若四面体ABCD的三组对棱分别相等
若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB=CD,AC=BD，AD=BC，则
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（2012?安徽）若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB=CD，AC=BD，AD=BC，则
②④⑤
（写出所有正确结论编号）
①四面体ABCD每组对棱相互垂直
②四面体ABCD每个面的面积相等
③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°
④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段互垂直平分
⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．
考点：棱锥的结构特征．
专题：压轴题；阅读型．
分析：①将四面体ABCD的三组对棱分别看作平行六面体的对角线，由于三组对棱分别相等，所以平行六面体为长方体．结合长方体的性质判断
②四面体ABCD的每个面是全等的三角形，面积是相等的．
③由②，从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角能够等量代换为同一个三角形内的三个内角，它们之和为180°．
④连接四面体ABCD每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分
⑤由①，设所在的长方体长宽高分别为a，b，c，则每个顶点出发的三条棱长分别为
22
+
+
易知能构成三角形．
解答：解：①将四面体ABCD的三组对棱分别看作平行六面体的对角线，由于三组对棱分别相等，所以平行六面体为长方体．由于长方体的各面不一定为正方形，所以同一面上的面对角线不一定垂直，从而每组对棱不一定相互垂直．①错误
②四面体ABCD的每个面是全等的三角形，面积是相等的．②正确
③由②，四面体ABCD的每个面是全等的三角形，从四面体ABCD每个顶
点出发的三条棱两两夹角能够等量代换为同一个三角形内的三个内角，它们之和为180°．③错误
④连接四面体ABCD 每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分④正确 ⑤由①，设所在的长方体长宽高分别为
a ，
b ，
c ，则每个顶点出发的三条棱长分别为
22+
市场口中学高二（下）3月月考数
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三棱锥的一个体积公式及其两条推论
三棱锥的一个体积公式及其两条推论 (李明 中国医科大学数学教研室 110001) 摘要:本文利用空间向量这个强有力的数学工具推导出了三棱锥的一个体积公 式 1 6 V =a b c 、、为三条侧楞的 长度，αβγ、、为它们的相互夹角，即三个侧面顶角)，并由该公式推演出了两条推论. 关键词: 三棱锥 体积公式 等夹角三棱锥 最大体积 0引言 我们知道,如果 OAB ?的两条边OA a OB b ==、,其夹角AOB α∠=(显然 (0,)απ∈),则OAB ?的面积1 sin 2 S ab α=(如图1).将此结论类比到空间(如图2),我们 便有如下问题:如果三棱锥O ABC -的三条侧棱OA a OB b OC c ===、、,其夹角 AOB BOC COA αβγ∠=∠=∠=、、(显然(0,),(0,2)αβγπαβγπ∈++∈、、),则 三棱锥O ABC -的体积V 如何用这些已知的棱长a b c 、、及已知的夹角αβγ、、来表示呢?即体积V 的公式是什么呢? 1 推导体积V 的公式 首先,在图2的基础上,以三棱锥O ABC -的顶点O 为坐标原点,以OA 为x 轴正向,以垂直于OAB ?所在的平面的方向为z 轴建立右手空间直角坐标系Oxyz (如图3). 图3 x
在图3中,(,0,0),(cos ,sin ,0),(,,)OA a OB b b OC x y z αα=== (其中x y z 、、为未知 数),将这些向量带入如下向量方程组: cos cos OC c OB OC OB OC OA OC OA OC βγ ?=???=???=?? 我们便得到如下关于x y z 、、的代数方程组: 2222cos sin cos cos x y z c x y c x c ααβγ?++=? +=??=? 由此方程组我们可以求得 : z 于是三棱锥的体积为 111 sin 3321 (1) 6 AOB V S z z ab α ?==?= 2 两条推论 由体积公式(1),我们可以推演出如下两条推论.其中推论2的证明略微复杂,下文将详细给出证明步骤,而推论1的证明显而易见,不予赘述. 推论1(等夹角三棱锥体积公式)如图4,在三棱锥O ABC -中,如果三条侧棱 OA a OB b OC c ===、、,其夹角AOB BOC COA θ∠=∠=∠=(显然2 (0,)3 θπ∈),则 三棱锥O ABC -的体积为 1 (1cos (2)6 V abc θ=- B b O a c 图5 C B b A O a c θ θ θ 图4 C
