柯布-道格拉斯(Cobb-Douglas)生产函数模型
柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas ）生产函数模型
齐微
辽宁工程技术大学理学院，辽宁阜新（123000）
E-mail: qiwei1119@https://www.360docs.net/doc/1810321013.html,
摘 要：柯布-道格拉斯生产函数（Cobb-Douglas production function ）用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，简称生产函数.本文对大量的生产数据进行处理，建立多项式拟合模型和线性规划模型对数据进行处理完成问题，对生产数据分析我们建立了多项式拟合，通过误差分析，多项式拟合模型是完全符合数据的.但通过使用线性回归方法求得的柯布-道格拉斯生产函数，通过对其进行误差分析我们知道柯布-道格拉斯生产函数与原始数据的误差比多项式拟合模型下的误差小的多.
关键词：柯布-道格拉斯生产函数；多项式拟合；线性回归
柯布-道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家道格拉斯(P.H.Douglas)共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是在生产函数的一般形式上作了改进，引入了技术资源这一因素.他们根据有关历史资料，研究了从1899－1922年美国的资本和劳动对生产的影响，认为在技术经济条件不变的情况下，产出与投入的劳动力及资本的关系可以表示为：
Y AK L αβ=
其中： Y —— 产量；
A —— 技术水平；
K —— 投入的资本量；
L —— 投入的劳动量；
,αβ——K 和L 的产出弹性.
经济学中著名的柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas ）生产函数的一般形式为 (,),0,1Q K L aK L αβαβ=<< （1-1）
其中,,Q K L 分别表示产值、资金、劳动力，式中,,a αβ要由经济统计数据确定.现有《中国统计年鉴（2003）》给出的统计数据如表（其中总产值取自“国内生产总值”，资金 取自“固定资产投资”，劳动力取自“就业人员”）[3].
问题1：运用适当的方法，建立产值与资金、劳动力的优化模型，并做出模型的分析与检验.
问题2：建立Cobb-Douglas 优化模型，并给出模型中参数,αβ的解释.
问题3：将几个模型做出比较与分析.
表0-1 经济统计数据
年份 总产值/万亿元 资金/万亿元 劳动力/亿人
1984 0.7171 0.0910 4.8179 1985 0.8964 0.2543 4.9873 1986 1.0202 0.3121 5.1282 1987 1.1962 0.3792 5.2783 1988 1.4928 0.4754 5.4334 1989 1.6909 0.4410 5.5329 1990 1.8548 0.4517 6.4749 1991 2.1618 0.5595 6.5491 1992 2.6638 0.8080 6.6152 1993 3.4634 1.3072 6.6808 1994 4.6759 1.7042 6.7455 1995 5.8478 2.0019 6.8065 1996 6.7885 2.2914 6.8950 1997 7.4463 2.4941 6.9820 1998 7.8345 2.8406 7.0637 1999 8.2068 2.9854 7.1394 2000 9.9468 3.2918 7.2085 2001 9.7315 3.7314 7.3025 2002 10.4791 4.3500 7.3740
1.问题一求解
1.1 模型建立
假设：有()()()t L t K t Q ,,分别表示产值，资金和劳动力，并假设()t Q 仅与()()t L t K ,有关[1]..
由表0-1中的数据拟合出()()()t L t K t Q ,,的关系：
用Matlab 画出表1-1中数据的关系图，应用Matlab 中的plot 画出图形如图1-1.
图1-1产值、资金和劳动力数据关系图
由图1-1可知：选定()t Q 看作是()()t L t K +的一元多项式的优化模型.从而建立模型()()()()t L t K G t Q +=.
1.2 模型的求解
通过Matlab 计算出()t Q 和()()t L t K + 数据之间拟合误差如表1-1.
表1-1 数据拟合次数误差
拟合次数 1 2 3 4 5 6 误差 3.0313 2.4294 1.5141 1.2366 1.0898 1.0887
由上表得知五次拟合和六次拟合误差已经达到很接近，和四次拟合误差相差很大，所以本文选择五次拟合来求解模型()()()()t L t K G t Q +=.
本文选用的是Matlab 中的plotfit 来五次拟合数据求解模型并用rcoplot 来误差分析. 得到的拟合多项式系数p 如表1-2.
表1-2 多项式系数
多项式次数
5 4 3 2 1 0 相应系数 0.0062 -0.2711 4.6074-37.6090 148.3464 -226.4984
这样就知道了模型多项式为:
()()()()()()()()()
()()()()()()54320.00620.2711 4.607437.6090148.3464226.4984
Q K t L t K t L t K t L t K t L t K t L t =×+?×++×+?×++×+?(1-1) 多项式模型下，新的产值预测值如表1-3.
表1-3 多项式模型的产值预测值
年份
1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 预测值
0.5962 1.0362 1.1860 1.2929 1.3800 1.4008 1.9636 2.1686 2.6129 3.6773年份
1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 预测值 4.7428 5.6358 6.5850 7.28598.23048.65859.27909.920810.4620
程序运行所得到的残差图如图1-2.
图1-2 模型数据的残差图
由图1-2可以看到除了第十七个数据点偏离了原点，其他的点均在原点附近.继而得出模型：
()()()()()()()()()()()()
()()()54
320.00620.2711 4.607437.6090148.3464226.4984
Q K t L t K t L t K t L t K t L t K t L t =×+?×++×+?×++×+? (1-2)
1.3 模型的误差分析 本文在假设的前提下，确定(),()()K t L t Q t 与的关系，即()Q t 可看作是()()K t L t +的一元多项式，从而本文做分析得到，做五次的多项式拟合达到最佳拟合.能从S 的值知道拟合误差，S 中有R 类似于回归中的判别系数、df 自由度、normr 拟合算法中用到的范德孟系数.本文通过预测值Y 值可以看到和原始值y 存在着误差，但是这些误差都是在可接受范围之内的误差[2].
2 问题二的线性回归模型
2.1模型的建立
本文假设的是在1=+βα的情况下，用)(t Q ，)(t K ，)(t L 分别表示某一地区或部门在时刻t 的产值、资金和劳动力，它们的关系可以一般地记作
))(),(()(t L t K F t Q =
(2-1) 其中F 为待定函数.对于固定的时刻t ，上述关系可写作
),(L K F Q =
(2-2)
为寻找F 的函数形式，引入记号
L Q z =，L K y = (2-3) z 是每个劳动力的产值，y 是每个劳动力的投资.如下的假设是合理的：z 随着y 的增加而增长，但增长速度递减.进而简化地把这个假设表示为
()z ag y =，αy y g =)(，10<<α (2-4)
显然函数)(y g 满足上面的假设，常数0a >可看成技术的作用.由(2-3)，(2-4)即可得到(2-2)式中F 的具体形式为
1Q aK L αα?=，10<<α
(2-5)
由(2-5)式容易知道Q 有如下性质 0,>????L Q K Q ，0,2222
Q K Q (2-6) 记L Q Q K ??=，K Q 表示单位资金创造的产值；L
Q Q L ??=，L Q 表示单位劳动力创造的产值，则从(2-5)式可得
α=Q KQ K ，α?=1Q
LQ L ，Q LQ KQ L K =+ (2-7) (2-7)式可解释为：α是资金在产值中占有的份额，α?1是劳动力在产值中占有的份额.于是α的大小直接反映了资金、劳动力二者对于创造产值的轻重关系.
