数学分析华东师大反常积分
数学分析华东师大反常
积分
SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
第十一章反常积分
§1 反常积分概念
一问题提出
在讨论定积分时有两个最基本的限制: 积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在很多实际问题中往往需要突破这些限制, 考虑无穷区间上的“积分”, 或是无界函数的“积分”, 这便是本章的主题.
例1 ( 第二宇宙速度问题) 在地球表面垂直发射火箭( 图 11 - 1 ) , 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初速度v0 至少要多大设地球半径为R, 火箭质量为m, 地面上的重力加速度为
g .按万有引力定律,在距地心x( ≥R) 处火箭所受的引力为
mg R2
F = .
x2
于是火箭从地面上升到距离地心为r ( > R) 处需作的功为
r
mg R ∫
∫
2
∫
d x = m g R 2 1 - 1
.R x
2 R r 当 r → + ∞ 时 , 其 极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”:
图 11 - 1
+ ∞
mg R 2
d x = lim
r
mgR 2
R
x
2
r → + ∞
R
d x = m g R .
x
2
最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v 0 至少应使
1
2
2
mv 0 = mg R .
用 g = 9 .81 ( m 6s /2 ) , R = 6 .371× 106
( m ) 代入 , 便得
v 0 = 2 g R ≈ 11 .2( k m 6s /) .
例 2 圆 柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为 R , 桶底有 一半径为 r 的小孔 ( 图
11 - 2) .试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 , 共需多少时间
2
∫
· R u
∫ ∫ ∫ R
2
§1 反常积分概念
265
从物理学知道 , 在 不计 摩 擦力 的情 形下 , 当桶 内水 位 高度为 ( h - x ) 时 , 水从孔中流出的流速 ( 单位 时间内 流过 单位截面积的流量 ) 为
v = 2 g( h - x) ,
其中 g 为重力加速度 .
设在很小一段时 间 d t 内 , 桶 中液 面降 低 的微 小量 为
d x , 它们之间应满足
πR 2 d x = v πr 2 d t ,
图 11 - 2
由此则有
d t =
R
d x , x ∈ [0 ,
h] . r
2
2 g( h - x )所以流完一桶水所需时间在形式上亦可写成“积分”:
h
t f =
R 2
d
x .
r
2
2 g( h - x)
但是在这里因为被积函数是 [0 , h) 上的无界函数 , 所以它的确切含义应该是
u
2
t f = lim
∫ 2
d x
u → h
- 0
r 2 g( h -
x)
= lim -
2 2
g r
2 h - h - u
u → h
=
2 h R
.
g r 相对于以前所讲的定积分 ( 不妨 称之 为正常 积分 ) 而 言 , 例 1 和例 2 分别 提 出了两类反常积分 .
二 两类反常积分的定义
定义 1 设函数 f 定义在无穷区间 [ a, + ∞ ) 上 , 且在任 何有 限区间 [ a , u]
上可积 .如果存在极限
lim
∫
f ( x ) d x = J, ( 1)
u → + ∞ a
则称此极限 J 为函数 f 在 [ a, + ∞ ) 上的无穷限反常积分 ( 简称无穷积分 ) ,
记作
+ ∞
J =
f ( x ) d x ,
( 1′)
a
+ ∞
+ ∞ 并称
f ( x) d x 收 敛 . 如 果 极 限 ( 1) 不 存 在 , 为 方 便 起 见 , 亦 称 f
( x) d x
a
a
发散 .
类似地 , 可定义 f 在 ( - ∞ , b] 上的无穷积分 :
b
b
∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫ u
∫
266
第十一章 反 常 积 分
∫ f ( x )d x = lim ∫f ( x ) d x .
( 2)
- ∞
u → - ∞ u
对于 f 在 ( - ∞ , + ∞ ) 上的无穷积分 , 它用前面两种无穷积分来定义 :
+ ∞
a
f ( x ) d x =
- ∞
-
∞
+ ∞ f ( x) d
x + a
f ( x) d x , ( 3)
其中 a 为任一实数 , 当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的 .
注 1 无穷积分 ( 3) 的收敛性与收敛时的值 , 都和实数 a 的选取无关 .
注 2 由于无穷积分 ( 3) 是由 (1 ) 、( 2) 两类无 穷积分来 定义 的 , 因此 ,
f 在 任 何有限区间 [ v , u] ì ( - ∞ , + ∞ ) 上 , 首先必须是可积的 .
+ ∞
注 3
a f ( x ) d x 收 敛
的 几 何 意 义 是 : 若 f 在[ a , + ∞ ) 上为非负连续函数 , 则图 11 - 3 中介于曲线 y = f ( x) , 直线 x = a 以及 x 轴之间那一块向右无限 延伸的阴影区域有面积 J .
例 3 讨论无穷积分
+ ∞
图 11 - 3
的收敛性 .
解 由于
d x 1 x
p
( 4)
u
d x
1
x
p = 1 1 - p ( u
1 -
p - 1 ) , p ≠
1 ,ln u , p = 1 ,
1
lim
∫
d x
=
u → + ∞ 1
x
p
p - 1 , p > 1
+ ∞ p ≤ 1 ,
因此无穷积分 (4 ) 当 p > 1 时收敛 , 其值为 1
; 而当 p ≤1 时发散于 + ∞ .
p - 1
从图 11 - 4 看到 , 例 3 的结论是 很直观 的 : p
的值越大 , 曲线 y = 1
当 x > 1 时越靠近 x 轴 , 从
x
p
而曲线下方的阴影区域存在有限面积的可能性也 就越大 .
例 4 讨论下列无穷积分的收敛性 :
1∫
) + ∞ d x 2 x( ln x) p ; 2) + ∞
d x
- ∞ 1 + x 2
.
解 1 ) 由 于无 穷 积分 是 通 过变 限 定积 分 的 极
限来 定义 的 , 因此 有关定 积分 的换元 积分 法和
图 11 - 4
a
b
∫
∫
∫
∫
§1 反常积分概念
267
分部积分法一般都可引用到无穷积分中来 .对于本例来说 , 就有∫
+ ∞
d x
+ ∞
d t
2
x ( ln x )
p
=
∫
ln 2
t
p
.
从例 3 知道 , 该无穷积分当 p > 1 时收敛 , 当 p ≤1 时发散 .
2) 任取实数 a, 讨论如下两个无穷积分 :∫
d x + ∞
d x - ∞
1 + x
2
和
∫
a
由于
a
1 + x
2
.
lim
∫
d x =
lim
( arctan a - arctan u )
u → - ∞ u
1 +
x 2
v
u → - ∞
= arctan a + π
,
2lim ∫
d x
= lim
( arctan v - arctan a)
v → + ∞ a 1 + x 2
v → + ∞
π 2
- arctan a ,
因此这两个无穷积分都收敛 .由定义 1 ,∫
+ ∞ d
x
a
d x
+ ∞
d x
- ∞
1 + x
2
=
∫
- ∞
1 + x 2
+
∫
a
1 + x
2
= π .
注 由于上述结果与 a 无关 , 因此若取 a = 0 , 则可使计算过程更简洁些 .