三棱锥的体积
锥体的体积 教学重点和难点 三棱锥体积公式及其探求． 教学设计过程 （一）复习三个问题（学生口答） 1．锥体平行于底面的截面的性质 2．祖暅原理 3．柱体的体积公式及探求思路 （二）学生探求锥体体积公式 1．底面积是S，高是h的柱体体积公式的探求思路？ 构造一个与所给柱体等底面积等高的长方体，由祖暅原理知，它们的体积相等，所以V 柱体 =Sh． 2．等底面积等高的两个锥体的体积之间有什么关系呢？ 用祖暅原理．设有任意两个锥体，不妨选取一个三棱锥，一个四棱锥，并设它们的底面积都是S，高都是h（如图1）．①把这两个锥体的底面放在同一个平面α上，由于它们的高相等，故它们的顶点必在与α平行的同一个平面β上，即这两个锥体可夹在两个平行平面α，β 之间；②用平行于平面α的任意平面去截这两个锥体，设截面面积分别为S 1，S 2 ，截面和顶点 的距离是h 1 ，体积分别 由祖暅原理知：V 1=V 2 ．（生叙述师板书） 可以叙述为：等底面积等高的两个锥体的体积相等． 3．如何求出锥体的体积？ 怎样研究三棱锥的体积呢？（板书：三棱锥的体积，并作出一个底面积为S的，高为h 的三棱锥A＇－ABC，（如图2） 图1
（1）补成三棱柱，把三棱锥A＇－ABC以底面△ABC为底面，AA＇为侧棱补成个三棱柱ABC －A＇B＇C＇． （2）分割成三个三棱锥．（补形过程及分割过程由学生完成） 怎样证明这三个三棱锥1，2，3等体积呢？ （学生思考两个锥体等体积的依据——前面定理的条件：（1）等底面积，（2）等高） 在三棱锥1，2中，S△ ABA＇=S △B＇A＇B ，又由于它们有相同顶点C，故高也相等，所以V 1 =V 2 ．又 在三棱锥2，3中，S △BCB＇=S △B＇C＇C ，它们有相同顶点A＇，故高也相等．所以V 2 =V 3 ，所以V 1 =V 2 =V 3 ． 一般锥体的体积又如何呢？（设一般锥体的底面积为S，高为h） 构造一个三棱锥，使其底面积为S，高为h，由于等底面积 （三）锥体体积公式的简单应用 例1、如图7，在正方体ABCD－A＇B＇C＇D＇中，已知棱长为a，求：（1）三棱锥B＇－ABC的体积； （2）这个三棱锥的体积是正方形体积的几分之几； （3）B到平面AB＇C的距离？ 分析（3）：注意到三棱锥B－AB＇C与三棱锥B＇－ABC是同一个三棱锥． S △AB＇C 也易求，这样h即可求出． 巧用了三棱锥的体积，使问题的求解变得十分简捷．这种方法称作顶点转换法，有时也称作等积转换法．
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3、台体 ①棱台 ②圆台 4、球体 ①球： ②球冠：略 ③球缺：略 说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线计算。 三、拓展提高 1、祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子） 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。 最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。 2、阿基米德原理：（圆柱容球） 圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是的圆柱形容器内装一个最大的球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的。
分析：圆柱体积： 圆柱侧面积： 因此：球体体积： 球体表面积： 通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图） += 即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、台体体积公式 公式： 证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形。 延长两侧棱相交于一点。 设台体上底面积为，下底面积为 高为。 易知：∽，设， 则 由相似三角形的性质得：
即：(相似比等于面积比的算术平方根) 整理得： 又因为台体的体积=大锥体体积—小锥体体积 ∴ 代入：得： 即： ∴ 4、球体体积公式推导 分析：将半球平行分成相同高度的若干层（），越大，每一层越近似于圆柱，时，每一层都可以看作是一个圆柱。这些圆柱的高为，则：每个圆柱的体积= 半球的体积等于这些圆柱的体积之和。 ……
空间几何体的表面积体积公式(大全)
