求旋转体体积的一个公式

旋转体的体积

一，复习引入 （1）前面学习了定积分的求解方法也与原函数有关 （2）并且掌握了定积分的直接积分法 （3）学会了定积分的换元积分法与分布积分法 （4）那么我们定积分在实际应用中主要起到什么样的作用呢？ 新课： 二、体积 1、旋转体的体积 旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立 体，该定直线称为旋转轴. 计算由曲线y f x =()直线x a =，x b =及x轴所围成的曲边梯形， 绕x轴旋转一周而生成的立体的体积. 取x为积分变量，则],[b a x∈，对于区间],[b a上的任一区间] ,[dx x x+， 5 15 教学步骤及教学内容时间分配

它所对应的窄曲边梯形绕x轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似 等于以)(x f为底半径，dx为高的圆柱体体积.即：体积元素为 []dx x f dV2) ( π = 所求的旋转体的体积为 []dx x f V b a ?=2)( π 例1求由曲线x h r y? =及直线0 = x，)0 (> =h h x和x轴所围成的三角形 绕x轴旋转而生成的立体的体积. 解：取x为积分变量，则],0[h x∈ h r dx x h r dx x h r V h h 2 2 2 2 2 3 π π π= ? = ? ? ? ? ? =? ? 2、平行截面面积为已知的立体的体积( 截面法) 由旋转体体积的计算过程可以发现：如果知道该立体上垂直于一定 轴的各个截面的面积，那么这个立体的体积也可以用定积分来计算. 15 10

个平面之内，以)(x A表示过点x且垂直于x轴的截面面积. 取x为积分变量，它的变化区间为],[b a.立体中相应于],[b a上任一小区间] ,[dx x x+的一薄片的体积近似于底面积为)(x A，高为dx的扁圆柱体的体积. 即：体积微元为dx x A dV)( = 于是，该立体的体积为dx x A V b a ?=)( 例2 计算椭圆1 2 2 2 2 = + b y a x所围成的图形绕x轴旋转而成的立体体积. 解：这个旋转体可看作是由上半个椭圆2 2x a a b y- =及x轴所围成的图形绕x轴旋转所生成的立体. 在x处) (a x a≤ ≤ -，用垂直于x轴的平面去截立体所得截面积为 2 2 2) ( ) (x a a b x A- ? =π 2 2 2 2 2 3 4 ) ( ) (ab dx x a a b dx x A V a a a a π π = - = =? ? - - 三. 三、定积分在经济学中的应用 定积分在经济学中的应用主要是已知边际函数,要求总函数的问题.已 知边际成本函数MC,边际收入函数MR,则总成本函数C(q),总收入函 数R(q)可以表示为 15 15

旋转体体积公式

在传统立体几何中，各种旋转形体的侧（表）面积和体积计算方法是各自独立的，不便学习记忆。本文介绍一个适用于一切旋转形体的万能公式，简单，易学，好用。 一.基本概念 1.质量 空间图形（点，线，面，体）都可以看作是空间点的集合，一个具体的空间图形包含的点数是有限但不可数的。我们把一个空间图形包含的全部点数，称为该图形的质量。 由于图形包含的点数不可数，所以要用间接方式来表示图形的质量。我们可以用长度来表示线的质量，用面积来表示面的质量，用体积来表示体的质量。这就像，一堆小米的粒数是有限但不可数的。尽管这堆小米的粒数一定有一个确切的数字，但这个数字可能我们永远也不会知道，也不必知道，我们只需知道有几斗几升，或几斤几两就行了。 关于质量概念，存在着下面的事实：空间图形的质量，等于它各个部分的质量之和（质量公理）。 2.位量和重心 构成空间图形的点，都有各自的位置。在平面内，点的位置可以用它到参考直线的距离来表示。我们把构成一个空间图形的所有点的位置总和，称为该图形的位量；把构成空间图形的所有点的平均位置，称为该图形的重心，并以它作为整个图形的位置。显然，位量=重心*总点数。用W表示位量，用Z表示重心，用P表示质量，上式可以写成 . W=Z*P （1） 关于位量概念，也存在着下面的事实：空间图形的位量，等于它各个部分的位量之和（位量公理）。 3.旋转基图 旋转面和旋转体可统称为旋转形体。用过旋转轴的平面截切后，得到一个轴对称形的截面图，我