定义 2 设函数 f 定义在区间 ( a , b] 上 , 在点 a 的 任一右 邻域内无 界 , 但 在 任何内闭区间 [ u , b] ì ( a , b] 上有界且可积 .如果存在极限
lim
∫f ( x ) d x = J ,
( 5)
u → a
+
u
则称此极限为无界函数 f 在 ( a , b] 上的反常积分 , 记作
b
J = f ( x ) d x ,
( 5′)
a
b
并称 反 常 积 分 f ( x) d x 收 敛 . 如 果 极 限 ( 5) 不 存 在 , 这 时 也 说 反 常 积 分
a
b
f ( x ) d x 发散 . a
在定义 2 中 , 被积函数 f 在点 a 近旁是无界的 , 这时点 a 称为 f 的瑕
点 , 而无 b
界函数反常积分 f ( x ) d x 又称为瑕积分 .
a
类似地 , 可定义瑕点为 b 时的瑕积分 :
b
u
=
∫f ( x) d x = lim∫f ( x )d x .
a u →
b - a
其中 f 在[ a , b) 有定义, 在点 b 的任一左邻域内无界, 但在任何[ a , u] ì[ a , b)
1 ∫
1 1 x 268 第十一章 反 常 积 分
上可积 .
若 f 的瑕点 c ∈ ( a , b) , 则定义瑕积分
b c b
∫f ( x ) d x =∫f ( x ) d x +∫
f ( x )d x a
a
c
u
b
= lim ∫ f ( x ) d x + lim ∫f ( x ) d x .
( 6)
u → c - a v → c +
v
其中 f 在 [ a , c) ∪ ( c, b] 上有定义 , 在点 c 的 任一领 域内 无界 , 但 在任何 [ a , u] ì [ a , c) 和 [ v , b] ì ( c, b] 上都可积 .当且仅当 ( 6 ) 式右 边两个 瑕积分都 收敛时 , 左边的瑕积分才是收敛的 . 又若 a 、b 两点都是 f 的瑕点 , 而 f 在任何 [ u , v ] ì ( a, b) 上可积 , 这时定义 瑕积分
b c b
∫f ( x ) d x =∫f ( x ) d x +∫f ( x ) d x
a
a
c
c
v
= lim ∫f ( x) d x + lim ∫ f ( x) d x , ( 7)
u → a
+
u
v → b
- c
其中 c 为 ( a , b) 内任一实数 .同样地 , 当且仅当 ( 7) 式右边两个 瑕积分都
收敛时 ,
左边的瑕积分才是收敛的 .
例 5 计算瑕积分∫
d x
的值 .
1 - x
2 解 被积函数 f ( x) = 1
在 [ 0 , 1 ) 上 连续 , 从 而在 任何 [ 0 , u]
ì [ 0 , 1)
1 - x 2
上可积 , x = 1 为其瑕点 .依定义 2 求得
1
u
∫
d x
=
lim ∫
d x 0
1 - x 2
- u → 1
1 - x
2
例 6 讨论瑕积
分
=
lim
u → 1 -
1
arcsin u = π
.
2
∫
d x
的收敛性 .
x
q
( q > 0 ) ( 8)
解 被积函数在 (0 , 1 ] 上连续 , x = 0 为其瑕点 .由于
1
d x u x q = 1 1 - q ( 1 - u
1 -
q
) , q ≠ 1 ,
( 0 < u < 1) ,- ln u , q = 1
故当 0 < q < 1 时 , 瑕积分 (8 ) 收敛 , 且
∫ d x ∫
d x 1
q = lim 0 u → 0 +
u x q = 1 - q ;0
∫
∫
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ a ∫
§1 反常积分概念
269
而当 q ≥1 时 , 瑕积分 ( 8) 发散于 + ∞ .
上述结论在图 11 - 4 中同样能获得直观的反映 . 如果把例 3 与例 6 联系起来 , 考察反常积分
+ ∞
我们定义
d x
x p ( p > 0 ) .
( 9)
∫
+ ∞ d x 1
d x + ∞ d x 0 x p =∫
0 x
p +∫
1
x p ,它当且仅当右边的瑕积分和无穷积分 都收 敛时 才收敛 .但 由例 3 与 例 6 的结 果 可知 , 这 两 个 反 常 积 分 不 能 同 时 收 敛 , 故 反 常 积 分 ( 9 ) 对 任 何 实 数 p 都 是 发散的 .
习 题
1 . 讨论下列无穷积分是否收敛 若收敛 , 则求其值 :
( 1∫) + ∞ x e - x
2
+ ∞
d x ; (2) - ∞
2 x e - x d x ;( 3∫
)
+ ∞
1 +
∞
d x ; (4)
d x 2
e
x
+ ∞
1
x ( 1 + x)
+ ∞
( 5∫)
d x
;
(6)
∫
e
- x
sin x d x;
- ∞ 4 x 2
+ 4 x + 5
+ ∞
+ ∞
( 7∫)
e x
sin x d x ;
(8)
- ∞
d x .
1 + x
2
2 . 讨论下列瑕积分是否收敛 若收敛 , 则求其值 :
( 1∫
)
b
d x 1
d x ;
(2)
;
a
( x - a) p
2
0 1 - x
2
1
( 3∫)
d x
; (4)
∫
x
d x ;
0 | x - 1 |
1 - x 2
( 5∫)
1 1
ln x d x ; (6)
0 0 x
d x;
1 - x
( 7∫
) 1
d x
1
d x
; (8)
p
.
x -
x 2
x( ln x)b
3 . 举例说明 : 瑕积分∫f ( x ) d x
收敛时∫
,
b
f 2 ( x) d x 不一定收敛 .
a
4 . 举例说明∫
:
+ ∞
f ( x) d x 收敛且 f 在 [ a , + ∞ ) 上连续时 , 不一定有 lim
a
x → +∞
f ( x) = 0 .+ ∞ 5 . 证明: 若
a
f ( x )d x 收敛 , 且存在极限 lim
x → +∞
;
f ( x) = A , 则A = 0 .
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫
∫
∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫
270 第十一章 反 常 积 分
+ ∞
6 . 证明: 若 f 在[ a, + ∞) 上可导 , 且
a
+ ∞ f ( x)d x 与 a
f ′( x )d x 都收敛 , 则 lim x → +∞
f ( x) =
0 .§2 无穷积分的性质与收敛判别
一 无穷积分的性质+ ∞
由定 义 知 道 , 无 穷 积 分
a
u
f ( x) d x 收 敛 与 否 , 取 决 于 函 数
F( u ) =
f ( x ) d x 在 u → + ∞ 时是否存在极限 .因此可由函数极限的柯西准则导出无穷
a
积分收敛的柯西准则 .
+ ∞
定理 11 .1 无穷
积分
a
≥ a, 只要 u 1 、u 2 > G ,
便有
f ( x ) d x 收敛
的充要条件是 : 任给 ε > 0 , 存在 G
u
u
u
∫
2
f ( x ) d x -∫
1
f ( x )d x
=
∫
f ( x )d x
< ε .
a
a
u
此外 , 还可根据函数极限的性质与定积分的性质 , 导出无穷积分的一些相应 性
质 .
+ ∞
性质 1 若
a + ∞
+ ∞
f
1
( x) d x 与 a
f 2 ( x ) d x 都
收 敛 , k 1 、k 2 为 任 意 常 数 , 则[ k 1 f 1 ( x) + k 2 f 2 ( x) ] d x 也收敛 , 且
a
+ ∞
+ ∞
+ ∞
[ k 1 f 1
( x ) + k 2 f 2 ( x ) ] d x = k 1 a
a f 1 ( x ) d x + k 2
a f 2 ( x) d x .
( 1) + ∞
性 质 2 若 f 在 任 何 有 限 区 间 [ a , u] 上 可 积 , a < b, 则
a
f ( x ) d
x 与+ ∞
f ( x) d x 同敛态
( 即同时收敛或同时发散 ) , 且有 b
+ ∞ b + ∞
∫ f ( x ) d x =∫ f ( x )d x +∫ f ( x )d x , ( 2)
a
a
b
其中右边第一项是定积分 .