2.2模型的求解
本文求解得出1Q aK L αα?=中的()1b 和α值为：0.7784和0.7833，这样能求得a 的值为：2.1780，β的值为：1-0.7833，即为：0.2167.
这样得到模型如下：
()()()2167.07833.01780.2t L t K t Q ×= (2-8)
利用以上模型求解出一组新的预测值如表2-1.
表2-1 多项式模型的产值预测值
年份
预测
值
0.5962 1.0362 1.1860 1.2929 1.3800 1.4008 1.9636 2.1686 2.6129 3.6773
年份
1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 预测
值 4.7428 5.6358 6.5850 7.28598.23048.65859.27909.9208 10.4620
程序运行所得的残差图如图2-1所示：
图2-1 模型数据残差图
由图2-1可以看到除了第一个数据点偏离了原点，其他的点均在原点附近，这样可以得到线性回归模型是符合题目的.继而模型可得：
()()
()0.78330.21672.1780Q t K t L t =× (2-9)
程序计算得到的r 和rint 值见表2-2.
表2-2 r 和rint 值 r rint 0.4259 0.2705 0.5814
-0.1634 -0.4602 0.1334
-0.2005 -0.4950 0.0940
-0.2001 -0.4979 0.0976
-0.1620 -0.4691 0.1451
0.0175 -0.2999 0.3349
0.0572 -0.2568 0.3712
0.0402 -0.2775 0.3580
-0.0410 -0.3620 0.2799
-0.1575 -0.4687 0.1537
-0.0672 -0.3857 0.2513
0.0284 -0.2901 0.3469
0.0690 -0.2462 0.3841
0.0923 -0.2200 0.4047
0.0387 -0.2747 0.3521
0.0439 -0.2686 0.3564
0.1576 -0.1427 0.4578
0.0347 -0.2737 0.3431
-0.0136 -0.3188 0.2917
2.3 模型α和β的解释
通过对柯布-道格拉斯生产函数传递变形后，进行求解得出βα,的值，同样也进行预测数据和原始数据比较.从图上可以知道模型中参数βα,的解释：α是劳动力产出的弹性系数，β是资本产出的弹性系数，从这个模型看出，决定工业系统发展水平的主要因素是投入的劳动力数、固定资产和综合技术水平（包括经营管理水平、劳动力素质、引进先进技术等）.根据α和β的组合情况，它有三种类型：①1αβ+>称为递增报酬型，表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是有利的.②1<+βα称为递减报酬型，表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是得不偿失的.③1=+βα称为不变报酬型，表明生产效率并不会随着生产规模的扩大而提高，只有提高技术水平，才会提高经济效益.
3 问题三:模型比较分析
模型一是通过假设后进行拟合得到模型关系式，模型二是通过变形后线性回归运算得到模型.他们与实际之间都存在误差.
五次多项式拟合模型的数据误差数是：1.0898.
线性回归模型数据误差：
r =[0.4259 -0.1634 -0.2005 -0.2001 -0.1620 0.0175 0.0572 0.0402 -0.0410 -0.1575 -0.0672 0.0284 0.0690 0.0923 0.0387 0.0439 0.1576 0.0347 -0.0136];
m=sum(r)
得到这个模型的误差数：m=1.0000e-004.
可以看出1.0000e-004<1.0898,很明显柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas ）生产函数比假设的多项式拟合函数更接近实际数据，更加准确.在生产产值上的预测，柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas ）生产函数预测的结果近似就是准确生产值[4].
4 评价和结论
4.1 模型缺点
一定历史时期的生产函数是反映当时的社会生产力水平的.只有明确一定历史阶段的社会生产力特征才能构造出最能反映当时生产力发展水平的生产函数.在工业时代，生产力水平是以单位量的资本和劳动力的投入所能获得的产成品的数量来衡量的.也就是说工业时代的生产力是以产量、能耗、劳动生产率等针对物质、能量的生产和利用等概念构成的.而对工业时代生产力水平的衡量是以投入产出的数量为依据的，表现在：
（1）工业时代的生产是在一个较为稳定的生产技术条件下形成的，是针对某一生产和设计都很成熟的产品进行物质性生产.
（2）工业时代衡量生产技术水平的标志是在一定的时间范围内，单位量的资本和劳动力的投人所能获得的产成品的数量.
（3）工业时代的生产力水平体现为以某一生产技术组织资本和劳动力的投入，从而获得最接近于该生产技术所能达到的产出极限.
柯布—道格拉斯生产函数正是在工业经济时代所构造出的反映工业经济时代生产力特征的函数模型.
当人类进入到信息经济时代，由于信息资源的加入、技术的不断进步，导致生产力发展的特征和性能发生了变化，信息时代的经济发展特征是以性能、质量、产品的差异性组合，
客户服务和信息管理等为主要竞争手段的.这样也就决定了信息时代这种以非物质，非能量的信息经济的生产力的概念与工业时代截然不同.
如果仍然以工业时代测算生产力的方法去考察信息时代中信息技术对生产力的作用的话，肯定无法对其做出准确的判断.同样，原有的柯布——道格拉斯生产函数已经不能再适应新的经济发展形态，在工业时代用以衡量生产力水平的产量，资本投入量和劳动力投入量已经不能完全适应信息时代的生产力发展水平了；在信息经济时代，所投入的生产要素的核心成分从资本、劳动力逐渐转变为以信息技术为代表的高新技术.当信息资源应用于生产中时，对生产人员、资本、流程等形成革命性的影响作用，极大地提高了生产要素生产率，促进了经济发展.综合上述原因，需要对柯布——道格拉斯生产函数做出了一定的修正，使之适用于信息时代的生产力发展水平.
4.2 模型改进
4.2.1 对投入量的计量
对投入的计量应包含：
信息技术设备的资本投入，如电脑、数控设备、信息化管理设备、网络设备和其他软件等等；
信息技术的劳动力投入，如电脑软件编制人员、硬件安装维护人员、信息化管理人员等等；
非信息技术设备的资本投入，如传统的工业技术装备、生产设备、厂房等其他在工业时代类似的资本投入；
非信息技术的劳动力投入，比如生产线上的操作工、一般管理人员等，这里需要指出的是“非信息技术的劳动力”既包括一般意义上的蓝领工人，也包括其他一些白领管理人员.
4.2.2 对产出量的计量
对产出量的计量则不应仅包含单位生产成品数量，而是应该考虑到生产者的盈利水平是否提高.因为从工业时代过渡到信息时代，企业的竞争手段已经从“低成本生产”转向了“全方位的优质服务”.这其实也是竞争发展到一定阶段的必然结果.所以，考察信息技术对生产力具有怎样的影响务必要从一个新的视角出发，不能仅仅衡量其对产成品数量的影响，更应从信息技术是否对提高整体赢利水平，扩大市场份额和增强竞争实力等方面进行综合考察.
