天津天津市武清区杨村第一中学等比数列经典例题 百度文库

一、等比数列选择题

1．已知等比数列{}n a 的前n 项和的乘积记为n T ，若29512T T ==，则n T 的最大值为（ ） A ．152

B ．142

C ．132

D ．122

2．已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，则下列命题一定正确的是（ ） A ．若S 2021＞0，则a 3+a 1＞0 B ．若S 2020＞0，则a 3+a 1＞0 C ．若S 2021＞0，则a 2+a 4＞0

D ．若S 2020＞0，则a 2+a 4＞0

3．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a 、3a 、6a 成等比数列，则{}n a 的前6项的和为（ ） A ．24-

B ．3-

C ．3

D ．8

4．在等比数列{}n a 中，11a =，427a =，则352a a +=（ ） A ．45

B ．54

C ．99

D ．81

5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2

13a a =，且数列{}13n S a -也为等比数列，则

n a 的表达式为（ ）

A ．12n

n a ??= ???

B ．1

12n n a +??= ???

C ．23n

n a ??= ???

D ．1

23n n a +??= ???

6．等比数列{}n a 的各项均为正数，且101010113a a =.则313232020log log log a a a ++

+=

（ ） A ．3

B ．505

C ．1010

D ．2020

7．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件

11a >，66771

1,

01

a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．681a a >

B ．01q <<

C ．n S 的最大值为7S

D ．n T 的最大值为7T

8．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，416a =-，314S a =+，则公比q 为（ ） A ．2-

B ．2-或1

C ．1

D ．2

9．已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若543264328a a a a +--=，则7696a a +的最小值为（ ） A ．12

B ．18

C ．24

D ．32

10．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有

大吕

=

大吕

=

太簇．据此，可得

正项等比数列{}n a 中，k a =（ ）

A

．n -

B

．n -C

． D

． 11．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了363盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的中间一层共有灯（ ） A ．3盏

B ．9盏

C ．27盏

D ．81盏

12．已知q 为等比数列{}n a 的公比，且1212a a =-，31

4a =，则q =（ ） A ．1- B ．4

C ．12-

D ．12

±

13．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，121a a +=，344a a +=，则

5678a a a a +++=（ ）

A ．80

B ．20

C ．32

D ．

255

3

14．正项等比数列{}n a 满足：241a a =，313S =，则其公比是（ ） A ．

14

B ．1

C ．

12

D ．

13

15．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，22

6598225a a a a ++=，则113a a 的最大值是

（ ） A ．25

B ．

254

C ．5

D ．

25

16．若数列{}n a 是等比数列，且17138a a a =，则311a a =（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 17．已知1，a ，x ，b ，16这五个实数成等比数列，则x 的值为（ ）

A ．4

B ．－4

C ．±4

D ．不确定

18．正项等比数列{}n a 的公比是1

3

，且241a a =，则其前3项的和3S =（ ） A ．14

B ．13

C ．12

D ．11

19．已知等比数列的公比为2，其前n 项和为n S ，则3

3

S a =（ ） A ．2

B ．4

C ．

74 D ．

158

20．已知等比数列{}n a 的前5项积为32，112a <<，则35

124

a a a +

+的取值范围为（ ） A ．73,2??????

B ．()3,+∞

C ．73,2?? ???

D ．[

)3,+∞

二、多选题

21．一个弹性小球从100m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的

2

3

再落下.设它第n 次着地时，经过的总路程记为n S ，则当2n ≥时，下面说法正确的是（ ） A ．500n S < B ．500n S ≤

C ．n S 的最小值为

700

3

D ．n S 的最大值为400

22．已知数列{},{}n n a b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为,{}n n S b 的前n 项和为,n T 且满足*112,2()n n n n n a a n b b n N +++=?=∈，则下列结论正确的是（ ）

A ．101a <<

B

．11b <<

C ．22n n S T <

D ．22n n S T ≥

23．已知1a ，2a ，3a ，4a 依次成等比数列，且公比q 不为1.将此数列删去一个数后得到的数列（按原来的顺序）是等差数列，则正数q 的值是（ ） A

B

C

D

24．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1+14,()n n a S a n N *

==∈，数列12(1)n n n n a +?