空间几何体的表面积与体积公式大全 一、 全（表）面积（含侧面积） 1、 柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2、 锥体 ① 棱锥：h c S ‘ 底棱锥侧2 1= ② 圆锥：l c S 底圆锥侧2 1 = 3、 台体 ① 棱台：h c c S ) (2 1 ‘下底上底棱台侧+= ② 圆台：l c c S )(2 1 下底上底棱台侧+= 4、 球体 ① 球：r S 24π=球 ② 球冠：略 ③ 球缺：略 二、 体积 1、 柱体 ① 棱柱 ② 圆柱 2、 锥体 ① 棱锥 ② 圆锥
3、 ① 棱台 ② 圆台 4、 球体 ① 球： r V 33 4 π=球 ② 球冠：略 ③ 球缺：略 说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h ' 计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线l 计算。 三、 拓展提高 1、 祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子） 夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。 最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。 2、 阿基米德原理：（圆柱容球） 圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是r 2 的圆柱形容器内装一个最大的 球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的3 2 。
分析：圆柱体积：r r h S V r 3 222)(ππ=?==圆柱 圆柱侧面积：r h c S r r 2 42)2(ππ=?==圆柱侧 因此：球体体积：r r V 333 423 2ππ=?=球 球体表面积：r S 24π=球 通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图） + = 即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和 3、 台体体积公式 公式： )(31 S S S S h V 下下 上 上 台++= 证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD 。 延长两侧棱相交于一点P 。 设台体上底面积为S 上，下底面积为S 下高为h 。 易知：PDC ?∽PAB ?，设h PE 1=， 则h h PF +=1 由相似三角形的性质得：PF PE AB CD =
立体几何 换底求体积(大题)
高一数学立体几何专题 换底求体积（大题） 一、技巧方法讲解： 二、典型例题 1、如图，三棱锥ABC P -中，PB ⊥底面ABC ， 90BCA ∠=， 4===CA BC PB ，E 为PC 的中点， M 为AB 的中点，点F 在PA 上，且2AF FP =. （1）求证：BE ⊥平面PAC ； （2）求证：//CM 平面BEF ； （3）求三棱锥ABE F -的体积 2、如图，AB 为圆O 的直径，点E 、F 在圆O 上，AB ∥EF ，矩形ABCD 所在的平面和圆O 所在的平面互相垂直，且2AB =，1AD EF ==. （1）求证：AF ⊥平面CBF ； （2）设FC 的中点为M ，求证：OM ∥平面DAF ； （3）求三棱锥F CBE -的体积. 3、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD ABCD ⊥底面 ，且PA PD ==，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点. （1）求证：EF ∥平面PAD ； （2）求证：平面PDC ⊥平面PAD . （3）求四棱锥P ABCD -的体积P ABCD V -.
4、如图所示的长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与 BD 的交点，1BB =M 是线段11B D 的中点． (1)求证：//BM 平面1D AC ； (2)求三棱锥11D AB C -的体积． 5、如图5所示，在三棱锥ABC P - 中，AB BC == ，平面⊥PAC 平面ABC ， AC PD ⊥于点D ， 1AD =，3CD =，2=PD ． （1）求三棱锥ABC P -的体积； （2）证明△PBC 为直角三角形． 6、四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是边长为2A 的正方形，各侧棱均与底面边长相等，E 、F 分别是PA 、PC 的中点. (1) 求证：PC//平面BDE (2) 求证：平面BDE 丄平面BDF; (3) 求四面体E —BDF 的体积. 图5 B P A D
最新立体几何求体积题目
