概率及分布列.
六.平均(非平均分组问题除法策略
例6.(1 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法?
(2将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法?
(3某校高二年级共有六个班级,现从外地转入4名学生,要安排到该年
级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为______
七.元素相同问题隔板策略
例七.有10个相同的球,分给7个不同的盒子,每个盒子至少一个球,有多少种分配方案?
练习:1.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一个球,共有多少装法?
2. x+y+z+w+h=10,求这个方程的正整数解的组数.
3.x+y+z+w=100求这个方程的自然数解的组数
八.实际操作穷举(着色策略
例八.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法?
1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有____ 种?
2.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有____种.
九.定序问题倍缩(空位、插入策略
例9.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少种不同的排法
练习:10人身高各不相等,排成前后两排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法
十.排列组合混合问题先选后排策略
例11.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.
一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有________ 种
1、设ξ是服从二项分布B(n,p的随机变量,又E(ξ=15,D(ξ=45
4,则n与p
的值为(
A.60,3
4B.60,
1
4C.50,
3
4 D.50,
1
4
2、已知袋中装有6个白球、2个黑球,从中任取3个球,则取到白球个数ξ的
期望E(ξ=(
A.2
B.59
28 C.
61
28 D.
9
4
3、已知随机变量X的分布列为:
则E(6X+8等于____.
4、已知随机变量ξ的分布列如下:
其中a,b,c成等差数列,若E(ξ=1
3,则D(ξ的值是____.
5、设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k= c
k(k+1
,
k=1,2,3,c为常数,则P(0.5<ξ<2.5=____.
6、随机变量ξ的分布列如下:
则:(1x=____;(2P(ξ>3=____;(3P(1≤ξ<4=____.
7、设p为非负实数,随机变量X的概率分布列为:
则EX的最大值为____;DX的最大值为____.
8、某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定:在一次摸奖中,摸奖者先从装有3个红球与4个白球的袋中任意摸出3个球,再从装有1个蓝球与2个白球的袋中任意摸出1个球.根据摸出4个球中红球与蓝球的个数,设一、二、三等奖如下:
其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级.
(1求一次摸奖恰好摸到1个红球的概率;
(2求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望E(X.
9、某次选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考试,否则即被淘汰,已知某选手能正确回答一、二、三轮的问题的概率分别为
45,35,25,且各轮问题能否正确回答互不影响.
(1求该选手被淘汰的概率;
(2该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ,求随机变量ξ的分布列与数学期望
10、从 5 名男生和 4 名女生中选出 4 人去参加辩论比赛.
(1求参加辩论比赛的 4 人中有 2 名女生的概率;
(2设ξ为参加辩论比赛的女生人数,求ξ的分布列及数学期望.
11、某商店储存的 50 个灯泡中,甲厂生产的灯泡占 60%,乙厂生产的灯泡占40%,甲厂生产的灯泡的一等品率是 90%,乙厂生产的灯泡的一等品率是 80%.
(1若从这 50 个灯泡中随机抽取出一个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等,则它是甲厂生产的一等品的概率是多少?
(2若从这 50 个灯泡中随机抽取出两个灯泡(每个灯泡被取出的机会均等,这两个灯泡中是甲厂生产的一等品的个数记为ξ,求E(ξ的值.
12、已知某种从太空飞船中带回的植物种子每粒成功发芽的概率都为—,某植物研究所分2个小组分别独立开展该种子的发芽实验,每次实验种一粒种子,如果某次没有发芽,则称该次实验是失败的.
(1第一小组做了3 次实验,记该小组实验成功的次数为X,求X 的概率分布列及数学期望;
(2第二小组进行实验,到成功了4 次为止,求在第4 次成功之前共有 3 次失败的概率.
13、某种有奖销售的饮料,瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样,购买一瓶
若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖,中奖概率为1
6.甲、乙、丙三位同学每
人购买了一瓶该饮料.
(1求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率;
(2求中奖人数ξ的分布列及数学期望E(ξ.
14、一个袋中装有6 个形状大小完全相同的小球,球的编号分别为1,2,3,4,5,6.