+ ∞
性质 2 相当于定积分的积分区间可加性 , 由它又可导出
a
f ( x ) d x 收
敛的
另一充要条件 : 任给 ε > 0 , 存在 G ≥ a , 当 u > G 时 , 总有
+ ∞
f ( x ) d x
< ε .
u
2
1
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ 2
= §2 无穷积分的性质与收敛判别
271
事实上 , 这可由
+ ∞
u + ∞
∫ f ( x ) d x =∫ f ( x ) d x +∫ f ( x ) d x
a
a
u
结合无穷积分的收敛定义而得 .
+ ∞
性质 3 若 f 在任何有限区间 [ a , u ] 上可积 ,
且有
a
+ ∞
f ( x) d x 亦必收敛 , 并有
a
| f ( x ) | d x 收
敛 , 则
+ ∞ +
∞
f ( x) d x ≤
a a
+ ∞
f ( x )
d
x . ( 3)
证 由
a
f ( x) d x 收敛 , 根据柯西准则 ( 必要性 ) , 任给 ε > 0 , 存在 G ≥
a , 当 u 2 > u 1 > G 时 , 总有
u
u
f ( x ) d x
2
u
f ( x ) d x < ε
.1
u 1
利用定积分的绝对值不等式 , 又有
u
u
2
f ( x ) d x
≤
2
u
u
1
1
+ ∞ f ( x ) d x < ε
.再由柯西准则 ( 充分性 ) , 证得
a
f ( x ) d x 收敛 .u u
又因∫
f ( x ) d x ≤
∫ f ( x )
d x ( u > a) , 令 u → + ∞
取极限 , 立刻得到不
a
a
等式 (3 ) .
+ ∞
+ ∞
当 f ( x ) d x 收敛
时 , 称
a
a
f ( x )d x 为绝对收敛 .性质 3 指出
: 绝对收敛
的无穷积分 , 它自身也一定收敛 .但是它 的逆命 题一 般不成 立 , 今 后将举 例说 明 收敛的无穷积分不一定绝对收敛 .
我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛 . 二 比较判别法
首先给出无穷积分的绝对收敛判别法 .
u
+ ∞
由于 | f ( x ) | d x 关于上限 u 是单调递增的 , 因此
a
a
| f ( x ) | d x
收敛的
u
充要条件是
a
| f ( x) | d x 存在上界 .根据这一分析 , 便立 即导出下 述比
较判 别法 ( 请读者自己写出证明 ) :
定理11 .2 ( 比较法则) 设定义在[ a , + ∞) 上的两个函数 f 和g 都在任何
∫ ∫ ∫ ∫
0 ∫
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫
∫
∫
272 第十一章 反 常 积 分
有限区间 [ a , u] 上可积 , 且满足
f ( x) ≤
g ( x ) , x ∈ [ a, + ∞ ) ,
+ ∞ + ∞
则当 g( x ) d x 收敛时
a a
+ ∞
+ ∞
| f ( x) | d x 必收敛 ( 或者 , 当 a
| f ( x) | d x 发散
时 ,
a
g ( x ) d x 必发散 ) .
+ ∞
例 1 讨论 0 sin x
d x 的收敛性 . 1 + x 2
+ ∞
解 由于
sin x 1
d x π
1 + x 2
≤ 1 + x 2 , x ∈ [0 , + ∞ ) , 以及
∫
1 + x
2 =
为收敛
2
(§1 例 4 ) , 根据比较法则∫
,
sin x d x 为绝对收敛 .
0 1 + x 2
上述比较法则的极限形式如下 :
推论 1 若 f 和 g 都在任何 [ a , u] 上可积 , g( x ) > 0 , 且 lim x → + ∞
| f
( x) | g( x )
= c,
则有 : ( i ) 当 0 < c < + ∞ 时∫
,
+ ∞
+ ∞ + ∞
| f ( x ) | d x 与 a
a
+ ∞
g( x ) d x 同敛态 ;( ii) 当 c = 0 时 , 由 a
g( x ) d x 收敛可推知 a
+ ∞
f ( x) d x 也收敛
; + ∞(i i) ) 当 c = + ∞ 时 , 由
a
+ ∞
g( x ) d x 发散可推知 a
+ ∞
f ( x )
d x 也发散 .当选用∫
d x
作为比较对
象
g( x ) d x 时 , 比较 判别 法及 其 极限 形
式 成
1
x p
a 为如下两个推论 ( 称为柯西判别法 ) .
推论 2 设 f 定义于 [ a , + ∞ ) ( a > 0 ) , 且在 任何 有限区 间 [ a , u] 上 可积 , 则有 :( i) 当 f ( x) ≤ 1
, x ∈ [ a , + ∞ ) , 且 p > 1 时 + ∞ f ( x) d x 收敛 ;
x p
a
+ ∞
( ii) 当 f ( x) ≥ 1 , x ∈ [ a , + ∞ ) , 且p ≤ 1 时
f ( x)
d x 发
散 .x
p
a
推论 3 设 f 定义于 [ a , + ∞ ) , 在任何有限区间 [ a , u] 上可积 , 且则有 : lim x → +
∞
x p f ( x ) = λ .
+ ∞
( i) 当 p > 1 , 0 ≤λ< + ∞时 ,
f ( x ) d x 收敛 ;
a
+ ∞
( ii) 当p ≤1 , 0 < λ≤+∞时,
a f ( x) d x 发散.
∫+ ∞
∫
∫
∫
∫
u
∫ ∫
∫
2
§2 无穷积分的性质与收敛判别
273
例 2 讨论下列无穷限积分的收敛性 :1∫
)
+ ∞
x αe
- x
d x;
2 )
1
+ ∞
x 2
d x .
x 5
+ 1
解 本例中两个被积函数都是非负的 , 故收敛与绝对收敛是同一回事 . 1) 由于对任何实数 α都有
lim
x → + ∞
x 2 · x αe
- x
=
lim x → + ∞
x α+ 2
e x
= 0 ,
因此根据上述推论 3( p = 2 , λ= 0) , 推知 1 ) 对任何实数 α都是收敛的 .
2) 由于
1
2
lim x → + ∞
x 2 · x x 5
+
1
= 1 ,
因此根据上述推论 3( p = 1
, λ= 1 ) , 推知 2) 是
发散的 .
2
b
对于
f ( x ) d x 的比较判别亦可类似地进行 .
- ∞
三 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法
这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法 .
u
定理 11 .3 ( 狄利克雷判别法 ) 若 F( u ) = f ( x ) d x 在 [ a , + ∞ ) 上有界 ,
a
+ ∞
g( x) 在 [ a , + ∞ ) 上当 x → + ∞ 时单调趋于 0 , 则 a
f ( x ) g( x ) d x 收敛 .
lim
x → +
∞
u
证 由 条 件 设
f ( x) d x ≤ M , u ∈ [ a , + ∞ ) . 任 给 ε > 0 , 由 于
a
g ( x ) = 0 , 因此存在 G ≥ a , 当 x >
G 时 , 有
g( x ) <
ε
.
