ，02T ；

c b →，e

d →，a f →为绝热过程。设d c →过程曲线下的面积为1A ，abcdefa 循环过程曲线所包围的面积为2A . 求：该循环的效率。

解：根据定义：ab

Q A Q A 2=

=

吸

η

从循环过程的图形上又可得：ef cd ab Q Q Q A --=2 其中1A Q cd =

利用等温过程ab,cd,ef ，可得：a

b ab V V T R Q ln

30ν=

c

d bc V V RT Q ln

0ν= ， e

f ef V V T R Q ln

20ν=

再利用 绝热过程的体积温度关系，可得：1

1

--=γγf

f a

a V T V T

1

1

--=γγc

c b

b V T V T ， 1

1--=γγe e d d V T V T

所以e c a f d b V V V V V V = 把热量计算的式子中，相加减后可得：

cd ab ef Q Q Q +=

3

12

1 代入ef cd ab Q Q Q A --=2

1

4

21

1

1--=γγV T V T

可得： 123

1A Q A ab +=

所以）

（吸

122

23A A A Q A Q A ab

-=

=

=η

4-6. 一气缸内盛有一定量的刚性双原子分子理想气体，气缸

活塞的面积S =0.05 m 2

，活塞与气缸壁之间不漏气，摩擦忽略不计．活塞右侧通大气，大气压强p 0 =1.0×105

Pa ．劲度系数k =5×104

N/m 的一根弹簧的两端分别固定于活塞和一

固定板上(如图)．开始时气缸内气体处于压强、体积分别为

p 1 = p 0 =1.0×105 Pa ，V 1 = 0.015 m 3的初态．今缓慢加热气缸，缸内气体缓慢地膨胀到V 2 =0.02 m 3．求：在此过程中气体从外界吸收的热量．

解答：

由题意可知气体处于初态时，弹簧为原长．当气缸内气体体积由V 1膨胀到V 2时弹簧被压缩，压缩量为

1.01

2=-=S V V l m ．

气体末态的压强为 5

02102?=+=S

l k

p p Pa ．

气体内能的改变量为

△E = ν C V (T 2－T 1) = i ( p 2V 2－ p 1V 1) /2 =6.25×103

J ． 缸内气体对外作的功为 750212

0=+

=kl

Sl p W J

缸内气体在这膨胀过程中从外界吸收的热量为

Q =△E +W =6.25×103

+0.75×103

=7×103

J ．

13. 一定量的某单原子分子理想气体装在封闭的汽缸里．此汽缸有可活动的活塞(活塞与

气缸壁之间无摩擦且无漏气)．已知气体的初压强p 1=1atm ，体积V 1=1L ，现将该气体在等压下加热直到体积为原来的两倍，然后在等体积下加热直到压强为原来的2倍，最后作绝热膨胀，直到温度下降到初温为止，

(1) 在p －V 图上将整个过程表示出来．

(2) 试求在整个过程中气体内能的改变．

(3) 试求在整个过程中气体所吸收的热量．(1 atm ＝1.013×105 Pa)

p 0

p 1,V 1,

T 1

(4) 试求在整个过程中气体所作的功． 解：(1) p －V 图如右图. (2) T 4=T 1 ?E ＝0

(3)

)()(2312T T C M

M T T C M

M Q V mol

p mol

-+

-=

)]2(2[2

3)2(25

111111p p V V V p -+

-=

112

11V p =

＝5.6×102

J

(4) W ＝Q ＝5.6×102 J

18. 汽缸内有一种刚性双原子分子的理想气体，若经过准静态绝热膨胀后气体的压强减少了一半，则变化前后气体的内能之比 E 1∶E 2＝？ 解：据

i R T M

M

E m o l

2

1)/(=, RT M

M pV mol

)/(=

得 i p V E 2

1

=

变化前 1112

1V ip E =

， 变化后22221V ip E =

绝热过程 γγ2211V p V p = 即

1221

/)

/(p p V V

=γ

题设 122

1p p =， 则 2

1)

/(21=γ

V V

即 γ

/121)

2

1

(/=V V

∴ )21

/(

2

1/221121

V ip V ip E E

=

γ

/1)

2

1

(2?=22.12

1

1==-γ

25. 如图，器壁与活塞均绝热的容器中间被一隔板等分为两部分，

其中左边贮有1摩尔处于标准状态的氦气(可视为理想气体)，另一边为真空．现先把隔板拉开，待气体平衡后，再缓慢向左推动活塞，

把气体压缩到原来的体积．求氦气的温度改变多少？

解：已知He 气开始时的状态为p 0、V 0、T 0、先向真空绝热膨胀： W = 0，Q = 0 → ?E = 0 → ?T = 0 ∴ T 1 = T 0，V 1 = 2V 0