(1若从袋中每次随机抽取1 个球,有放回的抽取2 次,求取出的两个球编号之和为6 的概率;
(2若从袋中每次随机抽取2 个球,有放回的抽取3 次,求恰有2 次抽到6 号球的概率;
(3若一次从袋中随机抽取3 个球,记球的最大编号为X,求随机变量X 的分布列.
大学概率论与数理统计复习资料
第一章 随机事件及其概率 知识点：概率的性质 事件运算 古典概率 事件的独立性 条件概率 全概率与贝叶斯公式 常用公式 ) ()()()()()2(加法定理AB P B P A P B A P -+= ) ,,() ()(211 1 有限可加性两两互斥设n n i i n i i A A A A P A P ∑===) ,(0 )()()()()(互不相容时独立时与B A AB P B A B P A P AB P ==) ()()()()5(AB P A P B A P B A P -==-) () ()()()(时当A B B P A P B A P B A P ?-==-))0(,,()()/()()()6(211 >Ω=∑=i n n i i i A P A A A A B P A P B P 且的一个划分为其中全概率公式 ) ,,()] (1[1)(211 1 相互独立时n n i i n i i A A A A P A P ∏==--=) /()()/()()()4(B A P B P A B P A P AB P ==) (/)()/()3(A P AB P A B P =) () /()() /()()/()7(1 逆概率公式∑== n i i i i i i A B P A P A B P A P B A P )(/)()(/)()1(S L A L A P n r A P ==
应用举例 1、已知事件,A B 满足)()(B A P AB P =，且6.0)(=A P ，则=)(B P （ ）。 2、已知事件,A B 相互独立，,)(k A P =6.0)(,2.0)(==B A P B P ，则=k （ ）。 3、已知事件,A B 互不相容，,3.0)(=A P ==)(,5.0)(B A P B P 则（ ）。 4、若,3.0)(=A P ===)(,5.0)(,4.0)(B A B P B A P B P （ ）。 5、,,A B C 是三个随机事件，C B ?，事件()A C B - 与A 的关系是（ ）。 6、5张数字卡片上分别写着1，2，3，4，5，从中任取3张，排成3位数，则排成3位奇数的概率是（ ）。 某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘汽车。 （1）试求他在5:40~5:50到家的概率； （2）结果他是5:47到家的。试求他是乘地铁回家的概率。 解（1）设1A ={他是乘地铁回家的}，2A ={他是乘汽车回家的}， i B ={第i 段时间到家的}，4,3,2,1=i 分别对应时间段5:30~5:40，5:40~5:50，5:50~6:00，6:00以后 则由全概率公式有 )|()()|()()(2221212A B P A P A B P A P B P += 由上表可知4.0)|(12=A B P ，3.0)|(22=A B P ，5.0)()(21==A P A P 35.05.03.04.05.0)(2=?+?=B P （2）由贝叶斯公式 7 4 35.04.05.0)()()|(22121=?== B P B A P B A P 8、盒中12个新乒乓球，每次比赛从中任取3个来用，比赛 后仍放回盒中，求：第三次比赛时取到3个新球的概率。 看作业习题1: 4, 9, 11, 15, 16
概率统计分布表(常用)
标准正态表
2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857 2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990 3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995 3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998 3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 3.9 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000
统计学统计学概率与概率分布练习题
第5章 概率与概率分布 练习题 5.1 写出下列随机事件的基本空间： （1） 抛三枚硬币。 （2） 把两个不同颜色的球分别放入两个格子。 （3） 把两个相同颜色的球分别放入两个格子。 （4） 灯泡的寿命（单位：h ）。 （5） 某产品的不合格率（%）。 5.2 假定某布袋中装有红、黄、蓝、绿、黑等5个不同颜色的玻璃球，一次从中取出3个球， 请写出这个随机试验的基本空间。 5.3 试定义下列事件的互补事件： （1） A ={先后投掷两枚硬币，都为反面}。 （2） A ={连续射击两次，都没有命中目标}。 （3） A ={抽查三个产品，至少有一个次品}。 5.4 向两个相邻的军火库发射一枚导弹，如果命中第一个和第二个军火库的概率分别是、， 而且只要命中其中任何一个军火库都会引起另一个军火库的爆炸。试求炸毁这两个军火库的概率有多大。 