们取旋转轴一侧的半图作为旋转基图。旋转面的基图是线，旋转体的基图是由闭合的线围成的面。 二.平面图形的位量和重心 要使用万能公式，需先计算旋转基图的位量，笔者提供以下判断和计算平面图形的位量和重心的方法： 1.形状规则图形的重心是它的几何中心。如圆，正多边形，中心对称图形等。 2.轴对称图形的重心在它的对称轴上 3.形状不规则的图形可以先分解成几个规则或简单的部分，分别求出各部分的位量后，再求总和。常见旋转形体的基图，总可以分解成以下四种图形：（抱歉，因发帖数量不够，无法上传示意图） （1）直线段 直线段的重心是它的中点 （2）圆弧线 如图1，位于位置参考线一侧且圆心在参考线上的圆弧线，其位量等于它在参考线上的投影长度与弧半径的乘积，即W=h*R。 （3）三角形面 三角形面的重心是三个顶点的平均位置，即重心到参考线的距离等于三个顶点分别到参考线距离的平均值。 （4）弓形面 如图2，圆心在位置参考线上，弓弦与参考线平行的弓形面的位量，是弦长立方的十二分之一，即W=a*a*a/12。 如图3，弓弦与参考线不平行的弓形面，可以看作是上述弓形面绕圆心旋转一定角度所得，它的位量还与旋转的角度有关。即 W=cosθ*a*a*a/12 4.如果一个图形的位量是W0，质量是P，则当它的重心改变了Z△后，其位量变为W=W0+Z△*P 三.旋转形体质量计算的万能公式 在旋转基图中，以旋转轴作为位置参考线，则基图的位量，重心和质

立体图形的体积计算

立体图形的体积计算（复习课） 教学目标： 1、复习长方体、正方体、圆柱、圆锥体积的计算公式，加深学生对立体图形的认识，使学生对所学的知识进一步系统化和概括化。 2、通过实际操作，培养学生的动手操作能力。 3、进一步培养学生的空间观念和渗透转化的数学思想。 4、使学生在解决实际问题中，感受数学与生活的密切联系。 教学重难点： 1、分析、归纳各立体图形体积计算公式间的内在联系。 2、运用所学的知识解决生活中的实际问题。 教具准备： 多媒体课件，实物投影 学具准备 1、每个学习小组准备长方体、正方体、圆柱、圆锥各一个 2、每人准备一张长18.84cm,宽12.56 cm的长方形纸 教学过程： 一、情景导入 1、师：相信很多同学都知道《乌鸦喝水》的故事，乌鸦为什么能喝到瓶子里的水呢？（水面高度升高了，因为石子占了瓶子里水的空间） 2、师：这说明小石子也有一定的体积，那什么叫做物体的体积呢？(指名答、板书） 3、师：今天我们一起复习有关立体图形的体积计算（板书课题） 二、知识系统整理 1、师：我们在小学阶段学过了哪几种立体图形的体积？ 2、师：你能说出每种立体图形的体积计算公式吗？它们是怎样推导出来的？这些体积计算公式的推导之间有什么联系？请你用喜欢的方法归纳整理这些立体图形的体积计算公式，要求能清楚地表示这四种立体图形体积推导之间的关系。（学习小组合作、交流、整理、操作） 3、展示优秀的知识网络图，并请该小组代表说说想法。（如果学生没有完成预设，可由教师直接展示知识网络图，引导学生归纳整理。） 学生可能根据正方体是长、宽、高都相等的长方体，长方体的体积=长×宽×高，所以正方体的体积=棱长×棱长×棱长，由长方体的体积计算公式推导出圆柱的体积计算公式，再由圆柱的体积计算公式推导出圆锥的体积计算公式。教师板书示意图（引导学生理解计算圆锥的体积为什么要乘三分之一) 4、课件演示每个立体图形体积计算公式的推导过程。（学生观察） 5、归纳长方体、正方体、圆柱统一的体积计算公式。 师：计算长方体、正方体、圆柱的体积能不能用哪个统一的计算公式来表示？ 小组讨论。 师引导观察每个立体图形，说说ab、a2、πr2各是求出了哪个面的面积？（教师把公式中的ab、πr2加重点符号。） （长方体、正方体、圆柱统一的体积计算公式是“底面积×高”。） 6、教师小结：正方体、长方体和圆柱，它们的上、下底面是完全相同的。像这样从上到下一样大小的直直的形体，一般都叫做柱体。从上面统一的公式可以看出，这样形体的体积，都可以用底面积乘高计算。（完成板书） 三、综合运用提升 （每闯过一关可获得一个小贴图） 第一关：判断题（对的在括号里画“√”，错的画“×”）（学生用手势表示）

旋转体体积一般积分公式的坐标变换法推导

旋转体体积一般积分公式的坐标变换法推导 【摘要】根据已有的已知截面面积的几何体体积积分公式，通过坐标变换，推导沿倾斜轴旋转的旋转体体积的一般积分公式，继而推导作为其特殊形式的平面曲线绕坐标轴旋转所得旋转体体积的 积分公式，列举公式的应用. 【关键词】坐标变换；旋转体体积；一般积分公式 一般高等数学、数学分析教材中，只给由平面曲线绕坐标轴旋转所得旋转体体积的积分公式，但是，根据几何体体积的积分公式可以推证，平面曲线y=f(x)上介于m,n两点间的曲线段绕同平面直线l：ax+by+c=0旋转所得旋转体体积的一般积分公式为： v=π[](a2+b2)3[]2b a ax+bf(x)+c］ 2|af′(x)-b|dx.(a) 其中a,b分别为m,n两点所对应的x值. 依此公式，不仅可简化曲线段绕一般直线旋转所得旋转体体积的计算，同时，坐标轴作为坐标平面直线l的特殊形式，由平面曲线绕坐标轴旋转所得旋转体体积的积分公式，自然也可作为公式(a)的特殊形式而得到.公式(a)的推导有多种方法，通过坐标变换推 导，不失为其中方法之一. 一、公式的坐标变换法推导 在直线l：ax+by+c=0的任意一条垂线与曲线y=f(x) 一个交点的假定条件下，若b≠0，直线l与y轴的交点为0,-c[]b，