4.2.3 改进后的模型
改进后的柯布—道格拉斯生产函数的表现形式为：
0011a b c d Y K L K L =
式中： Y —— 产量；
0K —— 非信息技术设备的资本投入；
0L —— 非信息技术的劳动力投入；
1K —— 信息技术设备的资本投入；
1L —— 信息技术的劳动力投入；
,,,a b c d —— 产出弹性.
此模型较原来的模型增加了信息技术设备的资本投入1K 和信息技术的劳动力投入1L ，使得模型成为更贴近时代的生产模型，改进后的柯布—道格拉斯生产函数0011a b c d Y K L K L =是
在现代信息工业经济时代构造出的反映了现代信息工业经济时代生产力特征的函数模型.改进后的柯布—道格拉斯生产函数模型更具有时代特色，适用性更广、更具时代感.
参考文献
[1]唐焕文,贺明峰.《数学模型引论》[M],北京:教育出版社,2005.
[2]雷功炎.《数学模型讲义》[M],北京:京大学出版社,2002.
[3]白其峰.《数学建模案例分析》[M],京:洋出版社,2000.
[4]李庆杨,王能超,易大意.《数值分析》[M],京:华大学出版社,2005.
Cobb-Douglas production function model
Qiwei
College of Science,Liaoning Technology University,Fuxin (123000)
Abstract
Cobb-Douglas production function used to predict national and regional systems or large industrial enterprises in production and development of the means of production of an economic model, called the production function. In this paper, a large number of production data Process, the establishment of polynomial fitting model and the linear programming model for data processing is complete problems, the production data analysis We have established a polynomial fitting, through error analysis, polynomial fitting model is fully consistent with the data . But through the use of linear regression obtained O'Brien - Douglas production function, through its error analysis we know that O'Brien - Douglas production function with the raw data of error than polynomial fitting model of the small number of errors .
Keywords: Cobb-Douglas production function; polynomial fitting; linear regression
柯布-道格拉斯(Cobb-Douglas)生产函数模型
柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas ）生产函数模型 齐微 辽宁工程技术大学理学院，辽宁阜新（123000） E-mail: qiwei1119@https://www.360docs.net/doc/1810321013.html, 摘 要：柯布-道格拉斯生产函数（Cobb-Douglas production function ）用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，简称生产函数.本文对大量的生产数据进行处理，建立多项式拟合模型和线性规划模型对数据进行处理完成问题，对生产数据分析我们建立了多项式拟合，通过误差分析，多项式拟合模型是完全符合数据的.但通过使用线性回归方法求得的柯布-道格拉斯生产函数，通过对其进行误差分析我们知道柯布-道格拉斯生产函数与原始数据的误差比多项式拟合模型下的误差小的多. 关键词：柯布-道格拉斯生产函数；多项式拟合；线性回归 柯布-道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家道格拉斯(P.H.Douglas)共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是在生产函数的一般形式上作了改进，引入了技术资源这一因素.他们根据有关历史资料，研究了从1899－1922年美国的资本和劳动对生产的影响，认为在技术经济条件不变的情况下，产出与投入的劳动力及资本的关系可以表示为： Y AK L αβ= 其中： Y —— 产量； A —— 技术水平； K —— 投入的资本量； L —— 投入的劳动量； ,αβ——K 和L 的产出弹性. 经济学中著名的柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas ）生产函数的一般形式为 (,),0,1Q K L aK L αβαβ=<< （1-1） 其中,,Q K L 分别表示产值、资金、劳动力，式中,,a αβ要由经济统计数据确定.现有《中国统计年鉴（2003）》给出的统计数据如表（其中总产值取自“国内生产总值”，资金 取自“固定资产投资”，劳动力取自“就业人员”）[3]. 问题1：运用适当的方法，建立产值与资金、劳动力的优化模型，并做出模型的分析与检验. 问题2：建立Cobb-Douglas 优化模型，并给出模型中参数,αβ的解释. 问题3：将几个模型做出比较与分析.
数据建立柯布道格拉斯生产函数分析美国某行业的投入产出情况
数据建立柯布—道格拉斯生产函数分析美国某行业的投入产出情况实验目的 1.利用数据建立柯布—道格拉斯生产函数分析美国某行业的投入产出情况，并用多种统计方法检验规模报酬不变的假设。 2．利用CES生产函数检验是否使用柯布道格拉斯生产函数建模是较为合适的。 实验报告 1、问题提出 生产力水平决定了一个国家或者地区的生活水平，因此研究分析产出受那些因素的影响以及是如何被影响对于把握生产规律并进而提高生产效率有着极大的意义。 2、指标选择 从经济学原理的课程学习中可以知道，产量Y主要是被这几个因素所决定：技术水平（T）,资本量（K）,劳动（L）,人力资本（H）自然资源（N）。根据已有的数据资料，为达到实验目的，并且简化实验模型与分析，只分析劳动与资本量这两个因素的投入对产出的影响。在本次实验中，我们分析美国某行业投入与产出情况。选择样本容量为27的样本，分析劳动量，资本与产出的关系。 3、数据来源 数据由老师提供，详细数据见表1
4.数据处理 将表1中的实验数据化为其对数，方便建模时分析，如表2所示