5.5 已知某产品的合格率是98%，现有一个检查系统，它能以的概率正确的判断出合格品， 而对不合格品进行检查时，有的可能性判断错误（错判为合格品），该检查系统产生错判的概率是多少 5.6 有一男女比例为51：49的人群，已知男人中5%是色盲，女人中%是色盲，现随机抽中 了一个色盲者，求这个人恰好是男性的概率。 根据这些数值，分别计算： （1） 有2到5个（包括2个与5个在内）空调器出现重要缺陷的可能性。 （2） 只有不到2个空调器出现重要缺陷的可能性。 （3） 有超过5个空调器出现重要缺陷的可能性。 5.8 设X 是参数为4=n 和5.0=p 的二项随机变量。求以下概率： （1）)2( 5.9 一条食品生产线每8小时一班中出现故障的次数服从平均值为的泊松分布。求： （1） 晚班期间恰好发生两次事故的概率。 （2） 下午班期间发生少于两次事故的概率。 （3） 连续三班无故障的概率。 5.10 假定X 服从12=N ，7=n ，5=M 的超几何分布。求： （1）)3(=X P 。（2）)2(≤X P 。（3）)3(>X P 。 5.11 求标准正态分布的概率： （1）)2.10(≤≤Z P 。 （2）)49.10(≤≤Z P 。 （3）)048.0(≤≤-Z P 。 （4）)037.1(≤≤-Z P 。 （5）)33.1(>Z P 。 5.12 由30辆汽车构成的一个随机样本，测得每百公里的耗油量数据（单位：L ）如下： 试判断该种汽车的耗油量是否近似服从正态分布 5.13 设X 是一个参数为n 和p 的二项随机变量，对于下面的四组取值，说明正态分布是否 为二项分布的良好近似 （1）30.0,23==p n 。（2）01.0,3==p n 。 （3）97.0,100==p n 。（4）45.0,15==p n 。 概率与离散型随机变量分布列 类型一 学会踩点 [例1] (高考原题·山东青岛诊断)(本题满分12分)为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度．不超过22公里的地铁票价如下表： 过6公里的概率分别为14，1 3，甲、乙乘车超过6公里且不超过12公里的概率分别为12，13. (1)求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率； (2)设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望． 解：(1)由题意可知，甲、乙乘车超过12公里且不超过22公里的概率分别为1 4， 1 3，(2分) 则甲、乙两人所付乘车费用相同的概率P 1＝14×13＋12×13＋14×13＝1 3.(3分) 所以甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率P ＝1－P 1＝1－13＝2 3.(6分) (2)由题意可知，ξ＝6,7,8,9,10. 且P (ξ＝6)＝14×13＝1 12， P (ξ＝7)＝14×13＋12×13＝1 4. P (ξ＝8)＝14×13＋14×13＋12×13＝1 3. P (ξ＝9)＝12×13＋14×13＝1 4. P (ξ＝10)＝14×13＝1 12，(10分) 所以ξ的分布列为 则E(ξ)＝6×1 12＋7× 1 4＋8× 1 3＋9× 1 4＋10× 1 12＝8.(12分) 评分细则：得分点及踩点说明 (1)第(1)问采用对立事件求概率，必须有计算甲、乙两人所付乘车费用相同的概率P1的内容，否则扣3分； (2)第(2)问中缺少ξ的可能取值6,7,8,9,10，者扣1分； (3)第(2)问中，直接得P(ξ＝6)＝1 12，P(ξ＝7)＝ 1 4，P(ξ＝8)＝ 1 3，P(ξ＝9)＝ 1 4，P(ξ ＝10)＝1 12和分布列者扣4分； (4)计算E(ξ)无计算过程扣1分． 1．(高考原题·高考全国甲卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下： (1) (2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； (3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． 解：(1)设A表示事件“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故 P(A)＝0.2＋0.2＋0.1＋0.05＝0.55. . 标准正态表 x 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545 . 概率、随机变量及其分布列 1．概率 （1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别。（2）了解两个互斥事件的概率加法公式。（3）理解古典概型及其概率计算公式。（4）了解条件概率。 2．两个事件相互独立，n次独立重复试验 （1）了解两个事件相互独立的概念；（2）理解n次独立重复试验的模型并能解决一些实际问题； 3．离散型随机变量及其分布列 （1）理解取有限个值的离散随机变量及其分布列的概念。（2）理解二项分布，并解决一些简单问题。 4．