4 M 又因 g 为单调函数 , 利用积分第二中值 定理 ( 定理 9 .10 的推论 ) , 对 于任 何
u 2 > u 1 > G , 存在 ξ∈ [ u 1 , u 2 ] , 使得
∫
f ( x ) g( x ) d x =
g ( u 1
∫)
ξ
f ( x ) d x +
g( u 2∫
)
u
2
f ( x) d x .
u
u
ξ
1
1
于是有
u ξ
u
f ( x ) g( x ) d x ≤ g( u 1
)
·
u
u
f ( x ) d x + g( u 2
) ·
∫
f ( x ) d x
1
1
ξ
2
2
1
ξ u
= g( u 1 ) ·
∫
f ( x ) d x ∫-
f ( x ) d x
a
a
u
∫
∫
∫ ∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ 274
第十一章 反 常 积
分2
+ g( u 2 ) ·
ξ
f ( x ) d x -∫f ( x ) d x
ε
4 M ·2 M + + ∞
a a
ε
4 M
·2 M = ε .根据柯西准则 , 证得
a
f ( x ) g( x ) d x 收敛 .
+ ∞
定理 11 .4 ( 阿贝尔 ( Abel) 判别法 )
若 a
f ( x) d x 收敛 , g( x ) 在 [ a , + ∞ )
+ ∞
上单调有界 , 则
a
f ( x )
g ( x ) d x 收敛 .
这定理同样可用积分第二中值定理 来证 明 , 但又 可利用 狄利 克雷判 别法 更 方便地获得证明 ( 留作习题 ) .
+ ∞ 例 3 讨论
∫ sin x d
x 与 + ∞
cos x
1
x
p
1
x
p
d x ( p > 0 ) 的收敛性 .
解 这里只讨论前一个无穷积分 , 后者有 完全 相同的 结论 .下面分 两种 情 形来讨论 :
+ ∞
( i) 当 p > 1 时 1
sin x d x 绝对收敛 .这是因为 x
p
+ ∞
d
x 而
1
x p , x ∈ [1 , + ∞ ) , + ∞
1
x
p 当 p > 1 时收敛
, 故由比较法则推知
∫
1
+ ∞
x 收敛 .( ii) 当 0 < p ≤ 1
时
1
u
sin x
d x 条 件 收 敛 .这 是 因为 对 任 意 u ≥ 1 , 有 x p
∫
sin x d x =
cos 1 - cos u
≤ 2 , 而 1
当 p > 0 时
单调趋于 0 ( x → + ∞ ) , 故
1
x
p
+ ∞
由狄利克雷判别法推知
1
sin x d x 当 p > 0 时总是收敛的 . x
p
另一方面 , 由于
≥
+ ∞
sin
2
x x = + ∞
1 2 x -
cos 2 x
2 x
, x ∈ [ 1 , + ∞ ) ,
cos 2 x 1 其中 1 2 x d x = 2 2 cos t
t
d t 满 足 狄 利 克 雷 判 别 条 件 , 是 收 敛 的 ,
而
+ ∞
d x
1
2 x 是发散的 , 因此当 0 < p ≤ 1 时该无穷积分不是绝对收敛的 .所以它
是条
件收敛的 .
<
例4 证明下列无穷积分都是条件收敛的:
∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
∫
∫
∫
+ ∞ 3
§2 无穷积分的性质与收敛判别
275
+ ∞
sin x 2
d x ,
1
+ ∞
cos x 2
d
x ,
1
+ ∞
x sin x 4
d x .
1
证 前两个无穷积分经换元 t = x
2
得到
+ ∞ +
∞
sin x 2
d x =
1
1
+ ∞ +
∞
cos x 2
d x =
1
1
sin t d t , 2 t
cos t d t .
2 t
由例 3 已知它们是条件收敛的 .
对于第三个无穷积分 , 经换元 t = x 2
而得
∫
x sin x 4 d x = 1
+ ∞
sin t 2 d t ,1
它也是条件收敛的 .
2
∫
1
从例 4 中三个无穷积分的收敛性可 以看到 , 当 x → + ∞ 时被 积函数 即使 不 趋于零 , 甚至是无界的 , 无穷积分仍有可能收敛 .
习 题
1 . 证明定理 11 .
2 及其推论 1 .
2 . 设 f 与 g 是定义在 [ a , + ∞ )上的函数 , 对任何 u > a , 它 们在 [ a , u] 上
都可积 .证明 :+ ∞
若
a
收敛 .
+ ∞
f 2
( x) d x 与 a
+ ∞
g 2
( x) d x 收 敛 , 则 a
+ ∞
f ( x) g( x) d x 与 a
[ f ( x) + g( x ) ]2 d
x 也 都
3 . 设 f 、g 、h 是定义 在 [ a , + ∞ ) 上 的 三 个 连 续 函数 , 且 成 立 不等 式 h ( x )
≤ f ( x ) ≤
g( x) .证明 :
+ ∞ (1) 若
a
+ ∞ h( x )d x 与 a
+ ∞
g( x) d x 都收敛 , 则 a
f ( x) d x 也收敛 ;+ ∞
(2) 又若 a
+ ∞ h( x )d x = a
+ ∞
g( x) d x = A , 则
a
f ( x) d x = A .4 . 讨论下列无穷积分的收敛性 :
+ ∞
+ ∞
( 1∫
) d x
;
(2)
x
d x ;
x
4
+
1
+ ∞
1
1 - e
x
+ ∞
( 3∫)
( 5∫
) d x
;
(4)
1 + x ln ( 1 + x)
d x ; (6)
x
arctan x
1
1 + x 3
d x;
+ ∞ x
m
d x( n 、m ≥ 0 ) .
1
x
n
1 + x
n
5 . 讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛 :
+ ∞
华东师范大学2004数学分析试题
华东师范大学2004数学分析试题
华东师范大学2004数学分析 一、（30分）计算题。 1、求 2 1 20)2 (cos lim x x x x -→ 2、若)), sin(arctan 2ln x x e y x +=-求' y . 3、求 ?--dx x xe x 2)1(. 4、求幂级数∑∞ =1 n n nx 的和函数)(x f . 5、 L 为过 ) 0,0(O 和 )0,2 (π A 的曲线 ) 0(sin >=a x a y ,求 ?+++L dy y dx y x . )2()(3 xdx a x da dy x a y cos sin ,sin === 6、求曲面积分??++S zdxdy dydz z x )2(,其中) 10(,22 ≤≤+=z y x z , 取上侧. . 二、（30分）判断题（正确的证明，错误的举出反例） 1、若},,2,1,{ =n x n 是互不相等的非无穷大数列，则} {n x 至少存在一个聚点). ,(0 +∞-∞∈x 2、若)(x f 在),(b a 上连续有界，则)(x f 在),(b a 上一致连 续. 3、若 ) (x f , ) (x g 在] 1,0[上可积，则 ∑?=∞→=-n i n dx x g x f n i g n i f n 1 10)()()1()(1lim .