5.09565.367985.228105.50465.35375 6.537576.115426.571165.770005.534065.465694.946845.0372 15.481766.28549 7.355535.368866.987586.25715.71986.728255.648975.015755.560336.209795.6174 94.8978 表2 5.数据分析 而且没有发现明显产出越多。投入越多，K与资本L可以明显的发现劳动量数据，1观察表． 不符合实际的数据。但是其中的幂函数关系需要通过进一步的分析发现。 6.建立模型 通过数理经济学的学习我们还了解到，生产函数常以柯布-道格拉斯（Cobb-Douglas）幂函数的形式出现。柯布-道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布（Cobb）和经济学家道格拉斯（Douglas）共同探讨投入生产关系时创立的生产函数，他们根据历史资料，研究了1899-1922年美国资本和劳动对生产的影响，认为在技术不变的情况下产出与投入的劳动力??LAKY?及资本的关系可以表示为：，其中Y表示产量，A表示技术水平，K表示投入的资本量，L表示投入的劳动量，α、β分别表示K和L的产出弹性。
柯布_道格拉斯生产函数及其应用
柯布-道格拉斯生产函数及其应用 ［容提要］ 生产函数是指在一定时期，在技术水平不变的情况下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系。柯布—道格拉斯生产函数是在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了技术资源这一因素。用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，它是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，采用的边际分析方法，可用于分析要素投入对产量（产出）的贡献率、规模收益和其他系列问题。柯布—道格拉斯生产函数模型广泛应用于经济数量分析，运用我国1990-2008年的相关数据，运用应用统计学的方法来验证我国经济增长方式是粗放式的，提出应该加大科技创新投入，进而加快促进技术进步，深化经济和政治体制改革来加快我国省经济增长方式的转变。 ［关键词］生产函数柯布道格拉斯经济数量分析经济增长 一、生产函数 （一）简述 生产函数是指在一定时期，在技术水平不变的情况下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系。它可以用一个数理模型、图表或图形来表示。换句话说，就是一定技术条件下投入与产出之间的关系，在处理实际的经济问题时，生产函数不仅是表示投入与产出之间关系的对应，更是一种生产技术的制约。例如，在考虑成本最小化问题时，必须要考虑到技术制约，而这个制约正是由生产函数给出的。另外，在宏观经济学的增长理论中，在讨论技术进步的时候，生产函数得到了很大的讨论。
（二）常见生产函数 1、固定投入比例生产函数 固定投入比例生产函数是指在每一个产量水平上任何一对要素投入量之间的比例都是固定的生产函数。 2、柯布-道格拉斯生产函数 柯布-道格拉斯生产函数是由数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家道格拉斯(PaulH.Douglas)于20世纪30年代提出来的。柯布—道格拉斯生产函数被认为是一种很有用的生产函数，因为该函数以其简单的形式具备了经济学家所关心一些性质，它在经济理论的分析和应用中都具有一定意义。 （三）特点 1、生产函数反映的是在既定的生产技术条件下投入和产出之间的数量关系。如果技术条件改变，必然会产生新的生产函数。 2、生产函数反映的是某一特定要素投入组合在技术条件下能且只能产生的最大产出。 （四）分类 生产函数分一种可变投入生产函数和多种可变投入生产函数。 1、一种可变投入生产函数 对既定产品，技术条件不变、固定投入(通常是资本）一定、一种可变动投入（通常是劳动)与可能生产的最大产量间的关系，通常又称作短期生产函数。2、多种可变投入生产函数 在考察时间足够长时，可能两种或两种以上的投入都可以变动、甚至所有的投入都可以变动，通常称为长期生产函数。 二、柯布-道格拉斯生产函数
柯布道格拉斯生产函数及其应用
柯布-道格拉斯生产函数及其应用 考号：： ［内容提要］ 生产函数是指在一定时期内，在技术水平不变的情况下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系。柯布—道格拉斯生产函数是在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了技术资源这一因素。用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，它是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，采用的边际分析方法，可用于分析要素投入对产量（产出）的贡献率、规模收益和其他系列问题。柯布—道格拉斯生产函数模型广泛应用于经济数量分析，运用我国1990-2008年的相关数据，运用应用统计学的方法来验证我国经济增长方式是粗放式的，提出应该加大科技创新投入，进而加快促进技术进步，深化经济和政治体制改革来加快我国省经济增长方式的转变。 ［关键词］生产函数柯布道格拉斯经济数量分析经济增长 一、生产函数 （一）简述 生产函数是指在一定时期内，在技术水平不变的情况下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系。它可以用一个数理模型、图表或图形来表示。换句话说，就是一定技术条件下投入与产出之间的关系，在处理实际的经济问题时，生产函数不仅是表示投入与产出之间关系的对应，更是一种生产技术的制约。例如，在考虑成本最小化问题时，必须要考虑到技术制约，而这个制约正是由生产函数给出的。另外，在宏观经济学的增长理论中，在讨论
技术进步的时候，生产函数得到了很大的讨论。 （二）常见生产函数 1、固定投入比例生产函数 固定投入比例生产函数是指在每一个产量水平上任何一对要素投入量之间的比例都是固定的生产函数。 2、柯布-道格拉斯生产函数 柯布-道格拉斯生产函数是由数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家道格拉斯(PaulH.Douglas)于20世纪30年代提出来的。柯布—道格拉斯生产函数被认为是一种很有用的生产函数，因为该函数以其简单的形式具备了经济学家所关心一些性质，它在经济理论的分析和应用中都具有一定意义。 （三）特点 1、生产函数反映的是在既定的生产技术条件下投入和产出之间的数量关系。如果技术条件改变，必然会产生新的生产函数。 2、生产函数反映的是某一特定要素投入组合在技术条件下能且只能产生的最大产出。 （四）分类 生产函数分一种可变投入生产函数和多种可变投入生产函数。 1、一种可变投入生产函数 对既定产品，技术条件不变、固定投入(通常是资本）一定、一种可变动投入（通常是劳动)与可能生产的最大产量间的关系，通常又称作短期生产函数。 2、多种可变投入生产函数 在考察时间足够长时，可能两种或两种以上的投入都可以变动、甚至所有的投入都可以变动，通常称为长期生产函数。 二、柯布-道格拉斯生产函数
柯布-道格拉斯生产函数概述