T 3 T 4

T 2

T 1

1

2

1

2

V (L)

p (atm) O

真空

H e

由 pV = RT 012

1p p =

再作绝热压缩，气体状态由p 1、V 1、T 1，变为p 2、V 0、T 2 ,

γ

γγ)2(2

1001102V p V p V p =

=

∴ 0122p p -=γ 再由 000202//T V p T V p = 可得 0122T T -=γ 氦气 3/5=γ， 03/124T T =

∴温度升高 03/102)14(T T T T -=-=? T 0 = 273 K ， ?T = 160 K

4. 如图所示，AB 、DC 是绝热过程，CEA 是等温过程，BED 是任意过程，组成一个循环。若图中EDCE 所包围的面积为70 J ，EABE 所包围的面积为30 J ，过程中系统放热100 J ，求BED 过程中系统吸热为多少？

解：正循环EDCE 包围的面积为70 J ，表示系统对外作正功70 J ；EABE 的面积为30 J ，因图中表示为逆循环，故系统对外作负功，所以整个循环过程系统对外

作功为： W =70+(－30)=40 J 设CEA 过程中吸热Q 1，BED 过程中吸热Q 2 ，由热一律，

W =Q 1+ Q 2 =40 J

Q 2 = W －Q 1 =40－(－100)=140 J

BED 过程中系统从外界吸收140焦耳热.

15. 1 mol 单原子分子理想气体的循环过程如T －V 图所示，其

中c 点的温度为T c =600 K ．试求： (1) ab 、bc 、c a 各个过程系统吸收的热量；

(2) 经一循环系统所作的净功； (3) 循环的效率． (注：循环效率η=W /Q 1，W 为循环过程系统对外作的净功，

Q 1为循环过程系统从外界吸收的热量ln2=0.693) 解：单原子分子的自由度i =3．从图可知，ab 是等压过程，

p

V

O

A

B E

D

C

T (K )

V (10-3m 3

) O 1

2

a

b c

V a /T a = V b /T b ，T a =T c =600 K T b = (V b /V a )T a =300 K (1) )()12

()(c b c b p ab T T R i T T C Q -+=-= =－6.23×103

J (放热)

)(2)(b c b c V bc T T R i T T C Q -=

-= =3.74×103

J (吸热)

Q ca =RT c ln(V a /V c ) =3.46×103

J (吸热)

(2) W =( Q bc +Q ca )－|Q ab |=0.97×103

J (3) Q 1=Q bc +Q ca ， η=W / Q 1=13.4%

3．1 mol 双原子分子理想气体作如图的可逆循环过程，其中1－2为直线，2－3为绝热线，3－1为等温线．已知T 2 =2T 1，

V 3=8V 1 试求：(1) 各过程的功，内能增量和传递的热量；(用T 1和已知常量表示) (2) 此循环的效率η．

1－2 任意过程

112112212

12121)(2

1RT RT RT V p V p W =

-

=

-=

11111132125RT RT RT W E Q =+

=+=?

2－3 绝热膨胀过程

1212322

5)()(RT T T C T T C E V V -=-=-=?

12225RT E W =

-=?

Q 2 = 0 3－1 等温压缩过程 ΔE 3= 0

W 3 =－RT 1ln(V 3/V 1)=－RT 1ln(8V 1/V 1)=－2.08 RT 1 Q 3 =W 3 =－2.08RT 1

(2) η=1－|Q 3 |/ Q 1 =1－2.08RT 1/(3RT 1)=30.7%

3．已知某种双原子分子理想气体在p-T 图上经历如右图所示的循环。试问：(1)一个循环系统作功是多少? (2)循环效率是多少?

〖解〗： （1）把循环曲线从P-T 图转换为P-V 图，如右图

p

p 2 p 1

O V

V 1

V 2

V 3

1

2

3

所示。这是顺时针循环，是热机。计算系统对外作的功 '

W ，注意 W W -='

（W 为外界对系统作的功）：

21→ 等压膨胀过程，

2

1→

111121'

21)2()(2RT T T R V V p W =-=-=→

32→ 等体过程，

'

3

2=→W

13→ 等温过程,

2

ln )/ln(1131'

13RT p p RT W -==→

对外作的循环总功

'

1

33

2'

'21'

