第七节 无穷小量的比较

第七节 无穷小的比较

教学目的：使学生掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 教学重点：用等价无穷小求极限

教学过程：

一、讲授新课：

在第三讲中我们讨论了无穷小的和、差、积的情况，对于其商会出现不同的情况，例如：???????>∞<==?=-→→n

m n m n m b a b a x x b x a m n x m n x 0lim lim 00000000 （00,b a 为常数，n m ,为自然数）

可见对于n m ,取不同数时，n x a 0与m x b 0趋于0的速度不一样，为此有必要对无穷小进行比较或分类：

定义：设α与β为x 在同一变化过程中的两个无穷小，

(i) 若0lim

=α

β，就说β是比α高阶的无穷小，记为)(αβo =； (ii) 若∞=α

βlim ，，就说β是比α低阶的无穷小； (iii) 若0lim ≠=C α

β，，就说β是比α同阶的无穷小；

(iv) 若1lim =α

β，就说β与α是等价无穷小，记为βα~。 【例1】 当0→x 时，2x 是x 的高阶无穷小，即)(2x o x =；反之x 是2x 的低阶无穷小；2x 与x cos 1-是同阶无穷小；x 与x sin 是等价无穷小，即x x sin ~。

注 1：高阶无穷小不具有等价代换性，即：)(),(22x o x x o x ==，但)()(x o x o ≠，

因为)(?o 不是一个量，而是高阶无穷小的记号；

2：显然(iv)是(iii)的特殊情况；

3：等价无穷小具有传递性：即γαγββα~~,~?；

4：未必任意两个无穷小量都可进行比较，例如：当0→x 时，x

x 1sin 与2x 既非同阶，又无高低阶可比较，因为2

01sin

lim x x x x →不存在； 5：对于无穷大量也可作类似的比较、分类；

6：用等价无穷小可以简化极限的运算，事实上，有： 定理：若βαβα'',,,均为x 的同一变化过程中的无穷小，且ββαα''~,~，及?'

'αβlim ，那么αβαβ

''

=?lim lim 。

【例2】 求x x

x 20sin cos 1lim -→。

解：因为当0→x 时，x x ~sin

所以 21cos 1lim sin cos 1lim 2020=-

=-→→x x

x x x x 。

【例3】 求x x x

x 22arcsin lim 20+→

解：因为当0→x 时，x x 2~2arcsin ，

所以 原式122

22

lim 22lim 020==+=+=→→x x x x

x x 。

7：在目前，常用当0→x 时，等价无穷小有：

221

~cos 1,~arctan ,~arcsin ,~tan ,~sin x x x x x x x x x x -；

8：用等价无穷小代换适用于乘、除，对于加、减须谨慎！

二、课堂练习：

三、布置作业：