柯布-道格拉斯生产函数概述 柯布—道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家保罗·道格拉斯(Paul H. Douglas)共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是以美国数学家C．W．柯布和经济学家保罗．H．道格拉斯的名字命名的。是在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了技术资源这一因素。用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，简称生产函数。是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，它在数理经济学与经济计量学的研究与应用中都具有重要的地位。它是以美国数学家C．W．柯布和经济学家保罗．H．道格拉斯的名字命名的。柯布—道格拉斯生产函数的一般形式可以表示为：他们根据有关历史资料，研究了从1899－1922年美国的资本和劳动对生产的影响，在技术经济条件不变的情况下，得出了产出与投入的劳动力及资本的关系。但是柯布－道格拉斯生产函数中把技术水平A作为固定常数，难以反映出因技术进步而给产出带来的影响。 柯布—道格拉斯生产函数中，如果有任何一种投入品为零，则产出也为零，因此对于生产来说，每种生产要素都是必需的，没有一种要素可以完全替代另一种要素。 柯布—道格拉斯生产函数是采用的边际分析方法，可用于分析要素投入对产量（产出）的贡献率、规模收益和其他系列问题。是生产函数中应用广泛的一种！ 根据研究目的和需要，现在有很多在柯布——道格拉斯生产函数基础上变形应用的函数形式。 [编辑] 柯布-道格拉斯生产函数的基本形式 柯布-道格拉斯生产函数的基本形式为： Y = A(t)LαKβμ 式中Y是工业总产值，At是综合技术水平，L是投入的劳动力数（单位是万人或人）,K是投入的资本，一般指固定资产净值（单位是亿元或万元，但必须与劳动力数的单位相对应，如劳动力用万人作单位，固定资产净值就用亿元作单位）,α是劳动力产出的弹性系数,β是资本产出的弹性系数,μ表示随机干扰的影响，μ≤1。从这个模型看出，决定工业系统发展水平的主要因素是投入的劳动力数、固定资产和综合技术水平（包括经营管理水平、劳动力素质、引进先进技术等）。根据α 和β的组合情况,它有三种类型： ①α＋β>1, 称为递增报酬型，表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是有利的。 ②α＋β<1, 称为递减报酬型,表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是得不偿失的。
专题拓展5.1：柯布——道格拉斯生产函数
专题拓展5.1:柯布——道格拉斯生产函数社会财富的生产过程是多种多样的。几千年来，随着生产力水平的不断提高，人类生产活动的形式，已从刀耕火种的落后状态发展到电子计算机控制的大规模自动化生产。然而，从经济学的角度来看，无论何种生产过程，都可以看成是在一定社会、经济、技术和自然条件下，一组技术要素转化为产出的过程。 生产函数就是在某些前提假设下，描述这一过程的经济数学模型。它表示的是在一定的技术水平下各种生产要素投入量的某一组合同它所能产出的最大可能产出量之间的关系。西方经济学家对生产函数的定义，以诺贝尔经济学奖获得者萨缪尔森教授为生产函数所下的定义为代表。他认为生产函数是一种技术关系，被用来表明每一种具体数量的投入物（即生产要素）的配合所可能生产的最大产量。 一定历史时期的生产函数是反映当时的社会生产力水平的。只有明确一定历史阶段的社会生产力特征才能构造出最能反映当时生产力发展水平的生产函数。柯布——道格拉斯生产函数正是在工业经济时代所构造出的反映工业经济时代生产力特征的函数模型。 柯布——道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家道格拉斯(P.H.Douglas)共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是在生产函数的一般形式上作了改进，引入了技术资源这一因素。他们根据有关历史资料，研究了从1899－1922年美国的资本和劳动对生产的影响，认为在技术经济条件不变的情况下，产出与投入的劳动力及资本的关系可以表示为： 其中：Y——产量； A ——技术水平； K ——投入的资本量； L ——投入的劳动量； ——K和L的产出弹性。 指数表示资本弹性，说明当生产资本增加1%时，产出平均增长%；是劳动力的弹性，说明当投入生产的劳动力增加1%时，产出平均增长%；A是常数，也称效率系数。函数中把 A技术水平作为固定常数，难以反映出因技术进步而给产出带来的影响，
柯布道格拉斯函数历史
1、柯布——道格拉斯生产函数原是创始人—数学家柯布和经济学家道格拉斯想借助它们用经济计量学方法得到的生产函数来分析国民收入在工人和资本家之间的分配,并通过它来证实边际生产率原理的正确性。因此他们是为了洞察收入分配而考察生产关系的。后来他们的生产函数的收入分配方面失去了重要意义,现在它已被广泛地用于研究生产的投入产出关系。随着增长理论的发展,应用的范围得到了进一步的扩大。 柯布一道格拉斯生产函数是使用最为广泛的生产函数。它是由柯布和道格拉斯根据1899——1922年间美国制造业部门的有关数据构造出来的。其形式如下: 1 Q AK Lαα- = 该函数形式是由维克塞尔(wicksell)首先使用的。维克塞尔在《国民经济学讲义》的 附注中指出这一函数形式(维克塞尔,1983): αβ =a b r P c 一般化： = Q AK Lαβ 其中Q是增加值,K是资本存量,L是雇用的劳动。A为效率参数，表示那些影响产量,但既不能单独归属于资本也不能单独属于劳动的因素。αβ 和为分配参数或投入强度参数(同时也满足生产弹性,αβ （+）是规模弹性参数,反映该函数的齐次的次数。 2、CES函数 1961年,由Arrow、chenery,Mihas,Solow四位学者提出了两要素CES生产函数,该函数在数学上相当简化,在统计上容易处理,而且还有固定的替代弹性的特性。其基本形式为:
1 [(1)]Q A K L ρρρδδ---=+- 其中A 为效率参数[efficiency Parameter],表示资本和劳动的联合效率,δ为分配参数, ρ为替代参数,A>0,0<δ<1,1ρ-<<-∞,根据不同的ρ参数值,CES 生产函数包含着好几个著名的生产函数作为它的特例。 (l)当ρ=-1，CES 生产函数即为线性生产函数,形式如 [(1)]Q A K L δδ=+- (2)当ρ=0，CES 生产函数即柯布道格拉斯函数生产函数,形式如下 1Q AK L δδ--= (3)当ρ=+∞,CES 生产函数即为列昂惕夫人技术的生产函数[Leotief production Function](也被称之为投入一产出生产函数),形式如卜: Q=min 【欲,(l 一占)L 」(21)
柯布道格拉斯生产函数及其应用
柯布- 道格拉斯生产函数及其应用 考号：： ［内容提要］ 生产函数是指在一定时期内，在技术水平不变的情况下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系。柯布—道格拉斯生产函数是 在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了技术资源这一因素。用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，它是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，采用的边际分析方法，可用于分析要素投入对产量（产出）的贡献率、规模收益和其他系列问题。柯布—道格拉斯生产函数模型广泛应用 于经济数量分析，运用我国1990-2008 年的相关数据，运用应用统计学的方法来验证我国经济增长方式是粗放式的，提出应该加大科技创新投入，进而加快促进技术进步，深化经济和政治体制改革来加快我国省经济增长方式的转变。 ［关键词］生产函数柯布道格拉斯经济数量分析经济增长 一、生产函数 （一）简述 生产函数是指在一定时期内，在技术水平不变的情况下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系。它可以用一个数理模型、图表或图形来表示。换句话说，就是一定技术条件下投入与产出之间的关系，在处理实际的经济问题时，生产函数不仅是表示投入与产出之间关系的对应，更是一种生产技术的制约。例如，在考虑成本最小化问题时，必须要考虑到技术制约，而这个制约正是由生产函数给出的。另外，在宏观经济学的增长理论中，在讨论技术进步的时候，生产函数得到了很大的讨论。 （二）常见生产函数 1、固定投入比例生产函数