离散型随机变量的均值、方差 （1）理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念； （2）能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题。 要点考向1：古典概型 考情聚焦：1．古典概型是高考重点考查的概率模型，常与计数原理、排列组合结合起来考查。2．多以选择题、填空题的形式考查，属容易题。 考向链接：1．有关古典模型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数，这常常用到计数原理与排列、组合的相关知识。 2．在求基本事件的个数时，要准确理解基本事件的构成，这样才能保证所求事件所包含的基本事件数的求法与基本事件总数的求法的一致性。 3．对于较复杂的题目，要注意正确分类，分类时应不重不漏。 基本知识点： 事件的定义：随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件； 2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率m n 总是接近 某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作() P A． 3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率；4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1 P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形 一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A 6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相 等，那么每个基本事件的概率都是1 n 7．等可能性事件的概率公式及一般求解方法：如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且 《概率论与数理统计》复习提要第一章随机事件与概率1．事件的关系 2．运算规则（1）（2）（3）（4） 3．概率满足的三条公理及性质：（1）（2）（3）对互不相容的事件，有（可以取）（4）（5） （6），若，则，（7）（8） 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率（1）定义：若，则（2）乘法公式：若为完备事件组，，则有（3）全概率公式： （4） Bayes公式： 7．事件的独立 性：独立（注意独立性的应用）第二章随机变量与概率分 布 1．离散随机变量：取有限或可列个值，满足（1），（2）（3）对 任意， 2．连续随机变量：具有概率密度函数，满足（1）（2）； （3）对任意， 4．分布函数，具有以下性质（1）；（2）单调非降；（3）右连续；（4），特别；（5）对离散随机变量，； （6）为连续函数，且在连续点上， 5．正态分布的 概率计算以记标准正态分布的分布函数，则有（1）；（2）；（3） 若，则；（4）以记标准正态分布的上侧分位 数，则 6．随机变量的函数（1）离散时，求的值，将相同的概率相加；（2）连续，在的取值范围内严格单调，且有一阶连续导 数，，若不单调，先求分布函数，再求导。第三章随机向量 1．二维离散随机向量，联合分布列，边缘分布，有（1）；（2 （3）， 2．二维连续随机向量，联合密度，边缘密度，有 （1）；（2）（4）（3）；，3．二维均匀分布，其中为的面积 4．二维正态分布 且； 5．二维随机向量的分布函数有（1）关于单调非降；（2）关 于右连续；（3）；（4），，；（5）；（6）对 二维连续随机向量， 6．随机变量的独立性独立（1） 离散时独立（2）连续时独立（3）二维正态分布独立，且 7．随机变量的函数分布（1）和的分布的密度（2）最大最小分布第四章随机变量的数字特征 1．期望 (1) 离散时 (2) 连续 时， ；，； (3) 二维时， (4)； （5）；（6）；（7）独立时， 2．方差（1）方差，标准差（2）； （3）；（4）独立时， 3．协方差 （1）；；；（2）（3）；（4）时， 称不相关，独立不相关，反之不成立，但正态时等价；（5） 4．相关系数；有， 5．阶原点矩，阶中心矩第五章大数定律与中心极限定理 1．Chebyshev不等式 2．大数定律 3．中心极限定理（1）设随机变量独立同分布， 或，或 六.平均(非平均分组问题除法策略 例6.(1 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法? (2将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法? (3某校高二年级共有六个班级,现从外地转入4名学生,要安排到该年 级的两个班级且每班安排2名,则不同的安排方案种数为______ 七.元素相同问题隔板策略 例七.有10个相同的球,分给7个不同的盒子,每个盒子至少一个球,有多少种分配方案? 练习:1.10个相同的球装5个盒中,每盒至少一个球,共有多少装法? 2. x+y+z+w+h=10,求这个方程的正整数解的组数. 3.x+y+z+w=100求这个方程的自然数解的组数 八.实际操作穷举(着色策略 例八.