1、如图5所示，在三棱锥ABC P - 中，AB BC ==平面⊥PAC 平面ABC ，AC PD ⊥于点D ， 1AD =， 3CD =，2=PD ． （1）求三棱锥ABC P -的体积；（2）证明△PBC 为直角三角形． 2、如图，E 为矩形ABCD 所在平面外一点，⊥AD 平面ABE ，AE=EB=BC=2，F 为CE 是的点，且⊥BF 平面ACE ， G BD AC =? （1）求证：⊥AE 平面BCE ； （2）求三棱锥C —BGF 的体积。 3、如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，2AD AC DE AB ====1，且F 是CD 的中点．AF = （Ⅰ）求证：AF ∥平面BCE ； （Ⅱ）求证：平面BCE ⊥平面CDE ； (III) 求此多面体的体积． 4、在如图4所示的几何体中，平行四边形ABCD 的顶点都在以AC 为直径的圆O 上，AD CD DP a === ， AP CP ==，//DP AM ，且1 2 AM DP = ，,E F 分别为,BP CP 的中点. (I)证明：//EF 平面ADP ; (II)求三棱锥M ABP -的体积. A B C D E F (18题图) 图5 B P A D
5、在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中,E 是线段11A C 的中点,底面ABCD 的中心是F. (1)求证:CE ⊥BD ；(2)求证:CE ∥平面1A BD ；(3)求三棱锥1D A BC -的体积. 6、矩形ABCD 中，AD AB =2，E 是AD 中点，沿BE 将ABE ?折起到'A BE ?的位置，使' ' AC A D =，F G 、分别是BE CD 、中点. （1）求证：F A '⊥CD ； （2）设2=AB ，求四棱锥BCDE A -'的体积. 7、如图，在四棱锥P ABCD -中，底面A B C D 是边长为2的正方形，侧面PAD ABCD ⊥底面，且 2 P A P D A D == ，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点. （1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）求证：平面PDC ⊥平面PAD . （3）求四棱锥P ABCD -的体积P ABCD V -.
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立体几何求体积、点到平面的距离专题（文科） 如图，三棱柱 111 ABC A B C -中，侧面11 BB C C是边长为2且160 CBB ∠=?的菱形，1 AB AC =．（1）证明：平面 1 AB C⊥平面11 BB C C． （2）若 1 AB B C ⊥，AB BC =，求点B到平面111 A B C的距离． 【答案】（1）见解析；（2 【解析】（1）连接 1 BC交1B C于O，连接AO， 侧面 11 BB C C为菱形，∴11 B C BC ⊥；1 AB AC =，O为1BC的中点， 1 AO BC ∴⊥，又1B C AO O=，1BC ∴⊥平面1AB C， 1 BC?平面11 BB C C，∴平面1AB C⊥平面11 BB C C． （2）由 1 AB B C ⊥，1 BO B C ⊥，AB BO B=，1B C ∴⊥平面ABO，AO?平面ABO， 又 1 AO BC ⊥，11 BC B C O =，AO ∴⊥平面11 BB C C， 菱形 11 BB C C的边长为2且0 1 60 CBB ∠=，BO ∴=， 2 AB BC ==，1 AO ∴=又1 CO=，AC111 ABC A B C S S == △△ ， 设点B到平面 111 A B C的距离为h， 一、（优质试题河北石家庄高三质量检测（二））
111 11111 h ?= ，∴点B 到平面111A B C 的距离为 如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ， 60PAC BAC ∠=∠=?，4AC =，3AP =，2AB =． （1）求三棱锥P ABC -的体积； （2）求点C 到平面PAB 的距离． 【答案】（1）3；（2 【解析】（1）过P 作PH AC ⊥交AC 于一点H ， 平面PAC ⊥平面ABC ，PH ∴⊥平面ABC ． 在PAC △中，60PAC ∠=?，3PA =，则3PH ==32 AH =． ABC △面积11 sin6024sin6022 S AB AC = ????=????=△． ∴四面体P ABC -体积11333ABC V S PH =??=?=△． （2）在ABC △中，连接BH ．则2 22 3313222cos60224BH ??=+-????= ??? ， 2 22213 10 4PB PH HB =+=+=?? ，PB ∴ 在PAB △中，3PA =，2AB =，PB =2232101 cos 2324 PAB +-∴∠==??， sin PAB ∠= ；1232PAB S ∴= ??=△ 设C 点到平面PAB 距离为h ，由等体积法可知，11 333 PAB ABC S h S PH ?=??=△△，133h ∴=；从而h = ，C ∴点到平面PAB 二、(优质试题湖北武汉高三二月调研)