?

+?

?+??

的

前n 项和为n T ，n *∈N ，则下列选项正确的是（ ） A ．24a =

B ．2n

n S =

C ．38

n T ≥

D ．12

n T <

25．计算机病毒危害很大，一直是计算机学家研究的对象.当计算机内某文件被病毒感染后，该病毒文件就不断地感染其他未被感染文件.计算机学家们研究的一个数字为计算机病毒传染指数0,C 即一个病毒文件在一分钟内平均所传染的文件数，某计算机病毒的传染指数02,C =若一台计算机有510个可能被感染的文件，如果该台计算机有一半以上文件被感染，则该计算机将处于瘫疾状态.该计算机现只有一个病毒文件，如果未经防毒和杀毒处理，则下列说法中正确的是（ ）

A ．在第3分钟内，该计算机新感染了18个文件

B ．经过5分钟，该计算机共有243个病毒文件

C ．10分钟后，该计算机处于瘫痪状态

D ．该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为2的等比数列 26．关于递增等比数列{}n a ，下列说法不正确的是（ ） A ．10a >

B ．1q >

C ．1

1n

n a a +< D ．当10a >时，

1q >

27．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，满足13a =，且1a ，22a -，34a 成等差数列，则下列结论正确的是（ ） A ．1

13()2

n n a -=?-

B ．36n

n S a =+

C ．若数列{}n a 中存在两项p a ，s a 3a =，则19p s +的最小值为83

D ．若1n n t S m S ≤-

≤恒成立，则m t -的最小值为116

28．记单调递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）

A ．1

12n n n S S ++-= B ．12n n a

C ．21n

n S =-

D ．1

21n n S -=-

29．已知集合{

}*

21,A x x n n N

==-∈，{}*

2,n

B x x n N ==∈将A

B 的所有元素从

小到大依次排列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为（ ） A ．25

B ．26

C ．27

D ．28

30．已知数列{}n a 的前n 项和为n S 且满足111

30(2),3

n n n a S S n a -+=≥=，下列命题中正确的是（ ） A ．1n S ??

?

???

是等差数列 B ．13n S n

=

C ．1

3(1)

n a n n =-

-

D ．{}

3n S 是等比数列

31．在《增减算法统宗》中有这样一则故事：三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．则下列说法正确的是（ ） A ．此人第三天走了二十四里路

B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里

C ．此人第二天走的路程占全程的

14

D ．此人走的前三天路程之和是后三天路程之和的8倍 32．设数列{}n a 满足*

12335(21)2(),n a a a n a n n ++++-=∈N 记数列{

}21

n

a n +的前n 项和为,n S 则（ ）

A ．12a =

B ．2

2

1

n a n =

- C ．21

n n

S n =

+ D ．1n n S na +=

33．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a = B ．954S =

C ．135********a a a a a +++

+=

D ．

222

122019

20202019

a a a a a +++= 34．在公比q 为整数的等比数列{}n a 中，n S 是数列{}n a 的前n 项和，若 1418a a +=， 2312a a +=，则下列说法正确的是（ ）

A ．2q

B ．数列{}2n S +是等比数列

C ．8

510S =

D ．数列{}lg n a 是公差为2的等差数列

35．将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（ ）

A ．m ＝3

B ．7

67173a =?

C ．()1

313

j ij a i -=-?

D ．()()1

31314

n S n n =

+-

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、等比数列选择题 1．A 【分析】

根据29T T =得到7

61a =，再由2121512a a a q ==，求得1,a q 即可.

【详解】

设等比数列{}n a 的公比为q ，

由29T T =得：7

61a =， 故61a =，即5

11a q =. 又2

121512a a a q ==，

所以9

1

512

q =， 故12

q =

， 所以()()21112

2

123411...2n n n n n n n T a a a a a a q

--??=== ???

,

所以n T 的最大值为15

652T T ==.