4、若∑∞=1n n a 收敛，则∑∞ =1 2n n a 收敛. 5、若在 2 R 上定义的函数 ) ,(y x f 存在偏导数 ),(y x f x ,) ,(y x f y 且),(y x f x , ) ,(y x f y 在(0,0)上连续，则),(y x f 在 (0,0)上可微. 6、),(y x f 在2 R 上连续,} ) ()(|),{(),(22 2 r y y x x y x y x D r ≤-+-= 若??=>??r D dxdy y x f r y x ,0),(,0),,(0 0 则.),(,0),(2 R y x y x f ∈= 三、（15分）函数)(x f 在).,(+∞-∞上连续，且,)(lim A x f x =∞ → 求证：)(x f 在).,(+∞-∞上有最大值或最小值。 四、（15分）求证不等式:]. 1,0[,122∈+≥x x x 五、设) (x f n , ,2,1=n 在],[b a 上连续,且) (x f n 在],[b a 上一致 收敛于 ) (x f .若 ] ,[b a x ∈?, )(>x f .求证: , 0,>?δN 使 ],[b a x ∈?, N n >,. )(δ>x f n 六、（15分）设}{n a 满足（1）; ,2,1,1000 ++=≤≤k k n a a n k （2）级数∑∞ =1 n n a 收敛. 求证:0 lim =∞ →n n na . 七、（15分）若函数)(x f 在),1[+∞上一致连续，求证： x x f )(在),1[+∞上有界. 八、（15分）设),,(),,,(),,,(z y x R z y x Q z y x P 在3 R 有连续偏导数，而且对以任意点) ,(00, 0z y x 为中心，以任意正数r 为半径的上半球面, ,)()()(:02202020z z r z z y y x x S r ≥=-+-+-
数学分析(华东师大)第四章函数的连续性
第四章函数的连续性 §1 连续性概念 连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数. 从几何形象上粗略地说, 连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线.当然我们不能满足于这种直观的认识,而应给出函数连续性的精确定义,并由此出发研究连续函数的性质.本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性. 一函数在一点的连续性 定义1 设函数f 在某U( x0 ) 内有定义.若 lim x → x f ( x ) = f ( x0 ) , ( 1) 则称f 在点x0 连续. 例如, 函数f ( x ) = 2 x + 1 在点x = 2 连续,因为 又如,函数li m x → 2 f ( x) = lim x →2 ( 2 x + 1 ) = 5 = f (2 ) . f ( x) = x sin 1 x , x ≠ 0, 0 , x = 0 在点x = 0 连续,因为 lim x →0f ( x) = lim x →0 x sin 1 x= 0 = f ( 0) . 为引入函数y = f ( x ) 在点x0 连续的另一种表述, 记Δx = x - x0 , 称为自变量x( 在点x0 ) 的增量或改变量.设y0 = f ( x0 ) , 相应的函数y ( 在点x0 ) 的增量记为 Δy = f ( x ) - f ( x0 ) = f ( x0 + Δx) - f ( x0 ) = y - y0 . 注自变量的增量Δx或函数的增量Δy 可以是正数,也可以是0 或负数. 引进了增量的概念之后,易见“函数y = f ( x ) 在点x0 连续”等价于 lim Δy = 0 . Δx→0
华东师大数学分析习题解答1
《数学分析选论》习题解答 第 一 章 实 数 理 论 １．把§1.3例4改为关于下确界的相应命题，并加以证明． 证 设数集S 有下确界，且S S ?=ξinf ，试证： （１）存在数列ξ=?∞ →n n n a S a lim ,}{使； （２）存在严格递减数列ξ=?∞ →n n n a S a lim ,}{使． 证明如下： （１） 据假设，ξ>∈?a S a 有,；且ε+ξ<'<ξ∈'?>ε?a S a 使得,,0．现依 次取,,2,1,1 Λ== εn n n 相应地S a n ∈?,使得 Λ,2,1,=ε+ξ<<ξn a n n ． 因)(0∞→→εn n ，由迫敛性易知ξ=∞ →n n a lim . （２） 为使上面得到的}{n a 是严格递减的，只要从2=n 起，改取 Λ,3,2,,1min 1=? ?? ???+ξ=ε-n a n n n ， 就能保证 Λ,3,2,)(11=>ε+ξ≥ξ-+ξ=--n a a a n n n n ． □ ２．证明§1.3例６的（ⅱ）． 证 设B A ,为非空有界数集，B A S ?=，试证： {}B A S inf ,inf m in inf =． 现证明如下． 由假设，B A S ?=显然也是非空有界数集，因而它的下确界存在．故对任何 B x A x S x ∈∈∈或有,，由此推知B x A x inf inf ≥≥或，从而又有 {}{}B A S B A x inf ,inf m in inf inf ,inf m in ≥?≥． 另一方面，对任何,A x ∈ 有S x ∈，于是有
S A S x inf inf inf ≥?≥； 同理又有S B inf inf ≥．由此推得 {}B A S inf ,inf m in inf ≤． 综上，证得结论 {}B A S inf ,inf m in inf =成立． □ ３．设B A ,为有界数集，且?≠?B A ．证明： （１）{}B A B A sup ,sup m in )sup(≤?； （２）{}B A B A inf ,inf m ax )(inf ≥?． 并举出等号不成立的例子． 证 这里只证（２），类似地可证（１）． 设B A inf ,inf =β=α．则应满足： β≥α≥∈∈?y x B y A x ,,,有． 于是，B A z ?∈?，必有 {}βα≥?? ?? β≥α≥,max z z z ， 这说明{}βα,max 是B A ?的一个下界．由于B A ?亦为有界数集，故其下确界存在，且因下确界为其最大下界，从而证得结论{}{}B A B A inf ,inf m ax inf ≥?成立． 上式中等号不成立的例子确实是存在的．例如：设 )4,3(,)5,3()1,0(,)4,2(=??==B A B A 则， 这时3)(inf ,0inf ,2inf =?==B A B A 而，故得 {}{}B A B A inf ,inf m ax inf >?． □ ４．设B A ,为非空有界数集．定义数集 {}B b A a b a c B A ∈∈+==+,， 证明： （１）B A B A sup sup )sup(+=+； （２）B A B A inf inf )(inf +=+．
数学分析不定积分
第八5章不定积分 教学要求： 1.积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。 2.换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。要求学生：牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。 3.有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。要求学生：掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。 教学重点：深刻理解不定积分的概念；熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式； 教学时数：18学时
§ 1 不定积分概念与基本公式（4学时）教学要求：积分法是微分法的逆运算。要求学生：深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。 教学重点：深刻理解不定积分的概念。 一、新课引入：微分问题的反问题，运算的反运算. 二、讲授新课： （一）不定积分的定义: 1.原函数： 例1填空: ; ( ; ; ; ; . 定义. 注意是的一个原函数. 原函数问题的基本内容：存在性，个数，求法. 原函数的个数: Th 若是在区间上的一个原函数, 则对，都是在区间上的原函数；若也是在区间上的原函数，则必有. ( 证)
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案04
第四章 函数的连续性 习题 §1 连续性概念 1． 按定义证明下列函数在其定义域内连续： （1）()x x f 1 = ； （2） ()x x f = 2． 指出下列函数的间断点并说明其类型： （1）()x x x f 1+ =； （2）()x x x f sin =； （3）()[] x x f cos =； （4）()x x f sgn =； （5）()()x x f cos sgn =； （6）()?? ?-=为无理数； 为有理数， x x x x x f ,, （7）()()?? ? ? ??? +∞<<--≤≤--<<-∞+=x x x x x x x x f 1,11sin 11 7,7,71 3． 延拓下列函数，使其在R 上连续： （1）()2 8 3--=x x x f ； （2）()2cos 1x x x f -=； （3）()x x x f 1cos =. 4． 证明：若f 在点0x 连续，则f 与2f 也在点0x 连续。又问：若f 与2f 在I 上连续， 那么f 在I 上是否必连续？ 5． 设当0≠x 时()()x g x f ≡，而()()00g f ≠。证明：f 与g 两者中至多有一个在0 =x 连续 6． 设f 为区间I 上的单调函数。证明：若I x ∈0为f 的间断点，则0x 必是f 的第一类间 断点 7． 设f 只有可去间断点，定义()()y f x g x y →=lim ，证明：g 为连续函数 8． 设f 为R 上的单调函数，定义()()0+=x f x g ，证明：g 在R 上每一点都右连续 9． 举出定义在[]1,0上分别符合下述要求的函数： （1）只在 41,31,21三点不连续的函数； （2）只在4 1 ,31,21三点连续的函数；
数学分析第八章不定积分
第八章不定积分 §1 不定积分概念与基本积分公式 正如加法有其逆运算减法,乘法有其逆运算除法一样,微分法也有它的逆运算———积分法.我们已经知道,微分法的基本问题是研究如何从已知函数求出它的导函数,那么与之相反的问题是:求一个未知函数,使其导函数恰好是某一已知函数.提出这个逆问题,首先是因为它出现在许多实际问题之中.例如:已知速度求路程;已知加速度求速度;已知曲线上每一点处的切线斜率(或斜率所满足的某一规律),求曲线方程等等.本章与其后两章(定积分与定积分的应用)构成一元函数积分学. 一原函数与不定积分 定义1 设函数f 与F 在区间I 上都有定义.若 F ′( x) = f( x ), x ∈I, 则称F 为f 在区间I 上的一个原函数. - 1 例如, 1 3 x 3 是x 2 在( - ∞,+ ∞) 上的一个原函数, 因为(1 3 1 x 3)′= x 2 ; 又如 2 cos 2 x 与- 2 cos 2 x + 1 都是sin 2 x 在(-∞, + ∞) 上的原函数, 因为 ( -1 cos 2 x )′= ( -1 cos 2 x + 1)′= sin 2 x . 2 2 如果这些简单的例子都可从基本求导公式反推而得的话,那么 F( x) = x arctan x - 1 ln (1 + x 2 ) 2 是f ( x) = arctan x 的一个原函数, 就不那样明显了.事实上, 研究原函数必须解决下面两个重要问题: 1 .满足何种条件的函数必定存在原函数? 如果存在, 是否唯一? 2 .若已知某个函数的原函数存在, 又怎样把它求出来? 关于第一个问题, 我们用下面两个定理来回答; 至于第二个问题, 其解答则是本章接着要介绍的各种积分方法.