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球,并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法? 1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有____ 种? 2.给图中区域涂色,要求相邻区域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有____种. 九.定序问题倍缩(空位、插入策略 例9.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少种不同的排法 练习:10人身高各不相等,排成前后两排,每排5人,要求从左至右身高逐渐增加,共有多少排法 十.排列组合混合问题先选后排策略 例11.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. 一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有________ 种 1、设ξ是服从二项分布B(n,p的随机变量,又E(ξ=15,D(ξ=45 4,则n与p 的值为( A.60,3 4B.60, 1 4C.50, 3 4 D.50, 1 4 2、已知袋中装有6个白球、2个黑球,从中任取3个球,则取到白球个数ξ的 1.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，……，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B 的人数为 （A ）7 （B ） 9 （C ） 10 （D ）15 解：采用系统抽样方法从960人中抽取32人，将整体分成32组，每组30人，即30=l ，第k 组的号码为 930)1(+-k ，令750930)1(451≤+-≤k ，而z k ∈，解得2516≤≤k ，则满足2516≤≤k 的整数k 有 10个，故答案应选C 。 2．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::，现用分层抽样的方法从该校 高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取 15 名学生． 解：分层抽样又称分类抽样或类型抽样。将总体划分为若干个同质层，再在各层内随机抽样或机械抽样，分层抽样的特点是将科学分组法与抽样法结合在一起，分组减小了各抽样层变异性的影响，抽样保证了所抽取的样本具有足够的代表性。因此，由350=15334 ? ++知应从高二年级抽取15名学生。 3、某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为B （A ）7 （B ）15 （C ）25 （D ）35 解：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7:5:3，所以样本容量为 715 7 15= 4、从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。由图中数据可知a ＝ 0.030 。若要从身高在[ 120 , 130），[130 ，140) , [140 , 150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140 ，150]内的学生中选取的人数应为 3 。 5. 从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进 行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示），设甲乙两组数据的平均数分别为x 甲，x 乙，中位数分别为m 甲， m 乙，则（ B ） A ．x x <甲乙，m 甲>m 乙 B ．x x <甲乙，m 甲 【湖南省历年高考试题】 （2011湖南18试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变）,设某天开始营业时有该商品3件,当天营业结束后检查存货,若发现存量少于2件,则当天进货补充至3件,否则不进货，将频率视为概率. （1）求当天商店不进货的概率； （2）记X 为第二天开始营业时该商品的件数,求X 的分布列和数学期望. 解析：（1）记当天商店销售i 件该商品为事件i A ,0,1,2,3i =.当天商店不进货为事件B , 则01153 ()()().202010 P B P A P A =+= += （2）由题意知, X 的可能取值为2,3. 151(2)();204P X P A ====0231953 (3)()()().2020204 P X P A P A P A ==++=++= 故X 的数学期望为311 23.444 EX =?+?= 【备考点津】该题型注重考查与生活生产有关的实际问题的理解能力,在运算能力方面的考 查比超几何分布型、二项分布型及独立事件型概率题要求要低. 【高考仿真试题】 1.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的（1）确定,x y 的值,并求顾客一次购物的结算时间X 的分布列与数学期望； （2）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过 2.5分钟的概率.