设直线l在坐标系xoy上的倾斜角为θ，则tanθ=-a[]b，且 作为更一般的例子，由y=f(x)，x=a，x=b及y=0所围成区域绕y 轴旋转所得旋转体体积公式，也可由(c)推出. ［1］同济大学应用数学系.高等数学（第五版）［m］.北京：高等教育出版社，2002. ［2］复旦大学数学系.数学分析（第三版）［m］.北京：高等教 育出版社，2007. ［3］陈抚良,张振兰,黄浩然.解析几何［m］.北京：科学出版社，2005. ［4］龚冬保.高等数学典型题解法、技巧、注释［m］.西安：西 安交通大学出版社，2000. ［5］李德新.求旋转体体积的一个公式［j］.高等数学研究，2005(3).

§定积分应用之简单旋转体的体积

§定积分应用之简单旋转体的体积

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1 / 5 §3.2定积分应用之简单旋转体的体积 【学习目标】 1、利用定积分的意义和积分公式，求一些简单旋转几何体体积。 2、数学模型的建立及被积函数的确定。 【问题导学】 1、复习求曲边梯形面积公式？定积分的几何意义？微积分基本定理？ 2、什么是旋转体？学过哪些旋转体？ 一个平面图形绕平面内的一条定直线旋转一周，所成的立 体图形叫旋转体，这条定直线叫做旋转轴。如：圆柱、圆锥、 圆台、球体、球冠。 3、旋转体的体积 （1）计算由区间[a 、b ]上的连续曲线y=f(x)、两直线x=a 与x=b 及x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积： v=π()b 2 a f x dx ????? （2） 类似地可得，由区间[c,d]上的连续曲线 y=f(x),两直线 y=c 与y=d 及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转一周所 成的旋转体的体积： ()d 2c v y dy π?=?[] 【自学检测】 1、给定直角边为1的等腰直角三角形，绕一条直角边旋转一周，得到一个圆锥体. 利用定积分的方法求它的体积 2、一个半径为1的球可以看成由曲线y=1-x 2 （半圆）与x 轴所围成的区域绕x 轴旋转一周得到的，利用定积分的方法求球的体积

2 / 5 3、求曲线y=e x 、x=0、x=12 与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积 【当堂训练】 4、求 y = x 2 与 y 2 = x 所围图形绕 x 轴旋转所成的旋转体体积 5、将第一象限内由x 轴和曲线y 2=6x 与直线x=6所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积等于 6、求曲线y=1x 、x 轴、y 轴及直线x=1围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积 7、求曲线y= 1x 、x=1、x=2 与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积 8、求曲线y=x 、x=1与坐标轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积 §3.2定积分应用之简单旋转体的体积

利用定积分求旋转体的体积

定积分的简单应用 ——简单旋转体的体积 2013.4.11 【学习目标】: 1.进一步理解微积分基本定理，并能应用其求简单的定积分. 2.会用定积分解决简单旋转体的体积问题. 重点：用定积分解决简单旋转体的体积问题． 难点：用定积分解决简单旋转体的体积问题． 【预习自测】: 阅读课本89页—90页，完成下列问题： 1.你怎么理解由定积分求简单旋转体的体积的？ 2.用定积分求简单旋转体体积的步骤？ 【合作探究】 一．由定积分求圆锥(圆台)体积 例1.由直线x x y ,=轴和直线3=x 所围成的平面图形 绕x 轴旋转一周得到一个圆锥体，求其体积. 变式训练：求由直线x x x x y 和，21,2===轴所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体积. 二. 由定积分求球体体积 例2.由曲线x x y 与24-= 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体积.

变式训练：由曲线x x y 与22-=轴所围成的图轴旋转一周所形成的几何体的体积 三.由定积分球一般旋转体的体积 例3. 由曲线x x x x y ,2,02===与轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体积. 变式训练：由曲线x x x x y ,3,21===与轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体积. 【我的收获】 【巩固练习】 1. 由曲线x x x y 与π20,sin ≤≤=轴所围成的图形的面积为（ ） A.0 B.2 C.π2 D.4 2. 由曲线x x x x y ,2,11=-=+=与轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所形成的几何体的体积为 .（写出定积分表达式并求出定积分）