故选：A. 2．A 【分析】

根据等比数列的求和公式及通项公式，可分析出答案. 【详解】

等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，当1q ≠时，

202112021(1)01a q S q

-=>-，

因为2021

1q

-与1q -同号，

所以10a >，

所以2

131(1)0a a a q +=+>，

当1q =时，

2021120210S a =>，

所以10a >，

所以1311120a a a a a +=+=>， 综上，当20210S >时，130a a +>， 故选：A 【点睛】

易错点点睛：利用等比数列求和公式时，一定要分析公比是否为1，否则容易引起错误，本题需要讨论两种情况. 3．A 【分析】

根据等比中项的性质列方程，解方程求得公差d ，由此求得{}n a 的前6项的和.

【详解】

设等差数列{}n a 的公差为d ，由2a 、3a 、6a 成等比数列可得2

326a a a =，

即2

(12)(1)(15)d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-， 故{}n a 前6项的和为616(61)6(61)

661(2)2422

S a d ?-?-=+=?+?-=-. 故选：A 4．C 【分析】

利用等比数列的通项与基本性质，列方程求解即可 【详解】

设数列{}n a 的公比为q ，因为3

41a a q =，所以3q =，所以24

352299a a q q +=+=.

故选C 5．D 【分析】

设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，111133(3)n S a na a n a -=-=-，该式可以为0，不是等比数列，当1q ≠时，11113311n n a a

S a q a q q

-=-

?+---，若是等比数列,则11301a a q -=-，可得2

3

q =，利用213a a =，可以求得1a 的值，进而可得n a 的表达式 【详解】

设等比数列{}n a 的公比为q

当1q =时，1n S na =，所以111133(3)n S a na a n a -=-=-， 当3n =时，上式为0，所以{}13n S a -不是等比数列. 当1q ≠时，(

)1111111n n

n a q a a

q S q

q q

-==-

?+---， 所以11113311n n a a

S a q a q q

-=-

?+---， 要使数列{}13n S a -为等比数列，则需

11301a a q -=-，解得2

3

q =. 21

3a a =，2

123a ??

∴= ???

，

故2

1

1

1

1222333n n n n a a q -+-??????=?=?= ? ? ???

??

??

.

故选：D. 【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是熟记等比数列的前n 项和公式，等比数列通项公式的一般形式，由此若11113311n n a a S a q a q q -=-?+---是等比数列，则11301a

a q

-=-，即可求得q 的值，通项即可求出. 6．C 【分析】

利用等比数列的性质以及对数的运算即可求解. 【详解】

由120202201932018101010113a a a a a a a a =====，

所以313232020log log log a a a ++

+

()10103101010113log log 31010a a ===.

故选：C 7．B 【分析】

根据11a >，66771

1,01

a a a a -><-，分0q < ，1q ≥，01q <<讨论确定q 的范围，然后再逐项判断. 【详解】

若0q <，因为11a >，所以670,0a a <>，则670a a ?<与671a a ?>矛盾， 若1q ≥，因为11a >，所以671,1a a >>，则67101a a ->-，与671

01

a a -<-矛盾， 所以01q <<，故B 正确；

因为

671

01

a a -<-，则6710a a >>>，所以()26870,1a a a =∈，故A 错误； 因为0n a >，01q <<，所以1

11n n a q a S q q

=

---单调递增，故C 错误； 因为7n ≥时，()0,1n a ∈，16n ≤≤时，1n a >，所以n T 的最大值为6T ，故D 错误； 故选：B 【点睛】

关键点点睛：本题的关键是通过穷举法确定01q <<. 8．A 【分析】

由416a =-，314S a =+列出关于首项与公比的方程组，进而可得答案. 【详解】 因为314S a =+， 所以234+=a a ，

所以()2

13

1416

a q q a q ?+=??=-??， 解得2q =-， 故选：A . 9．C 【分析】

将已知条件整理为()()2

2

121328a q q q -+=，可得()

2

218

3221q q a q +=

-，进而可得

()4

4

2

7612249633221

q a a a q q q q +=+=-，分子分母同时除以4q ，利用二次函数的性质即

可求出最值. 【详解】

因为{}n a 是等比数列，543264328a a a a +--=，

所以432

111164328a q a q a q a q +--=，

()()222

1232328a q q q q q ??+-+=??， 即()()2

2

121328a q q q -+=，所以()

2

218

3221q q a q +=

-，

()()46

5

4

2

4

7611112

2124

82424

9696332321

2121q a a a q a q a q q q a q q a q q q +=+=+=?==---，

令

210t q =>，则()22

24

21211t t t q q -=-=--+， 所以211t q

==，即1q =时2421

q q -最大为1，此时24

24

21q q -最小为24， 所以7696a a +的最小值为24， 故选：C 【点睛】

易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项： (1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；

(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；

(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化. 10．C

【分析】

根据题意，由等比数列的通项公式，以及题中条件，即可求出结果. 【详解】

因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为

11n n a a q -=

，所以q =

所以11

1

111k k n n k a a a a a ---?? ?