（注：将频率视为概率） 解析：（1）由已知得251055,3045,y x ++=+=所以15,20.x y ==则 153(1),10020P X == =303( 1.5),10010P X ===251 (2),1004P X === 201101 ( 2.5),(3).100510010 P X P X ====== 标准正态表 x 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 概率论与数理统计中的三种重要分布 摘要：在概率论与数理统计课程中，我们研究了随机变量的分布，具体地研究了离散型随机变量的分布和连续型随机变量的分布，并简单的介绍了常见的离散型分布和连续型分布，其中二项分布、Poisson 分布、正态分布是概率论中三大重要的分布。因此，在这篇文章中重点介绍二项分布、Poisson 分布和正态分布以及它们的性质、数学期望与方差，以此来进行一次比较完整的概率论分布的学习。 关键词：二项分布；Poisson 分布；正态分布；定义；性质 一、二项分布 二项分布是重要的离散型分布之一，它在理论上和应用上都占有很重要的地位，产生 这种分布的重要现实源泉是所谓的伯努利试验。 （一）泊努利分布[Bernoulli distribution ] (两点分布、0-1分布) 1．泊努利试验 在许多实际问题中，我们感兴趣的是某事件A 是否发生。例如在产品抽样检验中，关心的是抽到正品还是废品；掷硬币时，关心的是出现正面还是反面，等。在这一类随机试验中，只有两个基本事件A 与A ，这种只有两种可能结果的随机试验称为伯努利试验。 为方便起见，在一次试验中，把出现A 称为“成功”，出现A 称为“失败” 通常记(),p A P = () q p A P =-=1。 2．泊努利分布 定义：在一次试验中，设p A P =)(，p q A P -==1)(，若以ξ记事件A 发生的次数， 则??? ? ??ξp q 10 ~，称ξ服从参数为)10(< 《概率统计》公式、符号汇总表及各章要点 （共3页） 第一章 均独立。 与与与此时独立与B A B A B A B P A P AB P B A B P AB P B A P ,,);()()( ) ()()( (1)?=?= ) () ()()( )()()()()( )3() (1)( )()( A B )()()( )()()()()( )()()()( )2(11A P B P B A P A B P B P B A P B P B A P A P A P A P B P A P AB P A P B A P A P A B P B P B A P AB P AB P B P A P B A P i i i n n ?= ?++?=-=-?-=-?=?=-+= 第二、三章 一维随机变量及分布：X ， i P ， )(x f X ， )(x F X 二维随机变量及分布：),(Y X ， ij P ， ),(y x f ， ),(y x F *注意分布的非负性、规范性 （1）边缘分布：∑ = j ij i p P ，? +∞ ∞ -= dy y x f x f X ),()( （2）独立关系：J I IJ P P P Y X =?独立与 或)()()(y f x f y x f Y X =， ),,(1 1n X X 与),,(21n Y Y 独立),,(1 1n X X f ?与),,(21n Y Y g 独立 （3）随机变量函数的分布（离散型用列表法） 一维问题：已知X 的分布以及)(X g Y =，求Y 的分布-------连续型用分布函数法 二维问题：已知),(Y X 的分布，求Y X Z +=、{}Y X M ,max =、{}Y X N ,min =的分布- ? ? +∞ ∞ -+∞ ∞ --=-= dy y y z f dx x z x f z f Z ),(),()( M 、N 的分布---------连续型用分布函数法 第四章 （1）期望定义：离散：∑= i i i p x X E )( 连续：?? ? +∞∞ -+∞ ∞-+∞ ∞ -= = dxdy y x xf dx x xf X E ),()()( 方差定义：)()(]))([()(2 2 2 X E X E X E X E X D -=-= 离散：∑-=i i i p X E x X D 2 ))(()( 连续：? +∞ ∞ --= dx x f X E x X D X )())(()(2 第三十五讲离散型随机变量的分布列、期望与 方差 、选择题 该群体的 10位成员中使用移动支付的人数， DX 2.4，P(X 4) P(X 6)，则 p = (2018 浙江)设 0 p 1，随机变量 的分布列是 则当 p 在 (0,1)内增大时， 若 0 p 1 p 2 1 ，则 2 随机抽取 i i 1,2 个球放入甲盒中． 二、填空题 5．(2017 新课标Ⅱ)一批产品的二等品率为 0.02 ，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取 100次， 专题十 概率与统计 1． (2018 全国卷Ⅲ ) 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为 p ，各成员的支付方式相互独 立， X 为 A ．0．