华东师大数学分析答案
第四章 函数的连续性 第一 连续性概念 1．按定义证明下列函数在其定义域内连续： （1） x x f 1 )(= ； （2）x x f =)(。 证：（1）x x f 1 )(=的定义域为 ),0()0,(+∞-∞=D ，当D x x ∈0,时，有 001 1x x x x x x -=- 由三角不等式可得：00x x x x --≥ ， 故当00x x x <-时，有 02 01 1x x x x x x x x ---≤- 对任意给的正数ε，取,010 2 0>+= x x εεδ则0x <δ，当 D x ∈ 且δ<-0x x 时， 有 ε<-= -0 011)()(x x x f x f 可见 )(x f 在0x 连续，由0x 的任意性知：)(x f 在其定义域内连续。 (2) x x f =)(的定义域为),,(+∞-∞对任何的),(0+∞-∞∈x ，由于 00x x x x -≤-，从而对任给正数ε，取εδ=，当δ<-0x x 时， 有 =-)()(0x f x f 00x x x x -≤-ε< 故 )(x f 在0x 连续，由0x 的任意性知，)(x f 在),(+∞-∞连续。 2．指出函数的间断点及类型： （1）=)(x f x x 1 + ； （2）=)(x f x x sin ； （3）=)(x f ]cos [x ； （4）=)(x f x sgn ； （5）=)(x f )sgn(cos x ； （6）=)(x f ???-为无理数为有理数x x x x ,,；（7）=)(x f ??? ? ???+∞ <<--≤≤--<<∞-+x x x x x x x 1,11 sin )1(17,7 ,71
数学分析华东师大反常积分
数学分析华东师大反常 积分 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
第十一章反常积分 §1 反常积分概念 一问题提出 在讨论定积分时有两个最基本的限制: 积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在很多实际问题中往往需要突破这些限制, 考虑无穷区间上的“积分”, 或是无界函数的“积分”, 这便是本章的主题. 例1 ( 第二宇宙速度问题) 在地球表面垂直发射火箭( 图 11 - 1 ) , 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初速度v0 至少要多大设地球半径为R, 火箭质量为m, 地面上的重力加速度为 g .按万有引力定律,在距地心x( ≥R) 处火箭所受的引力为 mg R2 F = . x2 于是火箭从地面上升到距离地心为r ( > R) 处需作的功为
r mg R ∫ ∫ 2 ∫ d x = m g R 2 1 - 1 .R x 2 R r 当 r → + ∞ 时 , 其 极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”: 图 11 - 1 + ∞ mg R 2 d x = lim r mgR 2 R x 2 r → + ∞ R d x = m g R . x 2 最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v 0 至少应使 1 2 2 mv 0 = mg R . 用 g = 9 .81 ( m 6s /2 ) , R = 6 .371× 106 ( m ) 代入 , 便得 v 0 = 2 g R ≈ 11 .2( k m 6s /) . 例 2 圆 柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为 R , 桶底有 一半径为 r 的小孔 ( 图 11 - 2) .试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 , 共需多少时间
数学分析课后习题答案(华东师范大学版)
习题 1．验证下列等式 （1） C x f dx x f +='?)()( （2）?+=C x f x df )()( 证明 （1）因为)(x f 是)(x f '的一个原函数，所以?+='C x f dx x f )()(. （2）因为C u du +=?, 所以? +=C x f x df )()(. 2．求一曲线)(x f y =, 使得在曲线上每一点),(y x 处的切线斜率为x 2, 且通过点 )5,2(. 解 由导数的几何意义, 知x x f 2)(=', 所以C x xdx dx x f x f +=='= ??22)()(. 于是知曲线为C x y +=2 , 再由条件“曲线通过点)5,2(”知，当2=x 时，5=y , 所以 有 C +=2 25, 解得1=C , 从而所求曲线为12 +=x y 3．验证x x y sgn 2 2 =是||x 在),(∞+-∞上的一个原函数. 证明 当0>x 时, 22x y =, x y ='; 当0 华东师大2019年数学分析试题 一、（24分）计算题： （1） 求011lim()ln(1)x x x →-+； （2） 求32cos sin 1cos x x dx x +?g （3） 设(,)z z x y =是由方程222(,)0F xyz x y z ++=所确定的可微隐函数， 试求grad z 。 二、（14分）证明： （1）11(1)n n +??+???? 为递减数列： （2） 111ln(1),1,21n n n n <+<=+???? 一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之 一。《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。三、（12分）设f(x)在[],a b 中任意两点之间都具有介质性，而且f 在（a ，b ）内可导， '()f x K ≤ （K 为正常数） ，(,)x a b ∈ 证明：f 在点a 右连续，在点b 左连续。 四、（14分）设1 20(1)n n I x dx =-?，证明： 五、（12分）设S 为一旋转曲面，它由光滑曲线段 绕x 轴曲线旋转而成，试用二重积分计算曲面面积的方法，导出S 的面积公式为： 2(b a A f x π=? 六、（24分）级数问题： （1） 其实，任何一门学科都离不开死记硬背，关键是记忆有技巧， “死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识，怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广，要真正提高学生的写作水平，单靠分析文章的写作技巧是远远不够的，必须从基础知识抓起，每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句，以及丰富的词语、新颖的材料等。这样，就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累，积少成多，从而收到水滴石穿，绳锯木断的功效。设 sin ,01,0()x x x x f x ≠=?=??{}[]() x a,b ()()11()()n n n f x f x f x f x f x ∈? ?，求 ()(0),1,2,k f k =L （2） 宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教 谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师 数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编 部分习题参考解答 P.4 习题 1．设a 为有理数，x 为无理数，证明： （1）a + x 是无理数； （2）当0≠a 时，ax 是无理数。 证明 （1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数。这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数。 （2）假设ax 是有理数，于是a ax x =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故 ax 是无理数。 3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b 。 证明 由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ，再由教材P .3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 另证 （反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 5．证明：对任何R x ∈有 （1）1|2||1|≥-+-x x ； （2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x 证明 （1）|2||1||)2()1(|1-+-≤-+-=x x x x （2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=--≤--x x x x x ， 所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x 6．