固定投入比例生产函数是指在每一个产量水平上任何一对要素投入量之间的 比例都是固定的生产函数。 2、柯布-道格拉斯生产函数 柯布-道格拉斯生产函数是由数学家柯布（C.W.Cobb）和经济学家道格拉斯（PaulH.Douglas）于20世纪30年代提出来的。柯布一道格拉斯生产函数被认为是 一种很有用的生产函数，因为该函数以其简单的形式具备了经济学家所关心一些 性质，它在经济理论的分析和应用中都具有一定意义。 （三）特点 1、生产函数反映的是在既定的生产技术条件下投入和产出之间的数量关系。如果技术条件改变，必然会产生新的生产函数。 2、生产函数反映的是某一特定要素投入组合在技术条件下能且只能产生的最大产 出。 （四）分类 生产函数分一种可变投入生产函数和多种可变投入生产函数。 1、一种可变投入生产函数 对既定产品，技术条件不变、固定投入（通常是资本）一定、一种可变动投入 （通常是劳动）与可能生产的最大产量间的关系，通常又称作短期生产函数。 2、多种可变投入生产函数 在考察时间足够长时，可能两种或两种以上的投入都可以变动、甚至所有的投入都可以变动，通常称为长期生产函数。 二、柯布-道格拉斯生产函数 （一）概述 柯布一道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布（C.W.Cobb）和经济学家保罗?道格
柯布-道格拉斯生产函数
柯布-道格拉斯生产函数 柯布—道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家保罗·道格拉斯(PaulH.Douglas)共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是以美国数学家C．W．柯布和经济学家保罗．H．道格拉斯的名字命名的，是在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了技术资源这一因素。用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，简称生产函数。是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，它在数理经济学与经济计量学的研究与应用中都具有重要的地位。 柯布-道格拉斯生产函数-简介 保罗·道格拉斯 柯布和道格拉斯研究的是1899年至1922年美国制造业的生产函数。 他们指出，制造业的投资分为，以机器和建筑物为主要形式的固定资本投资和以原料、半成品和仓库里的成品为主要形式的流动资本投资，同时还包括对土地的投资。在他们看来，在商品生产中起作用的资本，是不包括流动资本的。这是因为，他们认为，流动资本属于制造过程的结果，而非原因。同时，他们还排除了对土地的投资。这是因为，他们认为，这部分投资受土地价值的异常增值的影响较大。 因此，在他们的生产函数中，资本这一要素只包括对机器、工具、设备和工厂建筑的投资。而对劳动这一要素的度量，他们选用的是制造业的雇佣工人数。 但是，不幸地是，由于当时对这些生产要素的统计工作既不是每年连续的，也不是恰好按他们的分析需要来分类统计的。因而，他们不得不尽可能地利用有的一些其它数据，来估计出他们打算使用的数据的数值。比如，用生铁、钢、钢材、木材、焦炭、水泥、砖和铜等用于生产机器和建筑物的原料的数量变化来估计机器和建筑物的数量的变化；用美国一两个州的雇佣工人数的变化来代表整个美国的雇佣工人数的变化等等。 经过一番处理，他们得到关于1899年至1922年间，产出量P、资本C和劳动L的相对变化的数据（以1899年为基准）。令人佩服的是，在没有计算机的年代里，他们从这些数据中，得到了如下的生产函数公式： P=1.01L3/4C1/4
柯布道格拉斯生产函数使用中多重共线性消除方法优劣比较
柯布道格拉斯生产函数使用中多重共线性消除方法优劣比较 研究生三班 陈颖辉 学号：20100201 【摘要】在分析各种主要因素对经济增长的贡献时，柯布道格拉斯生产函数被广泛应用。在这个生产函数中，劳动和资本两个内生变量往往存在严重的多重共线性。本文采用了两种不同的方法对多重共线性进行了消除，并比较其优劣，最后认为用模型一中的方法消除多重共线性更符合山东省实际。 【关键词】多重共线性 柯布道格拉斯生产函数 规模报酬不变 在分析各种主要因素对经济增长的贡献时，柯布道格拉斯生产函数被广泛应用。在这个生产函数中，劳动和资本两个内生变量往往存在严重的多重共线性。本文采用了两种不同的方法对多重共线性进行了消除，并比较其优劣，最后认为用模型一中的方法消除多重共线性更符合山东省实际。 本文决定沿着两个思路消除这种多重共线性： 第一个思路是在柯布道格拉斯函数的基础上，等式两边取对数，然后等式两边同减Lnl ，得到等式：即由ln ln ln ln y A k l αβ=++ 两边同减得到：ln y l =lna+αln k l +(α+β -1)lnl 。从经济意义来考虑， k l 代表人均资本，l 表示的是劳动人数，从经济意义看两者之间的多重共线性要小于l 和k 之间的多重共线性。 第二个思路是假设αβ+=1。由l n l n l n l n y A k l αβ=++得到ln ln ln y k A l l α=+消除了多重共线性。但这条思路的前提是山东省的规模报酬不变。 本文通过这两个思路的对比，得出第一个模型更符合山东省实际情况。具体方法是用得到的两个模型进行预测，预测值与实际值偏差最小者，笔者认为便是两者之中较优者。 第一种模型的回归： 首先对ln y l =lna+αln k l +(α+β-1)lnl 用EVIEWS5.0进行回归，回归结果如下： 回归结果一 Dependent Variable: LOG(Y/L) Method: Least Squares Date: 12/14/10 Time: 18:50 Sample: 1991 2008 Included observations: 18 Variable Coefficien t Std. Error t-Statistic Prob. LOG(K/L) 0.730722 0.061064 11.96651 0.0000 LOG(L) 0.107864 0.007189 15.00366 0.0000 R-squared 0.897089 Mean dependent var 0.551117 Adjusted R-squared 0.890657 S.D. dependent var 0.671588 S.E. of regression 0.222075 Akaike info criterion -0.067168 Sum squared resid 0.789074 Schwarz criterion 0.031762
柯布 道格拉斯生产函数及其应用
柯布-道格拉斯生产函数及其应用 考号：姓名： ［内容提要］ 生产函数是指在一定时期内，在技术水平不变的情况下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系。柯布—道格拉斯生产函数是在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了技术资源这一因素。用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，它是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，采用的边际分析方法，可用于分析要素投入对产量（产出）的贡献率、规模收益和其他系列问题。柯布—道格拉斯生产函数模型广泛应用于经济数量分析，运用我国1990-2008年的相关数据，运用应用统计学的方法来验证我国经济增长方式是粗放式的，提出应该加大科技创新投入，进而加快促进技术进步，深化经济和政治体制改革来加快我国省经济增长方式的转变。 ［关键词］生产函数柯布道格拉斯经济数量分析经济增长 一、生产函数 （一）简述 生产函数是指在一定时期内，在技术水平不变的情况下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系。它可以用一个数理模型、图表或图形来表示。换句话说，就是一定技术条件下投入与产出之间的关系，在处理实际的经济问题时，生产函数不仅是表示投入与产出之间关系的对应，更是一种生产技术的制约。例如，在考虑成本最小化问题时，必须要考虑到技术制约，而这个制约正是由生产函数给出的。另外，在宏观经济学的增长理论中，在讨论