?== ?

?

?

1111

n k k n n n

a a

----==? 故选：C. 11．C 【分析】

根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，分析可得每层灯的数目构成以x 为首项，1

3

为公比的等比数列，由等比数列的前n 项和公式可得x 的值，即可得答案． 【详解】

根据题意，设塔的底层共有x 盏灯，则每层灯的数目构成以x 为首项，1

3

为公比的等比数列，

则有51(1)

3363

1

13

x S ?-

=

=-， 解可得：243x =，

所以中间一层共有灯2

1243()273

?=盏. 故选：C 【点睛】

思路点睛：要求中间一层的灯的数量，只需求等比数列的首项，根据等比数列的和求出数列的首项即可. 12．C 【分析】

利用等比通项公式直接代入计算，即可得答案； 【详解】

()21114

221

11111

22211121644a a q a q q q q a q a q ??=-=--??????=?=-????=?=

????

， 故选：C. 13．A 【分析】

由条件求出公比q ，再利用前4项和和公比求5678a a a a +++的值. 【详解】

根据题意，由于{}n a 是各项均为正数的等比数列，

121a a +=，()234124a a q a a +==+，∴24q =，0q >，2q

则()()4

56781234161480a a a a q a a a a +++=+++=+=.

故选：A 14．D 【分析】

根据241a a =，由2

243a a a =，解得31a =，再根据313S =求解.

【详解】

因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，

由于2

243a a a =，

所以2

31a =，31a =，211a q =.

因为313S =， 所以1q ≠. 由()()31231111a q S a q q q

-=

=++-

得2

2

131q q q =++， 即2

1210q q --=， 解得13q =，或1

4

q =-（舍去）. 故选：D 15．B 【分析】

由等比数列的性质，求得685a a +=，再结合基本不等式，即可求得113a a 的最大值，得到答案. 【详解】

由等比数列的性质，可得()2

2222

65986688682225a a a a a a a a a a ++=++=+=，

又因为0n a >，所以685a a +=，所以2

68113682524a a a a a a +??=≤=

???

，

当且仅当685

2

a a ==时取等号． 故选：B . 16．C 【分析】

根据等比数列的性质，由题中条件，求出72a =，即可得出结果. 【详解】

因为数列{}n a 是等比数列，由17138a a a =，得3

78a =，

所以72a =，因此2

31174a a a ==.

故选：C. 17．A 【分析】

根据等比中项的性质有216x =，而由等比通项公式知2

x q =，即可求得x 的值. 【详解】

由题意知：216x =，且若令公比为q 时有2

0x q =>，

∴4x =， 故选：A 18．B 【分析】

根据等比中项的性质求出3a ，从而求出1a ，最后根据公式求出3S ； 【详解】

解：因为正项等比数列{}n a 满足241a a =，由于2243a a a =，所以2

31a =. 所以31a =，2

11a q ∴=，因为1

3

q =

，所以19a =. 因此()3131131a q S q

-==-.

故选：B 19．C 【分析】

利用等比数列的通项公式和前n 项和公式代入化简可得答案 【详解】

解：因为等比数列的公比为2，

所以313

12311(12)

7712244

a S a a a a --===?， 故选：C 20．C 【分析】

由等比数列性质求得3a ，把35

124

a a a ++表示为1a 的函数，由函数单调性得取值范围． 【详解】

因为等比数列{}n a 的前5项积为32，所以53

32a =，解得32a =，则2

3511

4a a a a =

=，35

124

a a a +

+ 1111a a =++

，易知函数()1

f x x x

=+在()1,2上单调递增，所以351

73,242a a a ??++∈ ???， 故选：C ． 【点睛】

关键点点睛：本题考查等比数列的性质，解题关键是选定一个参数作为变量，把待求值的表示为变量的函数，然后由函数的性质求解．本题蝇利用等比数列性质求得32a =，选1a 为参数．

二、多选题

21．AC 【分析】

由运动轨迹分析列出总路程n S 关于n 的表达式，再由表达式分析数值特征即可 【详解】

由题可知，第一次着地时，1

100S =；第二次着地时，221002003

S =+?；

第三次着地时，2

32210020020033S ??