设+ ∈R c b a ,,证明|||| 2 22 2c b c a b a -≤+-+ 证明 建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是2 2 b a +，OC 的长度是2 2 c a +， AC 的长度为||c b -。因为三角形两边的差 大于第三边，所以有 第一章实数集与函数 导言数学分析课程简介( 2 学时 ) 一、数学分析(mathematical analysis)简介: 1.背景: 从切线、面积、计算 sin、实数定义等问题引入. 32 2.极限 ( limit ) ——变量数学的基本运算： 3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论. 微积运算是高等数学的基本运算. 数学分析与微积分(calculus)的区别. 二、数学分析的形成过程： 1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想. 2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期. 3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期. 4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期： 三、数学分析课的特点: 逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是 可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务. 有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听 为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯. 四、课堂讲授方法: 1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材: [1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001； [2]刘玉琏傅沛仁编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992； [3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003； [4]马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999； [5]林源渠，方企勤数学分析解题指南，北京大学出版社，2003. 2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。带星号的内容略讲或删去，相应的内容作为选修课将在数学分析选讲课开设. 3.内容多,课时紧: 大学课堂教学与中学不同的是, 这里每次课介绍的内容很多, 因此, 内容重复的次数少, 讲课只注重思想性与基本思路, 具体内容或推导, 特别是同类型或较简的推理论证及推导计算, 可能讲得很简, 留给课后的学习任务一般很重. 定积分在求极限中的应用 1、知识准备 1.1绪论 微积分学在大学的数学学习中占有相当重要的地位.然而,求极限又是微积分学中常常要面临的问题.因此,积累更多求极限的方法应是每位大学生必备的素养. 求极限的方法层出不穷,最常用的方法有极限的定义和性质,重要极限的结论,洛必达法则以及泰勒公式等.应用极限的定义时,往往是在极限的结果已经比较明显,只需要根据极限的定义把相关式子进行放缩便可得到相应的结果.但是,这种方法一方面叙述上比较麻烦,另一方面也只适用于看上去容易放缩的式子.重要极限的结论形式上要求非常严格, 也只能解决两种形式的极限问题.洛必达法则是用于解决“00”型的极限和“∞ ∞ ”型极限的. 泰勒公式适宜于解决求分式极限中分子或分母有加减运算的问题,通过泰勒展式后可以达到某些项抵消效果.但若仔细观察这些方法,其特点不是表达较繁琐就是仅仅应用到微分学知识.事实上,微分学和积分学的关系正如中小学时代学习过的加法与减法,乘法与除法,乘方与开方以及幂运算与取对数运算的关系一样,他们互为逆运算.倘若也能用到积分学知识来解决求极限的问题,那么求极限的方法才算完美.而利用定积分求极限正体现了这一理念. 1.2定积分的概念 下面首先让我们回顾一下定积分以及极限的定义: 定积分:设函数()f x 在闭区间[],a b 上有定义,在闭区间[],a b 内任意插入 n-1个分点将 [],a b 分成 n 个区间[,]x i i x x -,记(1,2,,i i i x x x i n ?=-=）,1[,]i i x x ξ-?∈,作乘积()i i f x ξ?(称 为积分元),把这些乘积相加得到和式 1 ()n i i i f x ξ=?∑(称为积分形式)设 {}max :1i x i n λ=?≤≤,若0 1 lim ()n i i i f x λξ→=?∑极限存在唯一且该极限值与区是[],a b 的分法 及分点i ξ的取法无关,则称这个唯一的极限值为函数()f x 在[],a b 上的定积分,记作 b a ()f x dx ?,即0 1 ()lim ()n b a i i i f x dx f x λξ→=?=?∑.否则称()f x 在[],a b 上不可积. 注1:由牛顿莱布尼兹公式知,计算定积分与原函数有关,故这里借助了不定积分的符号. 注2:若()b a f x dx ?存在,区间[],a b 进行特殊分割,分点i ξ进行特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等,但反之不成立,这种思想在考题中经常出现,请读者要真正理 数学分析-上册--第三版-华东师范大学数学系-编 数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编 部分习题参考解答 P.4 习题 1．设a 为有理数，x 为无理数，证明： （1）a + x 是无理数； （2）当0≠a 时，ax 是无理数。 证明 （1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数。这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数。 （2）假设ax 是有理数，于是a ax x =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故ax 是无理数。 3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b 。 证明 由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ， 1 再由教材P.3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 另证 （反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b 。 5．证明：对任何R x ∈有 （1）1|2||1|≥-+-x x ； （2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x 证明 （1）|2||1||)2()1(|1-+-≤-+-=x x x x （2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=--≤--x x x x x ， 所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x 6．设+ ∈R c b a ,,证明| ||| 2222c b c a b a -≤+-+ 证明 建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是 2 2b a +，OC 的长度是2 2c a +， a c b ) ,(b a A ) ,(c a C x y O 第八章 不定积分 总练习题 求下列不定积分： (1)∫4 3x 1 x 2x --dx ；(2)∫xarcsinxdx ；(3)∫ x 1dx +；(4)∫e sinx sin2xdx ； (5)∫x e dx ；(6)∫1 x x dx 2-；(7)∫x tan 1x tan 1+-dx ；(8)∫32)2-x (x -x dx ； (9)∫ x cos dx 4；(10)∫sin 4 xdx ；(11)∫4 x 3x 5-x 23+-dx ；(12)∫arctan(1+x )dx ； (13)∫2x x 47+dx ；(14)∫x tan tanx 1tanx 2++dx ；(15)∫100 2 x) -(1x dx ； (16)∫2x arcsinx dx ；(17)∫xln ??? ??+x -1x 1dx ；(18)∫x sinx cos dx 7；(19)∫e x 2 2x 1x -1??? ??+dx ； (20)I n =∫ u v n dx, 其中u=a 1+b 1x ，v=a 2+b 2x ，求递推形式解. 