技术进步的时候，生产函数得到了很大的讨论。 （二）常见生产函数 1、固定投入比例生产函数 固定投入比例生产函数是指在每一个产量水平上任何一对要素投入量之间的比例都是固定的生产函数。 2、柯布-道格拉斯生产函数 柯布-道格拉斯生产函数是由数学家柯布和经济学家道格拉斯于20世纪30年代提出来的。柯布—道格拉斯生产函数被认为是一种很有用的生产函数，因为该函数以其简单的形式具备了经济学家所关心一些性质，它在经济理论的分析和应用中都具有一定意义。 （三）特点 1、生产函数反映的是在既定的生产技术条件下投入和产出之间的数量关系。如果技术条件改变，必然会产生新的生产函数。 2、生产函数反映的是某一特定要素投入组合在技术条件下能且只能产生的最大产出。 （四）分类 生产函数分一种可变投入生产函数和多种可变投入生产函数。 1、一种可变投入生产函数 对既定产品，技术条件不变、固定投入(通常是资本）一定、一种可变动投入（通常是劳动)与可能生产的最大产量间的关系，通常又称作短期生产函数。 2、多种可变投入生产函数 在考察时间足够长时，可能两种或两种以上的投入都可以变动、甚至所有的投入都可以变动，通常称为长期生产函数。 二、柯布-道格拉斯生产函数
实验八 道格拉斯生产函数的估计与Wald检验
实验八 道格拉斯生产函数的估计与Wald 检验 一、实验目的 练习模型选择及非线性回归模型的估计方法。用NLS 法估计成本函数、C-D 生产函数，利用C-D 函数测定宏观经济技术进步率，用NLS 法估计CES 生产函数，并掌握参数约束的Wald 检验。 二、实验要求 运用给定的数据，依据相应的经济学理论，完成模型估计、选优、检验和应用等，掌握相应的EViews 操作方法。 三、实验内容 1．选择成本函数的数学形式 结合经济学中成本理论的有关知识，调用虚拟资料2.1CF 。考虑三个备选模型：（1）双曲线：X b b Y 10+ = ；（2）对数曲线：X b b Y ln 10+=；（3）幂函数曲线：10b X b Y = 具体做法： （1）调入数据2.1CF （2）打出散点图，观察数据是否适宜采用线性形式？ （3）分别用上述三个模型对数据进行拟合估计，有两种做法： A.线性化后运用回归命令进行OLS 法估计（运用genr 命令生成新变量）； B.直接对模型进行非线性模型估计（NLS 法，直接输入模型表达式）。 请比较分别用两种方式估计后的输出结果有无异同？ （4）比较三种模型估计输出结果：可决系数R 2的变化；t 、F 检验的结论；AIC 、SC 准则的表现等，决定哪一个模型为最优？ 2．C-D 生产函数的估计和应用——测定宏观经济技术进步率及要素贡献率 基本原理：反映技术进步的生产函数的一般形式为：)),(),((t t K t K f Y =。这种生产函数分为三类：Hicks 中性技术进步、Harrod 中性技术进步和Solow 中性技术进步。当技术进步类型为Hicks 中性时，理论形式写为： βαL K e A Y m t 0= （1） 对（1）式两边取对数得： mt L K A Y +++=ln ln ln ln 0βα （2） 对（2）式两边微分得：m dt dL L dt dK K dt dY Y dt Y d ++==111)(ln βα （3） 将（3）式对应表示为： m l k y ++= βα （4） （4）式中α、β分别是劳动弹性和资本弹性，m 为技术进步率，l k y m - βα-=，
柯布道格拉斯函数
柯布——道格拉斯生产函数估计 对于柯布——道格拉斯生产函数模型 Y i = AKi^αL i^βe^u i ，i= 1,2,....,n 其中，Y表示产出量，K表示资金投入量，L表示劳动投入量，u是随机误差项，A，α，β为未知参数。这是一个k = 2的幂函数模型。我利用的是北京市1996——2010年间的有关统计资料，估计北京市全社会的C—D生产函数模型。 GDPi = AKi^αL i^βe^u i ，i= 1,2,... .,n 两边取对数，得到 lnGDP = lnA + αlnKi + βlnLi + ui 令 Yi = lnGDP , X1i = lnKi , X2i = lnLi, β0 = lnA, β1=α, β2 = β,则可将柯布——道格拉斯生产函数模型转化成标准的二元线性回归模型 Y i= β0 +β1X1i +β2X2i + ui 北京市1996——2010年地区生产总值（GDP）、资金和从业人员统计资料 资金K（亿元）从业人员L（万人）年份GDP（当年价格） （亿元） 19961789.25376.9660.2 19972077.16261.2655.8 19982377.27455.6622.2 19992678.88570.6618.6 20003161.79697.4619.3 2001370810730.5628.9 2002431511314.3679.2 20035007.212157.1703.3 20046033.213528.3854.1 20056969.514927.2878 20068117.816571.5919.7 20079846.819966.6942.7 20081111521848.5980.9 20091215323658.4998.3 201014113.625493.51031.6 利用Eviews的生产程序，得到新变量Y，X1，X2的数据如表所示 年份Y X1X2 19967.4895 8.5899 6.4925 19977.6387 8.7421 6.4859 19987.7737 8.9167 6.4333 19997.8931 9.0561 6.4275 20008.0589 9.1796 6.4286
柯布_道格拉斯生产函数及其应用
柯布-道格拉斯生产函数及其应用 ［内容提要］ 生产函数是指在一定时期内，在技术水平不变的情况下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系。柯布—道格拉斯生产函数是在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了技术资源这一因素。用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，它是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，采用的边际分析方法，可用于分析要素投入对产量（产出）的贡献率、规模收益和其他系列问题。柯布—道格拉斯生产函数模型广泛应用于经济数量分析，运用我国1990-2008年的相关数据，运用应用统计学的方法来验证我国经济增长方式是粗放式的，提出应该加大科技创新投入，进而加快促进技术进步，深化经济和政治体制改革来加快我国省经济增长方式的转变。 ［关键词］生产函数柯布道格拉斯经济数量分析经济增长 一、生产函数 （一）简述 生产函数是指在一定时期内，在技术水平不变的情况下，生产中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系。它可以用一个数理模型、图表或图形来表示。换句话说，就是一定技术条件下投入与产出之间的关系，在处理实际的经济问题时，生产函数不仅是表示投入与产出之间关系的对应，更是一种生产技术的制约。例如，在考虑成本最小化问题时，必须要考虑到技术制约，而这个制约正是由生产函数给出的。另外，在宏观经济学的增长理论中，在讨论技术进步的时候，生产函数得到了很大的讨论。