=+?+? ???；……

第n 次着地后，2

1

222100200200200333n n S -??

??

=+?+?+

+? ? ?

??

??

则2

1

1222210020010040013333n n n S --????

????

??=++++=+- ? ? ? ? ? ? ?????

???

???

，显然500n S <，又n S 是关于n 的增函数，2n ≥，故当2n =时，n S 的最小值为400700

10033

+=； 综上所述，AC 正确 故选：AC

22．ABC 【分析】

利用数列单调性及题干条件，可求出11,a b 范围；求出数列{},{}n n a b 的前2n 项和的表达式，利用数学归纳法即可证明其大小关系，即可得答案. 【详解】

因为数列{}n a 为递增数列， 所以123a a a <<，

所以11222a a a <+=，即11a <， 又22324a a a <+=，即2122a a =-<， 所以10a >，即101a <<，故A 正确； 因为{}n b 为递增数列， 所以123b b b <<，

所以2

1122b b b <=

，即1b < 又2

2234b b b <=，即21

2

2b b =

<， 所以11b >

，即11b <<，故B 正确；

{}n a 的前2n 项和为21234212()()()n n n S a a a a a a -=++++???++

= 22(121)

2[13(21)]22

n n n n +-++???+-=

=，

因为12n n n b b +?=，则1

122n n n b b +++?=，所以22n n b b +=，

则{}n b 的2n 项和为13212422()()n n n b b b b b b T -=++???++++???+

=1101101122(222)(222)()(21)n n n

b b b b --++???++++???+=+-

1)1)n n

>-=-，

当n =1

时，222,S T =>，所以22T S >，故D 错误； 当2n ≥时

假设当n=k

时，21)2k k ->

21)k k ->， 则当n=k +1

1121)21)21)2k k k k k ++-=

+-=->

2221(1)k k k >++=+

所以对于任意*n N ∈

，都有21)2k k ->，即22n n T S >，故C 正确 故选：ABC 【点睛】

本题考查数列的单调性的应用，数列前n 项和的求法，解题的关键在于，根据数列的单调性，得到项之间的大小关系，再结合题干条件，即可求出范围，比较前2n 项和大小时，需

灵活应用等差等比求和公式及性质，结合基本不等式进行分析，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题. 23．AB 【分析】

因为公比q 不为1，所以不能删去1a ，4a ，设等差数列的公差为d ，分类讨论，即可得到答案 【详解】

解：因为公比q 不为1，所以不能删去1a ，4a ，设等差数列的公差为d ， ①若删去2a ，则有3142a a a =+，得231112a q a a q =+，即2321q q =+， 整理得()()()2