7 B ．0．6 C ． 0．4 D ．0．3 2． 3． A ． D( )减小 C ． D( )先减小后增大 2017浙江)已知随机变量 i 满足 P( 1) B ． D ． p i D( D( ， P( )增大 ) 先增大后减小 i 0) p i ， i =1， 2． 4． A ．E( 1) 随机变量及其分布、数学期望、方差 1. 已知(1,2),(,)a b x y =-=， （Ⅰ）若x 是从1,0,1,2-四个数中任取的一个数，y 是从1,0,1-三个数中任取的一个数，求a b ⊥的概率． （Ⅱ）若x 是从区间[1,2]-中任取的一个数， y 是从区间[1,1]-中任取的一个数，求,a b 的夹角是锐角的概率． 2. 为了控制甲型H1N1流感病毒传播，我市卫生部防疫部门提供了批号分别为1、2、3、4的4个批号疫苗，供全市所辖的三个区市民注射，为便于观察，每个区只能从中任选一个批号的疫苗进行接种． （I ）求三个区中恰好有两个区选择的疫苗批号相同的概率； （II ）记三个区中选择疫苗批号相同的区的个数为ξ，求ξ的数学期望． 3. 学校准备从中选出4人到社区举行的大型公益活动进行采访，每选出一名男生，给其所在小组记1分，每选出一名女生则给其所在小组记2分，若要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有． (Ⅰ)求理科组恰好记4分的概率？ (Ⅱ)设文科男生被选出的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ． 4. 某超市为促销商品,特举办“购物有奖100﹪中奖”活动.凡消费者在该超市购物满10元，享受一次摇奖机会，购物满20元，享受两次摇奖机会，以此类推.摇奖机的结构如图所示，将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中,落入A 袋为一等奖，奖金为2元，落入B 袋为二等奖，奖金为1元．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是 1 2 ． （Ⅰ）求摇奖两次，均获得一等奖的概率； （Ⅱ）某消费者购物满20元，摇奖后所得奖金为X 元，试求X 的分布列与期望； (Ⅲ)若超市同时举行购物八八折让利于消费者活动（打折后不再享受摇奖），某消费者刚好消费20元，请问他是选择摇奖还是选择打折比较划算. A B 高中理科数学概率统计、各类分布列解答题类型 以随机事件概率为背景离散型随机变量的分布列、均值 【背一背重点知识】 1．随机变量所取的值分别对应的事件是两两互斥的，各事件概率之和为1． 2．求随机事件概率为背景的离散型随机变量的均值与方差公式 3．注意事件中所包含关键词，如至少，至多，恰好，都是，不都是，都不是等的含义． 【讲一讲提高技能】 1、必备技能：分类讨论要保证不重不漏，且相互互斥．灵活运用排列组合相应方法进行计 数．等可能性是正确解题的关键，在计数及求概率过程中严格保证事件的等可能性． 【练一练提升能力】 1．某中学高一年级共8 个班，现从高一年级选10 名同学组成社区服务小组，其中高一（ 1） 3 名同学，到社 班选取 3 名同学，其它各班各选取 1 名同学．现从这 10 名同学中随机选取区老 年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）． （1）求选出的 3 名同学来自不同班级的概率； （2）设 X 为选出同学中高一（ 1）班同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望． 2．一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得 1 分，反面向上得 2 分．（1）设抛掷 5 次的得分为，求的分布列和数学期望； （2）求恰好得到分的概率． 3、某厂有台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现次故障，且每台机器是否出现故障是相 互独立的，出现故障时需名工人进行维修．每台机器出现故障需要维修的概率为． (1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维 修的概率不少于？ (2) 已知一名工人每月只有维修台机器的能力，每月需支付给每位工人万元的工资．每台 机器不出现故障或出现故障能及时维修，就使该厂产生万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有名工人．求该厂每月获利的均值． 概率论与数理统计期末复习重要知识点 第二章知识点： 1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。 2.常用离散型分布： （1）两点分布（0-1分布）： 若一个随机变量X 只有两个可能取值，且其分布为 12{},{}1(01) P X x p P X x p p ====-<<， 则称X 服从 12 ,x x 处参数为p 的两点分布。 两点分布的概率分布：12{},{}1(01) P X x p P X x p p ====-<< 两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =- （2）二项分布： 若一个随机变量X 的概率分布由式 {}(1),0,1,...,. k k n k n P x k C p p k n -==-= 给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。