（二）常见生产函数 1、固定投入比例生产函数 固定投入比例生产函数是指在每一个产量水平上任何一对要素投入量之间的比例都是固定的生产函数。 2、柯布-道格拉斯生产函数 柯布-道格拉斯生产函数是由数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家道格拉斯(PaulH.Douglas)于20世纪30年代提出来的。柯布—道格拉斯生产函数被认为是一种很有用的生产函数，因为该函数以其简单的形式具备了经济学家所关心一些性质，它在经济理论的分析和应用中都具有一定意义。 （三）特点 1、生产函数反映的是在既定的生产技术条件下投入和产出之间的数量关系。如果技术条件改变，必然会产生新的生产函数。 2、生产函数反映的是某一特定要素投入组合在技术条件下能且只能产生的最大产出。 （四）分类 生产函数分一种可变投入生产函数和多种可变投入生产函数。 1、一种可变投入生产函数 对既定产品，技术条件不变、固定投入(通常是资本）一定、一种可变动投入（通常是劳动)与可能生产的最大产量间的关系，通常又称作短期生产函数。 2、多种可变投入生产函数 在考察时间足够长时，可能两种或两种以上的投入都可以变动、甚至所有的投入都可以变动，通常称为长期生产函数。 二、柯布-道格拉斯生产函数
柯布-道格拉斯生产函数概述
柯布-道格拉斯生产函数概述（来源背景作用） 柯布—道格拉斯生产函数最初是美国数学家柯布(C.W.Cobb)和经济学家保罗·道格拉斯(Paul H. Douglas)共同探讨投入和产出的关系时创造的生产函数，是以美国数学家C．W．柯布和经济学家保罗．H．道格拉斯的名字命名的。是在生产函数的一般形式上作出的改进，引入了技术资源这一因素。用来预测国家和地区的工业系统或大企业的生产和分析发展生产的途径的一种经济数学模型，简称生产函数。是经济学中使用最广泛的一种生产函数形式，它在数理经济学与经济计量学的研究与应用中都具有重要的地位。他们根据有关历史资料，研究了从1899－1922年美国的资本和劳动对生产的影响，在技术经济条件不变的情况下，得出了产出与投入的劳动力及资本的关系。但是柯布－道格拉斯生产函数中把技术水平A作为固定常数，难以反映出因技术进步而给产出带来的影响。 柯布—道格拉斯生产函数中，如果有任何一种投入品为零，则产出也为零，因此对于生产来说，每种生产要素都是必需的，没有一种要素可以完全替代另一种要素。 柯布—道格拉斯生产函数是采用的边际分析方法，可用于分析要素投入对产量（产出）的贡献率、规模收益和其他系列问题。是生产函数中应用广泛的一种！ 根据研究目的和需要，现在有很多在柯布——道格拉斯生产函数基础上变形应用的函数形式。 [编辑] 柯布-道格拉斯生产函数的基本形式 柯布-道格拉斯生产函数的基本形式为： Y = A(t)LαKβμ 式中Y是工业总产值，At是综合技术水平，L是投入的劳动力数（单位是万人或人）,K是投入的资本，一般指固定资产净值（单位是亿元或万元，但必须与劳动力数的单位相对应，如劳动力用万人作单位，固定资产净值就用亿元作单位）,α 是劳动力产出的弹性系数,β是资本产出的弹性系数,μ表示随机干扰的影响，μ≤1。从这个模型看出，决定工业系统发展水平的主要因素是投入的劳动力数、固定资产和综合技术水平（包括经营管理水平、劳动力素质、引进先进技术等）。根据α 和β的组合情况,它有三种类型： ①α＋β>1, 称为递增报酬型，表明按现有技术用扩大生产规模来增加产出是有利的。
柯布道格拉斯生产函数模型
生产函数模型——经济增长分析 柯布—道格拉斯生产函数的基本的形式为： 式中Y是工业总产值 A(t)是综合技术水平 L是投入的劳动力数（万人/人） K是投入的资本，一般指固定资产净值（亿元/万元，但必须与劳动力数的单位相对应， 劳动力：万人，固定资产净值：亿元）α是劳动力产出的弹性系数 β是资本产出的弹性系数 μ表示随机干扰的影响，μ≤1 从这个模型看出，决定工业系统发展水平的主要因素是投入的劳动力数L、固定资产K 和综合技术水平A(t)（包括经营管理水平、劳动力素质、引进先进技术等）。根据α 和β的组合情况，它有三种类型： ①α+β>1，递增报酬型，表明按现有技术水平扩大生产规模的来增加产出是有利的。 ②α+β<1，递减报酬型，表明按现有技术水平扩大生产规模来增加产出是得不偿失的。 ③α+β=1，不变报酬型，表明生产效率并不会随着生产规模的扩大而提高，只有提高技术水平，才会提高经济效益。 美国经济学家R.M.斯诺提出的中性技术模式即斯诺模型属于不变报酬型。当μ=1时，斯诺模型为： 根据柯布-道格拉斯生产函数可以得到下列经济参数（设μ＝1）： ①劳动力边际生产力表示在资产不变时增加单位劳动力所增加的产值。 ②资产边际生产力表示在劳动力不变时增加单位资产所增 加的产值。 ③劳力对资产的边际代换率表示产值不变时增加单位劳动力所能减少的资产值。
④劳动力产出弹性系数，表示劳动力投入的变化引起产值的变化的速率。 ⑤资产产出弹性系数,表示资产投入的变化引起产值变化的速率。国际上一般取α＝0.2～0.4,β=0.8～0.6。中国根据国家计委测算一般可取α＝0.2～0.3,β＝0.8～0.7。 （三）斯诺模型 美国经济学家R.M.斯诺提出的中性技术模式即斯诺模型属于不变报酬型。当μ＝1时，斯诺模型为： Y = A(t)L1 ? εKε 或，式中(1-ε)是劳动力产出的弹性系数。根据弹性系数的经济意义和数学意义,。这里p是产出价格,q 是资本价格。当p＝q时,。。它表示对生产技术水平、经营管理水平和服务水平的综合评价，全面反映企业的适应能力、竞争能力和生存能力。A(t)值越大，水平越高。 根据柯布-道格拉斯生产函数可以得到下列经济参数（设μ＝1）： ①劳动力边际生产力表示在资产不变时增加单位劳动力所增加的产值。 ②资产边际生产力表示在劳动力不变时增加单位资产所增 加的产值。 ③劳力对资产的边际代换率表示产值不变时增加单位劳动力所能减少的资产值。 ④劳动力产出弹性系数，表示劳动力投入的变化引起产值的变化的速率。
道格拉斯生产函数的应用
道格拉斯生产函数的应用 邵林 陈春霞 李坪 摘要：本文通过道格拉斯生产函数及全微分方程的应用，完美解释了产品表面价值、实际价值、物价指数增长率之间的关系。很好的解决了在道格拉斯生产函数模型下企业应雇佣多少工人能使利润最大这一实际问题。 关键词：道格拉斯生产函数；全微分方程；利润 引言 通过对经济增长模型的学习，我们深入了解了道格拉斯生产函数模型，对此我们考虑到产品的表面价值)(t y 不止与产品实际价值)(t Q 有关系，还与当时的物价指数)(t p 有关，因而我们假设产品的表面价值)(t y ，实际价值)(t Q 和物价指数)(t p 之间满足)()()(t p t Q t y =，并对)(),(),(t p t Q t y 的相对增长率作了深入探究。 通过对)(),(),(t p t Q t y 的相对增长率的探究，我们要解决一个常见的实际问题，即企业雇佣多少工人可使企业利润最大。要解决这一实际问题，我们需要道格拉斯生产函数模型，可以假设：雇用工人数目为)(t L ，每个工人工资)(t w ，企业的利润简化为从产品的收入)(t y 中扣除工人工资和固定成本。从而雇佣工人与企业利润之间的关系可通过常微分方程的思想解决。 1 道格拉斯生产函数 道格拉斯生产函数反应了产量，资金和劳动力之间的关系。对研究企业最优化生产具有重要意义。 用)(t Q 、)(t K 、)(t L 分别表示某一地区部门在时刻t 的产值、资金和劳动力，他们的关系可以一般地记作 ))(),(()(t L t K F t Q = 其中F 待定函数，对于固定的时刻t ，上述关系可写作 ),(L Q F Q =