111q

q q q -=-+，

因为1q ≠，所以21q q =+， 因为0q >

，所以解得12

q +=

， ②若删去3a ，则2142a a a =+，得31112a q a a q =+，即3

21q q =+，

整理得(1)(1)1q q q q -+=-，因为1q ≠，所以(1)1q q +=， 因为0q >

，所以解得q =，

综上q =

或q =， 故选：AB 24．ACD 【分析】

在1+14,()n n a S a n N *

==∈中，令1n =，则A 易判断；由3

2122S a a =+=，B 易判断；

令12(1)n n n b n n a ++=

+，13

8

b =，

2n ≥时，()()1112211(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++=

==-++?+?，裂项求和3182

n T ≤<，则CD 可判断. 【详解】

解：由1+14,()n n a S a n N *

==∈，所以2114a S a ===，故A 正确；

32212822S a a =+==≠，故B 错误；

+1n n S a =，12,n n n S a -≥=，所以2n ≥时，11n n n n n a S S a a -+=-=-，

1

2n n

a a +=， 所以2n ≥时，2422n n

n a -=?=，

令12(1)n n n b n n a ++=

+，12123

(11)8

b a +=

=+， 2n ≥时，()()11

12211

(1)12212n n n n n n n b n n a n n n n +++++=

==-++?+?，

113

8

T b ==，2n ≥时，

()()2334

113111111111

8223232422122122

n n n n T n n n ++=+-+-+

+

-=-

82

n T ≤<，故CD 正确；

故选：ACD. 【点睛】

方法点睛：已知n a 与n S 之间的关系，一般用()11,12n n

n a n a S S n -=?

=?-≥?递推数列的通项，注

意验证1a 是否满足()12n n n a S S n -=-≥；裂项相消求和时注意裂成的两个数列能够抵消求和. 25．ABC 【分析】

设第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +，前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S ，则

()121n n a S +=+，且12a =，可得123n n a -=?，即可判断四个选项的正误.

【详解】

设第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +，前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S ，则

()121n n a S +=+，且12a =，

由()121n n a S +=+可得()121n n a S -=+，两式相减得：12n n n a a a +=-，

所以13n n a a +=，所以每分钟内新感染的病毒构成以12a =为首项，3为公比的等比数列，

所以1

23n n a -=?，

在第3分钟内，该计算机新感染了31

32318a -=?=个文件，故选项A 正确；

经过5分钟，该计算机共有()551234521311324313

a a a a a ?-+++++=+==-个病毒文

件，故选项B 正确；

10分钟后，计算机感染病毒的总数为

()

1010512102131

11310132

a a a ?-+++

+=+

=>?-，

所以计算机处于瘫痪状态，故选项C 正确； 该计算机瘫痪前，每分钟内新被感染的文件数成公比为3的等比数列，故选项D 不正确；

故选：ABC 【点睛】

关键点点睛：解决本题的关键是读懂题意，得出第1n +分钟之内新感染的文件数为1n a +与 前n 分钟内新感染的病毒文件数之和为n S 之间的递推关系为()121n n a S +=+，从而求得

n a .

26．ABC 【分析】

由题意，设数列{}n a 的公比为q ，利用等比数列{}n a 单调递增，则

111(1)0n n n a a a q q -+-=->，分两种情况讨论首项和公比，即可判断选项.

【详解】

由题意，设数列{}n a 的公比为q ，

因为1

1n n a a q -=，

可得1

11(1)0n n n a a a q

q -+-=->，

当10a >时，1q >，此时1

01n

n a a +<<， 当10a <时，1

01,1n

n a q a +<<>， 故不正确的是ABC. 故选：ABC. 【点睛】

本题主要考查了等比数列的单调性.属于较易题. 27．ABD 【分析】

根据等差中项列式求出1

2

q =-

，进而求出等比数列的通项和前n 项和，可知A ，B 正确；

3a =求出15p s =??=?或24p s =??=?或42p s =??=?或5

1

p s =??=?，可知19p s +的最小值为114

，C 不正确；利用1n

n y S S =-关于n S 单调递增，求出1n n S S -的最大、最小值可得结果. 【详解】

设等比数列{}n a 的公比为q ，

由13a =，21344a a a -=+得2

43343q q -?=+?，解得1

2

q =-

，所以11

3()2

n n a -=?-，

1

3(1())

1221()121()2

n n n S --??==-- ???--；

1111361()66()63()63222n n n n n S a -?

?=--=--=+?-=+ ??

?；所以A ，B 正确；

3a =，则23p s a a a ?=，1122111()p s p s a a a q a q a q --?==，

所以11

4p s q q

q --=，所以6p s +=，

则15p s =??

=?或24p s =??=?或42p s =??=?或51p s =??=?

，此时19145p s +=或114或194或465；C 不正确，

122,2121()2122,2n

n n n

n S n ???

+? ?????

?=--=? ?????

?- ?????