→→→++=W W

W W

=)2ln 1(1-RT

（2）计算系统吸收或者释放的热量：

21→ 等压膨胀过程（ 吸热 ）， 1

m ,12m ,21)(T C T T C Q p p =-=→

32→ 等体降温过程（ 放热 ）， 1

m ,32T C Q V -=→

13→ 等温压缩过程（ 放热 ）， 2ln 113RT νQ -=→

（3）热机效率 吸

Q W

η'

=

=

5

)

2ln 1(22ln 1(1m ,1-=

-T C RT p ）

第五章 5.3.1 5.3.2 5.3.5 5.3.8

5-1 如图所示，一圆柱形绝热容器，其上方活塞由侧壁突出物支持着，其下方容积共L 10，被隔板C 分成体积相等的A 、B 两部分。下部A 装有mol 1氧气，温度为C 270

；上部B 为真空。抽开隔板C ，使气体充满整个容器，且平衡后气体对活塞的压力正好与活塞自身重量平衡。

（1）求抽开C 板后，气体的终态温度以及熵变；

（2）若随后通过电阻丝对气体缓慢加热使气体膨胀到L 20，求该过程的熵变。 解：（1）抽开C 板后，气体处于在真空中的绝热变化，由于在真空中，气体体积的变化不做功，所以A=0，又是绝热变化，所以Q=0，这样ΔE=0，也就是说温度不变，T=300K ；

那么要计算这一过程的熵变，我们设计一个可逆过程为：等温膨胀。

P 1 2P 1

P

T 1

2T 1 T

1 2

3

所以：ΔS=S ２-S １ =

2ln ln

1

22

1

2

1

R V V R dV T

P T

Q ===

??

?

（2）第二过程中压强不变，所以可设计为等压膨胀过程。

ΔS=S ２-S １ =2ln 2

7ln

2

7ln

ln

1

21

21

22

1

R V V R T T C T T C T

dT C p T T p p =

=

==?

5-2 在一绝热容器中，质量为m ，温度为T 1的液体和相同质量的但温度为T 2的液体，在一定压强下混合后达到新的平衡态，求系统从初态到终态熵的变化，并说明熵增加，设已知液体定压比热为常数C P 。

解：两种不同温度液体的混合，是不可逆过程，它的熵变可以用两个可逆过程熵变之和求得。设T1>T2，（也可设T1

温度为T 1的液体准静态等压降温至T ，熵变为

温度为T2的液体准静态等压升温至T 熵变为

由熵的可加性，总熵变为： △S=△S ＋△S=mC p (ln ＋ln ) =mC p ln =mC p ln

因 （T 1－T 2）2>0 即T 12－2T 1T 2＋T 22>0 T 12

＋2T 1T 2＋T 22

－4T 1T 2>0 由此得（T 1＋T 2）2>4T 1T 2 所以，△S>0

由于液体的混合是在绝热容器内，由熵增加原理可见，此过程是不可逆。

4．使用一制冷机将1mol ，105Pa 的空气从20℃等压冷却至18℃，对制冷机必须提供的最小功是多少？设该机向40℃的环境放热，将空气看作主要由双原子分子组成。

[解答]空气对外所做的功为

2

2

1

1

d d V V V V A p V p V =

=?

?= p (V 2 – V 1) = R (T 2 – T 1)，

其中T 2 = 291K ，T 1 = 293K ．空气内能的增量为

21()2

i E R T T ?=

-，

其中i 表示双原子分子的自由度：i = 5．空气吸收的热量为 Q = ΔE + A =

212()2

i R T T +-= -58.17(J)．

负号表示空气放出热量．因此，制冷机从空气中吸收的热量为：

Q 2 = -Q = 58.17(J)．

空气是低温热源，环境是高温热源，温度为：T`1 = 313(K)．

整个系统可认为是绝热系统，总熵变＝0，即

01

1,1

2

=-

=

??

T Q T

dT C S T T m P

积分得制冷机向高温热源放出的热量为：)(35.62ln

2

72

111J T T T R Q ==

，

因此制冷机提供的最小机械功为：W = Q 1 - Q 2 = 4.18(J)．

4．一个质量为M ，定压比热为c p ，初温为T 1的物体和另一温度为T 2的恒温热源之间，工作着一台可逆卡诺热机，求热机能作的最大功。

解：当两物体有相同的温度T 2时，热机就不再工作，在此过程中：

原高温物体放出热量： 112()p Q M c T T =- 整个系统可认为是绝热系统，总熵变＝0，即

2

1

22

0T p T M c dT Q S T

T ?=

+

=?

求出 1222

ln

p T Q T M c T =

热机对外作功： 1121222

(ln )p T A Q Q M c T T T T =-=--

W

M c p , T 1

T 2