记为X~b(n,p)(或B(n,p)). 两点分布的概率分布：{}(1),0,1,...,. k k n k n P x k C p p k n -==-= 二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =- （3）泊松分布： 若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,... ! k P X k e k k λ λλ-==>=，则称X 服从参 数为λ的泊松分布，记为X~P (λ) 泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,... ! k P X k e k k λ λλ-==>= 泊松分布的期望： ()E X λ=；泊松分布的方差：()D X λ= 4.连续型随机变量： 如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，有 (){}()x F x P X x f t dt -∞ =≤=? ，则称X 为连续型随机变量，称 ()f x 为X 的概率密度函数， 简称为概率密度函数。 5.常用的连续型分布： 概率统计分布表 标准正态表 x 0、00 0、01 0、02 0、03 0、04 0、05 0、06 0、07 0、08 0、09 0、0 0、5000 0、5040 0、5080 0、5120 0、5160 0、5199 0、5239 0、5279 0、5319 0、5359 0、1 0、5398 0、5438 0、5478 0、5517 0、5557 0、5596 0、5636 0、5675 0、5714 0、5753 0、2 0、5793 0、5832 0、5871 0、5910 0、5948 0、5987 0、6026 0、6064 0、6103 0、6141 0、3 0、6179 0、6217 0、6255 0、6293 0、6331 0、6368 0、6406 0、6443 0、6480 0、6517 0、4 0、6554 0、6591 0、6628 0、6664 0、6700 0、6736 0、6772 0、6808 0、6844 0、6879 0、5 0、6915 0、6950 0、6985 0、7019 0、7054 0、7088 0、7123 0、7157 0、7190 0、7224 0、6 0、7257 0、7291 0、7324 0、7357 0、7389 0、7422 0、7454 0、7486 0、7517 0、7549 0、7 0、7580 0、7611 0、7642 0、7673 0、7704 0、7734 0、7764 0、7794 0、7823 0、7852 0、8 0、7881 0、7910 0、7939 0、7967 0、7995 0、8023 0、8051 0、8078 0、8106 0、8133 0、9 0、8159 0、8186 0、8212 0、8238 0、8264 0、8289 0、8315 0、8340 0、8365 0、8389 1、0 0、8413 0、8438 0、8461 0、8485 0、8508 0、8531 0、8554 0、8577 0、8599 0、8621 1、1 0、8643 0、8665 0、8686 0、8708 0、8729 0、8749 0、8770 0、8790 0、8810 0、8830 1、2 0、8849 0、8869 0、8888 0、8907 0、8925 0、8944 0、8962 0、8980 0、8997 0、9015 1、3 0、9032 0、9049 0、9066 0、9082 0、9099 0、9115 0、9131 0、9147 0、9162 0、9177 1、4 0、9192 0、9207 0、9222 0、9236 0、9251 0、9265 0、9279 0、9292 0、9306 0、9319 1、5 0、9332 0、9345 0、9357 0、9370 0、9382 0、9394 0、9406 0、9418 0、9429 0、9441 1、6 0、9452 0、9463 0、9474 0、9484 0、9495 0、9505 0、9515 0、9525 0、9535 0、9545 1、7 0、9554 0、9564 0、9573 0、9582 0、9591 0、9599 0、9608 0、9616 0、9625 0、9633 1、8 0、9641 0、9649 0、9656 0、9664 0、9671 0、9678 0、9686 0、9693 0、9699 0、9706 1、9 0、9713 0、9719 0、9726 0、9732 0、9738 0、9744 0、9750 0、9756 0、9761 0、9767 2、0 0、9772 0、9778 0、9783 0、9788 0、9793 0、9798 0、9803 0、9808 0、9812 0、9817概率与离散型随机变量分布列
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