为奇数为偶数， 当n 为奇数时，(2,3]n S ∈，当n 为偶数时，3

[,2)2

n S ∈，

又1n n y S S =-

关于n S 单调递增，所以当n 为奇数时，138

(,]23

n n S S -

∈，当n 为偶数时，153

[,)62n n S S -

∈，所以83

m ≥，56t ≤，所以8511366m t -≥-=，D 正确， 故选：ABD . 【点睛】

本题考查了等差中项的应用，考查了等比数列通项公式，考查了等比数列的前n 项和公式，考查了数列不等式恒成立问题，属于中档题. 28．BC 【分析】

根据数列的增减性由所给等式求出1a d 、，写出数列的通项公式及前n 项和公式，即可进行判断. 【详解】

数列{a n }为单调递增的等比数列，且24100a a +=>，0n a ∴>

23464a a a =，2364a ∴=，解得34a =，

2410a a +=，4

410q q

∴+=即22520q q -+=，解得2q

或

12

， 又数列{a n }为单调递增的等比数列，取2q

，3124

14

a a q =

==，

1

2

n n

a ，212121

n n n S -==--，()1121212n n n

n n S S ++-=---=.

故选：BC 【点睛】

本题考查等比数列通项公式基本量的求解、等比数列的增减性、等比数列求和公式，属于基础题. 29．CD 【分析】

由题意得到数列{}n a 的前n 项依次为231,2,3,2,5,7,2,9 ，利用列举法，结合等差数列

以及等比数列的求和公式，验证即可求解. 【详解】

由题意，数列{}n a 的前n 项依次为2

3

1,2,3,2,5,7,2,9

，

利用列举法，可得当25n =时，A

B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，

则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,

37,39,2,4,8,16,32，

可得52520(139)2(12)

40062462212

S ?+-=+=+=-，2641a =，所以2612492a =，

不满足112n n S a +>； 当26n =时，A

B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，

则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,

37,39,41,2,4,8,16,32，

可得52621(141)2(12)

44162503212

S ?+-=+=+=-，2743a =，所以2612526a =，

不满足112n n S a +>； 当27n =时，A

B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，

则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,

37,39,41,43,2,4,8,16,32，

可得52722(143)2(12)

48462546212

S ?+-=+=+=-，2845a =，所以2712540a =，

满足112n n S a +>； 当28n =时，A

B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ，

则数列{}n a 的前25项分别为：1,3,5,7,9,11,13,

37,39,41,43,45,2,4,8,16,32，

可得52823(145)2(12)

52962591212

S ?+-=+=+=-，2947a =，所以2812564a =，

满足112n n S a +>，

所以使得112n n S a +>成立的n 的可能取值为27,28. 故选：CD.

【点睛】

本题主要考查了等差数列和等比数列的前n 项和公式，以及“分组求和法”的应用，其中解答中正确理解题意，结合列举法求得数列的前n 项和，结合选项求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 30．ABD 【分析】

由1(2)n n n a S S n -=-≥代入已知式，可得{}n S 的递推式，变形后可证1n S ??

????

是等差数列，

从而可求得n S ，利用n S 求出n a ，并确定3n S 的表达式，判断D ． 【详解】

因为1(2)n n n a S S n -=-≥，1130n n n n S S S S ---+=，所以

1

113n n S S --=， 所以1n S ??

?

???

是等差数列，A 正确； 公差为3，又

11113S a ==，所以1

33(1)3n n n S =+-=，13n S n

=．B 正确；

2n ≥时，由1n n n a S S -=-求得1

3(1)

n a n n =

-，但13a =不适合此表达式，因此C 错；

由1

3n S n =

得1

311333n n n S +==?，∴{}

3n S 是等比数列，D 正确．

故选：ABD ． 【点睛】

本题考查等差数列的证明与通项公式，考查等比数列的判断，解题关键由

1(2)n n n a S S n -=-≥，化已知等式为{}n S 的递推关系，变形后根据定义证明等差数列．

31．BD 【分析】

根据题意，得到此人每天所走路程构成以1

2

为公比的等比数列，记该等比数列为{}n a ，公比为1

2

q =

，前n 项和为n S ，根据题意求出首项，再由等比数列的求和公式和通项公式，逐项判断，即可得出结果. 【详解】

由题意，此人每天所走路程构成以1

2

为公比的等比数列， 记该等比数列为{}n a ，公比为1

2

q =

，前n 项和为n S ，