解：(1)∫ 4 3x 1 x 2x --dx=∫41x dx-2∫12 1x dx-∫4 1x - dx =5445x -13241213x -3 4 ∫43 x +C. (2)∫xarcsinxdx=-2 1 ∫arcsinxd(1-x 2)=-2 1(1-x 2)arcsinx+2 1 ∫(1-x 2)darcsinx =-21(1-x 2)arcsinx+21∫2x -1dx =-21(1-x 2)arcsinx+21 ∫t sin -12dsint =-21(1-x 2)arcsinx+21∫cos 2tdt=-21(1-x 2)arcsinx+81 ∫(1+cos2t)d2t =-21(1-x 2)arcsinx+4t +81sin2t+C=-21(1-x 2)arcsinx+41arcsinx +4 1 sintcost+C =2x 2arcsinx-41arcsinx +2x -14 x +C. (3)∫x 1dx +=∫t 1dt 2+=∫t 12tdt +=2∫t 1t 1++dt-2∫t 1dt +=2t-2ln|1+t|+C =2x -2ln|1+x |+C. (4)∫e sinx sin2xdx=2∫e sinx sinxcosxdx=2∫sinxde sinx =2e sinx sinx-2∫e sinx dsinx 8.1 不定积分概念与基本积分公式(2学时) 【教学目的】深刻理解原函数与不定积分的概念；牢记基本积分表；掌握不定积分的线形运算法则。 【教学重点】不定积分的概念，基本积分表，不定积分的线形运算法则。 【教学难点】求不定积分的技巧。 【教学过程】 一、原函数与不定积分 (一) 原函数 定义1 设函数与在区间)(x f )(x F I 上有定义。若 )()(x f x F =′， I x ∈， 则称为在区间)(x F )(x f I 上的一个原函数。 如：331x 是在R 上的一个原函数；2x x 2cos 21?， 12cos 2 1+x ，，等都有是在R 上的原函数——若函数存在原函数，则其原函数不是唯一的。 x 2sin x 2cos ?x 2sin )(x f 问题1 在什么条件下必存在原函数？若存在，其个数是否唯一；又若不唯一，则有多少个？ )(x f 问题 2 若函数的原函数存在，如何将它求出？（这是本章的重点内容）。 )(x f 定理1 若在区间)(x f I 上连续，则在)(x f I 上存在原函数。 )(x F （证明在第九章中进行。） 说明：（1）由于初等函数在其定义域内都是连续的，故初等函数在其定义域内必存在原函数（但其原函数不一定仍是初等函数）。（2）连续是存在原函数的充分条件，并非必要条件。 定理2 设是在在区间)(x F )(x f I 上的一个原函数，则（1）设是在在区间C x F +)()(x f I 上的原函数，其中C 为任意常量（若存在原函数，则其个)(x f 数必为无穷多个）。（2）在)(x f I 上的任何两个原函数之间，只可能相差上个常数（揭示了原函数间的关系）。 证：(i)这是因为[] .),()()(I x x f x F C x F ∈=′=′+(ii)设F 和G 是f 在I 上的任意两个原函数，则有 [] I x x f x f x G x F C x F ∈=?=′?′=′+,0)()()()()(根据第六章拉格朗日中值定理的推论，知道I x C x G x F ∈≡?,)()(． 口 （二） 不定积分 定义 2 函数在区间)(x f I 上的原函数的全体称为在)(x f I 上的不定积分，记作： ∫dx x f )( 其中∫积分号；被积函数； ????)(x f ??dx x f )(被积表达式；??x 积分变量。 注1： 是一个整体记号； ∫dx x f )(注2：不定积分与原函数是总体与个体的关系，即若是的一个原函数，则的不定积分是一个函数族)(x F )(x f )(x f {}C x F +)(，其中是任意常数，于是，记为：∫=。 C dx x f )(C x F +)(此时称C 为积分常数，它可取任意实数。故有 ——先积后导正好还原； ∫=′)(])([x f dx x f 或 。 ∫=dx x f dx x f d )()( ∫——先导后积还原后需加上一个常数（不能完全还原）。 +=′C x f dx x f )()(或 ∫。 +=C x f x df )()(如： C x dx x +=∫332， C x xdx +?=∫2cos 212sin 。 不定积分的风何意义： 若是的一个原函数，则称的图象为的一条积分曲线。于是，的不定积分在几何上表示的某一条)(x F )(x f )(x F y =)(x f )(x f )(x f 数学分析9.1定积分 概念 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第九章 不定积分 1 定积分概念 一、问题提出 1、曲边梯形的面积：设f 为[a,b]上的连续函数，且f(x)≥0，由曲线y=f(x)，直线x=a ，x=b 以及x 轴所围成的平面图形，称为曲边梯形. 在[a,b]内任取n-1个分点，依次为：a=x 0 F(x)≈F(ξi ), x ∈[x i-1,x i ], i=1,2,…,n. 于是质点从x i-1位移到x i 时，力F 所作的功就近似等于F(ξi )△x i , 从而W ≈∑=n 1i F (ξi )△x i (△x i =x i -x i-1). 对[a,b]作无限细分时，和式与某一常数无限接近，则把此常数定义为变力所作的功W. 注：解决这类问题的思想方法概括为“分割，近似求和，取极限”. 二、定积分的定义 定义1：设闭区间[a,b]内有n-1个点，依次为：a=x 0 习 题 十 1. 求下列曲线所围图形的面积． (1) y x x x y = ===1 14，，，0=； (2) 轴； y x y y ==3 8，， (3) ； y e y e x x x ==?，，1 (4) y x y x x ===lg .，，，001=10； (5) x y y x ==2 380，，=1； (6) y x y y x y =+===14，，，；3 (7) ； y x x y 2 24=?=， (8) ． x y y x =?=2 10()， 2. 求抛物线以及在点y x x =?+?2 4(,)03?和处的切线所围图形的面积． (,)30 3. 设曲线与直线y x x =?2y ax =，求参数，使该曲线与直线围图形面积为 a 92 ． 4. 曲线与相交于原点和点f x x ()=2 g x cx c ()=>3 0（）(,)11 2 c c ，求的值，使位于区间c [,01 c 上，两曲线所围图形的面积等于 23． 5. 求星形线所围图形的面积（a ）． x a t y a t t ==?????≤≤cos sin 3 3 02 （）π>0 6. 求下列极坐标方程所表曲线所围成的图形的面积． (1) 三叶玫瑰线r =83sin θ； (2) 心形线r =?31(sin )θ； (3) r =+1sin θ与r =1； (4) r =2与r =4cos θ． 7. 证明：球的半径为R 、高为的球冠的体积公式为： h V h R = ?13 32 π()h 8. 计算圆柱面与所围立体（部分）的体积． x y a 22+=2 2 x z z ==，0z ≥0 9. 计算两个柱面与所围立体的体积． x y a 2 2 +=222a z x =+ 10. 计算四棱台的体积．四棱台的上底面是边长为与b 的矩形，下底面是边长为与a A B 的矩形，高为． h 11. 求下列曲线围成的图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积． (1) ； y x x =≤sin () 0π≤；(2) y x x y ===2 20，，(3) y x y x == 2，； (4) ； y x x e =≤ln () 1≤3 (5) ． y x y x ==2 2 ， 12. 求y x =，x 轴和x =4所围图形分别绕x 、y 轴旋转所得旋转体的体 积． 13. 求曲线与曲线所围图形的面积．并将此图形绕y x x =?3 2y x =2 y 轴旋转，求所得旋转体的体积． 14. 求下列曲线的弧长． (1) ； y x x 2301=≤，()≤ (2) y x x =≤≤ln ()，38； (3) x y y y = ?≤≤141 2 12ln ()，e ； (4) r a a =>≤≤θθ ，()003； (5) r a =≤sin ()3 3 03≤θ θπ，； (6) ． x a t t t y a t t t t =+=?≤≤(cos sin )(sin cos )()，，02π 15. 计算曲线：的质量中心（线密度x y a y 2 2 20+=≥ ()ρ为常数）． 16. 计算星形线：在第一象限的质量中心（线密 度x a y a ==cos sin 3 θ，3 θρ为常数） ． 17. 计算下列曲线所围图形的质量中心． (1) ax ； y ay x a ==>2 2 0， () (2) x a y b x a y b 222 2100+=≤≤≤≤，，()； (3) 轴，()y a x x =sin ，01≤≤x ； 18. 若1公斤的力能使弹簧伸长1厘米，问把弹簧伸长10厘米要作多少功？ 19. 物体按规律x ct =3 （c ）做直线运动，设介质阻力与速度的平方成正比，求物体从.>0x =0到x a =时，阻力所作的功． 20. 一圆台形的水池，深15厘米，上下口半径分别为20厘米和10厘米，华东师大数学分析试题
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